第06讲命题与证明(5个知识点+6个考点）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第06讲 命题与证明 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握命题的概念，并能分清命题的组成部分； 2．经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解．理解原命题与逆命题的概念； 3．初步培养不同几何语言相互转化的能力． 知识点一 推理的必要性 几何中研究图形的性质时,有些使用了观察、操作和实验等方法,但如果仅限于观察、操作和实验等方法，难以使人确信结果的正确性,所以在研究几何图形的性质时,还需要进行必要的推理. 特别提醒： (1)推理不但可以使我们对知识的理解更全面、更深入，而且可以更快地获得新知识. (2)要判断一个数学结论是否正确，仅仅靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步有理有据地进行推理，检验数学结论是否正确. 【例1】先观察再验证：（如图） （1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？ （2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？ （3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？ 【答案】（1）中的实线是直的；（2）a与b一样长；（3）AB与CD平行 【详解】试题分析： 在三条线段上分别取两点，连接得到直线，判断三条线段是否在直线上即可； 用直尺直接量出两线段的长度，比较即可； 测量的度数，若 则 试题解析：观察可能得出的结论是： (1)中的实线是弯曲的； (2)a更长一些； (3)AB与CD不平行． 用科学的方法验证可发现： (1)中的实线是直的； (2)a与b一样长； (3)AB与CD平行． 知识点二 命题 1.定义 对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子). 2.分类 真命题:正确的命题； 假命题:错误的命题. 特别提醒： (1)“错误的命题不是命题”这一说法是不正确的事实上,假命题也是命题, (2)命题中常见的关键词有“是”“不是”“大于”“小于”“如果………那么…”等. 【例2】下列语句中，①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②同角的余角相等；③负数有一个立方根；④相等的角是对顶角；假命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的判定和互余以及对顶角和立方根的概念判断即可． 【详解】①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题； ②同角的余角相等，是真命题； ③负数有一个立方根，是真命题； ④相等的角不一定是对顶角，是假命题； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． ☆方法技巧： 判断一个语句是否为命题的方法： (1)命题必须是一个完整的语句，且是对某一事件的陈述，包括肯定句和否定句，而疑问句、感叹句和祈使句都不是命题. (2)命题必须对某一事件作出肯定或否定的判断若满足以上两点，则是命题,否则不是命题. 知识点三 命题的组成 数学命题通常由题设和结论两部分组成,命题常写成“如果……那么……”的形式,即如果p，那么q. 特别提醒： (1)通常情况下,命题都可以写成“如果……那么……”的形式，当有一些命题的条件和结论不是十分明显时，我们可以把它改写成“如果……那么……”的形式，再找出它的条件和结论. (2)有些命题的条件和结论不止一个，此时要注意分清它们的条件和结论: 【例3】请将“等角的补角相等”请改写成“如果，那么”的形式 ． 【答案】如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写，根据题意，找出题设和结论，运用命题的结果进行改写即可求解，掌握命题的组成元素是解题的关键． 【详解】解：等角的补角相等，题设是：等角的补角，结论是：补角相等， ∴改写的形式为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等 ． 知识点四 互逆命题 1. 互逆命题 2. 反例:符合命题条件,但不满足命题结论的例子. 特别提醒： (1)互逆命题是指两个命题间的关系.(2)当一个命题是真(假)命题时，它的逆命题不一定是真(假)命题.(3)要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【例4】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 【答案】(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题 (2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题 (3)内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等 (4)等边三角形有一个角是60°真命题 【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可． 【详解】（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题； （2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题； （3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等； （4）等边三角形有一个角是60°真命题． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 知识点五 定理与证明 1.定理 2. 证明 3.证明命题的一般步骤 第1步:分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号; 第2步:结合图形,写出已知、求证; 第3步:分析因果关系,找出证明途径， 第4步:有条理地写出证明过程(每一步推理都要有根据). 特别提醒： 符号“∵”读作“因为”,符号“∴”读作“所以” 【例5】如图，、相交于点，平分交于点，平分交于点，．求证：． 请填写证明过程中的推理依据． 证明：已知，                               又平分 ， 平分 ， ， 角平分线的定义， ， ．    【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质与判定完成证明过程即可求解． 【详解】证明：已知， 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 又平分 ， 平分 已知， ，(角平分线的定义)， 等量代换， 内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:38:37；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 考点一：举例说明假（真）命题 例1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了假命题中的举反例问题，同时也考查了绝对值的知识，得出当时，，是解答本题的关键．当时，不成立，据此作答即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 即“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是， 故选：B． 【变式1-1】（22-23八年级上·安徽滁州·期末）要说明命题“若，则”是假命题，下列所列举的反例错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出a满足，但不满足即可． 【详解】解：“若，则”是假命题， 当．因为，，能说明命题是假命题，选项A列举反例正确． 同理可得选项B、C列举反例正确； 当．因为，，故不能说明“若，则”是假命题，故选项D列举反例错误． 综上所述：列举的反例错误的是D， 故选D． 【点睛】本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【变式1-2】（22-23八年级上·浙江温州·期中）证明“若，则”是假命题的反例可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一）（a取小于的一个数即可） 【分析】根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：， ∵，但是， ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【变式1-3】（21-22八年级上·浙江杭州·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，则可以是 ．（只填一个值即可） 【答案】-2（答案不唯一） 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【详解】当时，符合条件， 但， ∴命题“如果，那么”是假命题, 同样当时，也可以判断命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：-2（也可以是-3等，答案不唯一）． 【点睛】本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 考点二：写出命题的题设与结论 例2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等 【分析】本题考查命题，涉及命题的改写，熟记命题的概念，分清命题的条件与结论是解决问题的关键． 【详解】解：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等， 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等． 【变式2-1】（22-23八年级上·上海浦东新·期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 ． 【答案】如果两个三角形全等，那么它们的周长相等 【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解． 【详解】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式： 如果两个三角形全等，那么它们的周长相等， 故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等． 【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论是解题的关键． 【变式2-2】（21-22八年级上·浙江温州·期中）将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式 ． 【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半 【分析】由题意将命题的条件改成如果的内容，将命题的结论改为那么的内容进行分析即可． 【详解】解：将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半． 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半． 【点睛】本题主要考查命题与定理，理解“如果…那么…”的意义并找到命题的条件和结论是解题的关键． 【变式2-3】（21-22八年级上·安徽芜湖·阶段练习）一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 【答案】（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 【分析】（1）首先判断出命题的条件和结论，然后改写成“如果……那么……”的形式即可； （2）首先根据逆命题的定义求解，然后判定逆命题是否正确即可． 【详解】解：（1）∵原命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， ∴命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． （2）“对顶角相等”的逆命题是：“相等的角是对顶角”， ∵相等的角不一定是对顶角， ∴它是假命题． 【点睛】此题考查了逆命题的概念以及真假命题的判断，解题的关键是熟练掌握逆命题的概念以及真假命题的定义． 考点三：写出命题的逆命题 例3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）写出命题“如果，，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么， 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，将原命题的结论改为条件，条件改为结论即可得出逆命题． 【详解】解：“如果，，那么”的逆命题：如果，那么，， 故答案为：如果，那么，． 【变式3-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）请写出“对顶角相等”的逆命题 【答案】相等的角是对顶角 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角， 故答案为：相等的角是对顶角． 【变式3-2】（23-24八年级上·安徽池州·期末）“对顶角相等”请写出该命题的逆命题 ． 【答案】相等的角是对顶角 【分析】本题主要考命题及逆命题的理解及运用能力． 将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题． 【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等； ∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角， 简化后即为：相等的角是对顶角． 故答案为：相等的角是对顶角． 考点四：举反例 例4．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，进行判断即可． 【详解】A、等腰三角形三条高线的交点不一定不在三角形的外部，不符合题意； B、直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，不在三角形的外部，不符合题意； C、锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部，不符合题意； D、钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查反例法证明命题是假命题．熟练掌握钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，是解题的关键． 【变式4-1】（21-22八年级上·安徽滁州·期末）对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分别将各选项代入，找出满足条件，但不满足结论的选项即可． 【详解】解：A、当，时，，且，不能说明该命题是假命题，不符合题意； B、当，时，不满足，不能说明该命题是假命题，不符合题意； C、当，时，，且，不能说明该命题是假命题，不符合题意； D、当，时，，但是，可以说明该命题是假命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查举反例说明命题是假命题，注意反例要满足条件，不满足结论． 【变式4-2】（23-24八年级上·浙江温州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题，有理数的乘方，解题关键是掌握满足条件，但不能得到结论的例子即是反例．据此判断，即可得到答案． 【详解】解：当，时，，但， 可以用来说明命题“若，则”是假命题， 反例为， 故选：D． 【变式4-3】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则．”是假命题的反例的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证；判断一个命题是假问题，只需举出一个反例即可．反例要满足命题的条件，不符合命题的结论． 【详解】解： A．，这个例子与命题的条件，结论一致，故该选项错误； B．，这个例子既不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故该选项错误； C．，这个命题符合反例的要求，故该选项正确； D．，这个例子与命题的条件，结论一致，故该选项错误； 故选C． 考点五：反证法证明中的假设 例5．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查反证法．根据反证法得第一步是假设结论不成立，反面成立，即的反面是即可解答． 【详解】解：∵的反面是， ∴“已知，，求证：．”第一步应先假设：， 故答案为：． 【变式5-1】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可． 【详解】 解：用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级上·山西临汾·期末）玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（    ） A．有一个内角大于 B．有一个内角大于等于 C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于 【答案】C 【分析】本题考查了反证法 ，“至少有一个”的否定为“没有一个”，据此即可求解． 【详解】解：∵“至少有一个”的否定为“没有一个”， ∴应假设这个三角形中没有一个内角小于或等于， 即：这个三角形中每一个内角都大于， 故选：C 【变式5-3】（23-24八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明“若，，则”时，第一步应先假设（    ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反证法，解决问题的关键是掌握反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，得到结论成立．假设结论不成立即可． 【详解】解：原命题的结论是求证， 那么利用反证法时应该假设a和c相交，即不平行于， 故选：A． 考点六：用反证法证明命题 例6．（23-24七年级下·上海·阶段练习）在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例．根据反证法，可证明①②③正确． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法②正确； ③若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法③正确． 故选：D． 【变式6-1】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（    ） A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②① 【答案】C 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故选：C． 【变式6-2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案． 【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 【变式6-3】（22-23八年级上·河南周口·期末）用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ． 【答案】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应假设． 故答案为： 【点睛】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键． 1．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）下列语句中，属于命题的是（    ） A．作的平分线 B．同旁内角互补 C．画线段 D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 【答案】B 【分析】本题考查命题概念，命题由题设和结论组成，是能判断真假的陈述句，根据命题概念逐项验证即可得到答案，熟记命题概念是解决问题的关键． 【详解】解：A作的平分线，不是陈述句，不是命题，不符合题意； B、同旁内角互补，是命题，符合题意； C、画线段，不是陈述句，不是命题，不符合题意； D、你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢，不是陈述句，不是命题，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是(   ) A．如果，那么点是的中点 B．三条线段分别为，，，如果，那么这三条线段一定能组成三角形 C．三角形的内角和等于 D．如果，那么 【答案】C 【分析】该题主要考查了真、假命题及其判断问题；根据线段的中点，三角形的三边关系，三角形内角和定理，绝对值的意义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、 如果点在线段上，且，那么点是的中点，故该选项是假命题，不符合题意； B、三条线段分别为，，，当，，时，满足，但不能构成三角形；如果，那么这三条线段一定能组成三角形，故该选项是假命题，不符合题意； C、 三角形的内角和等于，故该选项是真命题，符合题意； D、如果，那么或，故该选项是假命题，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④若，则；⑤邻补角的平分线互相垂直，其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判定，涉及平行线的性质、对顶角性质，不等式的性质，邻补角，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：①垂直于同一条直线的两条直线平行是错误的，要强调同一平面内， ②两直线平行，同位角相等；是正确的； ③对顶角相等；是正确的； ④若，则是错误的；要强调前提是； ⑤邻补角的平分线互相垂直，是正确的； 故选：C 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．三角形内角和是 B．如果直线，，那么直线 C．如果，那么 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据三角形内角和定理即可判断A；根据平行公理即可判断B；根据乘方的计算法则即可判断C；根据三角形三边的关系即可判断D． 【详解】解：A、三角形内角和是，原命题是真命题，不符合题意； B、如果直线，，那么直线，原命题是真命题，不符合题意； C、如果，那么不一定成立，例如满足，但不满足，原命题是假命题，符合题意； D、三角形任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，不符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 C．在同一平面内有三条直线，，，若，，则 D．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 【答案】B 【分析】本题主要考查了真假命题的判断、对顶角相等、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．根据对顶角性质，平行线判定及性质，逐项判断即可． 【详解】解：A. 对顶角相等，该命题是真命题，故不符合题意； B. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故该命题是假命题，符合题意； C. 在同一平面内有三条直线，，，若，，则，该命题是真命题，故不符合题意； D. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，该命题是真命题，故不符合题意． 故选：B． 6．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）下列语句是命题的有（      ） ①连接；  ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，据此逐一判断即可． 【详解】解：①连接，不是命题； ②等边对等角，是命题； ③同角的余角不相等，是命题； ④作线段的垂直平分线，不是命题； ⑤你来吗？不是命题； ∴命题有2个， 故选：B． 7．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列语句中是命题的是（    ） A．作的平分线 B．美丽的大自然 C．同位角相等 D．你吃饭了吗 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的定义，命题就是判断一件事情的语句，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据命题的定义可知，四个选项中只有C选项中的语句是命题， 故选：C． 8．（22-23八年级上·甘肃白银·期末）下列语句是命题的是（    ） A．你喜欢数学吗？ B．小明是男生 C．城阳世纪公园 D．加强体育锻炼 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义：对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题．根据命题的概念作答． 【详解】解：A、你喜欢数学吗？是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； B、小明是男生是命题，符合题意； C、城阳世纪公园是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意； D、加强体育锻炼是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意． 故选：B． 9．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，顶角的定义、平行线的性质及垂直、平行的定义，利用对顶角的定义、平行线的性质及垂直、平行的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意， 故选：C． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．若，则 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．写出各个命题的逆命题，判断即可． 【详解】解： A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题； B、实数a、b，如果，那么，逆命题是若，则，是假命题； C、若，则的逆命题是若，则，是假命题； D、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题； 故选：D． 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．无理数是无限小数 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 【答案】D 【分析】先写出逆命题，再根据无理数的定义，全等三角形的性质于判定，乘方的意义，平方差公式判断正误即可． 本题考查了命题的真假，逆命题，无理数的定义，全等三角形的性质于判定，乘方的意义，平方差公式，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 【详解】解：A．若，则是若，则，故错误，故逆命题是假命题； B．无理数是无限小数的逆命题是无限小数是无理数，故错误，故逆命题是假命题； C．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，故错误，故逆命题是假命题； D．若，则的逆命题是若，则，正确，故逆命题是真命题； 故选：D． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”是 （填“真命题”或“假命题”）． 【答案】假命题 【分析】本题以命题为背景，考查了平方根的概念，解出即可判断． 【详解】解：∵ ∴， 故原命题为假命题， 故答案为：假命题 13．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)如果，那么，． 【答案】(1)真命题，同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题 (2)假命题，如果，，则，此逆命题为真命题 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，逆命题： （1）写出原命题的逆命题，结合平行线的判定和性质，即可； （2）写出原命题的逆命题，结合有理数的乘法，即可； 【详解】（1）解：两直线平行，同旁内角互补为真命题， 其逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题； （2）解：如果，那么，为假命题， 其逆命题为：如果，，则，此逆命题为真命题． 14．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题 (2)同旁内角互补，两直线平行；真命题 【分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可． 【详解】（1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”， 逆命题是真命题； （2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”， 逆命题是真命题． 【点睛】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 命题与证明 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握命题的概念，并能分清命题的组成部分； 2．经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解．理解原命题与逆命题的概念； 3．初步培养不同几何语言相互转化的能力． 知识点一 推理的必要性 几何中研究图形的性质时,有些使用了观察、操作和实验等方法,但如果仅限于观察、操作和实验等方法，难以使人确信结果的正确性,所以在研究几何图形的性质时,还需要进行必要的推理. 特别提醒： (1)推理不但可以使我们对知识的理解更全面、更深入，而且可以更快地获得新知识. (2)要判断一个数学结论是否正确，仅仅靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步有理有据地进行推理，检验数学结论是否正确. 【例1】先观察再验证：（如图） （1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？ （2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？ （3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？ 【答案】（1）中的实线是直的；（2）a与b一样长；（3）AB与CD平行 【详解】试题分析： 在三条线段上分别取两点，连接得到直线，判断三条线段是否在直线上即可； 用直尺直接量出两线段的长度，比较即可； 测量的度数，若 则 试题解析：观察可能得出的结论是： (1)中的实线是弯曲的； (2)a更长一些； (3)AB与CD不平行． 用科学的方法验证可发现： (1)中的实线是直的； (2)a与b一样长； (3)AB与CD平行． 知识点二 命题 1.定义 对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子). 2.分类 真命题:正确的命题； 假命题:错误的命题. 特别提醒： (1)“错误的命题不是命题”这一说法是不正确的事实上,假命题也是命题, (2)命题中常见的关键词有“是”“不是”“大于”“小于”“如果………那么…”等. 【例2】下列语句中，①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②同角的余角相等；③负数有一个立方根；④相等的角是对顶角；假命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的判定和互余以及对顶角和立方根的概念判断即可． 【详解】①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题； ②同角的余角相等，是真命题； ③负数有一个立方根，是真命题； ④相等的角不一定是对顶角，是假命题； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． ☆方法技巧： 判断一个语句是否为命题的方法： (1)命题必须是一个完整的语句，且是对某一事件的陈述，包括肯定句和否定句，而疑问句、感叹句和祈使句都不是命题. (2)命题必须对某一事件作出肯定或否定的判断若满足以上两点，则是命题,否则不是命题. 知识点三 命题的组成 数学命题通常由题设和结论两部分组成,命题常写成“如果……那么……”的形式,即如果p，那么q. 特别提醒： (1)通常情况下,命题都可以写成“如果……那么……”的形式，当有一些命题的条件和结论不是十分明显时，我们可以把它改写成“如果……那么……”的形式，再找出它的条件和结论. (2)有些命题的条件和结论不止一个，此时要注意分清它们的条件和结论: 【例3】请将“等角的补角相等”请改写成“如果，那么”的形式 ． 【答案】如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写，根据题意，找出题设和结论，运用命题的结果进行改写即可求解，掌握命题的组成元素是解题的关键． 【详解】解：等角的补角相等，题设是：等角的补角，结论是：补角相等， ∴改写的形式为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等 ． 知识点四 互逆命题 1. 互逆命题 2. 反例:符合命题条件,但不满足命题结论的例子. 特别提醒： (1)互逆命题是指两个命题间的关系.(2)当一个命题是真(假)命题时，它的逆命题不一定是真(假)命题.(3)要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【例4】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 【答案】(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题 (2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题 (3)内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等 (4)等边三角形有一个角是60°真命题 【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可． 【详解】（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题； （2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题； （3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等； （4）等边三角形有一个角是60°真命题． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 知识点五 定理与证明 1.定理 2. 证明 3.证明命题的一般步骤 第1步:分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号; 第2步:结合图形,写出已知、求证; 第3步:分析因果关系,找出证明途径， 第4步:有条理地写出证明过程(每一步推理都要有根据). 特别提醒： 符号“∵”读作“因为”,符号“∴”读作“所以” 【例5】如图，、相交于点，平分交于点，平分交于点，．求证：． 请填写证明过程中的推理依据． 证明：已知，                               又平分 ， 平分 ， ， 角平分线的定义， ， ．    【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质与判定完成证明过程即可求解． 【详解】证明：已知， 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 又平分 ， 平分 已知， ，(角平分线的定义)， 等量代换， 内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:38:37；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 考点一：举例说明假（真）命题 例1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23八年级上·安徽滁州·期末）要说明命题“若，则”是假命题，下列所列举的反例错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23八年级上·浙江温州·期中）证明“若，则”是假命题的反例可以是 ．（写一个即可） 【变式1-3】（21-22八年级上·浙江杭州·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，则可以是 ．（只填一个值即可） 考点二：写出命题的题设与结论 例2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ． 【变式2-1】（22-23八年级上·上海浦东新·期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 ． 【变式2-2】（21-22八年级上·浙江温州·期中）将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式 ． 【变式2-3】（21-22八年级上·安徽芜湖·阶段练习）一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 考点三：写出命题的逆命题 例3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）写出命题“如果，，那么”的逆命题： ． 【变式3-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）请写出“对顶角相等”的逆命题 【变式3-2】（23-24八年级上·安徽池州·期末）“对顶角相等”请写出该命题的逆命题 ． 考点四：举反例 例4．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式4-1】（21-22八年级上·安徽滁州·期末）对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（23-24八年级上·浙江温州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则．”是假命题的反例的是（　　　） A． B． C． D． 考点五：反证法证明中的假设 例5．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设 ． 【变式5-1】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设 ． 【变式5-2】（23-24八年级上·山西临汾·期末）玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（    ） A．有一个内角大于 B．有一个内角大于等于 C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于 【变式5-3】（23-24八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明“若，，则”时，第一步应先假设（    ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 考点六：用反证法证明命题 例6．（23-24七年级下·上海·阶段练习）在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式6-1】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（    ） A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②① 【变式6-2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【变式6-3】（22-23八年级上·河南周口·期末）用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ． 1．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）下列语句中，属于命题的是（    ） A．作的平分线 B．同旁内角互补 C．画线段 D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 2．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是(   ) A．如果，那么点是的中点 B．三条线段分别为，，，如果，那么这三条线段一定能组成三角形 C．三角形的内角和等于 D．如果，那么 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④若，则；⑤邻补角的平分线互相垂直，其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．三角形内角和是 B．如果直线，，那么直线 C．如果，那么 D．三角形任意两边之和大于第三边 5．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 C．在同一平面内有三条直线，，，若，，则 D．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 6．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）下列语句是命题的有（      ） ①连接；  ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列语句中是命题的是（    ） A．作的平分线 B．美丽的大自然 C．同位角相等 D．你吃饭了吗 8．（22-23八年级上·甘肃白银·期末）下列语句是命题的是（    ） A．你喜欢数学吗？ B．小明是男生 C．城阳世纪公园 D．加强体育锻炼 9．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 10．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．若，则 D．同位角相等，两直线平行 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．无理数是无限小数 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 12．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”是 （填“真命题”或“假命题”）． 13．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)如果，那么，． 14．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$