专题08 平面直角坐标系探究规律（共30道）-【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题08 平面直角坐标系探究规律 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动个单位长度，依次得到根据这个规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，一动点A从点出发，按箭头所示的方向不断地移动，依次可以得到，，，，，，，…，按照这样的规律移动下去，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即，，，，，……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（横纵坐标都是整数的点），其顺序按图中“”方向排列，从第一个点开始的坐标依次为，，，根据这个规律探索可得，第2024个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ）    A．（2023，0） B．（2023，1） C．（2023，2） D．（2021，2） 7．平面直角坐标系中有若干点，按照如图所示的方式排列，其坐标依次为，，，，，…按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点在轴正半轴及轴正半轴上运动，点从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：根据这个规律，第2024个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，一点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点，再向正东方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正西方向走到达点，…按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 ． 12．如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从跳到点，第二次跳到点，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳到，第六次跳到．第七次跳到，第八次跳到，第九次跳到，…，按这样的跳动规律，点的坐标是 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标 ． 14．如图，在平面直角坐标系内，动点M第1次从点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，第6次运动到，第7次运动到……依此规律，第2024次运动到的坐标是 ． 15．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 16．如图，一只电子蚂蚁P，在平面直角坐标系xOy中按箭头所示方向作折线运动，即，，，，，，…，按照这样的运动规律，的坐标为 ；的坐标为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ． 18．如图，将点先向右平移1个单位长，再向上平移1个单位长，得到点；将点向上平移1个单位长，再向右平移2个单位长，得到点；将点向上平移2个单位长，再向右平移4个单位长，得到点；将点向上平移4个单位长，再向右平移8个单位长，得到点；…按这个规律平移得到点，则点的坐标为 ． 19．如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 20．如图，已知，按这样的规律，则点的坐标为 ． 三、解答题 21．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 22．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 23．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即 按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 24．在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：________，________，________，________． (2)按此规律移动，为正整数，则点的坐标为________，点的坐标为________． (3)动点从点到点的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”） 25．如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：；    (1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ___________，点的坐标为 ___________． (2)若按第（1）题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ___________，点坐标为 ___________． 26．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； (2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 27．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 28．如图，每个小方格边长为1，已知点，，，，，，，，… (1)将图中的平面直角坐标系补画完整； (2)按此规律，请直接写出点的坐标： ， ； (3)按此规律，则点的坐标为 ． 29．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、…，顶点依次用、、、、…表示． (1)请直接写出、、、的坐标； (2)根据规律，求出的坐标； 30．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与x轴负半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴负半轴的交点依次记作，，…，，发现其中包含了一定的数学规律． 请根据你发现的规律完成下列题目： （1）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________． （2）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________． （3）请求出四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题08 平面直角坐标系探究规律 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动个单位长度，依次得到根据这个规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键． 先根据图中点的排列，找出规律，再计算求解． 【详解】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，个点为一个周期，一周期横坐标增加， ∴， ∴所以点的横坐标为， 则点的纵坐标与的纵坐标是相同的， 由图易知，点的纵坐标为，即点的纵坐标为， 点的坐标为， 故选：． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，一动点A从点出发，按箭头所示的方向不断地移动，依次可以得到，，，，，，，…，按照这样的规律移动下去，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的变化规律问题，解题的关键是找到每4个点为一个变化单元，难度不大．观察图形的变化规律，找到并利用规律求解． 【详解】解：观察点的变化发现：每4个点为一个变化单元， ， 点的位置和一样位于轴上，点的横坐标为， 点的坐标为， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即，，，，，……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标的变化规律，观察点的坐标特点寻找规律，找到横坐标和纵坐标的变化特点即可解答，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：横坐标为的点有个，纵坐标为； 横坐标为的点有个，纵坐标为，； 横坐标为的点有个，纵坐标为，，； 横坐标为4的点有4个，纵坐标为0，1，2，3； ， 发现规律：由， ∵在第行点的走向为向上， ∴第个点的坐标为， ∵第行点的走向为向下， ∴第个点在此行上，横坐标为，纵坐标为从个点向下数个点，即为； ∴第个点的坐标为， 故选：． 4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（横纵坐标都是整数的点），其顺序按图中“”方向排列，从第一个点开始的坐标依次为，，，根据这个规律探索可得，第2024个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先归纳类推出第个点的坐标为（为正整数），且此点的正下方有个点，从而可得第1984个点的坐标为，它的正下方有32个点，再求出第个点的坐标，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第1个点的坐标为， 第2个点的坐标为， 第3个点的坐标为， 第4个点的坐标为，，第12个点的坐标为，，第24个点的坐标为， 归纳类推得：第个点的坐标为（为正整数），且此点的正下方有个点， 当时，，，， 即第1984个点的坐标为，它的正下方有32个点， 所以第个点的坐标为，即为， 所以第2017个点的坐标为， 又因为，第2024个点在第2017个点的正上方， 所以第2024个点的坐标为，即为， 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，由四边形的周长找出细线另一端点所在的位置是解题的关键．由点，，，的坐标可得出四边形为矩形及，的长，由矩形的周长公式可求出矩形的周长，结合可得出细线的另一端在线段上且距点1个单位长度，结合点的坐标即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，，四边形为矩形， ． ， 细线的另一端在线段上，且距点1个单位长度， 细线的另一端所在位置的点的坐标是，即． 故选：C 6．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ）    A．（2023，0） B．（2023，1） C．（2023，2） D．（2021，2） 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次从原点运动到点， 第5次接着运动到点， 第6次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， ， 第2023次接着运动到点，即点， 故选：C． 7．平面直角坐标系中有若干点，按照如图所示的方式排列，其坐标依次为，，，，，…按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标正方形为单位格点变化规律，反应出点的坐标变化从特殊到一般再到特殊规律计算方法，同时也体现出第三象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的坐标（n为角标）求解． 根据每四个象限循环一周找到角标与坐标之间变化规律即可解题． 【详解】解：由题可知第一象限的点：，……角标除以4余数为2； 第二象限的点：…… 角标除以4余数为3； 第三象限的点：……角标除以4余数为0； 第四象限的点：……角标除以4余数为1； 由上规律可知：， ∴点在第三象限． 观察图形，得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，……， ∴第三象限点的横纵坐标数字规律：点的横纵坐标（n为角标） ∴点的坐标为． 故选：C． 8．如图，点在轴正半轴及轴正半轴上运动，点从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，每两个坐标为一组可得，第n组：当n为奇数时，，当n为偶数时，，据此规律即可求解． 【详解】解：根据题意，将连续的2个点A看成一组， 第1组：，， 第2组：，， 第3组：，， 第4组：，， ……， 第n组：当n为奇数时，，当n为偶数时，， ∵， ∴第1012组第1个坐标， ∴点的坐标是 故选：D． 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：根据这个规律，第2024个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为平面直角坐标系下的点坐标规律探究题．以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边下角的点横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在轴上，为偶数时，从轴上的点开始排列，求出与2024最接近的平方数为2025，然后写出第2024个点的坐标即可． 【详解】解：由图形可知，图中各点分别组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方， 且当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，这个点可以看作按照运动方向到达轴，当正方形最右下角点的横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开轴， ， ∴第2025个点在轴上坐标为， 则第2024个点在第2025个点的上方1个单位长度， ∴第2024个点的坐标是． 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，一点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系下点的规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律． 先确定点在第三象限，根据第三象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可． 【详解】解： ∵，则在第四象限， 由题意，第四象限的点为，，， ∴． 故选：B． 二、填空题 11．如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点，再向正东方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正西方向走到达点，…按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，在第二象限；在第一象限；在第四象限；在第三象限；在第二象限，由此得到点坐标位置环节为4，即序号数减去1除以4，余数为1，位于第二象限；余数为2，位于第一象限；余数为3，位于第四象限；余数为0，位于第三象限；且位于第四象限的点的横坐标，纵坐标的绝对值都等于序号数，解答即可． 本题考查了坐标的规律，正确找到序号数与点所在象限的关系是解题的关键． 【详解】根据题意，得，在第二象限；在第一象限；在第四象限；在第三象限；在第二象限， 由此得到点坐标位置环节为4，即序号数减去1除以4，余数为1，位于第二象限； 余数为2，位于第一象限；余数为3，位于第四象限；余数为0，位于第三象限；且位于第四象限的点的横坐标，纵坐标的绝对值都等于序号数， 由， 故点位于第四象限， 故点的坐标为； 故答案为：． 12．如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从跳到点，第二次跳到点，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳到，第六次跳到．第七次跳到，第八次跳到，第九次跳到，…，按这样的跳动规律，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点的运动规律，掌握动点运动中横坐标、纵坐标运动的规律是解题的关键．先观察各点的横坐标可得，每跳一次，横坐标增加，再观察各点的纵坐标可得，当n为偶数时纵坐标为0，当n为奇数时，纵坐标为，当为偶数时符号为负，当为奇数时符号为正，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，观察图象，结合动点P第一次从跳到点，第二次跳到点，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳到，第六次跳到．第七次跳到，第八次跳到，第九次跳到…， 横坐标为：， 纵坐标为：， 可知的横坐标为，当n为偶数时纵坐标为0，当n为奇数时，纵坐标为，当为偶数时符号为负，当为奇数时符号为正， ∴点的坐标是， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是找出点的坐标的变化规律． 根据点的坐标、坐标的平移规律可知旋转一周的长度为20，然后可判断细线另一端所在位置的点在A，B中点处的y轴上，直接求解即可． 【详解】解：如图： ∵轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，， ∴C点坐标为，点P坐标为 ∴，，，，， ∴按缠绕一周的总长度为， ∵， ∴细线另一端所在位置的点在C处， ∴细线另一端所在位置的点的坐标为． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系内，动点M第1次从点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，第6次运动到，第7次运动到……依此规律，第2024次运动到的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据图象可得出：本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力．根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每6次一个循环，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ， ，，，，，．．．． ∴横坐标为对应的运动次数减， 则第 次运动到点的横坐标为：； 纵坐标依次为：，每6次一个循环， ∵， ∴第次运动到点的纵坐标为：1． 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型点的坐标，根据图形得出每个正方形点阵的整点数量与坐标的关系，是解题的关键． 观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，n为大于1的正整数，当n为偶数时，最后一个点在轴上，第个点的坐标为，当n为奇数时，最后一个点在直线上，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【详解】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵， 如：第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， ，45为奇数， 第2025个点的坐标为， 退1个点，得到第2024个点是， 故答案为：． 16．如图，一只电子蚂蚁P，在平面直角坐标系xOy中按箭头所示方向作折线运动，即，，，，，，…，按照这样的运动规律，的坐标为 ；的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标点的规律探索，根据题目中给出的点的坐标结合坐标点的图，可以得出当n为偶数时，横坐标为前个点的横坐标加2，纵坐标为前一个点的纵坐标减1，当n为奇数时，横坐标为前一个点的横坐标加1，纵坐标为前一个点的纵坐标加2，从而得出当n为偶数时，的横坐标，的纵坐标，代入求值即可． 【详解】解：，，，，，， 通过点的坐标特点可以发现规律，当n为偶数时，横坐标为前个点的横坐标加2，纵坐标为前一个点的纵坐标减1，当n为奇数时，横坐标为前一个点的横坐标加1，纵坐标为前一个点的纵坐标加2， 则当n为偶数时，的横坐标， 的纵坐标， 当时，，， ， 当时，，， ， 故答案为：；． 17．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第个点的坐标， 第2024个点的坐标为． 故答案为：． 18．如图，将点先向右平移1个单位长，再向上平移1个单位长，得到点；将点向上平移1个单位长，再向右平移2个单位长，得到点；将点向上平移2个单位长，再向右平移4个单位长，得到点；将点向上平移4个单位长，再向右平移8个单位长，得到点；…按这个规律平移得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 先求出点的横坐标和纵坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐为标，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 按这个规律平移得到点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴． 故答案为：． 19．如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半，当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半相反数，然后确定出点的坐标即可． 【详解】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律： 当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半， 当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半的相反数， 因为2024能被4整除，所以横坐标为2，纵坐标为． 故答案为：． 20．如图，已知，按这样的规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知6个点坐标的纵坐标为一个循环，的横坐标为，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵， ∴可知6个点坐标的纵坐标为一个循环，的横坐标为， ∵， ∴的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 21．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：4， ∴点的坐标为：． 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4． 故的坐标为：． 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 22．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，，． （2）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． （3）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 则点到轴的距离是4，到轴的距离是199． 故答案为：4，199． 23．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即 按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)； (2)； 【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，再运算求解； (2)根据(1)中的规律求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，， 点的坐标为，，的坐标为，； ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标一样， 点的坐标为，， 故答案为：，，，，，； （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ；， 故答案为：． 24．在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：________，________，________，________． (2)按此规律移动，为正整数，则点的坐标为________，点的坐标为________． (3)动点从点到点的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”） 【答案】(1)，，，； (2)， (3)向下． 【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标； （2）由，，，，归纳可得：点的坐标（n为正整数）为；由，，，，归纳可得：点的坐标为 ； （3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得动点从点到点的移动方向． 【详解】（1）解：根据点的坐标变化可知： 各点的坐标为：，，，； （2）∵，，，， 归纳可得：点的坐标（n为正整数）为； ∵，，，， 归纳可得：点的坐标为 ； （3）∵每四个点一个循环， 所以． ∴动点从点到点的移动方向是向下． 【点睛】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律． 25．如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：；    (1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ___________，点的坐标为 ___________． (2)若按第（1）题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ___________，点坐标为 ___________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律． （1）根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标即可； （2）根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的2倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点B的坐标的长度每变化一次横坐标就变为上一次的2倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是0，然后写出即可． 【详解】（1）解：根据图形变换的规律： ∵； ∴点的坐标为； ∵； ∴点的坐标为 ； （2）解：由图形变换的规律可得： 点坐标为：； 点的坐标为：． 26．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； (2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 【答案】(1)11；； (2)①；② 【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前一行多2个，以此规律解答即可； （2）①先求第11行最后一个数，然后判断为第11行倒数第二个数即可解答； ②先根据判断2023为第45行的数字，然后根据2023比第45行最后一个数字2025小2，即可判断． 【详解】（1）解：第1行有1个数， 第2行有个数， 第3行有个数， 第4行有个数， 第5行有个数， ∴第6行有个数， …… 第n行有个数； （2）解：①∵第11行有个数，且最末尾的数是， 而表示第11行的第20个数， ∴表示的数是； ②∵，， ∴， ∴2023位于第45行， ∵第45行有个数，而2023与2025相差2个数， ∴2023位于第45行的第87个数， ∴表示2023的有序数对是． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律，进而得出答案； （2）结合（1）中发现规律得出一般公式即可． 【详解】（1）解：，，； 点横坐标为，纵坐标依次为：2，，， 的纵坐标为：， ， ，，， 点横坐标为0，纵坐标依次为：，，， 的纵坐标为：， ， 点的坐标为，点的坐标为； （2）（2）由（1）得出：，， 点的坐标是，的坐标是． 【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律是解题关键． 28．如图，每个小方格边长为1，已知点，，，，，，，，… (1)将图中的平面直角坐标系补画完整； (2)按此规律，请直接写出点的坐标： ， ； (3)按此规律，则点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）根据点的坐标确定坐标轴即可； （2）根据图示及坐标系各象限横纵坐标符号特点即可得出结果； （3）观察图象及各点的坐标特点得出A4n+2（n+1，n+1），再由2022=4×505+2，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意补画得平面直角坐标系如图所示： （2）根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点可得：A9（3，-2），A10（3，3）； （3）观察图形发现，下标为4n+2的点落在第一象限的对角线上， ∵A2(1,1)， A6(2,2)， ∴A4n+2（n+1，n+1）， ∵2022=4×505+2， ∴A2022（506，506）， 故答案为：（506，506）． 【点睛】题目主要考查坐标系中点的特点，确定坐标系等，理解题意，确定坐标系中点的坐标变化规律是解题关键． 29．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、…，顶点依次用、、、、…表示． (1)请直接写出、、、的坐标； (2)根据规律，求出的坐标； 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由题意可求中心在坐标原点，边长为4的正方形的四个顶点的坐标； （2）由知在第二象限，根据题中图形规律进而可得的坐标． 【详解】（1）解：∵，分别在第三、第二、第一、第四象限 ∴由题意可得的坐标分别为，，， ∴，，，． （2）解：∵ ∴与，在同一象限，即都在第二象限 ∵，， ∴根据题中图形规律可得． 【点睛】本题考查了正方形下点坐标规律的探究．解题的关键在于掌握各象限点坐标的特征． 30．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与x轴负半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴负半轴的交点依次记作，，…，，发现其中包含了一定的数学规律． 请根据你发现的规律完成下列题目： （1）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________． （2）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________． （3）请求出四边形的面积． 【答案】（1），，，；（2），，，；（3）684. 【分析】（1）根据点的坐标规律即可写出. （2）根据点的坐标规律即可写出. （3）四边形的面积为计算即可. 【详解】由题意得: 的横坐标为，纵坐标为0，得出 的横坐标为0，纵坐标为，得出 的横坐标为 ，纵坐标为0，得出 的横坐标为0，纵坐标为，得出 故答案为：，，， （2）根据上式得出的规律，直接即可写出，，， 故答案为：，，， （3）∵，，，， ∴四边形的面积为 【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是根据图形得出点的坐标的规律进行分析. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$