专题06 平面直角坐标系动点问题（共30道）-【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题06 平面直角坐标系动点问题 1．已知在平面直角坐标系中，，，且、满足，连接、，交轴于点，． (1)求点A、的坐标； (2)动点从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线运动，运动的时间为，连接，设的面积为，请用含的式子表示．（不要求写出的取值范围） (3)在（2）的条件下，在点运动的同时，点从点A出发以每秒3个单位的速度沿向．左运动，点关于轴的对称点为，连接、、，当点在之间时，若，求的值． 2．如图（1），已知在平面直角坐标系中，点满足，轴于点B． (1)分别求点A，B的坐标； (2)如图（2），P是线段所在直线上一动点，连接，平分，交直线于点，作，请探究点在直线上运动时，与的数量关系，并证明． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)填空：直接写出坐标：点，点； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，点运动至点时，点即停止运动，点继续运动至点时点即停止，设运动时间为秒． ①求时间为多少时，轴？ ②填空：当____________秒时，以点为顶点围成的四边形面积等于四边形面积的． 4．如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． (1)点C的坐标______； (2)如图2，过点C作轴于点D，在x轴正半轴有一点，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点P，使得的面积为，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)求点C的坐标； (2)P，Q为两动点，P，Q同时出发，其中P从C出发，在线段上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达O点P停止运动；Q从B点出发以1个单位长度每秒的速度沿着线段向O点运动，到O点Q停止．设运动时间为t秒，当点P在线段上运动时，t取何值，P，Q，C三点构成的三角形面积为1？ 6．如图（1）：在平面直角坐标系中，点，点，点，且a与c满足条件                      ；        (1)求a，c的值以及点A，C的坐标． (2)求的面积． (3)如图（2）：在y轴上是否存在一点P，使的面积等于面积的2倍．若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (4)点为x轴上的一个动点，当_______时，线段的长最小． (5)线段轴，直接写出D点坐标 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，点B的坐标为． (1)请直接写出点A、C的坐标：A（ ），C（ ）； (2)把向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，且点A，B，C对应点分别是，，，画出平移后的；若线段上有一点经过上述平移后的对应点为，则的坐标为（ ）； (3)若点P为y轴上一动点，且，则符合条件的点P的坐标为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（______），点D（______）； (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，点N的运动时间为t秒． ①若两点同时出发，当t取何值时，轴？ ②连接，当t取何值时，三角形的面积为？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为，连接，． (1)直接写出点D的坐标； (2)点P为x轴上的一点，若三角形的面积等于四边形的面积，求点P的坐标； (3)若M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，则几秒后轴？ 10．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点为，，，且满足，线段交y轴于点D．点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，过点E作，分别作，的平分线交于点G．试问在点E的运动过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数； (3)在y轴上是否存在这样的点E，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，沿路线向点运动；动点从点出发，沿路线向点运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．连接，其中不垂直于轴．    (1)直接写出两点的坐标； (2)点开始运动后，，，三者之间存在何种数量关系，请说明理由； (3)若动点分别以每秒和每秒的速度运动，则运动时间为多少秒时，三角形的面积为． 12．如图1，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，其中满足，点在线段上． (1)求，两点的坐标； (2)将平移到，点对应点，点对应点，若，求，，的值； (3)如图2，若点，也在坐标轴上，为线段上一动点（不包含点，点），连接，平分，，试探究与的数量关系． 13．在平面直角坐标系中，，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一动点，连接交y轴于点D，过点B作交y轴于C点． (1)填空： ， ． (2)如图，若分别平分，在点P的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； (3)①若点P的纵坐标为，点Q在y轴上，且的面积和的面积相等，请求出Q点坐标； ②在点P的运动过程中，是否为定值？请说明理由． 14．如图①，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且，满足关系式：，现同时将点，向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．    (1)______，b=______，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________； (2)连接 ，在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是直线上一个动点连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 15．如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，，，则四边形为平行四边形．    (1)写出点C，D的坐标并求出四边形的面积； (2)在y轴上是否存在一点Q，连接，，使的面积等于四边形的面积的一半？若存在这样的点，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，点P是线段上一个动点，连接，，当点P在线段上运动时，试探究与，的数量关系，并证明你的结论． 16．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时(不与，重合)，请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，其中a，b满足. (1)填空：　　，　　； (2)若在第三象限内有一点M，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于C，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，且实数a、b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点C的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在这样的t，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分，点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究之间的数量关系，并证明你的结论． 19．如图1，在平面直角坐标系中，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，，，且轴，其中满足关系式：．    (1)______，______． (2)如图2，若，点线段上一点，连接，延长交于点，当时，求证：平分． (3)如图3，若，点是点与点之间一动点，连接，始终平分，当点在点与点之间运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 20．已知，点，轴，垂足为H，将线段平移至线段，点，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． (1)①直接写出A、B、C三点的坐标A( )、B( )、C( )； ②直接写出三角形的面积 ． (2)如图1，若点在线段上，证明：． (3)如图2，连接，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，若经过t秒，三角形与三角形的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． 【知识应用】 （1）请直接写出坐标：C（______，______），D（______，______）． 【猜想验证】 （2）M，N分别是线段上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，猜想：能否平行于x轴？若能，请求出几秒后轴．若不存在，请说明理由． 【拓展探究】 （3）点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请求出与，的数量关系． 22．如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且，满足．现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)求点，，，的坐标． (2)若是线段上的一个动点，是线段上的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与点，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴向上运动，设运动时间为 ．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点的横坐标m与纵坐标n满足，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且，连接，线段与y轴相交于点F，的面积为32． (1)求点A和点E的坐标； (2)将线段向右平移n个单位长度，得到线段，在线段上有一点G，连接，如果的面积为56，求的长； (3)在（2）的条件下，动点P从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线轴负半轴，方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段，向终点B匀速运动，已知两个点同时出发，一个点停止运动，同时另一个点也停止运动，如果的面积是的面积的6倍，求出t值及点P的坐标． 25．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K． (1)点A的坐标________，点B的坐标________． (2)点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． (3)连接，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)的值为 ； (2)若动点从坐标原点出发，以每秒个单位长度的速度在坐标轴上运动，当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，点的运动时间的值为 ； (3)如图，过点作轴，交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时， ． 27．如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若是轴上的一个动点，当三角形的而积恰好等于三角形面积的两倍时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于14，直接写出点的坐标． 28．如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．点是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：______，______； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点使的面积等于20，若存在，请求出点坐标．若不存在，请说明理由． 29．平面直角坐标系中，点C、D在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，，，，且 (1)求B、C、D三点的坐标； (2)若点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的，求点P坐标； (3)过点B作轴，已知平分，点E是x轴上的一个动点（不与点C，D重合），平分交直线于点F，过点F作交直线于点G． ①如图2，当点E在点D的左侧，且时，求的值； ②直接写出和之间的数量关系． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点是线段上一动点，若直线把的面积分成∶的两部分，请求点的坐标； (3)直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求点坐标． (4)在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标（直接写结果）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)填空：直接写出坐标：点，点； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，点运动至点时，点即停止运动，点继续运动至点时点即停止，设运动时间为秒． ①求时间为多少时，轴？ ②填空：当____________秒时，以点为顶点围成的四边形面积等于四边形面积的． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型， （1）利用平移变换的性质求解； （2）①设秒后轴，构建方程求解； ②算出，列方程解答即可； 【详解】（1）∵点的坐标分别为．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得， 故答案为：； （2）①设秒后轴， ， 解得， ∴时，轴； ②， ， ， 解得：． 4．如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． (1)点C的坐标______； (2)如图2，过点C作轴于点D，在x轴正半轴有一点，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点P，使得的面积为，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积； （1）由点的平移即可求解； （2）由即可求解； （3）①当在的上方时，将补成直角梯形，设，由即可求解；②当在轴上方，的下方时，由可判断此情况不存在；③当在的下方时，将补成直角梯形，同理①即可求解； 掌握“割补法”求面积，能根据动点的位置进行分类讨论，并将面积转化为是解题的关键． 【详解】（1）解：由平移得：； （2）解：如图， 轴， ， ， ∵，轴， ； 故的面积为； （3）解：①当在的上方时， 如图，将补成直角梯形， 设， ，，，，， ， 的面积为， ， 解得：， ； ②当在轴上方，的下方时， 因为 但是 此种情况不存在； ③当在的下方时， 如图，将补成直角梯形， 设， ，，，，， ， 的面积为， ， 解得：， ； 综上所述：点P的坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)求点C的坐标； (2)P，Q为两动点，P，Q同时出发，其中P从C出发，在线段上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达O点P停止运动；Q从B点出发以1个单位长度每秒的速度沿着线段向O点运动，到O点Q停止．设运动时间为t秒，当点P在线段上运动时，t取何值，P，Q，C三点构成的三角形面积为1？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标和线段长度间的关系，算术平方根的意义等知识，解决问题的关键是转化面积相等的条件． （1）由平方和算术平方根非负性，求得的值，进而求得点坐标； （2）由三角形面积公式，求得的长，分为当点在的左边和点在的右侧两种情形，进一步求得结果 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）由得，， ， 当时，， 当时，， 综上所述：或． 6．如图（1）：在平面直角坐标系中，点，点，点，且a与c满足条件                      ；        (1)求a，c的值以及点A，C的坐标． (2)求的面积． (3)如图（2）：在y轴上是否存在一点P，使的面积等于面积的2倍．若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (4)点为x轴上的一个动点，当_______时，线段的长最小． (5)线段轴，直接写出D点坐标 ． 【答案】(1)， (2)22 (3)或 (4)4 (5)或 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用非负性求出的值，进而写出点A，C的坐标即可； （2）直接利用面积公式进行求解即可； （3）设，列出方程进行求解即可； （4）根据垂线段最短，进行求解即可； （5）根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∴； （2）∵，； ∴， ∴的面积； （3）设， 由题意，得：，即：， ∴， ∴， ∴或． （4）∵点为x轴上的一个动点， ∴轴时，线段的长最小， ∵， ∴； 故答案为：4； （5）∵，， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，点B的坐标为． (1)请直接写出点A、C的坐标：A（ ），C（ ）； (2)把向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，且点A，B，C对应点分别是，，，画出平移后的；若线段上有一点经过上述平移后的对应点为，则的坐标为（ ）； (3)若点P为y轴上一动点，且，则符合条件的点P的坐标为 ． 【答案】(1)； (2)画图见解析， (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形： （1）根据坐标系中点的位置写出对应点坐标即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可，同理求出的坐标即可 ； （3）先利用割补法求出，进而得到，据此求解即可． 【详解】（1）解；由题意得，点A的坐标为，点C的坐标为， 故答案为：；； （2）解：如图所示，即为所求； ∵把向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，点平移后的对应点为， ∴的坐标为； （3）解：，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（______），点D（______）； (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，点N的运动时间为t秒． ①若两点同时出发，当t取何值时，轴？ ②连接，当t取何值时，三角形的面积为？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)； (2)①秒后，轴；②t为2秒或6秒时，三角形的面积为 (3)当点P在线段上时，；当点P在的延长线上时，；当点P在的延长线上时， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行线的性质，平移的性质，一元一次方程的应用． （1）利用平移的性质求解即可； （2）①设t秒后轴，根据轴，得到点M与点N的纵坐标相同，据此构建方程求解即可；②由题意得：，根据列方程求解即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在线段上时，②如图2中，当点P在的延长线上时，③如图3中，当点P在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， 故答案为：；； （2）解：①设t秒后轴， ∵轴， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴秒后，轴； ②如图所示： 由题意得：， ， ， ，即， ， 或， t为2秒或6秒时，三角形的面积为； （3）解：①如图1中，当点P在线段上时， 作交于点E， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ②如图2中，当点P在的延长线上时， 作， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ③如图3中，当点P在的延长线上时，． 作， 同②可证． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为，连接，． (1)直接写出点D的坐标； (2)点P为x轴上的一点，若三角形的面积等于四边形的面积，求点P的坐标； (3)若M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，则几秒后轴？ 【答案】(1) (2)或 (3)秒时轴 【分析】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，熟练的构建方程求解是解本题的关键； （1）由A到C确定平移方式，再根据平移方式可得D的坐标； （2）如图，记与轴的交点为E，则，可得，结合，，设，再利用面积公式建立方程求解即可． （3）设秒后轴，再利用M，N的纵坐标相等，构建方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，．将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为， ∴，即； （2）如图，记与轴的交点为E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：或， ∴或； （3）设秒后轴，则有， 解得， 时，轴； 10．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点为，，，且满足，线段交y轴于点D．点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，过点E作，分别作，的平分线交于点G．试问在点E的运动过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数； (3)在y轴上是否存在这样的点E，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)的度数不变化， (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题考查的是平行线的性质、三角形的面积计算、非负数的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键 （1）根据非负数的性质分别求出a、b、c，得到点A、B、C的坐标； （2）过点G作，根据平行线的性质得到，，根据直角三角形的性质，结合角平分线的定义计算，得到答案； （3）分两种情况①当点E在x轴下方时；②当点E在线段OP上时，分别设出点E的坐标，表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可 【详解】（1）解：由题意可知：，，， ∴，，， 解得：，，． ∴，，； （2）的度数不变化，理由如下： 如图：过点G作， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， 同理， 又∵分别是，的平分线， ∴， 的度数不变化，； （3）存在． ①当点E在x轴下方时：如图，过点E作轴，过点P作轴，过点A作轴， 设点，因为，，， 所以，． ， ∴，即，得：，则． 因为点E在x轴下方， ∴． ②当点E在线段OP上时：如图，过点P经过C，作轴，过点A作轴， 设点， ， ， ∴，即，得：，则． ∴． 若点E在点P上方的y轴上时，不存在这样的点． 综上所述，点E的坐标为：或． 11．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，沿路线向点运动；动点从点出发，沿路线向点运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．连接，其中不垂直于轴．    (1)直接写出两点的坐标； (2)点开始运动后，，，三者之间存在何种数量关系，请说明理由； (3)若动点分别以每秒和每秒的速度运动，则运动时间为多少秒时，三角形的面积为． 【答案】(1)，； (2)或，理由见解析； (3)秒或秒． 【分析】（）根据题意即可求解； （）分四种情况：当点在上，在上时；当点在上，在上时；当点在上，在上时；当点在上，在上时；进行解答即可求解； （）分两种情况： 时，点在上，在上；时，点在上，在上；进行解答即可求解； 本题考查了坐标与图形性质、平行线的性质、三角形面积、梯形面积、一元一次方程的几何应用，熟练掌握平行线的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵轴，轴，且，，， ∴，，， ∴； （2）解：或，理由如下： 分四情况讨论：当点在上，在上时，如图所示，    ∵轴， ∴， ∴； 当点在上，在上时，如图所示，    过作，则， ∴， ∴； 当点在上，在上时，如图所示，    过作，则，， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴； 当点在上，在上时，如图所示，    ∵轴， ∴，， ∴， ∴ ， ， ， ∴， 综上所述，三者数量关系为：或； （3）解：设点的运动时间为秒，分两种情况： 时，点在上，在上，如图所示，    则， 由题意得，的面积， 解得； 时，点在上，在上， 过作的平行线交的延长线于，如图所示，    则，， ∵，， ∴， ∴， ∵的面积梯形的面积的面积的面积， ∴， 解得； 综上所述，运动时间为秒或秒时，三角形的面积为． 12．如图1，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，其中满足，点在线段上． (1)求，两点的坐标； (2)将平移到，点对应点，点对应点，若，求，，的值； (3)如图2，若点，也在坐标轴上，为线段上一动点（不包含点，点），连接，平分，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【分析】（1）利用非负数的性质解得的值，即可获得答案； （2）分别过点，作轴，轴的垂线交于点，过点作于，易得，，，，，利用面积法解得的值，即可确定，进而可得点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点，然后确定，的值即可； （3）过点作，交于点，过点作，交轴于点，证明，，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴，， 解得，， ∴，； （2）如下图，分别过点，作轴，轴的垂线交于点，过点作于， ∵，，， ∴，，，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点， ∵点在线段上，其对应点为， ∴，； （3），理由如下： 如下图，过点作，交于点，过点作，交轴于点， 设，， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平面直角坐标系中点的平移、平行线的性质、三角形外角的定义和性质、平面直角坐标系中点的平移等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 13．在平面直角坐标系中，，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一动点，连接交y轴于点D，过点B作交y轴于C点． (1)填空： ， ． (2)如图，若分别平分，在点P的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； (3)①若点P的纵坐标为，点Q在y轴上，且的面积和的面积相等，请求出Q点坐标； ②在点P的运动过程中，是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)，2 (2)的度数不变， (3)①Q点的坐标为或；②在点P的运动过程中，是定值，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由非负数的性质可得出答案； （2）过点E作，则，由平行线的性质及角平分线的定义可得出答案； （3）①由题意可得，得出，由，得出，求得，从而得出，再根据面积法得出，最后得出答案； ②由可得，再得出，故，由此得出，最后可得结果． 【详解】（1） ，， ，； 故答案为：，2； （2）的度数不变，， 理由： 过点E作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）①如图， ∵点P的纵坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴Q点的坐标为或； ②在点P的运动过程中，是定值， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ， 14．如图①，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且，满足关系式：，现同时将点，向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．    (1)______，b=______，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________； (2)连接 ，在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是直线上一个动点连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)，2，， (2)存在，或， (3)见解析 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的意义得没从而得出，的值，根据平移的性质，进一步得出结果； （2）根据，得出，结合，得出，进一步得出结果； （3）分为：当点在上时，可延长，交轴于，可推出，，从而；当点在的延长线上时，设交于，可推出，，从而得出；当点在的延长线时，设交于，可推出，，从而． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ，， ，，， ，， 故答案为：，2，，； （2）由题意得， ， ， ， ， ， ，， ，或； （3）如图，    当点在上时，延长，交轴于， ， 由平移可得， ， ， 如图2，    当点在的延长线上时，设交于， ， ， ， ， 如图3，    当点在的延长线时，设交于， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的意义，平行线的性质，平面直角坐标系点的坐标平移的特征等知识，解决问题的关键是分类讨论． 15．如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，，，则四边形为平行四边形．    (1)写出点C，D的坐标并求出四边形的面积； (2)在y轴上是否存在一点Q，连接，，使的面积等于四边形的面积的一半？若存在这样的点，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，点P是线段上一个动点，连接，，当点P在线段上运动时，试探究与，的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)8 (2)存在，或 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据点的平移规律得到点和点坐标，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积． （2）设点坐标为，根据三角形面积公式得到，解得，然后写出点坐标． （3）结论：．过点作．利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：由题意，点的坐标为，点坐标为， ∵为平行四边形， 四边形的面积． （2）存在．设点坐标为， ， ，解得， 点坐标为或． （3）结论：． 理由：过点作．   ， ， ，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，也考查了平移的性质和平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时(不与，重合)，请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查非负数的性质、都不行内角和定理，平行线的性质，坐标与图形， （1）根据绝对值以及偶次幂的非负性求得的值，进而求得的坐标； （2）根据平移可得，过点作,根据，得出，进而即可求解； （3）根据题意求出的面积，分点在轴上、点在轴上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解： ， ，， 解得，，， 则点，的坐标分别为，； （2）， 理由如下： 如图所示，过点作, 根据平移可知， ∴ ； （3）由题意得，点的坐标为，点的坐标为， 则的面积 ， 当点在轴上时，设点的坐标为， 则， 由题意得， ， 解得，或， 综上所述，三角形的面积与三角形的面积相等时，点的坐标为或 17．如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，其中a，b满足. (1)填空：　　，　　； (2)若在第三象限内有一点M，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于C，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，3 (2) (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）求出和边上的高，进而求解； （3）先根据（2）的结论求出，，设点，然后根据列出方程求解即可． 【详解】（1）∵a，b满足， ∴， ∴； 故答案为：，3； （2）∵， ∴， 作轴于点N，如图， ∵点M在第三象限内， ∴， ∴； （3）当时，， 则， 设点，则， ∴ ， ∴，即； 解得：或； ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形，正确得出相应点的坐标、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，且实数a、b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点C的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在这样的t，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分，点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)存在时，使得的面积是的面积2倍 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论； （2）先表示出，利用三角形面积，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，进而判断出，即可判断出，同理，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， 由运动知，， ∴， ∵， ∴，， ∵的面积是的面积2倍， ∴， ∴， ∴存在时，使得的面积是的面积2倍； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵y轴平分， ∴， ∴， ∴， 如图，过点H作交x轴于F， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 19．如图1，在平面直角坐标系中，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，，，且轴，其中满足关系式：．    (1)______，______． (2)如图2，若，点线段上一点，连接，延长交于点，当时，求证：平分． (3)如图3，若，点是点与点之间一动点，连接，始终平分，当点在点与点之间运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)不变，2 【分析】（1），根据非负数的性质得知，，据此求得、； （2）根据等角的余角相等解答即可； （3）首先证明，推出，再证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，   ， ，， 点，， 故答案为：，． （2）证明：如图2中，   ，， ， 又， ， 平分． （3）如图3中，结论：定值．    理由：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键． 20．已知，点，轴，垂足为H，将线段平移至线段，点，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． (1)①直接写出A、B、C三点的坐标A( )、B( )、C( )； ②直接写出三角形的面积 ． (2)如图1，若点在线段上，证明：． (3)如图2，连接，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，若经过t秒，三角形与三角形的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 【答案】(1)①1，4；3，0；2，；②3 (2)见解析 (3)时，；时， 【分析】（1）①利用非负数的性质求出，的值，可得结论．②利用三角形面积公式求解即可． （2）连接，根据的面积的面积的面积，构建关系式，可得结论． （3）分两种情形：①当点在线段上，②当点在的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论． 【详解】（1）解：① ， 又，， ，， ，， ，， 点A与点对应，点与点对应， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 故答案为：1，4；3，0；2，． ②的面积， 故答案为：3． （2）证明：如图，连接． 的面积的面积的面积， ， ． （3）解：①当点在线段上，， 解得． 此时． 当点在的延长线上时，， 解得， 此时， 综上所述，时，；时，． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． 【知识应用】 （1）请直接写出坐标：C（______，______），D（______，______）． 【猜想验证】 （2）M，N分别是线段上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，猜想：能否平行于x轴？若能，请求出几秒后轴．若不存在，请说明理由． 【拓展探究】 （3）点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请求出与，的数量关系． 【答案】（1），；（2）能平行，时，轴，理由见解析； （3）或或． 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设秒后轴，构建方程求解； （3）分三种情形讨论，分别求解即可． 【详解】解：（1）点A，B的坐标分别为，将线段向下平移1个单位长度，得到，，再向左平移4个单位长度，得到，， ∴，； （2）能平行，理由如下： 设t秒后， 由题意，得， 解得：， 即时，． （3）分以下三种情况讨论： ①如图1，当点P在线段上时， 过点P作，则． ∴，， ； ②如图2，当点P在线段的延长线上时． ∵，      ∴， ∵，且 ∴； ③如图3，当点P在线段的延长线上时． ∵，       ∴， ∵，且， ∴． 22．如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）分类讨论，根据点在点左边或者右边，两种情况，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点在轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段， ， 故答案为：； （2）解：当点在点右边时，如图， ，， ， ， 即； 当点在点左边时，如图， ，， ， ， 即； （3）解：当点在轴正半轴时， ， ， ， ①点在点右边，如图， 可得， 设， 可得方程， 解得， ； ②点在点左边，如图，连接， 可得， 设，则， 可得方程， 解得， ； 当点在轴负半轴时， ③点在点左边，如图， 可得， 设， 可列方程， 解得， ； ④点在点右边，如图，连接， 可得， 设， 可列方程， 解得， ， 综上，点的坐标为，，． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且，满足．现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)求点，，，的坐标． (2)若是线段上的一个动点，是线段上的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与点，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴向上运动，设运动时间为 ．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，从而求得点的坐标，根据平移的性质即可求得的坐标； （2）过点.作直线，根据平行线的性质与判定即可得证； （3）根据题意先求得四边形的面积为28，进而可知点在点下方，结合图形可知，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ，， 线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为， ， （2），理由如下， 如图，过点.作直线， ， 是由平移得到的， ， ， ， （3） ，， ， 四边形的面积为 ， 四边形的面积等于， 点在点下方，如图， 从点出发，以每秒个单位的速度沿着轴向上平移运动，设运动时间为秒 ， ， ， ， 解得， 此时， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，平行线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点的横坐标m与纵坐标n满足，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且，连接，线段与y轴相交于点F，的面积为32． (1)求点A和点E的坐标； (2)将线段向右平移n个单位长度，得到线段，在线段上有一点G，连接，如果的面积为56，求的长； (3)在（2）的条件下，动点P从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线轴负半轴，方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段，向终点B匀速运动，已知两个点同时出发，一个点停止运动，同时另一个点也停止运动，如果的面积是的面积的6倍，求出t值及点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)2； (3)当时，；当时，． 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了图形与坐标，线段的计算，三角形，梯形的面积公式，平移的性质，解本题的关键是掌握三角形的面积的计算方法，是一道比较简单的综合题． （1）先得出，再根据三角形面积得，解得，代入，得出，再结合，即可得出点的坐标； （2）先求出，，，再用三角形的面积公式列方程即可求出， （3）先由运动得出，，进而表示出，，再用面积的差表示出三角形和三角形的面积，进而建立方程求解即可得出点的坐标． 【详解】（1）解∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设长度为b， ∵， ∴， ∵向右平移n个单位长度得到， ∴，， ∴， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， 即长度为2. （3）解：， ， ∵ ， ∴，. ①当P在上，Q在上时， ，， ， ， ∴， 解得，此时； ②当P在上，Q在上时， ，不等式组无解，舍去③ 当P在y轴负半轴上，Q在CG上时， ，， ， ， ， ∴，解得，不在这个范围内，故舍去． ③当P在y轴负半轴上，Q在上时， ，， ， ， ∴，解得， 综上，当时，；时，时的面积是的6倍． 25．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K． (1)点A的坐标________，点B的坐标________． (2)点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． (3)连接，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)当点在上时，，当点在上时，，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据算式平方根的非负性质、偶次方的非负性质分别求出a、b的值，即可得到点A，B的坐标； （2）分点过在上和点在上，两种情况，进行讨论求解即可； （3）先求出的面积，再分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式分别求解即可． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， 解得：， ∴ 点A，B的坐标分别为． （2）当点在上时：．理由如下： 如图2，过P作， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 当点在上时： 作，则， ∴ ∴； （3）由题意得：点C的坐标为，点D的坐标为， 则，当点M在x轴上时，设点M的坐标为， 则，由题意得：， 解得：， 此时点M的坐标为或； 当点M在y轴上时，设点M的坐标为， 则，由题意得：，解得：， 此时点M的坐标为或； 综上所述，在坐标轴上存在点M，使的面积与的面积相等，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了非负性，平行线的判定和性质，平移规律，分类思想，熟练掌握非负性，平行线的判定和性质，平移规律是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)的值为 ； (2)若动点从坐标原点出发，以每秒个单位长度的速度在坐标轴上运动，当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，点的运动时间的值为 ； (3)如图，过点作轴，交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时， ． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（）根据非负数的性质可得，解方程组即可求解； （）由（）可得，求出，得到，分点在轴上运动和点在轴上运动两种情况解答即可求解； （）设，，则，，由，可得，得 ，得到，即可求解； 本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积，一元一次方程的应用，利用非负数的性质求出的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，， 当点在轴上运动时，， ∴， 即， 解得； 当点在轴上运动时，， ∴， 即， 解得； 综上，或， 故答案为：或； （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若是轴上的一个动点，当三角形的而积恰好等于三角形面积的两倍时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于14，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)①；②或 【分析】（1）根据平移的性质可以直接写出点，点的坐标； （2）根据三角形之间的关系可得到，依据此条件可列出关于的等式，，解此等式便可得到点的坐标； （3）①依据，两个动点的运动速度之比为，可得到，，，，由此便可计算三角形之间的关系，最终得到；②由小问①可以直接写出点的坐标． 【详解】（1）∵点，，且将线段平移得到线段， 由于点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， ∴可判断线段先向下平移2个单位，再向右平移8个单位， ∴，； （2）如图所示，连接，设交轴于点， ∵， ∴， ∴，， 由于点在轴上，所以设， ∴， ， ∵， ∴， ∴或， ∴或； （3） ① 理由：由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，， 当点在第二象限时，如图所示： ，，，， ∵， ， ∴， ∵， ， ∴． ②由题意可知，存在两种情况，分别是在第二象限和在第四象限的情况； 当点在第二象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，， 此时，，，， ∵， ， ∴， ∵， ， ∴， 设点， 则可得：，整理得到：， 故设点， ∴， ， ∴， ∵, ∴， ∴, ， ； 解得：， 故点； 当点在第四象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，， 此时，，，， ∵， ， ∴， ∵， ， ∴， 设点， 则可得：，整理得到：， 故设点， ∴， ， ； 解得：， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，熟练的利用数形结合与方程思想解题是关键． 28．如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．点是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：______，______； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点使的面积等于20，若存在，请求出点坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8，6 (2)12 (3)当，或时，的面积等于20． 【分析】本题是坐标与图形及一元一次方程的应用，考查的是坐标与图形、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）假设存在点使的面积等于，在三种情况下求出相应的值，看是否符合的取值范围． 【详解】（1）， ，， 故答案为：8，6； （2）由（1）知，，， 四边形是长方形， ，， 动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动， 当时 点在上，且， ， ， 的面积； （3）存在， ①如图1，当时， ，解得； ， ②如图2，当时， ， ， 解得：； ③如图3，当时， ，解得， ， （应舍去）， 综上所述：当，或时，的面积等于20． 29．平面直角坐标系中，点C、D在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，，，，且 (1)求B、C、D三点的坐标； (2)若点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的，求点P坐标； (3)过点B作轴，已知平分，点E是x轴上的一个动点（不与点C，D重合），平分交直线于点F，过点F作交直线于点G． ①如图2，当点E在点D的左侧，且时，求的值； ②直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或 (3)①②当点E在点D的左侧，； 当点E在点D的左侧， 【分析】（1）根据非负性计算可以写出点的坐标； （2）先求出，设点P坐标为，则得到，解之即可得到点P坐标； （3）①设，则，表示出、，进而求出，解题即可；②分为当点E在点D的左侧和点E在点D的右侧，两种情况讨论解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点C、D在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上， ∴， （2）由（1）可得， ∴， ∴， 设点P坐标为， 则， 即， 解得：或， ∴P坐标为或 （3）①解：∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 又∵轴， ∴， ②解：当点E在点D的左侧，设, ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 又∵轴， ∴， 当点E在点D的右侧，设, ∴， 设，则， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 又∵轴， ∴， 即：； 【点睛】本题考查非负数，三角形的面积，角平分线的定义和平行线的性质，综合性较强，难度较大，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点是线段上一动点，若直线把的面积分成∶的两部分，请求点的坐标； (3)直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求点坐标． (4)在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标（直接写结果）． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或或或 【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，结合点的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）求出，设，分两种情况讨论：①；②时，分别求得的值，进而求得点坐标； （3）设点，则，由题意列出关于的方程，则可得出答案； （4）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由得，， ， 设直线BC的解析式为， ， ， ； （2）， ， ， 设，， ①当时，， ， ， ； ②当时， ， ， ； 综上，点或； （3）设，则， ， ， ， ， 或； （4）若是等腰三角形，可分三种情况： ①当时， ， ， ； ②当时， ； ， ， 或； ③当时， 设，则， 在中， ， ， ； 综上所述，点或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法、勾股定理、三角形的面积、等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$