专题05 实数探究规律（共30道）-【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题05 实数探究规律 1．按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（    ） A． B． C． D． 2．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 3．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 4．观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 5．已知按照一定规律排成的一列实数：则按此规律可推得这一列数中的第729个数应是（    ） A． B． C．27 D．9 6．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 7．观察下列等式：，试利用上述规律判断算式结果的末位数字是（　　） A．0 B．1 C．3 D．7 8．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ） A． B． C． D． 9．观察下列各式：，，，……，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为 ． 12．观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 13．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 14．已知，，，，…，． 定义：，， ，…，按此规律类推， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝ ． 15．观察下列各式： ； ； ； …… 请利用你发现的规律，计算，其结果为 . 16．下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 ． 17．小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则 . 18．观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数） 19．观察下列各等式及验证过程： ，验证； ，验证； ，验证． 针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． 20．观察下列各式：（1）；（2）；（3）；…，根据上述规律，则 ． 三、解答题 21．阅读下列解题过程： …… (1)计算： (2)按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； (3)计算： 22．计算下列各式，将结果填在横线上． ______；______；______； ______；______；______． 你发现了什么？__________________． 请根据上述规律完成计算： ______； ______．（n为正整数） 23．（1）观察下列各式： 即 即 （1）按照发现的规律填空： = = = 即= （2）猜想等于什么？ （3）请用含有自然数的式子写出你发现的规律． 24．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 25．【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 26．观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 27．（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①，则 ② 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位； （2）应用：①已知________，________； ②已知，则________； （3）拓展：已知，计算和的值． 28．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______． (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立． (3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 29．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 30．观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算， (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ， (3)计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题05 实数探究规律 1．按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字排列规律探索，二次根式定义，弄清题中的数字规律是解题的关键．第个式子的前一项是奇数的算术平方根，可表示为，后一项是正整数的立方根，可表示为，由此即得答案． 【详解】根据规律可知，第个式子的前一项为，后一项为，所以第个式子是． 故选A． 2．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根以及数字的变化类．根据这列数据的排列规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，；，，；，，；， 每三个相邻的数为一组， 由于， 2024处在第674组后的第2个数，因此可得， 第2024个数应是． 故选：C． 3．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，得出第行第个数（从左往右算）为；结合第行第个数与第（是整数，且）行从左向右数第个数相差个位置，据此进行列式计算即可．本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前行数据的个数是解决本题的关键． 【详解】解：由图中规律知， 第一行第二个数（从左往右算）为； 第二行第三个数（从左往右算）为； 第三行第四个数（从左往右算）为； 第四行第五个数（从左往右算）为； 以此类推， …… 第行第个数（从左往右算）为； 则 ∴第是整数，且行从左向右数第个数是． 故选：C． 4．观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，发现规律是解题关键． 【详解】解：数据为，，，，，…，， ∴第个数是， 故选：D． 5．已知按照一定规律排成的一列实数：则按此规律可推得这一列数中的第729个数应是（    ） A． B． C．27 D．9 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第729个数． 【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故选D． 6．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 7．观察下列等式：，试利用上述规律判断算式结果的末位数字是（　　） A．0 B．1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】先根据给出的已知条件得到尾数以四次循环，再得到，结合每组尾数的和，从未可得答案． 【详解】解：∵ ∴尾数以四次循环， 而，， ∴的末位数字为0， 故选A． 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，总结出尾数以四次循环是解本题的关键． 8．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可． 【详解】解：，，，，，…可写出： ，，，，，…， ∴第10个数为， 故选：D． 【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律． 9．观察下列各式：，，，……，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据式子的变化规律，求出a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵，，，……， ∴中， ， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，找出式子中数字的变化规律是关键． 10．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案． 【详解】解：由图形可知，第n行最后一个数为， ∴第8行最后一个数为＝6， 则第9行从左至右第5个数是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为． 二、填空题 11．按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，通过观察可知每一个单项式均为关于a的单项式，再分别观察单项式的系数、次数的变化规律即可得到答案． 【详解】解：第1个单项式为a， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， …， 以此类推可知，第n个单项式的系数为，次数为n，字母部分都为a， ∴第n个单项式为， 故答案为：． 12．观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】解：根据题意，第n个等式为 ＝ ∴ ； 故答案为： ． 13．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 【答案】 【分析】此题主要考查实数的规律探索，根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第100个数． 【详解】一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第100个数应是， 故答案为：． 14．已知，，，，…，． 定义：，， ，…，按此规律类推， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝ ． 【答案】 【解析】略 15．观察下列各式： ； ； ； …… 请利用你发现的规律，计算，其结果为 . 【答案】 【分析】根据上述规律拆分每个根号，再正负相消即可得出答案． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是实数的运算，解题关键是根据示例找出规律将式子进行化简． 16．下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 ． 【答案】 【分析】根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推断出相应的数字规律，是解题的关键． 17．小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则 . 【答案】57 【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），令求出a与b的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， 则． 故答案为：57． 【点睛】此题主要考查了数字类规律探索，找出题中的规律：（的正整数）是解本题的关键． 18．观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数） 【答案】（n为不小于2的整数） 【分析】分析被开方数的变换规律即可求得 【详解】解：1、观察4个等式左边根号内分数的特点： ①整数部分与分数部分的分子相等，即2=2，3=3，4=4，5=5， ②整数部分与分数部分的分母有下列关系：， 2、观察四个等式右边的立方根前的倍数正好是等式左边被开方数的整数部分，立方根里的分数正好是左边被开方数的分数部分，所以其中的规律可以表示为（n为不小于2的整数） 故答案为：（n为不小于2的整数）． 【点睛】本题考查了立方根的规律探究，分析被开方数的变换规律是解题关键． 19．观察下列各等式及验证过程： ，验证； ，验证； ，验证． 针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． 【答案】 【分析】归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可． 【详解】解：观察下列各等式及验证过程： ，验证； ，验证； ，验证． ..． 用n（n为正整数）表示的等式为：， 验证等式左边＝， 右边＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键． 20．观察下列各式：（1）；（2）；（3）；…，根据上述规律，则 ． 【答案】155 【分析】根据前面几个算式的值，探究总结出规律，再计算的值． 【详解】解：因为＝5＝1×4+1， ＝11＝2×5+1， ＝19＝3×6+1， …， ∴＝11×14+1＝155． 故答案为：155． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是根据已知算式探究规律，运用探究总结的规律解答． 三、解答题 21．阅读下列解题过程： …… (1)计算： (2)按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：＝， 故答案为：； （3）解：原式 ． 22．计算下列各式，将结果填在横线上． ______；______；______； ______；______；______． 你发现了什么？__________________． 请根据上述规律完成计算： ______； ______．（n为正整数） 【答案】；；；；；；；； 【分析】本题考查数字的变化规律，首先根据已知数据直接计算进行填空即可；利用前面所求得出数字变化规律进而得出发现的规律；最后利用规律解决问题．根据已知数据得出数字中的变与不变是解题关键． 【详解】解：；；； ；；． 发现规律：． ； ． 故答案为：；；；；；；；；． 23．（1）观察下列各式： 即 即 （1）按照发现的规律填空： = = = 即= （2）猜想等于什么？ （3）请用含有自然数的式子写出你发现的规律． 【答案】（1）；；；；（2）；（3） 【分析】本题考查算术平方根的性质和数字的变化规律， （1）根据算术平方根的概念进行计算； （2）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果； （3）根据给出各式的计算过程和结果，总结规律； 掌握算术平方根的概念、从给出的式子中正确找出规律是解题的关键． 【详解】解：（1），即， 故答案为：；；；； （2）猜想：， 理由：，即； （3）规律：． 理由：，即． 24．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查与实数运算相关的规律题，观察出等式的变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式的变化规律解答即可； （2）根据前几个等式的左右式子变化与序号n的关系求解即可； （3）灵活运用（2）中变化规律求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：，； （3）解： ． 25．【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】（1）；； （2）． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题目给出的规律解答； 归纳：根据，则，满足的数量关系为则； （2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值． 【详解】解：（1）， 故答案为：， 归纳：若，则，满足的数量关系为则； 故答案为：； （2）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得， 代入中， 解得，， ∴． 26．观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 27．（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①，则 ② 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位； （2）应用：①已知________，________； ②已知，则________； （3）拓展：已知，计算和的值． 【答案】（1） ①右，1；②左，1；（2）①1.732，17.32 ；②；（3）， ． 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位， 故答案为：右，1； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向左移动1位， 故答案为：左，1； （2）①根据总结的规律可得：，， 故答案为：1.732，17.32； ②根据总结的规律可得：， ， 故答案为：； （3）， ，． 28．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______． (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立． (3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：观察规律可写出类似的等式，如， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （3）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． 29．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 30．观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算， (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ， (3)计算： 【答案】(1)6，27 (2)或 (3) 【分析】（1）利用二次根式的运算法则和算式规律进行计算即可； （2）根据原题的算式写出规律即可； （3）利用（2）中找到的规律化简每个算式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6，27； （2）由题意得到或； （3） ； 【点睛】此题考查了二次根式的运算，读懂题意，熟练应用二次根式的运算法则，找到规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$