专题02 相交线与平行线压轴题探究数量关系和动点求角度（2种类型40道）-【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题02相交线与平行线压轴题探究数量关系和动点求角度 目录 【题型1探究数量关系】 1 【题型2动点求角度】 8 【题型1探究数量关系】 1．直线交、于M、N，P点是直线上一个动点 (1)如图，P点在线段上时，若，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图，P点在射线上时，若时，证明、与的关系． 2．问题情景：如图1，． (1)观察猜想：若，．则的度数为__________． (2)探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． (3)拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． 3．探究题：      图1                      图2                        图3 (1)如图1，若，求证：； (2)若将图1中的点E移至图2的位置，其他条件不变，此时，，之间有什么关系？证明你的结论． (3)在图3中，，，，，，这五个角之间有何关系？直接写出结论，不用证明． 4．如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，． (1)若使的值最小，求t的值； (2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由； (3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由． 5．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线，再将三角板放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形． (1)如图1，若点B在直线m上，，则 = ； (2)如图2，若点B在直线m和n之间， 与 有怎样的关系?写出结论，并给出证明； (3)如图3，若点 B在直线m上方，与 有怎样的关系?写出结论，并给出证明． 6．已知，直线，为、间的一点，连接、． (1)如图①，若，则　　　　　． (2)如图②，若则　　　　　　　． (3)如图③，若，则α，β与之间有何等量关系？请简要说明． 7．如图，直线，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若平分平分的反向延长线与交于点，试探索与的关系，并说明理由； (3)如图，在（）的条件下，若平分，当　　时，． （直接写出结果） 8．如图，射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D． （1）当时，求证：； （2）用含的式子表示为______（直接写出答案）； 操作探究： （3）当点P在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点P运动到使时，求的度数． 9．已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则 ． (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，并说明理由． (3)如图，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数并说明理由． 10．已知，，点E为射线上一点．    (1)如图1，若，，则　　． (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图3，当点E在延长线上时，平分，且，，，求的度数． 11．已知：直线，点A、点C分别在直线、直线上，点B在之间，连接、．    (1)如图1，请写出的关系，并给出证明； (2)如图2，利用（1）中的结论解决问题：若，平分，平分，，求的度数． 12．如图，直线，直线l3与直线、分别交于点C、点D，点A、点B分别是直线、上的点，且在直线的同侧，点P在直线上．    (1)图1，若点P在线段上时，，请说明理由； (2)图2，若点P在的下方时，，，三角有什么关系？请说明理由； (3)图3，若点P在直线的上方时，请直接写出，，三角的关系． 13．如图．平分，平分，判断，是否平行，并说明理由．    (1)条件和结论互换，改成了：“如图，平分，平分，，则．" 小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗？请说明理由． (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图1，，平分，，是与的夹角，是与的夹角， ①若，求的度数； ②试说明：． (3)如图2．若，，平分，请直接写出与的等量关系______． 14．已知中，，将边沿着边所在直线平移得到线段（D与A为对应点且点D不与重合），连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)在整个平移过程中，当时，求的度数； (3)在整个平移过程中，直接写出之间的等量关系． 15．如图1，直线与直线，分别交于点E、F，与互补．    (1)求证：． (2)如图2， 与 的角平分线相交于点P，直线与交于点G，过点G作的垂线，交直线于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，且，作的平分线交直线于点Q．问的关系． 16．已知：如图，直线，直线分别与交于两点，点是直线上一点，点是上一点，连接． (1)点分别在射线上，当时， ①试判断与的位置关系，并说明理由； ②若射线平分，求的度数． (2)点分别在射线，直线上时，请你在备用图中画出满足条件的图形，写出此时与的关系，并说明理由． 17．如图1，已知，，点F在上，射线交于点G，点E为射线上一点． (1)当点E在线段上时，若，，则_________； (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点H，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，，求的度数． 18．如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足．    (1)试说明：； (2)如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 19．如图1，，为之间任意一点． (1)若平分平分．求证：； (2)如图2，若，且的延长线交的角平分线于点的延长线交的角平分线于点，猜想的运算结果并且证明你的结论； (3)如图3，若点是射线之间一动点，平分平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论． 20．已知：，点分别在上，点为之间的一点，连接．    (1)如图1，若，求； (2)如图2，分别为的平分线，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，过点作的垂线交于点，点在上，，的延长线交的延长线于点，若，猜想与的倍数关系并证明． 【题型2动点求角度】 21．如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求：、、之间的数量关系． (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为 ． (3)若、的平分线交于点，且，则 ． 22．综合与探究： 【问题情境】： （1）如图①，，点，，分别在直线，，上，连接，，当点在直线的左侧时，试说明； 【知识运用】： （2）将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．试探究之间的关系，并说明理由； 【综合提升】： （3）如图③，，点，分别在直线，上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数． 23．如图1，直线与直线、分别交于点E、F，平分交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，点是射线上一动点（不与点M、F重合），平分交CD于点于点．当点在点的右侧时，若，求的大小． 24．如图1，已知直线，点C为射线上一动点，过点C作交于点D，点E在线段上，． (1)写出一个与相等的角____________________（写一个即可）； (2)如图2，点F在线段上，，．求的度数； (3)点F是直线上的一点，，，，在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求的度数（结果用表示）． 25．如图，直线 ，A、N为直线上的点，过点A的直线交于点B，C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，D在B的右侧，E在D的右侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，则的度数为__________； (2)如图2，射线为的角平分线． ①用等式表示与之间的数量关系，并给出证明； ②当时，的度数为__________． 26．已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足．    (1)如图1，当时，是线段与直线的夹角，求的大小； (2)过点作平分的直线，若直线，直接写出的大小； 若直线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 27．已知：直线，为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上．，为直线上的两个动点，点在点的左侧，连接，，满足．点在上，且在点的左侧． (1)如图1，若，，直接写出的度数＿＿＿＿； (2)射线为的角平分线． ①如图2，当点在点右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②当点与点不重合，且时，直接写出的度数＿＿＿＿ 28．【问题背景】 如图，射线分别交直线，于点A，E，． 【探索求证】 （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图2，G为射线上一动点，连接，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长交射线于点H，N为线段上一动点．连接，若平分，平分，当时，求的值． 29．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数． 30．如图，，平分，设为，点是射线上的一个动点．    (1)若时，且，求的度数； (2)若点运动到上方，且满足，，求的值； 31．点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图，当点在右侧时，求证：； (2)如图，当点在左侧时，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数是多少． 32．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 解：不变．恒为，理由如下： 33．如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设（为锐角）．    (1)求与的和； (2)当点在直线上运动时，试说明； (3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值． 34．如图，直线，点是，之间的一个动点． (1)如图1，求证； (2)小明把一块三角板如图2放置，点，是三角板的边与平行线的交点． ①若，求的度数； ②如图3，点在线段上，连接，当，求的值． 35．如图①，已知：平分，平分，且． (1)求证：； (2)若射线、分别在、内部，且，如图②，当时，直接写出的值； (3)H是直线上一动点（不与点D重合），平分交直线于点P．设，直接写出的度数（用含x的代数式表示）． 36．如图，已知，点B（与点A不重合）是边上一点，作，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D．    (1)求，的度数； (2)探究：当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； (3)当点P运动到使时，求出的度数． 37．如图，，平分，设为α，点E是射线上的一个动点．    (1)若时，且，求的度数． (2)若点E运动到l1上方，且满足,，求α的值． (3)若，求的度数（用含n和α的代数式表示）． 38．如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，交射线于点C，D． (1)①当时，的度数是________； ②∵，∴________； (2)时，的度数=________（用含x的代数式表示）； (3)当点P运动时，与的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值，若变化，请写出变化规律； (4)当点P运动到使，且时，求的度数． 39．已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数． 40．如图1，已知直线，点C为直线，之间（不在直线上）的一个动点，连接，，平分，平分，和交于点F．      (1)证明：， (2)如图2，连接，则在点C的运动过程中，当满足，时： ①若，请直接写出的度数； ②若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题02相交线与平行线压轴题探究数量关系和动点求角度 目录 【题型1探究数量关系】 1 【题型2动点求角度】 41 【题型1探究数量关系】 1．直线交、于M、N，P点是直线上一个动点 (1)如图，P点在线段上时，若，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图，P点在射线上时，若时，证明、与的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点P作，得到，进而推出，得到，由此得到结论； （2）过点P作，得到，推出,，由此得到结论． 【详解】（1），理由如下： 过点P作 ； （2）， 证明：过点P作， ， 2．问题情景：如图1，． (1)观察猜想：若，．则的度数为__________． (2)探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． (3)拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解题的关键． （1）过点P作，则，根据两直线平行，内错角相等得到，则； （2）同（1）求解即可； （3）过点P作，则，根据平行线的性质得到，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．探究题：      图1                      图2                        图3 (1)如图1，若，求证：； (2)若将图1中的点E移至图2的位置，其他条件不变，此时，，之间有什么关系？证明你的结论． (3)在图3中，，，，，，这五个角之间有何关系？直接写出结论，不用证明． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可知，，再由角之间的关系即可得出结论； （2）过点作，由平行线的性质可知，，再由角之间的关系即可得出结论； （3）过点作，用（1）的结论可知，，再由角之间的关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作，如图1所示．   ， ， ， ， ． （2） 证明如下： 过点作，如图2所示．   ， ， ， ， ， ， ． （3）过点作，如图3所示． 图3，结合（1）结论， ， ，结合（1）结论， ， 又， ． 4．如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，． (1)若使的值最小，求t的值； (2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由； (3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线，构造平行线，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两点之间，线段最短可知，当P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时，的值最小，解答即可； （2）当点P在左侧运动时，点P在上，过点P作，利用平行公理的推论和平行线的性质可得结论； （3）当点P在右侧运动时，根据点P在上和点P在线段的延长线上，过点P作，对这两种情况分别讨论，利用平行公理的推论和平行线的性质可得结论． 【详解】（1）解：由两点之间，线段最短可知，当P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合， 此时最小，, ，， ， ， 秒时，有最小值． （2）解：当点P在左侧运动时，点P在上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ，， ， ， ． （3）解：当点P在右侧运动时， ① 点P在上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ，， ， 又 ， ． ② 点P在线段的延长线上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 综上所述：当点P在右侧运动时， 或． 5．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线，再将三角板放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形． (1)如图1，若点B在直线m上，，则 = ； (2)如图2，若点B在直线m和n之间， 与 有怎样的关系?写出结论，并给出证明； (3)如图3，若点 B在直线m上方，与 有怎样的关系?写出结论，并给出证明． 【答案】(1)60° (2)与的关系：．证明见解析 (3)与的关系：．证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，互余关系，作出平行线利用平行线的性质是解题的关键； （1）由互余可求得，再由平行线的性质即可求得的度数； （2）过点B作，则可得，则有，再由互余关系即可得与 的关系； （3）过点B作，则可得，则有，再由角的关系即可得与 的关系； 【详解】（1）解：如图，∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：与 的关系为； 如图，过点B作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：与 的关系为； 如图，过点B作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 6．已知，直线，为、间的一点，连接、． (1)如图①，若，则　　　　　． (2)如图②，若则　　　　　　　． (3)如图③，若，则α，β与之间有何等量关系？请简要说明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析． 【分析】此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．解此题的关键是准确作出辅助线：作平行线，这是此类题目的常见解法． （1）过点作，由，可得．根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数； （2）过点作，由，可得．根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数； （3）过点作，由，可得．根据两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ． ，， ，， ； （2）解：如图，过点作， ， ． ，， ，， ， ； （3）解：如图，过点作， ， ． ，， ，， ， ． 7．如图，直线，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若平分平分的反向延长线与交于点，试探索与的关系，并说明理由； (3)如图，在（）的条件下，若平分，当　　时，． （直接写出结果） 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）过点作的平行线，根据平行线的性质即可求解； （）利用（）的结论和各角之间的关系即可求证； （）利用（）的结论和各角之间的关系求解即可； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴ ， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 由()可知， ， ∵， ∴， 又平分，平分， ∴，， ∴， 设与交于点， ∵， ， ∴， ∵ ， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：若，则有， ∵平分， ∴， ∴， 由 ()可知，， ∴， 故答案为：． 8．如图，射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D． （1）当时，求证：； （2）用含的式子表示为______（直接写出答案）； 操作探究： （3）当点P在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点P运动到使时，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义； （1）由角平分线的定义得，，从而可得 ，由平行线的性质得，即可得证； （2）解：由（1）同理可得，，代入即可求解； （3）由平行线的性质得，，再由角平分线的定义得 ，即可求解； （4）由平行线的性质得，从而可得，则有，结合角平分线的定义得，由平行线的性质即可求解； 理解角平分线的定义，能灵活应用平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： ，分别平分和， ， ， ， ， ， ； ， ； （2）解：由（1）同理可得 ， ， ； 故答案：； （3）解：，理由如下： ， ， ， 平分， ， ； （4）解：， ， 当时， 有， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则 ． (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，并说明理由． (3)如图，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等，角平分线的定义 （1）过作，根据平行线的性质得到，，即可求得； （2）过作，根据平行线的性质得到，，可得结论； （3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出的值再通过三角形内角和求； 正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过作， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）． 理由如下： 过作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）过作，过作，设交于点， ∵，，， 设，则， ∴， ∵，点在延长线上， ∴， ∴， ∵，点在延长线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的度数为． 10．已知，，点E为射线上一点．    (1)如图1，若，，则　　． (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图3，当点E在延长线上时，平分，且，，，求的度数． 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过作，根据平行线的性质得到，，即可求得； （2）过过作，根据平行线的性质得到，，即； （3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出的值再通过三角形内角和求． 【详解】（1）解：过作，   ， ， ，， ． （2）解：． 理由如下： 过作，   ， ， ，， ，， ． （3）解：， 设，则， ，， 又，， ， 平分， ， ， ， 即，解得， ， ． 11．已知：直线，点A、点C分别在直线、直线上，点B在之间，连接、．    (1)如图1，请写出的关系，并给出证明； (2)如图2，利用（1）中的结论解决问题：若，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）过点B作，得到，得到，推出； （2）根据角平分线平分角，得到，由（1）可得：，利用，进行求解即可． 【详解】（1） 证明：过点B作，    ， ， ， ； （2）平分，CE平分， ， ， ， 由（1）可知：， ； 所以，的度数为． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分有关的计算．解题的关键是添加辅助线，构造平行线． 12．如图，直线，直线l3与直线、分别交于点C、点D，点A、点B分别是直线、上的点，且在直线的同侧，点P在直线上．    (1)图1，若点P在线段上时，，请说明理由； (2)图2，若点P在的下方时，，，三角有什么关系？请说明理由； (3)图3，若点P在直线的上方时，请直接写出，，三角的关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质得，，再根据证得结论； （2）仿照（1）的过程求解即可； （3）仿照（1）的过程求解即可． 【详解】（1）过点P作    ∴   又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2），理由：    过点P作 ∴ 又∵ ∴ ∴      ∵ ∴ （3），理由：      过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． 13．如图．平分，平分，判断，是否平行，并说明理由．    (1)条件和结论互换，改成了：“如图，平分，平分，，则．" 小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗？请说明理由． (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图1，，平分，，是与的夹角，是与的夹角， ①若，求的度数； ②试说明：． (3)如图2．若，，平分，请直接写出与的等量关系______． 【答案】(1)，证明见解析；赞同，理由见解析； (2)①，②证明见解析； (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义得到的，结合，可得，由此证明；若条件和结论互换，根据两直线平行，同旁内角互补可得，根据角平分线的定义得到的，即可证明； （2）① 先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可；② 由，得到，再根据平分得到，结合，即可得证； （3）由，得到，再根据平分得到，结合，即可得证； 【详解】（1） 平分，平分，， ， ． 赞同他的说法，理由如下： ， ， 平分，平分， ， （2）①　， ， ，， ， ， ， ， 平分， ． ②　， ， 平分， ， ， ， ， ． （3）， ， 平分， ， ， ， ． 14．已知中，，将边沿着边所在直线平移得到线段（D与A为对应点且点D不与重合），连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)在整个平移过程中，当时，求的度数； (3)在整个平移过程中，直接写出之间的等量关系． 【答案】(1) (2)或 (3)当平移到点A上方时，；当平移到点A和C之间时，；当平移到点C下方时， 【分析】本题考查平行线的性质，平移的性质 （1）作，由平移得，可得，由，即可求得； （2）当平移到点A和C之间时，当平移到点A上方时，两种情况进行讨论即可； （3）由（1）（2）可以得到当平移到点A上方时，当平移到点A和C之间时，当平移到点C下方时，三种情况进行讨论. 【详解】（1）解：如图，作，由平移得， ∴ ∴ 又∵ ∴，即， ∴                  ∴ （2）由（1）可知，当平移到点C下方时，，不存在； ①当平移到点A和C之间时，     如图，作，由题意， 设，则 ∵且 ∴     又∵ ∴ ∴      ∴x=，=       ②当平移到点A上方时， 如图，作，由题意， 设，则 ∵且 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，∠E的度数为 （3）解：由（2）得： 当平移到点A上方时，；    当平移到点A和C之间时，； 由（1）得：当平移到点C下方时， 15．如图1，直线与直线，分别交于点E、F，与互补．    (1)求证：． (2)如图2， 与 的角平分线相交于点P，直线与交于点G，过点G作的垂线，交直线于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，且，作的平分线交直线于点Q．问的关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线，补角的性质，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义，平行线的判定与性质． （1）根据补角性质得出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补，再根据与的角平分线交于点，可得，进而证明； （3）由（2）知：，得，再由角平分线性质得，再由，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴； （2）证明：由（1）知， ， 与的角平分线交于点， ， ， ， ∴， ∴， ； （3）解：，理由如下： 由（2）知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．已知：如图，直线，直线分别与交于两点，点是直线上一点，点是上一点，连接． (1)点分别在射线上，当时， ①试判断与的位置关系，并说明理由； ②若射线平分，求的度数． (2)点分别在射线，直线上时，请你在备用图中画出满足条件的图形，写出此时与的关系，并说明理由． 【答案】(1)①，见解析；② (2)，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义； （1）①根据平行线的性质可得，进而根据得出，即可得证； ②根据图形可得，根据角平分线的定义，可得，根据即可求解； （2）根据题意画出图形，进而根据得出，；即． 【详解】（1）解：①，理由如下： ， ， ， ，即， ； ②由已知，和， 可知， 射线平分， ， ． 答：的度数是； （2）当在射线上时，如图： ， ， ， ， ； ， 17．如图1，已知，，点F在上，射线交于点G，点E为射线上一点． (1)当点E在线段上时，若，，则_________； (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点H，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角计算求解． （1）过点E作，则，即可得到，，然后解题即可； （2）过点E作，则，即可得到，，然后解题即可； （3）设，则，，则，，根据列方程求出的值，即可得出的度数． 【详解】（1）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由为： 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， （3）∵， ∴设，则，， ∵，， ∴由（2）结论知，，， ∵平分， ∴，即， 解得：， ∴， 在中， ． 18．如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足．    (1)试说明：； (2)如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据内角和定理可知，根据，可得，从而证得； （2）作，设，则，，，根据平行线的性质可得，进而得出； （3）设，根据，表示出，，，求的值即可． 【详解】（1）解：（1）如图，连接，   ， ， ， ， ； （2）， 理由如下： 作，如图，    设，则． ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 即； （3），理由如下： 作，如图，    设， ， ， ， ． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式． 19．如图1，，为之间任意一点． (1)若平分平分．求证：； (2)如图2，若，且的延长线交的角平分线于点的延长线交的角平分线于点，猜想的运算结果并且证明你的结论； (3)如图3，若点是射线之间一动点，平分平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可求解，进而证明结论； （）分别过,作，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的性质和，即可求解； （）根据垂线的定义可求得，再根据角平分线的定义可求解； 本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分,平分， ∴，， ∴，即； （2）如图，分别过,作，， ∵， ∴， ∴， ， ，， ∴，， 同理：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴， （3），理由： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 20．已知：，点分别在上，点为之间的一点，连接．    (1)如图1，若，求； (2)如图2，分别为的平分线，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，过点作的垂线交于点，点在上，，的延长线交的延长线于点，若，猜想与的倍数关系并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）过作，根据平行线的性质以及角的和差关系进行推导即可； （2）利用分别为的平分线，推出，，再根据（1）中的结论进行计算即可； （3）根据角之间的关系求出，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过作， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图2，   ， 分别为的角平分线， ∴， , 同理可得：， 由（1）得：，， ； （3）解：猜想：， 理由如下： 如图3，   ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等，以及角平分线的性质是解题的关键． 【题型2动点求角度】 21．如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求：、、之间的数量关系． (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为 ． (3)若、的平分线交于点，且，则 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等，同旁内角互补；作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． （1）点作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （2）点作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （3）在（1）（2）的基础上作出图形，根据邻补角得、的和，结合角平分线得到两半角之和，根据（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作直线，如图， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：， 理由如下：过点作直线，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：①当点在线左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； ②当点在线右侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 22．综合与探究： 【问题情境】： （1）如图①，，点，，分别在直线，，上，连接，，当点在直线的左侧时，试说明； 【知识运用】： （2）将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．试探究之间的关系，并说明理由； 【综合提升】： （3）如图③，，点，分别在直线，上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数． 【答案】（）见解析；（），理由见解析；（）或 【分析】本题主要考查的平行线的性质； （1）根据平行线的性质得出，，根据，等量代换，即可得出结论； （2）根据平行线的性质可得，，根据，等量代换，即可得出结论； （3）结合（1）（2）的结论，分点在的左右两侧，分别求解即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； （2）解：． 理由如下： ， ， ， ， ， ． （3）解：由（1）可得，当点在的左侧时，； 由（2）可得，当点在的右侧时，， ． 综上所述：的值为或 23．如图1，直线与直线、分别交于点E、F，平分交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，点是射线上一动点（不与点M、F重合），平分交CD于点于点．当点在点的右侧时，若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线利用平行线的性质计算是解题的关键． （1）根据角的平分线得到，进而；利用等量代换得到，然后根据平行线的判定得到结论； （2）现根据平行线的性质得到，然后利用角平分线的定义得到，过点作，然后利用平行线的性质解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）如图2, ∴ , 又∵平分，平分， ， ， 又∵ ， ， 过点作， ， ． 24．如图1，已知直线，点C为射线上一动点，过点C作交于点D，点E在线段上，． (1)写出一个与相等的角____________________（写一个即可）； (2)如图2，点F在线段上，，．求的度数； (3)点F是直线上的一点，，，，在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求的度数（结果用表示）． 【答案】(1)（或） (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． （1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角； （2）根据，可得，再根据，即可得到； （3）分两种情况讨论：当点F在线段上；点F在延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或． 【详解】（1）解：与相等的角为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为， 故答案为：（或）； （2）解：，， ， 又， ， ； （3）解：有两种情况： 如图，点F在线段上， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 如图，点F在延长线上， ， ，， ， 又， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 25．如图，直线 ，A、N为直线上的点，过点A的直线交于点B，C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，D在B的右侧，E在D的右侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，则的度数为__________； (2)如图2，射线为的角平分线． ①用等式表示与之间的数量关系，并给出证明； ②当时，的度数为__________． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，，再利用角的等量代换换算即可； （2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分“当点在点右侧时”、“当点在点左侧，点在点右侧时”、“当点和点在点左侧时”，三种情况分类讨论，运用角的等量代换换算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①． 证明如下：如图，设在上有一点在点的右侧，设，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当点在点右侧时， 由①得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴； 如图，当点在点左侧，点在点右侧时， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当点和点在点左侧时，设在上有一点在点的右侧， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 26．已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足．    (1)如图1，当时，是线段与直线的夹角，求的大小； (2)过点作平分的直线，若直线，直接写出的大小； 若直线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)当直线时，的大小为或；当时，的大小为或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）过作，由平行的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解； （2）直线时，①当在的左侧时，由平行的判定方法得，由平行线的性质即可求解；②当在的右侧时，同理可求解； 当时，①当在的左侧时，过作，同理可求解；②当在的右侧时，同理可求解； 掌握判定方法及性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过作，   ， ， ， ， ， ； （2）解：直线时， ①如图，当在的左侧时，   直线平分， ， ，， ， ； ②如图，当在的右侧时，    同理可得：， ， ， ； 故的大小为或； 当时， ①如图，当在的左侧时，    过作， 同理可得：， ， ， ， ； ②如图，当在的右侧时，    同理可求：， ， ， ； 故的大小为或． 27．已知：直线，为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上．，为直线上的两个动点，点在点的左侧，连接，，满足．点在上，且在点的左侧． (1)如图1，若，，直接写出的度数＿＿＿＿； (2)射线为的角平分线． ①如图2，当点在点右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②当点与点不重合，且时，直接写出的度数＿＿＿＿ 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 【分析】（1）由平行线的性质得到，，再利用角的等量代换换算即可； （2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分“当点在点右侧时”、“当点在点左侧，点在点右侧时”、“当点和点在点左侧时”，三种情况分类讨论，运用角的等量代换换算即可． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①． 证明：如图，设在上有一点在点的右侧，设，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当点在点右侧时， 由①得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴； 如图，当点在点左侧，点在点右侧时， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当点和点在点左侧时，设在上有一点在点的右侧， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键． 28．【问题背景】 如图，射线分别交直线，于点A，E，． 【探索求证】 （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图2，G为射线上一动点，连接，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长交射线于点H，N为线段上一动点．连接，若平分，平分，当时，求的值． 【答案】（1）见解析，（2），（3） 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知求出，根据平行线的判定得出结论； （2）根据平行线的性质，得到，结合可得答案； （3）根据平行线的性质和角平分线定义求出，，由平行线的性质得到，再求出，进而可计算的值， 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， （3）由（1）知， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)不发生变化， (3)当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题；②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：①过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：不发生变化，，理由为： 由②可得，， ∵、的角平分线交于点， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 30．如图，，平分，设为，点是射线上的一个动点．    (1)若时，且，求的度数； (2)若点运动到上方，且满足，，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据平行线的性质可得的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，计算的度数，由已知条件可计算出的度数； （）根据题意画出图形，先根据可计算出的度数，可计算出的度数, 再根据平行线的性质和角平分线的定义，计算出的度数，即可得出结论； 本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，合理应用平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴ ； （2）根据题意画图，如图所示，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴ ， ∴． 31．点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图，当点在右侧时，求证：； (2)如图，当点在左侧时，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数是多少． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)60度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）通过证明，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）过点作，交于点，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论； （3）设，则，，；利用已知条件用含的式子表示，，，，再利用，得到关于的方程，解方程求得的值，则，结论可求． 【详解】（1）平分， ， 又， ， ∴， ， ， ， ∴； （2）过点作，交于点，如图， 由（1）同理可证：， ， ，， ， ； （3）设， 则，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 32．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∴； 若, ∵，． ∴， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∴． （2） 解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 33．如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设（为锐角）．    (1)求与的和； (2)当点在直线上运动时，试说明； (3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值． 【答案】(1)； (2)详见解析 (3)． 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行的性质可得，，即可得，问题随之得解； （2）由（1）得：，结合，即可得作答； （3）根据角平分线的定义有，，再根据平行的性质可得，即有，在结合（2）的结论即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点作，则．    ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， 则． ∵， ∴， ∴． （3）解：若平分，也恰好平分， 则有，，． ∵， ∴， ∴． 由（2）知：， 则， 解得：． 34．如图，直线，点是，之间的一个动点． (1)如图1，求证； (2)小明把一块三角板如图2放置，点，是三角板的边与平行线的交点． ①若，求的度数； ②如图3，点在线段上，连接，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）过点作，则，由平行线的性质可得，，即可得证； （2）①由（1）中的关系可得，求出，即可得解；②设，则，由（1）中的关系可得，从而得出，代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图1，过点作， ， ， ，， ． （2）①解：， ， 由（1）可得，， ， ；                          ②解：设，则， 由（1）可得， ， ， ． 35．如图①，已知：平分，平分，且． (1)求证：； (2)若射线、分别在、内部，且，如图②，当时，直接写出的值； (3)H是直线上一动点（不与点D重合），平分交直线于点P．设，直接写出的度数（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD+∠BDC＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明； （2）作，可得，，然后根据平行线的性质解答即可； （3）根据角平分线的定义可得，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出和，从而得解． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）如图3，作， 又∵， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 如图1，点H在点D的左边时， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，点H在点D的右边时， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟记平行线的性质、分类讨论是解题的关键． 36．如图，已知，点B（与点A不重合）是边上一点，作，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D．    (1)求，的度数； (2)探究：当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； (3)当点P运动到使时，求出的度数． 【答案】(1)， (2)不变，．理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质求出，得到，再根据角平分线的定义得到，即可求解； （2）根据平行线的性质求出，，再根据角平分线的定义得到，从而可得倍数关系； （3）根据平行线的性质求出，推出，再根据，，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）不变，．理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 当时，则有， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 37．如图，，平分，设为α，点E是射线上的一个动点．    (1)若时，且，求的度数． (2)若点E运动到l1上方，且满足,，求α的值． (3)若，求的度数（用含n和α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可； （2）先根据已知求得，再根据平行线的性质和角平分线的定义求得即可求解； （3）分点E运动到上方和点E运动到和之间两种情况，利用平行线的性质和角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图1，点E运动到l1上方，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：当点E运动到上方时，如图1， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E运动到和之间时，如图2，      同理可得， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、角的运算，熟练掌握平行线的性质和角度之间的运算是解答的关键． 38．如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，交射线于点C，D． (1)①当时，的度数是________； ②∵，∴________； (2)时，的度数=________（用含x的代数式表示）； (3)当点P运动时，与的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值，若变化，请写出变化规律； (4)当点P运动到使，且时，求的度数． 【答案】(1)①；②CBN (2) (3)不变， (4) 【分析】（1）①根据两直线平行，同旁内角互补，即可解答；②根据两直线平行，内错角相等，即可解答； （2）根据，，得出，根据，分别平分和，得出，则 即可求解； （3）根据，得出，，根据平分，得出，则； （4）根据，得出，进而推出，根据，分别平分，，推出，则，即可进行解答． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴ ； 故答案为：； （3）解：不变，． ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 39．已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据平行线的性质可得，从而利用平角定义可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】（1）解：证明：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 40．如图1，已知直线，点C为直线，之间（不在直线上）的一个动点，连接，，平分，平分，和交于点F．      (1)证明：， (2)如图2，连接，则在点C的运动过程中，当满足，时： ①若，请直接写出的度数； ②若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）结合角平分线的性质和平行直线的性质即可证得； （2）①根据角平分线的性质和平行直线的性质，可先后求出、、和的值，即可求得；②设，通过角平分线的性质可得到，利用两直线平行，同旁内角互补可以推算出，求出，最后利用两直线平行，同旁内角互补建立等式，即可求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴, ∴, ∴； ②设，则， ∵， ∴， ∵的平分线交直线于点E， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线和平行直线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$