专题01 相交线与平行线压轴题存在性和定值（2种类型40道）-【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题01相交线与平行线压轴题存在性和定值 目录 【题型1存在性问题】 1 【题型2定值问题】 9 【题型1存在性问题】 1．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，，．    (1)如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，求的度数； (2)如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A，C始终在直线为直线b上一点）的上方，若存在，射线与直线a所夹锐角的度数为： ．（直接填空） 2．如图1，，，，M是线段上一点，过点M分别作，，分别交于点E，点F． (1)求的度数； (2)点N为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点N在点A的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由； ②在整个运动过程中，是否存在点N，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 3．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺 ，且点不能同时落在直线和之间． (1)如图， 把三角尺的角的顶点分别放在，上， 若，则的度数为_______； (2)如图，把三角尺的锐角顶点放 上，且保持不动，若点恰好落在和CD之间，与相交于点，且所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在? 若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 4．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由） (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 5．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．    (1)如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为___________； (2)如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数． 6．线段与线段互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线，上，连接，射线分别是和的平分线． (1)如图①，若点P在线段上，判断与的位置关系，并证明； (2)是否存在点P，使？若存在，找到点P的位置，画出图形并给出证明；若不存在，说明理由． 7．如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，． (1)如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由； (2)如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由） (3)如果直线，试探究动点落在______区域时，存在． 8．如图1，，直线a与b，c交于A，C两点．在直线a上有一点B，直线c上有点D，连接，作的平分线交b于E． (1)直接写出，和之间的数量关系：______． (2)如图2，作的平分线交直线c于点F，作的平分线交BF于G，若，求的度数． (3)如图3，在（2）的前提下，作的平分线交c于H，延长交于I，是否存在，使得是D与直线上各点所连线段中最短的一条，若存在请求出的度数，若不存在，请说明理由． 9．如图，已知直线，，点，在直线上，且满足，平分． (1)求的度数． (2)若左右平移，在平移的过程中： ①求与的比值； ②是否存在某种情况，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 10．已知四边形 (1)如图1：，．求证：； (2)如图2：在（1）的条件下，取上一点作为顶点作直角，使直角的两边交于，交于．则________．（直接写出角度和） (3)如图3：在（2）的条件下，上存在点，，连接，延长交延长线于，若、恰好平分、，且，求的大小． 11．如图1，AB，BC被直线AC所截，，，过点A作，点D是线段AC上的点，过点D作交AE于点E． (1)填空：______； (2)将线段AE沿线段AC方向平移得到线段PQ，连接DQ． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，当时，则______； ③在整个平移过程中，是否存在，若存在，直接写出此时的度数，若不存在说明理由． 12．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．    (1)如图2，已知镜子与镜子的夹角，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） (3)如图4，直线上有两点A、C，分别引两条射线．，，射线分别绕A点，C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 13．如图1，已知在四边形中，点E在上，连接，若，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点M在延长线上运动，连接，的平分线交于点F，当时，是否存在的情形？若存在，求的度数；若不存在，请说明理由． 14．如图，直线 射线，．是射线上一动点，为射线上一点，连接，．作，交直线于点，平分．      (1)若点，，都在点的右侧，______． (2)在(1)的条件下，若，，求和的度数． (3)是否存在点，使？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 15．如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．    (1)求的度数； (2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，当时，求的度数； ③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由． 16．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF． (1)若点P，F，G都在点E的右侧． ①求∠PCG的度数； ②若，求∠CPQ的度数． (2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由． 17．如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF. （1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由； （2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由. 18．如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若．    (1)求证：； (2)如图2，点，在，之间，且位于的两侧，连接，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． 19．如图，，点P为平面内一点．    (1)如图①，当点P在与之间时，若，则　　°； (2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系，请给出证明；（不需要写出推理依据） (3)如图③，平分，平分，若，求度数． 20．如图，点C在射线上，点F在线段上，平分，．    (1)当时，求： (2)点N是线段上一点，点P是线段上一点，连接，．若为的角平分线，，，探究直线上是否存在一点Q，使得． 【题型2定值问题】 21．已知，点O在直线上，，平分． 【问题初探】 （1）如图1，若，求的度数； 【类比分析】 （2）如图1，试探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，若平分，平分，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 22．综合与探究 探索发现： （1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，，点在、之间，连接、，试说明． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 请选择其中一种方法写出证明过程． 解决问题： （2）已知直线，连接，，． ①如图4，分别平分，，求的度数． ②如图5，延长线段至点，过点作交CD的延长线于点，，分别平分，，请判断的度数是否为定值．若是， 直接写出的度数；若不是，请说明理由． 23．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1)______； (2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由． 24．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的轴助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 25．大龙湖音乐喷泉灯光秀成为茶乡一道美丽的风景．“灯光秀”为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度秒．且满足． (1)填空：______，______； (2)若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值？若存在，请求出的度数和k的值；若不存在，请说明理由． 26．如图，已知，点E，F分别为， 之间的点． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)若 ． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数． 27．已知是截线上的一点，与分别交于E、F． (1)若，求∠的度数； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　； ②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）． 28．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．    (1)当射线经过点A时，在图①中画出射线和射线，并求此时的度数． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（解答时需要的图形请画在备用图中） (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．（解答时需要的图形请画在备用图中） 29．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．      (1)如图①， 度； (2)如图②，三角板不动，三角板从图示位置开始绕点P按逆时针方向旋转一周，旋转过程中，当时，旋转角为多少度？ (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速/秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速/秒(转到与重合时，两三角板都停止转动)．问：两个三角板旋转过程中，是否为定值? 若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 30．已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 31．如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，． ①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由． ②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 32．如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移a个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，且C点落在y轴上，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标：C（_______），D（_______）； (2)如图1，若点Q为线段的中点，点P以每秒1个单位长度的速度在线段上从点O向C点运动，是否存在某个时刻t，使得，若存在，试求出该时刻和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，射线以的速度绕点A顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点C顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点M，过M作交于N，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由． 33．如图，直线，P是截线上的一点． (1)若，求； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由； (3)如图2，若T是直线上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线上运动时，与的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由． 34．【问题情境】 在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C、D． 【初步探究】 “快乐小组”经过探索后发现： （1）当时，试说明； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示； 【类比探究】 （3）“智慧小组”发现，当点P在AM上继续运动到使时，的结果是一个定值，请你帮助探究并说明理由． 35．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．    (1)如图1，若，求的度数． (2)在（1）的条件下，已知的平分线交的平分线于点，请在“备用图上”作出相应的图，并求的度数． (3)如图2，若点是下方一点，平分，平分，与相交于点，已知，证明：为定值． 36．如图，已知，点E，F分别为之间的点． (1)如图1，若，求的度数； (2)若，． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知平分，平分，反向延长FG交EP于点P，直接写出的度数． 37．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 38．如图1，点、分别在射线、线上，，于点，平分交于点，连接，．   　　   (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图2，和的平分线交于点，试猜想的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 39．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点，分别在直线，上，点在，之间．    (1)如图1，过点作，利用平行线的性质可以轻松的得出，，之间数量关系为__________； (2)如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，若，为锐角，为直线下方一点，平分，平分，在以下两个结论：①；②为定值中，有且只有一个一定成立，请指出这个结论，并说明理由． 40．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”． (1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”； (2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数； (3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题01相交线与平行线压轴题存在性和定值 目录 【题型1存在性问题】 1 【题型2定值问题】 42 【题型1存在性问题】 1．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，，．    (1)如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，求的度数； (2)如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A，C始终在直线为直线b上一点）的上方，若存在，射线与直线a所夹锐角的度数为： ．（直接填空） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平等公理的推论，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作直线，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数． 【详解】（1）解：过点作直线，如图1所示：   直线， ∴， ，， ， ， ，， ． （2）解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）解：如图3所示：   ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ． 2．如图1，，，，M是线段上一点，过点M分别作，，分别交于点E，点F． (1)求的度数； (2)点N为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点N在点A的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由； ②在整个运动过程中，是否存在点N，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②存在，或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平行线性质，，则，再由平行线性质求出，根据即可求解； （2）①根据题意可得，根据平行线的性质可得，求得，即可得出结论； ②当点在点的左侧时．当点在点的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ． ．                        ， ． ．     ． （2）①．                                                               理由如下： ， ． ， ． ． ．                                                     ②存在点，使得． 下分两种情况： Ⅰ．如图，当点在点的左侧时． ， ． ， ． ， ， ．                       Ⅱ．如图，当点在点的右侧时． ， ． ， ． ， ， ． 3．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺 ，且点不能同时落在直线和之间． (1)如图， 把三角尺的角的顶点分别放在，上， 若，则的度数为_______； (2)如图，把三角尺的锐角顶点放 上，且保持不动，若点恰好落在和CD之间，与相交于点，且所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在? 若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）设交于点，则，过点作，推出．根据平行线的性质得出，则，求出，即可求解． （3）根据题意，进行分类讨论：①当在上方时，②当在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图，交于点，则，过点作， ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （3）或． 如图，交于点，当点在上方时， 设，则， ∴， 解得． ∴； 如图，延长交于点，当点在下方时， 设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 4．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由） (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2) (3)存在，射线与相交所夹锐角的度数为或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）由，得，再由得，由此根据邻补角的定义可得的度数； （2）过点作，依题意得，，证，根据平行线的性质得，，进而得，由此可求出，然后根据邻补角的定义可得的度数； （3）分两种情况讨论如下：①当点在上方时，设交于点，设，则，根据得，由此得，则，然后由根据平行线的性质可求出的度数；②当点在下方时，延长交于点，设，则，进而得，由得，由此得，则，然后由根据平行线的性质可求出的度数，综上所述即可得出射线与相交所夹锐角的度数． 【详解】（1）解：，， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ； 故答案为：； （2）解：过点作，如图1所示： 依题意得：，， ，， ， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， （邻补角概念）； （3）解：存在，射线与相交所夹锐角的度数为或． 分两种情况讨论如下： ①当点在上方时，设交于点，如图2所示： 依题意得：， 设，则， ， ， 解得：， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）； ②当点在下方时，延长交于点，如图3所示： 依题意得：， 设，则， ， （邻补角概念）， ， 解得：， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）． 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 5．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．    (1)如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为___________； (2)如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）设交于点，则，过点作，推出．根据平行线的性质得出则．求出，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可. 【详解】（1）解：∵， ． 又， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1，设交于点，则，过点作，    ∵， ． ． ． 又， ， ． （3）或． 如图2，交于点，当点在上方时，    设，则， ∴， 解得． ∴； 如图3，延长交于点，当点在下方时，    设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 6．线段与线段互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线，上，连接，射线分别是和的平分线． (1)如图①，若点P在线段上，判断与的位置关系，并证明； (2)是否存在点P，使？若存在，找到点P的位置，画出图形并给出证明；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)存在，图和证明见解析． 【分析】（1）由角平分线定义得，，由平行线的性质得，进而得，最后根据平行线的判定定理得出结论便可； （2）当点在直线上，位于与两平行线之外时，．根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，即得． 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，关键熟记和正确理解平行的性质与判定． 【详解】（1）解：图形如下： ． 证明：平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）证明：如图，当P点在直线上，位于与两平行线之外时， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 7．如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，． (1)如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由； (2)如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由） (3)如果直线，试探究动点落在______区域时，存在． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；理由见解析 (3)② 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：过点P作，根据平行线性质可得，然后再证明，进而证明结论； （2）如图：过点P作，根据平行线的性质可得、，然后再利用角的和差即可解答； （3）如图：当点P在①区域时，过点P作，先证明，再根据平行线的性质可得，由三角形外角和定理可得，然后根据等量代换即可判定区域①；同理判定区域②③④⑤⑥即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；，理由如下： 如图：过点P作， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵ ， ∴当动点落在区域③时，，，三角满足时，有． （3）解：如图：当点P在①区域时，过点P作，交于J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即点P在①区域时不符合题意； 同理：可判定点P在③④⑤⑥区域时不符合题意； 当点P在②区域时，过点P作，交于J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即点P在②区域时符合题意； 综上，点P在②区域时存在． 故答案为：②． 8．如图1，，直线a与b，c交于A，C两点．在直线a上有一点B，直线c上有点D，连接，作的平分线交b于E． (1)直接写出，和之间的数量关系：______． (2)如图2，作的平分线交直线c于点F，作的平分线交BF于G，若，求的度数． (3)如图3，在（2）的前提下，作的平分线交c于H，延长交于I，是否存在，使得是D与直线上各点所连线段中最短的一条，若存在请求出的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)存在，． 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，掌握角平分线的性质和平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则，得出即可求解； （2）过点作，过点作，则，设，，则，，，进而得到，即可求解； （3）过点作，由，，再利用角平分线的平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点作，则，如图： ∴， ∴ （2）解：过点作，过点作，则， 是的平分线，是的平分线，是的平分线， ∴， 设，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （3）解：当点在直线的上方时存在使得DI是D与直线BH上各点所连线段中最短的一条， 过点作，如图： ∵是与直线上各点所连线段中最短的一条， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，已知直线，，点，在直线上，且满足，平分． (1)求的度数． (2)若左右平移，在平移的过程中： ①求与的比值； ②是否存在某种情况，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）由直线，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由，即可求得的度数； （2）①首先由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可得，，由，进而可得，即可解答，②首先设，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得与的度数，又由，即可得方程，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：， ． ，平分， ． （2）解：①， ，． ， ． ． ②设． ， ， ， ， ． 若，则． 解得， 存在． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的性质，角平分线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用． 10．已知四边形 (1)如图1：，．求证：； (2)如图2：在（1）的条件下，取上一点作为顶点作直角，使直角的两边交于，交于．则________．（直接写出角度和） (3)如图3：在（2）的条件下，上存在点，，连接，延长交延长线于，若、恰好平分、，且，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质可得，根据，等量代换可得即可得证； （2）过点作，得出，，即可求解； （3）过点分别作的平行线，设，，，根据平行线的性质以及已知条件可得，，联立即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （3）解：如图所示， 过点分别作的平行线， ∴ ∵、恰好平分、， ∴，， 设，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴① ∵， ∴， ∴② ∵，即 ∴代入②得，③ 由①③可得，，即． 11．如图1，AB，BC被直线AC所截，，，过点A作，点D是线段AC上的点，过点D作交AE于点E． (1)填空：______； (2)将线段AE沿线段AC方向平移得到线段PQ，连接DQ． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，当时，则______； ③在整个平移过程中，是否存在，若存在，直接写出此时的度数，若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得出结果． （2）根据平行线的性质，分点P在线段和线段上两种情况，推导出、与之间的等量关系可得出结果． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． （2）解：①过D点作， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②过D点作， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ③存在，此时或． 设，则 如①②中两种情况，或 得或 ∵∴或 故存在，此时或． 【点睛】本题考查了根据平行线的性质，熟练掌握根据平行线的性质是本题的关键． 12．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．    (1)如图2，已知镜子与镜子的夹角，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） (3)如图4，直线上有两点A、C，分别引两条射线．，，射线分别绕A点，C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)，理由见解析； (2)当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底； (3)存在，或 【分析】（1）计算的值即可求解； （2）先计算，进一步得的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等即可求解 ； （3）分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底； （3）解：时，如图：    若，则 解得：； 时，如图：   ，不满足题意； 时，如图：   不满足题意； 时，如图：    若，则 解得：； 综上所述：当或时，使得与平行 【点睛】本题以物理知识为背景，考查了平行线的判定与性质．熟记相关定理内容，掌握分类讨论思想是解题关键． 13．如图1，已知在四边形中，点E在上，连接，若，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点M在延长线上运动，连接，的平分线交于点F，当时，是否存在的情形？若存在，求的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不存在的情形，理由见解析 【分析】（1）根据平分得，根据得，即可得； （2）根据平分，平分得，，根据，设，则，，根据得，则，，得，根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短得，即可得． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵, ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 ∴， ∴不存在的情形． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，垂线段，解题的关键是掌握这些知识点． 14．如图，直线 射线，．是射线上一动点，为射线上一点，连接，．作，交直线于点，平分．      (1)若点，，都在点的右侧，______． (2)在(1)的条件下，若，，求和的度数． (3)是否存在点，使？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，的度数为或． 【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到的度数； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，根据平分，可得，然后求得，，再根据可得，由，即可得出 ，进而即可求解； （3）设，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴ ∵ ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ， ， ∴ ∴ ∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴， （3）解：设，则， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在点的右侧时，    ∵， ， ， ∵， ， ∵平分， ， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴； ②如图，当点在点的左侧时，    ∵， ， ， ∴ ∵， ∴ 解得， ∴； 综上，存在这样的情形，使，此时的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，正确分两种情况讨论是解题关键． 15．如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．    (1)求的度数； (2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，当时，求的度数； ③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③存在，或 【分析】（1）利用平行线的性质得，，根据同角的补角相等可得答案； （2）①如图1中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案； ②如图3中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案即可求解； ③分两种情形：图2，图3分别求解即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①如图2，过点D作， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②如图3，过点D作， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ③存在，或． 如图2，当时， 由①知，，， ∴； 如图3，当时， 由②知，，， ∴    【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题． 16．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF． (1)若点P，F，G都在点E的右侧． ①求∠PCG的度数； ②若，求∠CPQ的度数． (2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或 【分析】（1）①根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得到的度数；②根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据即可得出； （2）设，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵，平分， ∴ ∴； ②∵，， ∴，， ∴， 又， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ， ， ∵， ∴． （2）解：设，则， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在点的右侧时， ∵， ， ， ∵， ， ∵平分， ， ， ∵， ∴， ∵，   ，即， 解得， ∴； ②如图，当点在点的左侧时，    ∵， ， ， ∵， ， ∵平分， ， ， ∵，   ∴， ∵， ，即， 解得， ∴； 综上，存在这样的情形，使，此时的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 17．如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF. （1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由； （2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由. 【答案】（1）与∠AOC相等的角是∠AOC，∠ABC，∠BAM，理由见解析；（2）∠OBC：∠OFC=；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得求出∠ABC，再根据邻补角的定义求出∠BAM即可得解； （2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，再根据角平分线的定义可得∠AOF=2∠AOB，从而得到比值不变； （3）设∠OBA=x，表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和定理表示出∠AOB、∠COE，再根据角平分线的定义根据∠AOB+∠COE=∠AOC列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵OM∥CN， ∴∠AOC=180°-∠C=180°-108°=72°， ∠ABC=180°-∠OAB=180°-108°=72°， 又∵∠BAM=∠180°-∠OAB=180°-108°=72°， ∴与∠AOC相等的角是∠ABC，∠BAM； （2）∵OM∥CN， ∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF， ∵OB平分∠AOF， ∴∠AOF=2∠AOB， ∴∠OFC=2∠OBC， ∴∠OBC：∠OFC=； （3）设∠OBA=x，则∠OEC=2x， 在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-x-108°=72°-x， 在△OCE中，∠COE=180°-∠C-∠OEC=180°-108°-2x=72°-2x， ∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF， ∴∠COE+∠AOB=∠COF+∠AOF=∠AOC=×72°=36°， ∴72°-x+72°-2x=36°， 解得x=36°， 即∠OBA=36°， 此时，∠OEC=2×36°=72°， ∠COE=72°-2×36°=0°， 点C、E重合， 所以，不存在． 考点：平行线的判定与性质． 18．如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若．    (1)求证：； (2)如图2，点，在，之间，且位于的两侧，连接，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角定义等知识，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）设，，，，可得即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∴． （2）解：过作，过作，如图    设，，，， ，，， ， ，， ， ， ， ． 19．如图，，点P为平面内一点．    (1)如图①，当点P在与之间时，若，则　　°； (2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系，请给出证明；（不需要写出推理依据） (3)如图③，平分，平分，若，求度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的性质可得，，根据即可求解； （2）延长交于点H，根据得，结合三角形的外角定理 ，即可得出结论； （3）延长交于点H，过点G，作，则，可推出，，，则，，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴； 故答案为：60； （2）解：如图②，，证明如下； 证明：延长交于点H， ∴是的一个外角， ∵， ∴， ∴在，， ∴、、之间存在的数量关系为：∠； （3）解：如图③，延长交于点H，过点G，作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分，平分，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 20．如图，点C在射线上，点F在线段上，平分，．    (1)当时，求： (2)点N是线段上一点，点P是线段上一点，连接，．若为的角平分线，，，探究直线上是否存在一点Q，使得． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由平分，得，又，所以，所以即可求出答案； （2）先证明，再证，得，根据垂线段最短，所以直线上不存在一点Q，使得． 【详解】（1）∵平分， ∴，             ∵， ∴，                 ∴， ∴，             ∵ ∴； （2）∵为的角平分线， ∴，                 ∵，， ∴ ∴，             设，， ∵， ∴， ∵， ∴①， ∵②， ∴由①②消去y得，             ∴，                 ∴， ∴， ∵垂线段最短 ∴直线上不存在一点Q，使得． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，垂线段最短，关键是根据已知各个角的关系得平行，利用平行线的性质得垂直． 【题型2定值问题】 21．已知，点O在直线上，，平分． 【问题初探】 （1）如图1，若，求的度数； 【类比分析】 （2）如图1，试探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，若平分，平分，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、求一个角的余角和补角，解答关键是根据图形各角度之间的数量关系． （1）根据，求得，再由角平分线定义，求得，利用余角定义求即可； （2）先求出，由角平分线定义，求得，利用余角定义表示出即可； （3）根据角平分线的定义，得到．由（2）得，即，由，根据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：． 理由：∵平分， ∴． 由（2）得， ∴． ∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴，即， ． 22．综合与探究 探索发现： （1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，，点在、之间，连接、，试说明． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 请选择其中一种方法写出证明过程． 解决问题： （2）已知直线，连接，，． ①如图4，分别平分，，求的度数． ②如图5，延长线段至点，过点作交CD的延长线于点，，分别平分，，请判断的度数是否为定值．若是， 直接写出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②为定值， 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，根据题意作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． （1）选择小刚添加辅助线的方法，证得，进而可求得，即可求得答案；选择小红添加辅助线的方法，求得，结合即可求得答案． （2）过点E作，根据角平分线及平行线的性质即可求解． （3）过点F作，则，根据平行线的性质及等量代换即可求解． 【详解】证明：（1）选择小刚添加辅助线的方法，证明如下： ∵，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 选择小红添加辅助线的方法，证明如下： ∵， ∴． 又， ∴． （2）①过点E作， ∴， ∵，． ∴，， ∵分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ②为定值，理由如下： 过点F作，则， ∵，． ∴，， ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 23．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1)______； (2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会发生改变， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，作辅助线构造平行是解题的关键． （1）运用平行线的性质直接解题即可； （2）设射线与射线所在直线的交点为点，则，，，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可； （3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为135； （2）解：设射线与射线所在直线的交点为点， 旋转时间为秒时，，， 即， ①如图，当时，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，    ②如上图，当时，则， 由①可知，即， 解得， 综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为， （3）的值不变，理由为： 解：如图，由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 24．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的轴助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 25．大龙湖音乐喷泉灯光秀成为茶乡一道美丽的风景．“灯光秀”为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度秒．且满足． (1)填空：______，______； (2)若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值？若存在，请求出的度数和k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，3 (2)当秒或秒时，两灯的光束互相平行； (3)，． 【分析】（1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可； （3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 当时，如图，   ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：． 理由：设灯B射线转动时间为秒， ∵， ∴， 又∵， ∴，而， ∴， ∴当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值， 此时，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 26．如图，已知，点E，F分别为， 之间的点． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)若 ． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数． 【答案】(1) (2)①，是定值  ② 【分析】（1）：过点E作，则，然后根据平行线的性质得到，，即可解题； （2）①如图, 过作，过作，证明，可得，，再利用角的和差运算可得结论； ②如图，平分，平分，可得 ，由三角形的内角和定理可得，结合① 得: ，从而可得． 【详解】（1）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）①，是定值，理由如下： 如图, 过作，过作， ∵， ∴，而， ∴，，， ∴； ②如图, ∵平分，平分， ， ， ∵由①得: ， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． 27．已知是截线上的一点，与分别交于E、F． (1)若，求∠的度数； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　； ②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）． 【答案】(1)或 (2)是， (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题， （1）过点P作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求 的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）分三种情况分别画图，结合（1），（2）的结论探索∠Q的度数的规律； 正确作出辅助线，进行分类讨论是本题的难点． 【详解】（1）如图，当点P在线段之间时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当点P在的上方时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ 综上所述，为或； （2）是，，理由如下： 由（1）可知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， （3）①，理由如下： 如图，过点P作,过点Q作, ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为： ②， 分三种情况讨论： （Ⅰ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，, ∴， ∴， （Ⅱ）当点P在线段上运动时，如图， 可得，． ∵，． ∴， ∴， （Ⅲ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，． 28．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．    (1)当射线经过点A时，在图①中画出射线和射线，并求此时的度数． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（解答时需要的图形请画在备用图中） (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．（解答时需要的图形请画在备用图中） 【答案】(1)图见解析， (2)存在，或 (3)的值不变， 【分析】本题考查平行线的性质，作辅助线沟构造平行是解题的关键． （1）运用平行线的性质直接解题即可； （2）设射线与射线所在直线的交点为点，则，，，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可； （3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 故答案为135； （2）解：设射线与射线所在直线的交点为点， 旋转时间为秒时，，， 即， ①如图，当时，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ②如图，当时，则， 由①可知，即， 解得， 综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为， （3）的值不变，理由为： 解：如图，由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 29．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．      (1)如图①， 度； (2)如图②，三角板不动，三角板从图示位置开始绕点P按逆时针方向旋转一周，旋转过程中，当时，旋转角为多少度？ (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速/秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速/秒(转到与重合时，两三角板都停止转动)．问：两个三角板旋转过程中，是否为定值? 若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用含有、的三角板得出，进而求出即可； （2）分情况画出图形，利用平行线的性质可求解； （3）设运动时间为t秒，则，得出，，，则，可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：分两种情况： ①如图，   ，， ， ， ， 三角板绕点逆时针旋转的角度为； ②如图，   ，， ， ， ， 三角板绕点逆时针旋转的角度为； （3）解：为定值． 理由如下：设运动时间为秒，则， ，，， ， ． 【点睛】此题主要考查了角的计算，旋转及平行线的性质，利用数形结合得出等式是解题的关键． 30．已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)15° (2)是定值， (3)是， 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）过点P作，过点Q作，由平行线性质得，，从而得，同理可得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作．    ∵，， ∴． ， ， ． ． （2）解：是定值， 如图，    由（1）知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵， ∴    ， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分与， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题，正确作出辅助线是解题的关键． 31．如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，． ①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由． ②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②存在使得，为定值 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质得到，，则； （2）①由平行线的性质得到，则，则，进而得到，由角平分线的定义得到，则，即可得到；②分当在左侧时，当在右侧时，两种情况先根据平行线的性质得到，进而得到，再由，得到，可得，进而求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当在左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴此时不存在常数k使得为定值， 如图所示，当在右侧时， 同理可得， ∴当，即时，，为定值； 综上所述，存在使得，为定值． 32．如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移a个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，且C点落在y轴上，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标：C（_______），D（_______）； (2)如图1，若点Q为线段的中点，点P以每秒1个单位长度的速度在线段上从点O向C点运动，是否存在某个时刻t，使得，若存在，试求出该时刻和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，射线以的速度绕点A顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点C顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点M，过M作交于N，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由． 【答案】(1)0，2；5，2 (2)存在， (3)不会改变， 【分析】（1）由平移的性质可得出答案； （2）设，根据面积关系可得出的方程，解方程可得出答案； （3）求出由平移的性质求出则可得出答案． 【详解】（1）如图1，点向上移2个单位，向右平移a个单位得到， 则，， 此时C点坐标为， 同时上平移2个单位右平移2个单位得D点， 则D点坐标为， 故答案为：； （2）存在． 如图1，∵Q为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵P点在线段上， ∴设， ∵， ∴． ∴， 解得； 此时符合题意． （3）在转动过程中，的值不会改变．如图2， ∵， ∴， ∵射线以速度绕点A顺时针旋转至停止， ∴， 即， ∵射线、同时开始旋转，同时停止运动，设运动时间为， ∴此时，， 同时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、平行线的判定与性质、三角形面积、梯形面积公式等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，平移的性质是解题的关键． 33．如图，直线，P是截线上的一点． (1)若，求； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由； (3)如图2，若T是直线上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线上运动时，与的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由． 【答案】(1) (2)是为定值，定值为 (3)和（2）的结论仍成立，探究过程，理由见解析 【分析】（1）过点P作，根据平行线的传递性可得，再根据平行线的性质和角的和差进行求解即可； （2）由平行线的性质及角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，进而求解即可； （3）过点P作，过点Q作，由平行线的性质及角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，进而求解即可． 【详解】（1）如图1，过点P作， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）得，，， ∴， ∴， ∵与的平分线交于Q， ∴， 同理，， ∴， ∴是为定值，定值为； （3）如图2，过点P作，过点Q作， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵与的平分线交于Q， ∴， 同理，， ∴，即（2）的结论仍然成立． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解题的关键． 34．【问题情境】 在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C、D． 【初步探究】 “快乐小组”经过探索后发现： （1）当时，试说明； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示； 【类比探究】 （3）“智慧小组”发现，当点P在AM上继续运动到使时，的结果是一个定值，请你帮助探究并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、有关角平分线的计算等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键 （1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后代入计算即可求证结论； （2）根据角平分线的定义可得、，再根据平行线的性质可得即可解答； （3）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，最后代入计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴. ∵，分别平分和， ∴， ∴. （2）∵，分别平分和， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. （3）∵， ∵， 当时，有， ∴， ∴. ∵，分别平分和， ∴. ∵， ∴， ∴. 35．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．    (1)如图1，若，求的度数． (2)在（1）的条件下，已知的平分线交的平分线于点，请在“备用图上”作出相应的图，并求的度数． (3)如图2，若点是下方一点，平分，平分，与相交于点，已知，证明：为定值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线． （1）过点作，利用平行线的性质求解； （2）过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （3）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，    ， ， ，， ， ， ； （2）如图所示，过点作，    ，，， ， 平分，平分， ， ， ， ，， ； （3） 平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， ， ，即为定值．      36．如图，已知，点E，F分别为之间的点． (1)如图1，若，求的度数； (2)若，． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知平分，平分，反向延长FG交EP于点P，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①∠F−∠E的度数是是定值，；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． （1）过点E作，则，然后根据平行线的性质得到，，即可解题； （2）①如图, 过作，过作，证明，可得，，再利用角的和差运算可得结论； ②如图，平分，平分，可得 ，由三角形的内角和定理可得，结合① 得: ，从而可得． 【详解】（1）过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）①，是定值，理由如下： 如图, 过作，过作， ∵， ∴，而， ∴，，， ∴； ②如图, ∵平分，平分， ， ， ∵由①得: ， ． 37．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)定值为；理由见详解； (3)； 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质解答； （2）过点作，由此可得，进而可得出结论； （3）根据平分，可知，过点作，则，根据，，可知，，则，进而可知，则． 【详解】（1）解：如图标出， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：定值为：，理由如下： 过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 过点作， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键． 38．如图1，点、分别在射线、线上，，于点，平分交于点，连接，．   　　   (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图2，和的平分线交于点，试猜想的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)为定值，，理由见解析 【分析】（1）过点作，根据两直线平行内错角相等，得出，即可求解． （2）根据两直线平行同旁内角互补，得出，再将各个角代入计算，得出，，即可求解； （3）过点作，，，根据平行线性质得出，由于和的平分线交于点，所以 ，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，    过点作，则， ， ， ， ， ， ． （2）证明： 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （3）为定值． 证明：如图，过点作，设，，    ， ， ， 和的平分线交于点， ， ， 为定值，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查垂线、角平分线的性质，解题的关键是掌握垂垂线的概念和角平分线的性质及角的和差计算等知识点． 39．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点，分别在直线，上，点在，之间．    (1)如图1，过点作，利用平行线的性质可以轻松的得出，，之间数量关系为__________； (2)如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，若，为锐角，为直线下方一点，平分，平分，在以下两个结论：①；②为定值中，有且只有一个一定成立，请指出这个结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)②，理由见解析 【分析】（1）利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可得出； （2）根据题意，利用邻补角的性质及得，再根据，最后根据平行线的性质可证； （3）根据题意，过点作，设，利用角平分线的性质和平行线的性质得，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）解：，， ， 又， 由（1）可得， ； （3）过点作（如图），    设， ， 由（1）得， 平分，平分， ，， ，， ， ，， ， 为定值， ②一定成立．． 【点睛】本题考查了平行线的综合问题及垂直的定义，熟练运用平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 40．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”． (1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”； (2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数； (3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据等角的补角相等可得，进而根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等可得，进而根据角的和求解即可； （3）根据角平分线的意义，以及角度的和差计算可得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：OC平分∠BOD 射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线” （2）射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”， （3）射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”， 射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC， 【点睛】本题考查了新定义，等角的补角相等，根据邻补角求角度，角平分线的意义，几何图形中角度的和差关系，理解题意，数形结合是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$