1.1 菱形的性质与判定（8考点·能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

1.1 菱形的性质与判定（能力提升） 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【重点说明】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【重点说明】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【重点说明】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 考点一 证明四边形是菱形 【例1】如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（       ） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 【答案】C 【分析】由条件可先判定四边形ADEF为平行四边形，再利用等腰三角形的判定即可求得答案． 【解析】D、E、 F分别为AB、BC、AC的中点， DE、 EF分别为△ABC的中位线， DE//AF， EF//AB， 四边形ADEF为平行四边形， 若AB=AC即可求得四边形ADEF为菱形，故B选项可以， 当时，则可求得AB=AC，可得AD=AF，故A选项可以， 当AE是△ABC的角平分线时，可证得求得四边形ADEF为菱形，故D选项可以， 当AE=BC时，无法确定AB=AC，故C选项不可以， 要使四边形AEDF是菱形还需要添加一个条件，这个条件不可能是C， 故选：C． 【点拨】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【变式1】如图，△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接AE、DF，要使AE、DF互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是（       ） A． B． C． D．AE是△ABC的角平分线 【答案】C 【分析】由条件可先判定四边形ADEF为平行四边形，再利用等腰三角形的判定即可求得答案． 【解析】D、E、 F分别为AB、BC、AC的中点， DE、 EF分别为△ABC的中位线， DE//AF， EF//AB， 四边形ADEF为平行四边形， 若AB=AC即可求得四边形ADEF为菱形，故B选项可以， 当时，则可求得AB=AC，可得AD=AF，故A选项可以， 当AE是△ABC的角平分线时，可证得求得四边形ADEF为菱形，故D选项可以， 当AE=BC时，无法确定AB=AC，故C选项不可以， 要使四边形AEDF是菱形还需要添加一个条件，这个条件不可能是C， 故选．C． 【点拨】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【变式2】如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作交CD于点F，交AC于点M，过点D作交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①；②：③；④当时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出②，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出③，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形． 【解析】∵，，故①正确． ∵AB∥CD，∴∠NAE=∠MCF，又∵∠DNA=∠BMC=90°，∴∠ANE=∠CMF=90°，在△ANE与△CMF中， ∵，∴△ANE≌△CMF（ASA）∴，NE=FM，AE=CF，故②正确． 在△NFM与△MEN中，∵，∴△NFM≌△MEN（SAS），∴，故③正确． ∵AE=CF，∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB，又根据矩形性质可知DF∥EB，∴四边形DEBF为平行四边形， 根据矩形性质可知OD=AO，当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形，∴∠ADO=60°， 又∵DN⊥AC，根据三线合一可知∠NDO=30° 又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°，故DE=EB，∴四边形DEBF为菱形，故④正确． 故①②③④正确 故选：D． 【点拨】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键． 考点二 用菱形的性质求角 【例2】如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为．连接，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由菱形的性质得，，，由线段垂直平分线的性质得，则，，由可得，得到，由三角形的外角性质求出，进而得到答案． 【解析】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形，，∴，， ， ∵是线段的垂直平分线，∴， ∴ ，∴． ∵在和中， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选C． 【点拨】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点；熟练掌握菱形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 【变式1】如图，四边形ABCD内有一点E，AE=EB=BC=CD=DE，AB=AD，若∠C=150，则∠BAD的大小是（   ） A．60 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【分析】由题干，可知四边形为菱形，又，所以，．连接BD，易知AE、BE、DE是的角平分线．再根据菱形的性质即可得出答案． 【解析】解：连接BD，并延长AE交BD于点O ∵，，∴四边形BCDE是菱形， ∴AE、BE、DE是的角平分线．∴A、E、O、C四点共线， ∵，∴，∴，∴， 同理：，∴， 故选： 【点拨】本题考查了菱形的性质和判定及三角形的性质及角平分线的灵活运用，解题关键是熟练掌握三角形的性质，以及菱形的判定和性质． 【变式2】如图，是菱形的对角线，， （1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】（1）见分析； （2）45° 【分析】 （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可； 【解析】解：（1）如图所示，直线EF即为所求； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C， ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°． ∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°． 【点拨】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 考点三 用菱形的性质求线段 【例3】如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为(     ) A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】连接BP，通过菱形的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值． 【解析】连接BP，如图， ∵菱形ABCD的周长为20，∴AB=BC=20÷4=5， 又∵菱形ABCD的面积为24，∴SABC=24÷2=12， 又SABC= SABP+SCBP ，∴SABP+SCBP=12， ∴ ， ∵AB=BC，∴ ∵AB=5，∴PE+PF=12×=． 故选：B． 【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值． 【变式一】如图，菱形ABCD，以点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交边AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则AB的长为______． 【答案】 【分析】由作法得∠AGB=90°，利用菱形的性质得到AD∥BC，AB=BC，所以∠GBC=90°，在Rt△BCG中，设BG=x，则BC=x，所以AB=x，在Rt△ABG中利用勾股定理得到x2+32=（x）2，然后解方程求出x，从而得到AB的长． 【解析】由作法得BG⊥AD，∴∠AGB=90°， ∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AB=BC，∴∠GBC=90°， 在Rt△BCG中，设BG=x， ∵∠BCG=30°，∴BC=x，∴AB=x， 在Rt△ABG中，x2+32=（x）2，解得x1=，x2=-（舍去），∴AB=． 故答案为：． 【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质． 【变式二】如图，在菱形ABCD中，于点E，交AD的延长线于点G，于点F． (1)求证：； (2)若，，求DG的长． 【答案】(1)见分析． (2) 【分析】 （1）根据菱形的性质得到，证明和全等即可． （2）由平行四边形的性质可以得到，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【解析】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ ∵于点E，于点F，∴ 在和中∴（AAS） ，∴，； (2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴，∴ ∵，∴，∴，∴ ∴． 【点拨】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解决问题的关键． 考点四 用菱形的性质求面积 【例4】如图四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E，若∠A=120°，AB=a（），AB︰MB=3︰1，则四边形CFEG的面积是______________．（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】先证四边形CFEG是菱形，由面积关系可求解． 【解析】如图，连接CE，AE， ∵四边形ABCD是菱形，∠A=120°，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=BC=a，∠B=60°， ∵MG∥AD，NF∥AB，∴AB∥FN∥CD，MG∥BC∥AD，∠B=∠EFC=60°， ∴四边形EFCG是平行四边形，四边形BMGC是平行四边形，四边形DNFC是平行四边形， ∴DN=FC，BM=CG，∴CG=CF，∴四边形CFEG是菱形，∴EF=FC，∴△EFC是等边三角形， ∵AB：MB=3：1，∴EF=a，∴四边形CFEG的面积=2S△EFC==， 故答案为：． 【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定，证明四边形CFEG是菱形是本题的关键． 【变式一】如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，结合AB=AC，得出DF为△ABC的中位线，DF∥BC，，从而得出AE为△ABC的高，得出，再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积． 【解析】∵四边形ADEF为菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF， ∴，， ，，， ∴CF=EF，DE=DB，，，∴DF∥BC，， ，，， ，， 即，，故C正确． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF为△ABC的中位线，是解题的关键． 【变式二】如图，在中，过点A作于点E，于点F，且． (1)求证：是菱形． (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见分析 (2) 【分析】 （1）根据题意证明△ABE≌△ADF（AAS）可得，根据菱形的判定定理即可得证； （2）根据题意求得∠DAF=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理逇的长，进而根据菱形的面积公式即可求解． 【解析】(1)证明：∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90° ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D ∵AE=AF，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形． (2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC ，∴∠AEB=∠EAD=90°， ∵∠EAF＝60°，∴∠DAF=30°， 在Rt△AFD中，DF=2，∴AD=4，∴AF= ， ∵AD=CD=4， ∴菱形ABCD面积= 【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 考点五 用菱形的性质证明 【例5】如图，四边形ABCD为菱形，，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线BD的长为______． 【答案】 【分析】连接AC交BD于H，证明DCH≌DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度． 【解析】如图，连接AC交BD于点H， 由菱形的性质得∠BDC=35，∠DCE=70，又∵∠MCE=15，∴∠DCF=55， ∵DF⊥CM，∴∠CDF=35， 又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC=35， 在CDH和CDF中，，∴CDH≌CDF（AAS）， ∴，∴DB=， 故答案为． 【点拨】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点． 【变式一】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N． (1)求证：四边形BNDM是菱形； (2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长． 【答案】(1)见分析 (2)菱形BNDM的周长为52 【分析】 （1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM=ON，由OB=OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论； （2）由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=2，由勾股定理得BM的长，即可得出答案． 【解析】(1)证明：∵AD∥BC，∴∠DMO=∠BNO， ∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB=OD，MN⊥BD， 在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM=ON， ∵OB=OD，∴四边形BNDM是平行四边形， ∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形； (2)解：∵四边形BNDM是菱形，BD=24，MN=10， ∴BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=5， 在Rt△BOM中，∴在Rt△BOM中， 由勾股定理得：， ∴四边形BNDM的周长为：4×13=52． 【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式二】如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理ASA可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可． 【解析】解：∵四边形是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D, A. 添加可以，在△ABE和△ADF中，，∴(SAS)，故选项A可以； B.添加 可以，在△ABE和△ADF中，∴(ASA)；故选项B可以； C. 添加不可以，条件是边边角故不能判定；故选项C不可以； D. 添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(SAS)．故选项D可以； 故选择C． 【点拨】本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解题关键． 考点六 用菱形的性质与判定求角度 【例6】如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则_________． 【答案】30° 【分析】由菱形的性质得出AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD⊥BC，由翻折变换的性质得：=∠D=60°，求出∠CME==30°，即可得出的度数． 【解析】解：连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AD'刚好过BC的中点P，∴AD⊥BC，∴∠D'PC=90°， 由翻折变换的性质得：=∠D=60°，∴∠CME=∠PMD'=30°， ∴∠D'EC=180°-∠C-∠CME=30°； 故答案为：30°． 【点拨】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和菱形的性质是解题关键． 【变式一】如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（       ） A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β C．4∠α＋∠β＝180° D．3∠α＋2∠β＝180° 【答案】C 【分析】根据AC平分∠B′AC′，得到∠B'AC＝∠C'AC，根据旋转角为∠α，得到∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，根据AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，推出∠BAB'＝∠DAC'，推出∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，根据AD∥BC，得到∠B+∠BAD＝180°，推出4∠α+∠β＝180°． 【解析】∵AC平分∠B′AC′，∴∠B'AC＝∠C'AC， ∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∴∠BAB'＝∠CAC'＝∠α， ∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BAB'＝∠DAC'，∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α， ∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴4∠α+∠β＝180°． 故选：C． 【点拨】本题考查了菱形性质，旋转性质和角平分线，熟练掌握菱形的边、角、对角线性质，旋转图形全等性质，角平分线定义，是解决本题的关键． 【变式二】如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的中线，AE∥BC，CE∥AD，EC的垂直平分线FG交AC点G，连接DG，若∠ADG＝24°，则∠B的度数为_____度． 【答案】38 【分析】连接GE，证明四边形ADCE为菱形，得到∠DAC＝∠EAC，根据△AGD≌△AGE得到∠AEG＝∠ADG＝24°，根据线段垂直平分线的性质得到GC＝GE，根据等腰三角形的性质得到∠GEC＝∠ECA，根据平行线的性质列式计算即可． 【解析】连接GE， ∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE为平行四边形， ∵Rt△ABC中，AD为斜边BC上的中线，∴AD＝BC＝DC， ∴平行四边形ADCE为菱形，∴∠DAC＝∠EAC， 在△AGD和△AGE中，， ∴△AGD≌△AGE（SAS），∴∠AEG＝∠ADG＝24°， ∵四边形ADCE为菱形，∴∠DCA＝∠ECA， ∵GF是EC的垂直平分线，∴GC＝GE，∴∠GEC＝∠ECA， ∵AE∥BC，∴∠AEC+∠BCE＝180°，∴3∠ACB+24°＝180°， 解得，∠ACB＝52°，∴∠B＝90°﹣52°＝38°， 故答案为：38． 【点拨】本题考查的是菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握菱形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理． 考点七 用菱形的性质与判定求线段 【例7】如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E为BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，分别连接PE、PC，则PE+PC的最小值＝_____________． 【答案】 【分析】取AB的中点F，连接PE，EF，通过菱形的性质证明△BPF≌△BPE，得出PE＝PF，再根据两点之间线段最短，当C，P，F在同一条之线上时，PF+PC最小，即PE+PC最小． 【解析】如图： 取AB的中点F，连接PF，CP，∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∠FBP＝∠EBP， 又∵E，F分别是BC，BA的中点，∴BF＝BA，BE＝BC，∴BE＝BF， 在△BPF和△BPE中，，∴△BPF≌△BPE（SAS），∴PE＝PF，∴PE+PC＝PF+PC， C，F是两定点，连接CF交BD于，又∵两点之间线段最短，∴此时F+C＝CF最短，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，BC＝BA，∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∵CF平分BA，∴CF⊥BA， ∵AB＝2，∴BF＝1，BC＝2，在Rt△BFC中， CF＝＝＝， ∴PE+PC的最小值为， 故答案为：． 【点拨】此题考查了轴对称—最短路径问题，内容涉及菱形的性质、等边三角形的性质和判定及勾股定理，综合性较强． 【变式一】如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 ___． 【答案】8 【分析】根据作图痕迹得出AE为∠BAD的平分线，AB=AF，根据平行四边形性质和平行线性质可证明四边形ABEF是菱形，再根据勾股定理求解即可． 【解析】连接EF，设AE与BF交于点O，由作图得：∠BAE=∠FAE，AB=AF， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥BE， ∴∠FAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB= BE=AF， ∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形，∴BO =BF=3，OA=AE，AE⊥BF， 在Rt△AOB中，AB=5，∠AOB=90°， 由勾股定理得：， ∴AE=2OA=8， 故答案为：8． 【点拨】本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式二】如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得到，，分别为线段和线段上的动点，且，有以下结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④．其中正确结论有__________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】①由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD即可判断；②利用SAS即可判定△ABE≌△CBF；③由全等三角形的性质可知BE=BF，∠ABE=∠CBF，再结合∠ABC=∠ABE+EBC=60°，即可求出∠EBF=60°，即证明△BEF为等边三角形；④由∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+FCG即可判断． 【解析】由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABCD为菱形故①正确． ∵在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），故②正确； ∵△ABE≌△CBF，∴BE=BF，∠ABE=∠CBF， ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°，∴△BEF为等边三角形，故③正确； ∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+FCG，∠FCG=∠BFG=60°，∴∠CFB=∠CGE，故④正确； 综上，①②③④都正确， 故答案为：①②③④． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合的思想解题的关键． 考点八 用菱形的性质与判定求面积 【例8】如图，在四边形ABCD中，，，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF． (1)求证：四边形CDEF为菱形； (2)连接DF交AC于点G，若，，求四边形CDEF的面积． 【答案】(1)见分析 (2) 【分析】由三角形中位线定理可得EF= AB，EF∥AB，CF= BC，可得AB∥CD∥EF，EF=CF=CD，由菱形的判定可得结论； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【解析】(1)证明：∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点， ∴EF= AB，EF∥AB，CF= BC，AE=CE ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF， ∵AB=BC=2CD，∴EF=CF=CD，且AB∥CD∥EF， ∴四边形DEFC是平行四边形，且EF=CF ∴四边形CDEF为菱形； (2)解：如图，DF与EC交于点G ∵四边形CDEF为菱形，DF=2，∴DG=1，DF⊥CE，EG=GC， ∵，∴ ∴， 【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 【变式一】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上一点，DE=BF，连接AC、EF、AF、CE，若AC=5，AE＝AF，EF＝8，则四边形AECF的面积为___． 【答案】20 【分析】首先判定四边形AFCE是菱形，然后利用对角线乘积的一半求得菱形的面积即可． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC， ∵DE=BF，∴AD-DE=BC-BF，∴AE=CF，∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵AE＝AF，∴四边形AFCE是菱形， ∵AC=5，EF=8，∴S菱形AFCE=AC•EF=×5×8=20， 故答案为：20． 【点拨】考查了平行四边形的性质、菱形的判定及面积公式，解题的关键是判定四边形AFCE是菱形． 【变式二】在中，，分别是，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则四边形的面积为__________． 【答案】(1)见分析 (2)96 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得出BE∥DF，AB=DC，结合中点的定义，得出BE=DF，则可证明四边形BEDF为平行四边形； （2）连接AN，EF和MN，取EF和MN的交点为O,利用（1）的结论，再证明四边形EMFN是平行四边形，结合连接AN，，得出四边形EMFN是菱形，根据三角形中位线定理和平行线的公理推出F、N、A三点共线，利用ASA证明△AEN≌△EBM，推出S△AEN=S△AND=S△EBM，同理得到S△FCB=2S△BEM=2S△DFN ，再证明四边形EBMN为平行四边形，求出MN的长，则可得出OM长，根据勾股定理求出OE的长，然后求出菱形EMFN的面积，最后根据面积的和差关系求出四边形ABCD的面积即可． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BE∥DF，AB=DC， 又∵E、F分别为AB和CD的中点，∴BE=DF，∴四边形BEDF为平行四边形； (2)解：如图，连接AN，EF和MN，取EF和MN的交点为O, 由（1）得四边形BEDF为平行四边形，∴BF∥DE，BF=DE，即MF∥DN， 由M、N分别是BF和DE的中点，∴MF=EN，∴四边形EMFN是平行四边形， ∵，∴四边形EMFN是菱形， ∵E为AB的中点，在△BAF中，EM为中位线，∴EM∥AF， 又EM∥NF，∴F、N、A三点共线， 又EN=ND，∴S△AEN=S△AND， ∵ME∥AF，∠BEM=∠EAM， ∵EN∥BF，∴∠AEN=∠EBM， 又AE=BE，∴△AEN≌△EBM（ASA）， ∴S△AEN=S△AND=S△EBM， 同理S△FCB=2S△BEM=2S△DFN ， ∵菱形EMFN与△BEM等底同高，∴S菱形EMFN=2S△BEM， ∵AB=12,∴BE=AB=6， 连接MN，∵EN∥BM，∴EN=BM，∴四边形EBMN为平行四边形， ∴EB∥MN，且EB=MN=6， 连接EF，∵MN=6，∴ ， 又EN=5，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，菱形的判定和性质，以及面积的和差关系和转换，解题的关键根据题意作出辅助线，借助等底同高的性质找出三角形和平行四边形的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 菱形的性质与判定（能力提升） 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【重点说明】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【重点说明】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【重点说明】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 考点一 证明四边形是菱形 【例1】如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（       ） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 【变式1】如图，△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接AE、DF，要使AE、DF互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是（       ） A． B． C． D．AE是△ABC的角平分线 【变式2】如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作交CD于点F，交AC于点M，过点D作交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①；②：③；④当时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二 用菱形的性质求角 【例2】如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为．连接，则等于（       ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形ABCD内有一点E，AE=EB=BC=CD=DE，AB=AD，若∠C=150，则∠BAD的大小是（   ） A．60 B．70 C．75 D．80 【变式2】如图，是菱形的对角线，， （1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 考点三 用菱形的性质求线段 【例3】如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为(     ) A．4 B． C．6 D． 【变式一】如图，菱形ABCD，以点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交边AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则AB的长为______． 【变式二】如图，在菱形ABCD中，于点E，交AD的延长线于点G，于点F． (1)求证：； (2)若，，求DG的长． 考点四 用菱形的性质求面积 【例4】如图四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E，若∠A=120°，AB=a（），AB︰MB=3︰1，则四边形CFEG的面积是______________．（用含a的式子表示） 【变式一】如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 【变式二】如图，在中，过点A作于点E，于点F，且． (1)求证：是菱形． (2)若，求平行四边形的面积． 考点五 用菱形的性质证明 【例5】如图，四边形ABCD为菱形，，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线BD的长为______． 【变式一】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N． (1)求证：四边形BNDM是菱形； (2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长． 【变式二】如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（       ） A． B． C． D． 考点六 用菱形的性质与判定求角度 【例6】如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则_________． 【变式一】如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（       ） A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β C．4∠α＋∠β＝180° D．3∠α＋2∠β＝180° 【变式二】如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的中线，AE∥BC，CE∥AD，EC的垂直平分线FG交AC点G，连接DG，若∠ADG＝24°，则∠B的度数为_____度． 考点七 用菱形的性质与判定求线段 【例7】如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E为BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，分别连接PE、PC，则PE+PC的最小值＝_____________． 【变式一】如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 ___． 【变式二】如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得到，，分别为线段和线段上的动点，且，有以下结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④．其中正确结论有__________．（填序号） 考点八 用菱形的性质与判定求面积 【例8】如图，在四边形ABCD中，，，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF． (1)求证：四边形CDEF为菱形； (2)连接DF交AC于点G，若，，求四边形CDEF的面积． 【变式一】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上一点，DE=BF，连接AC、EF、AF、CE，若AC=5，AE＝AF，EF＝8，则四边形AECF的面积为___． 【变式二】在中，，分别是，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则四边形的面积为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$