1.1 菱形的性质与判定（8考点·基础巩固）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

1.1 菱形的性质与判定（基础巩固） 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【重点说明】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【重点说明】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【重点说明】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 考点一 菱形的有关概念 【例1】菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角 【变式1】菱形不具备的性质是（　　） A．对角线一定相等 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 【变式2】如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝CD B．BA⊥BD C．AC⊥BD D．AC＝BD 考点二 用菱形的性质求角 【例2】如图，在菱形中，，对角线、相交于点O，E为中点，则的度数为（       ） A．70° B．65° C．55° D．35° 【变式1】如图，菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接，若，则________． 【变式2】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝______． 考点三 用菱形的性质求线段 【例3】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（       ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 【变式一】如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，菱形的周长为（       ） A．8 B．16 C．12 D． 【变式二】如图，菱形中，作、，分别交、的延长线于点． （1）求证：； （2）若点恰好是的中点，，求的值． 考点四 用菱形的性质求面积 【例4】如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若，，则四边形的面积是（　　　） A． B．8 C．4 D． 【变式一】已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（　　） A．8 B．8 C．4 D．2 【变式二】如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积． 考点五 用菱形的性质证明 【例5】如图，在菱形中，，是对角线上的两点，且． （1）求证：≌； （2）证明四边形是菱形． 【变式一】如图，四边形的对角线与交于点，若，， (1)求证：四边形是平行四边形 (2)请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件 ，使四边形是菱形 【变式二】如图，在菱形中，是对角线上的一点．连，，求证：． 考点六 用菱形的性质与判定求角度 【例6】如图在菱形中，边的垂直平分线与对角线相交于点E，，那么__________度． 【变式一】如图，四边形为菱形，若为边的垂直平分线，用的度数为（       ） A．20° B．25° C．30° D．40° 【变式二】如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B=______°． 考点七 用菱形的性质与判定求线段 【例7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． (1)证明：四边形ACDE是平行四边形； (2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长． 【变式一】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DEAC，CEBD．若AD＝2，AB＝3，则四边形CODE的周长是________． 【变式二】四边形ABCD中，，，，点O为AC中点，DO的延长线交AB于E．若，，则AB的长为（       ） A．5 B．7 C．8 D．9 考点八 用菱形的性质与判定求面积 【例8】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为_____，面积为_____． 【变式一】如图，在的两边．上分别截取，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为4．则的长为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式二】如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于点O，∠BAD＝60°． (1)求对角线AC，BD的长； (2)求菱形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 菱形的性质与判定（基础巩固） 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【重点说明】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【重点说明】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【重点说明】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 考点一 菱形的有关概念 【例1】菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角 【答案】D 【分析】根据菱形的性质与平行四边形的性质逐项分析判断即可． 【解析】A．菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意； B．菱形和平行四边形的对角线都不相等，故B选项不符合题意； C．菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意； D．菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不互相垂直，每一条对角线不平分一组对角，故D选项符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行四边形和菱形的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键． 【变式1】菱形不具备的性质是（　　） A．对角线一定相等 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 【答案】A 【分析】根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的 两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分 别是两条对角线所在直线，即可判断． 【解析】根据菱形的性质可知： 菱形的对角线互相垂直平分，故B正确； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C，D正确； 菱形不具备对角线一定相等，故A错误； 故选：A． 【点拨】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 【变式2】如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝CD B．BA⊥BD C．AC⊥BD D．AC＝BD 【答案】C 【分析】由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解析】A.四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B.四边形ABCD是平行四边形，BA⊥BD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C.四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形,选项C符合题意； D.四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题关键． 考点二 用菱形的性质求角 【例2】如图，在菱形中，，对角线、相交于点O，E为中点，则的度数为（       ） A．70° B．65° C．55° D．35° 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质求出∠BAC的度数，再证OE是△ABC的中位线即可得到答案． 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴， 点O是AC的中点，，∴∠BAD=180°-∠ABC=110°，∴∠BAC=55°， ∵E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴，∴∠COE=∠BAC=55°， 故选C． 【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键． 【变式1】如图，菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接，若，则________． 【答案】20° 【分析】根据菱形的性质得到BC=CD=CE，求出∠DCE的度数，利用菱形的性质求出∠OBC即可． 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AB∥CD， ∵，∴CE=CD，∴∠CDE=，∴∠DCE=（180°-2∠E）=40°， ∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCE=40°，∴∠OBC=∠ABC=20°， 故答案为：20°． 【点拨】此题考查了菱形的性质，等边对等角求角度，熟记菱形的性质是解题的关键． 【变式2】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝______． 【答案】20° 【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题． 【解析】∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FAB＝∠FBA， ∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD， ∴∠BAC＝∠BCA＝35°，∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠FAB＝55°， ∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°， 故答案为：20°． 【点拨】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 考点三 用菱形的性质求线段 【例3】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（       ）． A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 【答案】D 【分析】首先利用平行四边形的性质和角平分线的定义得出四边形ABEF是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【解析】设AE与BF交于G， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC， ． ∠FAE=∠BEA， ∵BF平分， ， ，， ∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠BEA，∴， ， ∵AD//BC，即AF//BE，∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形，， ∵， ， ． 故选：D． 【点拨】本题主要考查平行四边形性质，菱形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，角分线定义，勾股定理，掌握平行四边形性质，菱形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，角分线定义，勾股定理是解题关键． 【变式一】如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，菱形的周长为（       ） A．8 B．16 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，四边形相等，每条对角线平分每组对角，易得到，再根据含的直角三角形的性质求出菱边CD的长度，然后用菱形的周长公式求解． 【解析】∵菱形ABCD的两条对角线交于点O，， ∴，，， ∴， 在中，，∴， ∴菱形ABCD的周长为， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质、含的直角三角形的性质，理解菱形的性质是解答关键． 【变式二】如图，菱形中，作、，分别交、的延长线于点． （1）求证：； （2）若点恰好是的中点，，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）. 【分析】(1)由“”可证，可得；(2)由线段垂直平分线的性质可得． 【解析】(1)证明：四边形是菱形，∴，∴， ∵、，∴，∴，∴； (2)解：∵是中点，且，∴直线为的垂直平分线，∴. 【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 考点四 用菱形的性质求面积 【例4】如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若，，则四边形的面积是（　　　） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【解析】根据作图，， ∵，∴，∴四边形OACB是菱形， ∵，，∴． 故选：C． 【点拨】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 【变式一】已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（　　） A．8 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果． 【解析】如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°， ∵菱形的周长为8，∴边长AB＝2，∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝2， ∴菱形的面积＝AC•BD＝×2×2＝2． 故选：D． 【点拨】本题考查菱形的性质，解题关键是掌握菱形的性质． 【变式二】如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积． 【答案】（1）见试题解析；（2）2 【分析】 （1）由□ABCD可得AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠CDA，再结合点E、F分别是BC、AD的中点即可证得结论； （2）当四边形AECF为菱形时，可得△ABE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果． 【解析】（1）证明：∵在□ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA． 又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF． （2）解：当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，四边形ABCD的高为 , ∴菱形AECF的面积为2. 【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等；菱形的四条边相等． 值． 考点五 用菱形的性质证明 【例5】如图，在菱形中，，是对角线上的两点，且． （1）求证：≌； （2）证明四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】(1)利用SAS证明即可； (2)从对角线的角度加以证明即可. 【解析】证明：（1）∵四边形为菱形，∴，且， 又∵，∴≌． （2） 连接交于点， ∵四边形为菱形，∴，且为，中点， 又∵，∴ ∴与互相垂直且平分， 故四边形是菱形． 【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键． 【变式一】如图，四边形的对角线与交于点，若，， (1)求证：四边形是平行四边形 (2)请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件 ，使四边形是菱形 【答案】(1)证明见解析；(2)（答案不唯一） 【分析】 （1）根据平行线的性质得出，，进而利用证明与全等，再利用平行四边形的判定解答即可； （2）根据菱形的判定解答即可． 【解析】(1)证明：∵，∴，， 在与中，，∴（） ∴，∴四边形是平行四边形． (2)解：添加：（答案不唯一）． 证明：∵，又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【变式二】如图，在菱形中，是对角线上的一点．连，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质可得到，∠，已知公共边，所以利用判定△，从而得到． 【解析】证明：∵四边形是菱形，∴ ∵是菱形的对角线， ∠， ∴△ ∴ 【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 考点六 菱形的性质与判定求角度 【例6】如图在菱形中，边的垂直平分线与对角线相交于点E，，那么__________度． 【答案】40 【分析】由菱形性质解得，进而证明，再由全等三角形对应角相等的性质，解得，结合线段垂直平分线的性质解题即可． 【解析】连接BE， 四边形ABCD是菱形， 在和中，， 在菱形中ABCD中，，， 边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E，， ，， 故答案为：40． 【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的性质，其中涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式一】如图，四边形为菱形，若为边的垂直平分线，用的度数为（       ） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】C 【分析】连接AC，证明△ABC为等边三角形，得到∠ABC=60°，根据菱形性质即可求解． 【解析】连接AC， ∵四边形为菱形，∴AB=BC， ∵为边的垂直平分线，∴BC=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°， ∵四边形为菱形，∴∠ADB=． 故选：C 【点拨】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，证明△ABC为等边三角形是解题关键． 【变式二】如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B=______°． 【答案】75 【分析】根据菱形的性质先求出∠BAC，再由折叠知AD'=AB，从而求出∠AD'B的度数. 【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=AD，CD∥AB， ∵∠D=120°，∴∠DAB=60°， ∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠BAC=30°， ∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上， ∴AD'=AD，∴AD'=AB，∴∠AD'B=， 故答案为：75. 【点拨】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键. 考点七 菱形的性质与判定求线段 【例7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． (1)证明：四边形ACDE是平行四边形； (2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长． 【答案】(1)见解析；(2)△ADE的周长为18 【分析】 （1）根据菱形的性质可得AB∥CD，AC⊥BD，再由DE⊥BD，可得DE∥AC，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得DE=AC=8，AE=CD，再由菱形的性质可得AC⊥BD，，，CD=AE，从而得到AD=5，从而得到AE=CD=AD=5，即可求解． 【解析】(1)证明：在菱形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，∴CD∥AE， ∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形； (2)解：∵四边形ACDE是平行四边形，AC＝8，BD＝6，∴DE=AC=8，AE=CD， 在菱形ABCD中，AC⊥BD，，，CD=AE， ∴∠AOD=90°，∴，∴AE=CD=AD=5， ∴△ADE的周长为． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式一】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DEAC，CEBD．若AD＝2，AB＝3，则四边形CODE的周长是________． 【答案】2 【分析】首先由CEBD，DEAC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案． 【解析】∵CEBD，DEAC，∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC，∴四边形CODE是菱形， ∵AD＝2，AB＝3，∴AC＝，∴四边形CODE的周长为：4OC＝2AC＝2． 故答案为：2． 【点拨】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键． 【变式二】四边形ABCD中，，，，点O为AC中点，DO的延长线交AB于E．若，，则AB的长为（       ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】连接，根据已知条件证明四边形是菱形，勾股定理求得，根据即可求解． 【解析】如图，连接 ，点O为AC中点，,， ，，，， ，四边形是平行四边形 ，四边形是菱形， 在中，，， 故选：C 【点拨】本题考查了勾股定理，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键． 考点八 用菱形的性质与判定求面积 【例8】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为_____，面积为_____． 【答案】 20     24 【分析】首先由AC与BD互相垂直且平分，可证得四边形ABCD是菱形，又由BD＝6，AC＝8，即可求得答案． 【解析】∵AC与BD互相垂直且平分，∴AD＝AB＝BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形， ∵BD＝6，AC＝8，∴OA＝ AC＝4，OB＝ BD＝3，∴ ， ∴四边形周长为：，面积为： ×6×8＝24． 故答案为：20，24． 【点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式一】如图，在的两边．上分别截取，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为4．则的长为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【解析】根据作图，AC＝BC＝OA， ∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形， ∵AB＝2，四边形OACB的面积为4，∴AB•OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4． 故选：C． 【点拨】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 【变式二】如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于点O，∠BAD＝60°． (1)求对角线AC，BD的长； (2)求菱形的面积． 【答案】(1)BD＝10cm，AC＝cm (2)菱形的面积为cm2 【分析】 （1）利用已知条件易求BD的长，再由勾股定理可求出AO的长，进而可求对角线AC的长； （2）利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积． 【解析】解：(1)在菱形ABCD中，AB＝AD＝10cm，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形，∴BD＝10cm． 由菱形的性质知AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，∴BO＝BD＝5cm， 在Rt△AOB中，AO＝＝cm， ∴AC＝2AO＝（cm）． (2)菱形的面积为×10×＝（cm2）． 【点拨】本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，还考查了勾股定理的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$