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陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 1页(共 12页)
陕西师大附中2023-2024学年度第二学期期末考试高
一年级数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B D B D C D AC BCD AC ACD
一、单选题。
1.B【解答】解法 1:由已知可得, � =− 1−�
1+�
=− (1−�)
2
(1+�)(1−�)
=− −2�
2
= �,
所以 � =− �,所以 � ⋅ � = � × −� = 1.故选:B.
解法 2:因为 1 + � � = −1 + � ,所以 � = 1,所以 � ⋅ � = � 2 = 1.
2.C【解答】解:将数据从小到大排列可得:10,12,14,15,17,19,23,27,
31,35共 10 个数,则 10 × 75% = 7.5,则该组数据的上四分位数是第 8个数,
即 27.
故选:C.
3.B【解答】解:空间点关于�轴对称,横坐标不变,另外两个坐标相反,
所以�关于�轴的对称点为 −2, − 1,4 .故选:B.
4.D【解答】解:依题意,(� + � ) ⋅ � = � 2 + � ⋅ � = 8,故� ⋅ � =− 8.
|� − 2� |2 = � 2 − 4� ⋅ � + 4�
2
= 80,即 16 + 32 + 4|� |2 = 80,
解得|� | = 2 2,故选 D.
5.B【解答】点 1,1,1A ,点 1, 1, 1 , 0, 2, 2 ,P AP
.
2 2 20 ( 2) ( 2) 2 2AP
.
又直线 l 的方向向量为 1,0, 1 ,m 所以点 1, 1, 1P 到 l 的距离
2 2
2 2| | 8 6
2
AP md AP
m
.故选:B.
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6.D【解答】解:连接 ��交 ��于 �,连接 ��,
∵ ��∥平面 ���, �� ⊂平面 ���,
平面 ��� ∩平面 ��� = ��,
∴ ��∥ ��,故: ��
��
= ��
��
①
又 ∵ ��∥ ��, �为 ��的中点,
∴ ��
��
= ��
��
= 1
2
②由①②可得: ��
��
= 1
2
.故选:D.
7.C【解答】解:因为�cos � − �cos 2� = �,由正弦定理知:
sin �cos � − sin �cos 2� = sin � = sin � + � = sin �cos � + cos �sin �,
因为 sin � ≠ 0,故−cos 2� = cos � =− 2cos2� + 1,
解得 cos � = 1
2
或 cos � =− 1(舍去),又因为△���是锐角三角形,� = �
3
.
因为△���外接圆的半径为 2,
由正弦定理知:
�
sin �
= 2 × 2,即� = 4sin � = 2 3,
� + � = �
sin �
[sin � + sin( 2�
3
− �)] = 4[sin � + sin( 2�
3
− �)] = 4(sin � +
3
2
cos � + 1
2
sin �) = 4 3( 3
2
sin � + 1
2
cos �) = 4 3sin(� + �
6
),
∵△���是锐角三角形,
∴
0 < � < �
2
0 < � = 2�
3
− � < �
2
,解得
�
6
< � < �
2
,得� + �
6
∈ ( �
3
, 2�
3
),
∴ sin(� + �
6
) ∈ ( 3
2
, 1],可得� + � ∈ (6,4 3],又�2 = 12,
故
�2
�+�
的取值范围是[ 3, 2).故选 C.
8.D 【解答】解:由题意设� = ( � + 1, � + 3),� = ( 2, 1),
则 � ·� ⩽ � � ,所以 � ·� 2⩽ � 2· � 2,即
( 2 × � + 1 + 1 × � + 3)2⩽[( � + 1)2 + ( � + 3)2](2 + 1) = 3 × 9,
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即 2� + 2 + � + 3⩽3 3,当且仅当即� = 5,� = 0 时,等号成立.
因此, 2� + 2 + � + 3的最大值为 3 3.故选 D.
二、多选题。
9.AC【解答】解:对于 A:若� > �,则� > �,则 2�sin � > 2�sin �,整理得
sin � > sin �,故 A正确;
对于 B:根据� = 4,� = 5,� = 6,可得 cos � = �
2+�2−�2
2��
= 1
8
> 0,
所以最大角�为锐角,故△���为锐角三角形,故 B错误;
对于 C:若� = 5,� = 10,� = �
4
,则 sin � = �⋅sin �
�
=
10× 22
5
= 2 > 1,
这样符合条件的三角形内角�不存在,故 C正确;
对于 D:若�cos � = �cos �,则 sin �cos � = sin �cos �,可得 sin 2� = sin 2�,
所以 2� = 2�或 2� + 2� = �,所以△���是等腰或直角三角形,故 D不正确.
故选:AC.
10.BCD【解答】解:由分层抽样方式可得总体为该学校高三的学生,样本是抽
取的 80名学生,即 A错误;
由抽样比为
80 1
800 10
可得每一位学生被抽中的可能性为
1
10,即 B正确;
由男生、女生体重以及男女人数之比为5 : 3可得抽取样本学生平均体重为
5 364 48 58
5 3 5 3
,
因此可由样本估计总体求得该校高三学生平均体重58千克,即 C正确;
由男、女生样本方差可求得总体样本方差为
2 22 5 3124 64 58 140 48 58 190
8 8
s ,
由样本方差为 190可估计该校高三学生体重的方差为 190,即 D正确;
故选:BCD.
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11.AC【解答】A选项,3PO PA PB PC
,
所以 0OP PA OP PB OP PC
,即 0OA OB OC
,所以O 为三角形 ABC 的重心,
故 A正确;
B选项,�� ⋅ �� = �� ⋅ �� = �� ⋅ �� ,整理得:�� ⋅ (�� − �� ) = 0,所以�� ⋅
�� = 0,即�� ⊥ ��,由于�� ⊥平面���,所以�� ⊥ ��,故 BC⊥平面���,所
以�� ⊥ ��,同理,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,故点�为△���的垂心,故 B错误;
C选项,因为 PO ⊥平面 ABC ,则PA、PB、PC 与平面 ABC 所成的角分别为 PAO 、
PBO 、 PCO ,由题意可知, PAO PBO PCO ,
所以, tan tan tan
PO PO PO
PAO PBO PCO
,
即OA OB OC ,所以,点O是 ABC 的外心,故 C正确;
D选项,过点 P在平面 PAB内作 PE AB ,垂足为点 E,
过点 P在平面 PBC 内作 PF BC ,垂足为点 F,
过点 P在平面 PAC 内作 PG AC ,垂足为点G,连
接OE 、OF、OG ,
因为 PO 平面 ABC ,OE 、 AB 平面 ABC ,则
AB PO ,OE PO^ ,
又因为 PE AB ,PO PE P ,PO 、PE 平面 POE ,
所以, AB 平面 POE ,
又因为OE 平面 POE ,所以,OE AB ,
所以三侧面与底面所成角分别为∠���, ∠���, ∠���,
由题意知,∠��� = ∠��� = ∠���,所以,
PO PO PO
OE OF OG
,
即OE OF OG ,所以O为△ ABC 的内心,故 D错误.故选:AC.
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12.ACD【解答】解:对于 A 项,由已知可推得,二十四等边体的各个顶点均为
正方体�1�1�1�1 − �2�2�2�2各个棱的中点,
如图 1,则�� = 2��1 =
2
2
�1�1 = 2,所以�1�1 = 2,故 A项正确;
对于 B 项,如图 1,由�知,四面体�1 − ���是三条
侧棱两两垂直,且长度为 1 的三棱锥,所以
��1−��� =
1
3
× 1
2
× 1 × 1 × 1 = 1
6
,故 B项错误;
对于 C 项,正方体的体积为�1 = 23 = 8,所以该二
十四等边体的体积为� = �1 − 8��1−��� = 8 − 8 ×
1
6
= 20
3
,故 C项正确;
对于 D 项,如图 2,设球心为�,显然�是正方体的中心,连结�2�1,取�2�1
中点为�,连结��, ��, ��,
因为�, �分别是�1�2, �1�2的中点,所以�� =
1
2
�2�2 = 1.
又�� = 1
2
�1�1 = 1,�� ⊥ ��,
所以,在 Rt△���中,有��2 = ��2 + ��2 = 2,
所以�� = 2,
所以,该二十四等边体外接球的半径� = �� = 2,
表面积为 4��2 = 8�,故 D项正确.
故选:ACD.
三、填空题。
13.3【解答】令 iz x y 且 ,x yR,又 3 i 1z ,
所以 2 2( 3) ( 1) 1x y ,即 2 2( 3 ) ( 1) 1x y ,
所以复数 z对应点在以 ( 3, 1) 为圆心,半径为 1的圆上,
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又 2 2z x y 表示圆上点到原点的距离,而圆心到原点距离为 2 23 1 2 ,
所以 z的最大值为 2 1 3 .故答案为:3.
14. 3
3
【解析】正三棱柱的高与底面边长均为 2,
边长为 2的等边三角形的内切圆的半径为
1 33 1
3 3
,
正三棱柱内半径最大的球的半径为
3
3 .
15.30【解答】解:在直角△���中,因为∠��� = 45∘,可得�� = ��,
在直角△���中,因为∠��� = 30∘,可得�� = 3��,
在△���中,因为∠��� = 120∘,�� = 30,
由余弦定理得��2 = ��2 + ��2 − 2�� ⋅ ��cos 120∘,
即 3��2 = 302 + ��2 − 2 × 30 × �� × ( − 1
2
),
可得��2 − 15�� − 30 × 15 = 0,
解得�� = 30 或�� =− 15(舍去),即塔的高度为 30 米.故答案为:30.
16.[1 − 2
4
, 2 + 2
4
]【解答】解:如图所示,以�
为原点,��,��所在直线为�,�轴建立平面直角
坐标系,边长为 4 的正方形����中,动圆�的半
径为 1,圆心�在边��和��上移动(包含端点�,�,
�),�是圆�上及内部的动点,
向量�� = ��� + ��� (�, �为实数),
�� = (0,4),�� = (4,0),可得�� = (4�, 0) + (0,4�) = ( 4�, 4�).
当动圆�的圆心经过点�时,如图:�(4 + 2
2
, 4 + 2
2
).
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此时�+ �取得最大值:4� + 4� = 8 + 2,
可得�+ � = 2 + 2
4
.
当动圆�的圆心为点�时,��与⊙�相交且点�在�轴的下方时,�� = (4 +
cos �, sin �),
此时,4� + 4� = 4 + 2sin(� + �4 ),
�+ �取得最小值为:1 − 2
4
,此时�(4 − 2
2
, − 2
2
).
同理可得,当动圆�的圆心为点�时,��与⊙�相交且点�在�轴的左方时,
�+ �取得最小值为:1 − 2
4
,此时�( − 2
2
, 4 − 2
2
).
∴则�+ �的取值范围为[1 − 2
4
, 2 + 2
4
].故答案为:[1 − 2
4
, 2 + 2
4
].
四、解答题。
17.解:(1)由(0.005 + 0.010 + 0.015 × 2 + � + 0.030) × 10 = 1,
解得� = 0.025;……………….5分
(2)45 × 0.05 + 55 × 0.15 + 65 × 0.3 + 75 × 0.25 + 85 × 0.15 + 95 × 0.1 = 71,
故本次数学测试成绩的平均分为 71.……………….10分
18.证明:(1) ∵底面���为直角三角形,�� = ��,∴ �� ⊥ ��,
∵ �� ⊥平面���,�� ⊂平面���,∴ �� ⊥ ��,
∵ �� ∩ �� = �,��,�� ⊂平面���,
∴ �� ⊥平面���,而�� ⊂平面���,
∴ �� ⊥ ��.……………….6分
(2)以�为原点,过�作��的平行线为�轴,以��为�
轴,以��为�轴,建立空间直角坐标系,
则�(0,0,4),�(0,2,0),�(2,2,0),�(1,1,0),
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�� = (1, − 1,0),�� = (0, − 2,4),�� = (2,0,0),
设平面���的法向量� = (�, �, �),
则
� ⋅ �� =− 2� + 4� = 0
� ⋅ �� = 2� = 0
,取� = 2,
得� = (0,2,1),……………….10分
∴点�到平面���的距离� = |� ⋅��
|
|� |
= |−2|
5
= 2 5
5
.……………….13分
19.解:(1)在△���中,∠��� = 45°,∠��� = 60°,
故∠��� = 75°,∠��� = 120°,
由正弦定理得
��
sin∠���
= ��
sin∠���
,即�� = 2×sin 75°
sin 45∘
,
而 sin 75° = sin(30° + 45°) = 1
2
× 2
2
+ 3
2
× 2
2
= 2+ 6
4
,
故�� =
2× 2+ 64
2
2
= 1 + 3,故�� = 1
2
�� = 1
2
(1 + 3),……………….4分
故三角形手巾的面积为
�△��� + �△��� =
1
2
�� × �� × sin∠��� +
1
2
�� × �� × sin∠���
= 1
2
× 2 × (1 + 3) × 3
2
+ 1
2
× 2 × 1+ 3
2
× 3
2
= 9+3 3
4
.……………….7分
(2)设�� = �(� > 0),则�� = 2�,
则在△���中,��2 = ��2 + ��2 − 2�� ⋅ ��cos∠��� = �2 + 4 + 2�,
在△���中,��2 = ��2 + ��2 − 2�� ⋅ ��cos∠��� = 4�2 + 4 − 4�,
故
��2
��2
= 4�
2+4−4�
�2+4+2�
= 4(�
2+4+2�)−12(1+�)
�2+4+2�
= 4 − 12(1+�)
�2+4+2�
= 4 − 12(1+�)
(�+1)2+3
= 4 − 12
(�+1)+ 3�+1
,……………….12分
由于(� + 1) + 3
�+1
≥ 2 (� + 1) ⋅ 3
�+1
= 2 3,
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当且仅当�+ 1 = 3
�+1
,即� = 3 − 1 时取等号,
故 4 − 12
(�+1)+ 3�+1
≥ 4 − 12
2 3
= 4 − 2 3,
即
��2
��2
取到最小值时,�� = 3 − 1.……………….15分
20.解:(1)证明:取��中点�,连接��,��,
∵ �为��中点,�为��中点,
∴ �� = 1
2
��,且��//��,又∵ �� = 1
2
��,且��//��,
∴ �� = ��,且��//��,∴四边形����为平行四边形,
∴ ��//��,……………….3分
∵ �� ⊄平面���,�� ⊂平面���,
∴ ��/ /平面���;……………….5分
(2)证明:∵ ∠��� = ∠��� = �
4
,�� = ��,�� = ��,
∴ ��� ≌△ ���,
过�作�� ⊥ ��于点�,∴ �� ⊥ ��,
∴ �� = �� = 2,��2 + ��2 = 4 = ��2,∴ �� ⊥ ��,…………..….7分
∵ �� ∩ �� = �,��, �� ⊂平面����,
∴ �� ⊥平面����,∵ �� ⊂平面���,
∴平面��� ⊥平面����;……………….9分
(3)如图,以�为坐标原点,建立空间直角坐标系,
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�( 2, 0,0),�(0,0, 2),�(0, 2, 0),�(0, 2
2
, 2
2
),�( − 2, 2, 0),
∴ �� = ( − 2, 2
2
, 2
2
),�� = (2,0,0),�� = (0, − 2, 2),
设平面���的一个法向量� = (�, �, �),
∴ � ·�� = 0
� ·�� = 0
,即
2� = 0
− 2� + 2� = 0 ⇒ � = (0,1,1),………….13分
设��与平面���所成角为�,
∴ sin� = |��
⋅� |
|�� | �
= 2
2+12+
1
2⋅ 2
= 3
3
,
故 C�与平面���所成角的正弦值为 3
3
.………….15分
21.解:(1)�是旋转变换,�不是旋转变换………….1分
� �, � =
2
2 � −
2
2
�,
2
2
� +
2
2
� =
2
2
� −
2
2
�
2
+
2
2
� +
2
2
�
2
= �2 + �2 = |(�, �)|
若 �, � ≠ 0 ,
cos< � �, � , �, � > =
2
2
� −
2
2
�,
2
2
� +
2
2
� · �, �
� �, � |(�, �)|
=
2
2
� −
2
2
� � +
2
2
� +
2
2
� �
�2 + �2
=
2
2
�
2
2
� +
2
2
� − �
2
2 � −
2
2
� =
2
2
�2 + �2 > 0
综上,�是旋转变换
当 �, � ≠ 0 , � −� − �� =− 2��,有可能小于 0也可能大于 0,故�不是旋转
变换.………….4分
(2)设� �, � = (�, �),则�2 + �2 = �2 + �2①
当 �, � = 0 时,� �, � = (0,0)
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且当 �, � ≠ 0 时,cos< � �, � , �, � > = cos< � 1
2
, 3
2
, 1
2
, 3
2
> =
0,1 · 12,
3
2
0,1 | 12,
3
2 |
= 3
2
,故 ��+��
�2+�2 �2+�2
= 3
2
,
将①代入左式整理得�� + �� = 3
2
�2 + �2 ②
联立①、②,消去�得 �2 + �2 �2 − 3 �2 + �2 �� + 3
4
�2 + �2 2 − �2 �2 +
�2 = 0………….6分
因�2 + �2 > 0,故�2 − 3�� + 3
4
�2 − 1
4
�2 = 0
∆ = 3�2 − 3�2 + �2 = �2,故� = 3�±|�|
2
= 3�+�
2
或
3−�
2
,代入②,得
� = 3
2
� + 1
2
�
� =− 1
2
� + 3
2
�
或
� = 3
2
� − 1
2
�
� = 1
2
� + 3
2
�
又
1
2
·1 − 3
2
·0 = 1
2
> 0,故�� − �� > 0,因此
� = 3
2
� − 1
2
�
� = 1
2
� + 3
2
�
,即� �, � = ( 3
2
� −
1
2
�, 1
2
� + 3
2
�)………….8分
同理可得� �, � = ( 3
2
� + 1
2
�, − 1
2
� + 3
2
�)
� � �, � = � 3
2
� − 1
2
�, 1
2
� + 3
2
� = (�, �)………….10分
法二:考虑向量与复数的对应,利用复数的三角表示可以快速求出 f,g
(3)首先证明,旋转变换是保距离的:
若�是旋转变换
� � − � � = � � − � �
2
= � � 2 + � �
2
− 2� � ·� �
= � 2 + � 2 − 2 � � cos<� � , � � > = |� − � |………….12分
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设� = � + ��, �' = � 14
5−
3
5�
= � 4
5
+ 3
5
� = 4
5
� − 3
5
� + 3
5
� + 4
5
� �
设� �, � = �, � = ( 4
5
� − 3
5
�, 3
5
� + 4
5
�),
则有 � �, � = |(�, �)|,
当 �, � ≠ 0 时,cos< � �, � , �, � > = 4
5
,�� − �� = 3
5
�2 + �2 > 0
故�是旋转变换
由
� = 4
5
� − 3
5
�
� = 3
5
� + 4
5
�
得
� = 4
5
� + 3
5
�
� =− 3
5
� + 4
5
�
③
将③代入� =− 3
4
�,得� = 0,故�' = {�(�, �)|� =− 3
4
�}是直线�轴.
将③代入 16�2 − 15� + 9�2 − 20� − 24�� + 25 = 0,
得�2 + 1 − � = 0,故�' = {�(�, �)|16�2 − 15� + 9�2 − 20� − 24�� + 25 = 0}是
开口向上,顶点为(0,1)的抛物线.…….15分
由�的保距性,�中点到直线�的最短距离即�'中点到直线�'的最短距离为 1. 17分
陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 1页共 6页
陕西师大附中 2023-2024 学年度第二学期期末考试
高一年级数学试题
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,
只有一项是符合题目要求的。
1.设 i 为虚数单位,复数�满足(1 + i)� =− 1 + i,则� ⋅ �为( )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 3
2
2.一组数据 27,12,15,14,31,17,19,23,10,35的上四分位数是( )
A.17 B.19 C.27 D. 31
3.已知点�( − 2,1, − 4),点�关于�轴的对称点的坐标为( )
A. ( − 2, − 1, − 4) B. ( − 2, − 1,4) C. (2,1,4) D. (2, − 1, − 4)
4.已知向量� ,� , � = 4,(� + � ) ⋅ � = 8,|� − 2� | = 4 5,则|� | =( )
A. 4 2 B. 2 C. 4 D. 2 2
5.已知直线 l 过点 1,1,1A ,且方向向量为 1,0, 1m ,则点 1, 1, 1P 到 l的距离
为( )
A.2 2 B. 6 C. 3 D. 2
6.如图,�为平行四边形����所在平面外一点,�为
��的中点,�为��上一点,当��∥平面���时,
��
��
=( )
A. 2
3
B. 1
4
C. 1
3
7.已知锐角△���的内角�,�,�所对的边分别为�,�,�,若�cos � −
�cos 2� = �且△���外接圆半径为 2,则 �
2
�+�
的取值范围是( )
A. [2 3, 4) B. [2 3, 6) C. [ 3, 2) D. [ 3, 4)
陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 2页共 6页
8.柯西不等式是数学家柯西(����ℎ�)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的
一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:
已知向量� = (�1, �1),� = (�2, �2),由|� ⋅ � | ≤ |� ||� |得到(�1�2 + �1�2)2 ≤
(�12 + �12)(�22 + �22),当且仅当�1�2 = �2�1时取等号.现已知� ≥ 0,� ≥ 0,� +
� = 5,则 2� + 2 + � + 3的最大值为( )
A. 18 B. 9 C. 2 3 D. 3 3
二、多选题:本题共 4 小题,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求。
9.在△���中,角�,�,�所对的边分别为�,�,�,以下说法中正确的是( ).
A.若� > �,则 sin � > sin �
B.若� = 4,� = 5,� = 6,则△���为钝角三角形
C.若� = 5,� = 10,� = �
4
,则符合条件的三角形不存在
D.若�cos � = �cos �,则△���一定是等腰三角形
10.某学校为了解高三学生的体重情况,采用分层随机抽样的方法从高三 800名
学生中抽取了一个容量为 80的样本.其中,男生平均体重为 64千克,方差为
124;女生平均体重为 48千克,方差为 140,男女人数之比为 5: 3,下列说法
正确的是( )
A.样本为该学校高三的学生
B.每一位学生被抽中的可能性为
1
10
C.该校高三学生平均体重 58千克
D.该校高三学生体重的方差为 190
陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 3页共 6页
11.三棱锥� − ���中,已知�� ⊥平面���,垂足为�,连接��,��,��,则
下列说法正确的是( )
A.若�� + �� + �� = 3�� ,则�为△���的重心
B.若�� ⋅ �� = �� ⋅ �� = �� ⋅ �� ,则�为△���的内心
C.若三侧棱与底面所成夹角相等,则�为△���的外心
D.若三侧面与底面所成夹角相等,则�为△���的垂心
12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成,体
现了数学的对称美.如图,二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体截去
八个一样的四面体得到的,若它的所有棱长都为 2,则( )
A.被截正方体的棱长为 2
B.被截去的一个四面体的体积为4
3
C.该二十四等边体的体积为20
3
D.该二十四等边体外接球的表面积为 8�
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.若 3 i 1z ,则 z 的最大值为 .
14.已知正三棱柱的高与底面边长均为 2,则该正三棱柱内半径最大的球半径
为 .
陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 4页共 6页
15.如图,为了测量河对岸的塔高��,某测量队选取与塔底�在同一水平面内的
两个测量基点�与�.现测量得∠��� = 120∘,�� = 30 米,在点�,�处测得塔
顶�的仰角分别为30∘,45∘,则塔高�� = 米.
(第 15题图) (第 16题图)
16.如图,边长为 4 的正方形����中,半径为 1 的动圆�的圆心�在边��和��
上移动(包含端点�,�,�),�是圆�上及其内部的动点,设�� = ��� +
��� (�, � ∈ �),则�+ �的取值范围是 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算
步骤。
17.(本小题 10 分)为了调查疫情期间数学网课学习情况,某校组织了高一年级
学生进行了数学测试.根据测试成绩(总分 100 分),将所得数据按照
40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 分成 6 组,其频率分布直
方图如图所示.
(1)求图中�的值;
(2)试估计本次数学测试成绩的平均分.(同一组
中的数据用该组区间的中点值作代表)
陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 5页共 6页
18.(本小题 13 分)
在三棱锥� − ���中,底面���为直角三角形,�� = ��,�� ⊥平面���.
(1)证明:�� ⊥ ��;
(2)若�为��的中点,且�� = 2�� = 4,求点�到平面
���的距离.
19.(本小题 15 分)
蜀绣又名“川绣”,与苏绣,湘绣,粤绣齐名,为中国四大名绣之一,蜀绣以其
明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的
独特的韵味,丰富程度居四大名绣之首. 1915 年,
蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖,在
绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的
三角形状,点�为边��上靠近�点的三等分点,∠��� = 60°,�� = 2.
(1)若∠��� = 45°,求三角形手巾的面积;
(2)当��
��
取最小值时,请帮设计师计算��的长.
20.(本小题 15 分)如图,在四棱锥� −
陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 6页共 6页
����中,底面����是边长为 2 的菱形,△���是等边三角形,∠��� =
∠��� = �
4
,点�,�分别为��和��的中点.
(1)求证:��∥平面���;
(2)求证:平面��� ⊥平面����;
(3)求��与平面���所成角的正弦值.
21.(本小题 17 分)如果对于平面上任意一个向量� = (�, �),按照某种确定的关
系�,都有唯一确定的平面向量� = (�, �)和它对应,那么就称�为平面向量的一
个变换,记作
� = � � (或 �, � = � �, � )
记� = �� � , � = ��(� ),
若(i)∀� = �, � ,都有 � � = � ;
(ii)∀ �, � ≠ 0 , �, � = � �, � 都有cos< � �, � , �, � >恒为定值,且�� − ��
恒大于等于 0或恒小于 0.
则称�是一个旋转变换.
(1) � �, � = ( 2
2
� − 2
2
�, 2
2
� + 2
2
�),� �, � = (�, − �),
判断并说明�, �是否是旋转变换;
(2) 已知�, �是旋转变换,� 1
2
, 3
2
= 0,1 , � 0,1 = ( 1
2
, 3
2
),求出一个满足条件
的� �, � , �(�, �),并计算�(� �, � );
(3) 设 � = {(�, �)|16�2 − 15� + 9�2 − 20� − 24�� + 25 = 0} , � = {(�, �)|� =−
3
4
�}.求�中点到直线�的最短距离.(对于旋转变换�,有cos<� � , � � >=
cos< � , � >)