陕西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

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2024-07-03
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资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高一
章节 -
类型 试卷
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 陕西省
地区(市) 西安市
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.55 MB
发布时间 2024-07-03
更新时间 2025-12-13
作者 匿名
品牌系列 -
审核时间 2024-07-03
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来源 学科网

内容正文:

陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 1页(共 12页) 陕西师大附中2023-2024学年度第二学期期末考试高 一年级数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B D B D C D AC BCD AC ACD 一、单选题。 1.B【解答】解法 1:由已知可得, � =− 1−� 1+� =− (1−�) 2 (1+�)(1−�) =− −2� 2 = �, 所以 � =− �,所以 � ⋅ � = � × −� = 1.故选:B. 解法 2:因为 1 + � � = −1 + � ,所以 � = 1,所以 � ⋅ � = � 2 = 1. 2.C【解答】解:将数据从小到大排列可得:10,12,14,15,17,19,23,27, 31,35共 10 个数,则 10 × 75% = 7.5,则该组数据的上四分位数是第 8个数, 即 27. 故选:C. 3.B【解答】解:空间点关于�轴对称,横坐标不变,另外两个坐标相反, 所以�关于�轴的对称点为 −2, − 1,4 .故选:B. 4.D【解答】解:依题意,(� + � ) ⋅ � = � 2 + � ⋅ � = 8,故� ⋅ � =− 8. |� − 2� |2 = � 2 − 4� ⋅ � + 4� 2 = 80,即 16 + 32 + 4|� |2 = 80, 解得|� | = 2 2,故选 D. 5.B【解答】点  1,1,1A ,点    1, 1, 1 , 0, 2, 2 ,P AP       . 2 2 20 ( 2) ( 2) 2 2AP        . 又直线 l 的方向向量为  1,0, 1 ,m   所以点  1, 1, 1P   到 l 的距离 2 2 2 2| | 8 6 2 AP md AP m                   .故选:B. 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 2页(共 12页) 6.D【解答】解:连接 ��交 ��于 �,连接 ��, ∵ ��∥平面 ���, �� ⊂平面 ���, 平面 ��� ∩平面 ��� = ��, ∴ ��∥ ��,故: �� �� = �� �� ① 又 ∵ ��∥ ��, �为 ��的中点, ∴ �� �� = �� �� = 1 2 ②由①②可得: �� �� = 1 2 .故选:D. 7.C【解答】解:因为�cos � − �cos 2� = �,由正弦定理知: sin �cos � − sin �cos 2� = sin � = sin � + � = sin �cos � + cos �sin �, 因为 sin � ≠ 0,故−cos 2� = cos � =− 2cos2� + 1, 解得 cos � = 1 2 或 cos � =− 1(舍去),又因为△���是锐角三角形,� = � 3 . 因为△���外接圆的半径为 2, 由正弦定理知: � sin � = 2 × 2,即� = 4sin � = 2 3, � + � = � sin � [sin � + sin( 2� 3 − �)] = 4[sin � + sin( 2� 3 − �)] = 4(sin � + 3 2 cos � + 1 2 sin �) = 4 3( 3 2 sin � + 1 2 cos �) = 4 3sin(� + � 6 ), ∵△���是锐角三角形, ∴ 0 < � < � 2 0 < � = 2� 3 − � < � 2 ,解得 � 6 < � < � 2 ,得� + � 6 ∈ ( � 3 , 2� 3 ), ∴ sin(� + � 6 ) ∈ ( 3 2 , 1],可得� + � ∈ (6,4 3],又�2 = 12, 故 �2 �+� 的取值范围是[ 3, 2).故选 C. 8.D 【解答】解:由题意设� = ( � + 1, � + 3),� = ( 2, 1), 则 � ·� ⩽ � � ,所以 � ·� 2⩽ � 2· � 2,即 ( 2 × � + 1 + 1 × � + 3)2⩽[( � + 1)2 + ( � + 3)2](2 + 1) = 3 × 9, 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 3页(共 12页) 即 2� + 2 + � + 3⩽3 3,当且仅当即� = 5,� = 0 时,等号成立. 因此, 2� + 2 + � + 3的最大值为 3 3.故选 D. 二、多选题。 9.AC【解答】解:对于 A:若� > �,则� > �,则 2�sin � > 2�sin �,整理得 sin � > sin �,故 A正确; 对于 B:根据� = 4,� = 5,� = 6,可得 cos � = � 2+�2−�2 2�� = 1 8 > 0, 所以最大角�为锐角,故△���为锐角三角形,故 B错误; 对于 C:若� = 5,� = 10,� = � 4 ,则 sin � = �⋅sin � � = 10× 22 5 = 2 > 1, 这样符合条件的三角形内角�不存在,故 C正确; 对于 D:若�cos � = �cos �,则 sin �cos � = sin �cos �,可得 sin 2� = sin 2�, 所以 2� = 2�或 2� + 2� = �,所以△���是等腰或直角三角形,故 D不正确. 故选:AC. 10.BCD【解答】解:由分层抽样方式可得总体为该学校高三的学生,样本是抽 取的 80名学生,即 A错误; 由抽样比为 80 1 800 10  可得每一位学生被抽中的可能性为 1 10,即 B正确; 由男生、女生体重以及男女人数之比为5 : 3可得抽取样本学生平均体重为 5 364 48 58 5 3 5 3       , 因此可由样本估计总体求得该校高三学生平均体重58千克,即 C正确; 由男、女生样本方差可求得总体样本方差为    2 22 5 3124 64 58 140 48 58 190 8 8 s              , 由样本方差为 190可估计该校高三学生体重的方差为 190,即 D正确; 故选:BCD. 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 4页(共 12页) 11.AC【解答】A选项,3PO PA PB PC       , 所以 0OP PA OP PB OP PC             ,即 0OA OB OC      ,所以O 为三角形 ABC 的重心, 故 A正确; B选项,�� ⋅ �� = �� ⋅ �� = �� ⋅ �� ,整理得:�� ⋅ (�� − �� ) = 0,所以�� ⋅ �� = 0,即�� ⊥ ��,由于�� ⊥平面���,所以�� ⊥ ��,故 BC⊥平面���,所 以�� ⊥ ��,同理,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,故点�为△���的垂心,故 B错误; C选项,因为 PO ⊥平面 ABC ,则PA、PB、PC 与平面 ABC 所成的角分别为 PAO 、 PBO 、 PCO ,由题意可知, PAO PBO PCO     , 所以, tan tan tan PO PO PO PAO PBO PCO      , 即OA OB OC  ,所以,点O是 ABC 的外心,故 C正确; D选项,过点 P在平面 PAB内作 PE AB ,垂足为点 E, 过点 P在平面 PBC 内作 PF BC ,垂足为点 F, 过点 P在平面 PAC 内作 PG AC ,垂足为点G,连 接OE 、OF、OG , 因为 PO  平面 ABC ,OE 、 AB 平面 ABC ,则 AB PO ,OE PO^ , 又因为 PE AB ,PO PE P  ,PO 、PE 平面 POE , 所以, AB 平面 POE , 又因为OE 平面 POE ,所以,OE AB , 所以三侧面与底面所成角分别为∠���, ∠���, ∠���, 由题意知,∠��� = ∠��� = ∠���,所以, PO PO PO OE OF OG   , 即OE OF OG  ,所以O为△ ABC 的内心,故 D错误.故选:AC. 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 5页(共 12页) 12.ACD【解答】解:对于 A 项,由已知可推得,二十四等边体的各个顶点均为 正方体�1�1�1�1 − �2�2�2�2各个棱的中点, 如图 1,则�� = 2��1 = 2 2 �1�1 = 2,所以�1�1 = 2,故 A项正确; 对于 B 项,如图 1,由�知,四面体�1 − ���是三条 侧棱两两垂直,且长度为 1 的三棱锥,所以 ��1−��� = 1 3 × 1 2 × 1 × 1 × 1 = 1 6 ,故 B项错误; 对于 C 项,正方体的体积为�1 = 23 = 8,所以该二 十四等边体的体积为� = �1 − 8��1−��� = 8 − 8 × 1 6 = 20 3 ,故 C项正确; 对于 D 项,如图 2,设球心为�,显然�是正方体的中心,连结�2�1,取�2�1 中点为�,连结��, ��, ��, 因为�, �分别是�1�2, �1�2的中点,所以�� = 1 2 �2�2 = 1. 又�� = 1 2 �1�1 = 1,�� ⊥ ��, 所以,在 Rt△���中,有��2 = ��2 + ��2 = 2, 所以�� = 2, 所以,该二十四等边体外接球的半径� = �� = 2, 表面积为 4��2 = 8�,故 D项正确. 故选:ACD. 三、填空题。 13.3【解答】令 iz x y  且 ,x yR,又 3 i 1z    , 所以 2 2( 3) ( 1) 1x y    ,即 2 2( 3 ) ( 1) 1x y    , 所以复数 z对应点在以 ( 3, 1)  为圆心,半径为 1的圆上, 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 6页(共 12页) 又 2 2z x y  表示圆上点到原点的距离,而圆心到原点距离为    2 23 1 2    , 所以 z的最大值为 2 1 3  .故答案为:3. 14. 3 3 【解析】正三棱柱的高与底面边长均为 2,  边长为 2的等边三角形的内切圆的半径为 1 33 1 3 3    , 正三棱柱内半径最大的球的半径为 3 3 . 15.30【解答】解:在直角△���中,因为∠��� = 45∘,可得�� = ��, 在直角△���中,因为∠��� = 30∘,可得�� = 3��, 在△���中,因为∠��� = 120∘,�� = 30, 由余弦定理得��2 = ��2 + ��2 − 2�� ⋅ ��cos 120∘, 即 3��2 = 302 + ��2 − 2 × 30 × �� × ( − 1 2 ), 可得��2 − 15�� − 30 × 15 = 0, 解得�� = 30 或�� =− 15(舍去),即塔的高度为 30 米.故答案为:30. 16.[1 − 2 4 , 2 + 2 4 ]【解答】解:如图所示,以� 为原点,��,��所在直线为�,�轴建立平面直角 坐标系,边长为 4 的正方形����中,动圆�的半 径为 1,圆心�在边��和��上移动(包含端点�,�, �),�是圆�上及内部的动点, 向量�� = ��� + ��� (�, �为实数), �� = (0,4),�� = (4,0),可得�� = (4�, 0) + (0,4�) = ( 4�, 4�). 当动圆�的圆心经过点�时,如图:�(4 + 2 2 , 4 + 2 2 ). 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 7页(共 12页) 此时�+ �取得最大值:4� + 4� = 8 + 2, 可得�+ � = 2 + 2 4 . 当动圆�的圆心为点�时,��与⊙�相交且点�在�轴的下方时,�� = (4 + cos �, sin �), 此时,4� + 4� = 4 + 2sin(� + �4 ), �+ �取得最小值为:1 − 2 4 ,此时�(4 − 2 2 , − 2 2 ). 同理可得,当动圆�的圆心为点�时,��与⊙�相交且点�在�轴的左方时, �+ �取得最小值为:1 − 2 4 ,此时�( − 2 2 , 4 − 2 2 ). ∴则�+ �的取值范围为[1 − 2 4 , 2 + 2 4 ].故答案为:[1 − 2 4 , 2 + 2 4 ]. 四、解答题。 17.解:(1)由(0.005 + 0.010 + 0.015 × 2 + � + 0.030) × 10 = 1, 解得� = 0.025;……………….5分 (2)45 × 0.05 + 55 × 0.15 + 65 × 0.3 + 75 × 0.25 + 85 × 0.15 + 95 × 0.1 = 71, 故本次数学测试成绩的平均分为 71.……………….10分 18.证明:(1) ∵底面���为直角三角形,�� = ��,∴ �� ⊥ ��, ∵ �� ⊥平面���,�� ⊂平面���,∴ �� ⊥ ��, ∵ �� ∩ �� = �,��,�� ⊂平面���, ∴ �� ⊥平面���,而�� ⊂平面���, ∴ �� ⊥ ��.……………….6分 (2)以�为原点,过�作��的平行线为�轴,以��为� 轴,以��为�轴,建立空间直角坐标系, 则�(0,0,4),�(0,2,0),�(2,2,0),�(1,1,0), 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 8页(共 12页) �� = (1, − 1,0),�� = (0, − 2,4),�� = (2,0,0), 设平面���的法向量� = (�, �, �), 则 � ⋅ �� =− 2� + 4� = 0 � ⋅ �� = 2� = 0 ,取� = 2, 得� = (0,2,1),……………….10分 ∴点�到平面���的距离� = |� ⋅�� | |� | = |−2| 5 = 2 5 5 .……………….13分 19.解:(1)在△���中,∠��� = 45°,∠��� = 60°, 故∠��� = 75°,∠��� = 120°, 由正弦定理得 �� sin∠��� = �� sin∠��� ,即�� = 2×sin 75° sin 45∘ , 而 sin 75° = sin(30° + 45°) = 1 2 × 2 2 + 3 2 × 2 2 = 2+ 6 4 , 故�� = 2× 2+ 64 2 2 = 1 + 3,故�� = 1 2 �� = 1 2 (1 + 3),……………….4分 故三角形手巾的面积为 �△��� + �△��� = 1 2 �� × �� × sin∠��� + 1 2 �� × �� × sin∠��� = 1 2 × 2 × (1 + 3) × 3 2 + 1 2 × 2 × 1+ 3 2 × 3 2 = 9+3 3 4 .……………….7分 (2)设�� = �(� > 0),则�� = 2�, 则在△���中,��2 = ��2 + ��2 − 2�� ⋅ ��cos∠��� = �2 + 4 + 2�, 在△���中,��2 = ��2 + ��2 − 2�� ⋅ ��cos∠��� = 4�2 + 4 − 4�, 故 ��2 ��2 = 4� 2+4−4� �2+4+2� = 4(� 2+4+2�)−12(1+�) �2+4+2� = 4 − 12(1+�) �2+4+2� = 4 − 12(1+�) (�+1)2+3 = 4 − 12 (�+1)+ 3�+1 ,……………….12分 由于(� + 1) + 3 �+1 ≥ 2 (� + 1) ⋅ 3 �+1 = 2 3, 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 9页(共 12页) 当且仅当�+ 1 = 3 �+1 ,即� = 3 − 1 时取等号, 故 4 − 12 (�+1)+ 3�+1 ≥ 4 − 12 2 3 = 4 − 2 3, 即 ��2 ��2 取到最小值时,�� = 3 − 1.……………….15分 20.解:(1)证明:取��中点�,连接��,��, ∵ �为��中点,�为��中点, ∴ �� = 1 2 ��,且��//��,又∵ �� = 1 2 ��,且��//��, ∴ �� = ��,且��//��,∴四边形����为平行四边形, ∴ ��//��,……………….3分 ∵ �� ⊄平面���,�� ⊂平面���, ∴ ��/​ /平面���;……………….5分 (2)证明:∵ ∠��� = ∠��� = � 4 ,�� = ��,�� = ��, ∴ ��� ≌△ ���, 过�作�� ⊥ ��于点�,∴ �� ⊥ ��, ∴ �� = �� = 2,��2 + ��2 = 4 = ��2,∴ �� ⊥ ��,…………..….7分 ∵ �� ∩ �� = �,��, �� ⊂平面����, ∴ �� ⊥平面����,∵ �� ⊂平面���, ∴平面��� ⊥平面����;……………….9分 (3)如图,以�为坐标原点,建立空间直角坐标系, 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 10页(共 12页) �( 2, 0,0),�(0,0, 2),�(0, 2, 0),�(0, 2 2 , 2 2 ),�( − 2, 2, 0), ∴ �� = ( − 2, 2 2 , 2 2 ),�� = (2,0,0),�� = (0, − 2, 2), 设平面���的一个法向量� = (�, �, �), ∴ � ·�� = 0 � ·�� = 0 ,即 2� = 0 − 2� + 2� = 0 ⇒ � = (0,1,1),………….13分 设��与平面���所成角为�, ∴ sin� = |�� ⋅� | |�� | � = 2 2+12+ 1 2⋅ 2 = 3 3 , 故 C�与平面���所成角的正弦值为 3 3 .………….15分 21.解:(1)�是旋转变换,�不是旋转变换………….1分 � �, � = 2 2 � − 2 2 �, 2 2 � + 2 2 � = 2 2 � − 2 2 � 2 + 2 2 � + 2 2 � 2 = �2 + �2 = |(�, �)| 若 �, � ≠ 0 , cos< � �, � , �, � > = 2 2 � − 2 2 �, 2 2 � + 2 2 � · �, � � �, � |(�, �)| = 2 2 � − 2 2 � � + 2 2 � + 2 2 � � �2 + �2 = 2 2 � 2 2 � + 2 2 � − � 2 2 � − 2 2 � = 2 2 �2 + �2 > 0 综上,�是旋转变换 当 �, � ≠ 0 , � −� − �� =− 2��,有可能小于 0也可能大于 0,故�不是旋转 变换.………….4分 (2)设� �, � = (�, �),则�2 + �2 = �2 + �2① 当 �, � = 0 时,� �, � = (0,0) 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 11页(共 12页) 且当 �, � ≠ 0 时,cos< � �, � , �, � > = cos< � 1 2 , 3 2 , 1 2 , 3 2 > = 0,1 · 12, 3 2 0,1 | 12, 3 2 | = 3 2 ,故 ��+�� �2+�2 �2+�2 = 3 2 , 将①代入左式整理得�� + �� = 3 2 �2 + �2 ② 联立①、②,消去�得 �2 + �2 �2 − 3 �2 + �2 �� + 3 4 �2 + �2 2 − �2 �2 + �2 = 0………….6分 因�2 + �2 > 0,故�2 − 3�� + 3 4 �2 − 1 4 �2 = 0 ∆ = 3�2 − 3�2 + �2 = �2,故� = 3�±|�| 2 = 3�+� 2 或 3−� 2 ,代入②,得 � = 3 2 � + 1 2 � � =− 1 2 � + 3 2 � 或 � = 3 2 � − 1 2 � � = 1 2 � + 3 2 � 又 1 2 ·1 − 3 2 ·0 = 1 2 > 0,故�� − �� > 0,因此 � = 3 2 � − 1 2 � � = 1 2 � + 3 2 � ,即� �, � = ( 3 2 � − 1 2 �, 1 2 � + 3 2 �)………….8分 同理可得� �, � = ( 3 2 � + 1 2 �, − 1 2 � + 3 2 �) � � �, � = � 3 2 � − 1 2 �, 1 2 � + 3 2 � = (�, �)………….10分 法二:考虑向量与复数的对应,利用复数的三角表示可以快速求出 f,g (3)首先证明,旋转变换是保距离的: 若�是旋转变换 � � − � � = � � − � � 2 = � � 2 + � � 2 − 2� � ·� � = � 2 + � 2 − 2 � � cos<� � , � � > = |� − � |………….12分 陕西师大附中期末考试高一年级数学参考答案第 12页(共 12页) 设� = � + ��, �' = � 14 5− 3 5� = � 4 5 + 3 5 � = 4 5 � − 3 5 � + 3 5 � + 4 5 � � 设� �, � = �, � = ( 4 5 � − 3 5 �, 3 5 � + 4 5 �), 则有 � �, � = |(�, �)|, 当 �, � ≠ 0 时,cos< � �, � , �, � > = 4 5 ,�� − �� = 3 5 �2 + �2 > 0 故�是旋转变换 由 � = 4 5 � − 3 5 � � = 3 5 � + 4 5 � 得 � = 4 5 � + 3 5 � � =− 3 5 � + 4 5 � ③ 将③代入� =− 3 4 �,得� = 0,故�' = {�(�, �)|� =− 3 4 �}是直线�轴. 将③代入 16�2 − 15� + 9�2 − 20� − 24�� + 25 = 0, 得�2 + 1 − � = 0,故�' = {�(�, �)|16�2 − 15� + 9�2 − 20� − 24�� + 25 = 0}是 开口向上,顶点为(0,1)的抛物线.…….15分 由�的保距性,�中点到直线�的最短距离即�'中点到直线�'的最短距离为 1. 17分 陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 1页共 6页 陕西师大附中 2023-2024 学年度第二学期期末考试 高一年级数学试题 一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.设 i 为虚数单位,复数�满足(1 + i)� =− 1 + i,则� ⋅ �为( ) A. 2 B. 1 C. 3 D. 3 2 2.一组数据 27,12,15,14,31,17,19,23,10,35的上四分位数是( ) A.17 B.19 C.27 D. 31 3.已知点�( − 2,1, − 4),点�关于�轴的对称点的坐标为( ) A. ( − 2, − 1, − 4) B. ( − 2, − 1,4) C. (2,1,4) D. (2, − 1, − 4) 4.已知向量� ,� , � = 4,(� + � ) ⋅ � = 8,|� − 2� | = 4 5,则|� | =( ) A. 4 2 B. 2 C. 4 D. 2 2 5.已知直线 l 过点  1,1,1A ,且方向向量为  1,0, 1m   ,则点  1, 1, 1P   到 l的距离 为( ) A.2 2 B. 6 C. 3 D. 2 6.如图,�为平行四边形����所在平面外一点,�为 ��的中点,�为��上一点,当��∥平面���时, �� �� =( ) A. 2 3 B. 1 4 C. 1 3 7.已知锐角△���的内角�,�,�所对的边分别为�,�,�,若�cos � − �cos 2� = �且△���外接圆半径为 2,则 � 2 �+� 的取值范围是( ) A. [2 3, 4) B. [2 3, 6) C. [ 3, 2) D. [ 3, 4) 陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 2页共 6页 8.柯西不等式是数学家柯西(����ℎ�)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的 一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的: 已知向量� = (�1, �1),� = (�2, �2),由|� ⋅ � | ≤ |� ||� |得到(�1�2 + �1�2)2 ≤ (�12 + �12)(�22 + �22),当且仅当�1�2 = �2�1时取等号.现已知� ≥ 0,� ≥ 0,� + � = 5,则 2� + 2 + � + 3的最大值为( ) A. 18 B. 9 C. 2 3 D. 3 3 二、多选题:本题共 4 小题,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。 9.在△���中,角�,�,�所对的边分别为�,�,�,以下说法中正确的是(    ). A.若� > �,则 sin � > sin � B.若� = 4,� = 5,� = 6,则△���为钝角三角形 C.若� = 5,� = 10,� = � 4 ,则符合条件的三角形不存在 D.若�cos � = �cos �,则△���一定是等腰三角形 10.某学校为了解高三学生的体重情况,采用分层随机抽样的方法从高三 800名 学生中抽取了一个容量为 80的样本.其中,男生平均体重为 64千克,方差为 124;女生平均体重为 48千克,方差为 140,男女人数之比为 5: 3,下列说法 正确的是( ) A.样本为该学校高三的学生 B.每一位学生被抽中的可能性为 1 10 C.该校高三学生平均体重 58千克 D.该校高三学生体重的方差为 190 陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 3页共 6页 11.三棱锥� − ���中,已知�� ⊥平面���,垂足为�,连接��,��,��,则 下列说法正确的是( ) A.若�� + �� + �� = 3��,则�为△���的重心 B.若�� ⋅ �� = �� ⋅ �� = �� ⋅ �� ,则�为△���的内心 C.若三侧棱与底面所成夹角相等,则�为△���的外心 D.若三侧面与底面所成夹角相等,则�为△���的垂心 12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成,体 现了数学的对称美.如图,二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体截去 八个一样的四面体得到的,若它的所有棱长都为 2,则( ) A.被截正方体的棱长为 2 B.被截去的一个四面体的体积为4 3 C.该二十四等边体的体积为20 3 D.该二十四等边体外接球的表面积为 8� 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若 3 i 1z    ,则 z 的最大值为 . 14.已知正三棱柱的高与底面边长均为 2,则该正三棱柱内半径最大的球半径 为 . 陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 4页共 6页 15.如图,为了测量河对岸的塔高��,某测量队选取与塔底�在同一水平面内的 两个测量基点�与�.现测量得∠��� = 120∘,�� = 30 米,在点�,�处测得塔 顶�的仰角分别为30∘,45∘,则塔高�� = 米. (第 15题图) (第 16题图) 16.如图,边长为 4 的正方形����中,半径为 1 的动圆�的圆心�在边��和�� 上移动(包含端点�,�,�),�是圆�上及其内部的动点,设�� = ��� + ��� (�, � ∈ �),则�+ �的取值范围是 . 四、解答题:本题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤。 17.(本小题 10 分)为了调查疫情期间数学网课学习情况,某校组织了高一年级 学生进行了数学测试.根据测试成绩(总分 100 分),将所得数据按照 40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 分成 6 组,其频率分布直 方图如图所示. (1)求图中�的值; (2)试估计本次数学测试成绩的平均分.(同一组 中的数据用该组区间的中点值作代表) 陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 5页共 6页 18.(本小题 13 分) 在三棱锥� − ���中,底面���为直角三角形,�� = ��,�� ⊥平面���. (1)证明:�� ⊥ ��; (2)若�为��的中点,且�� = 2�� = 4,求点�到平面 ���的距离. 19.(本小题 15 分) 蜀绣又名“川绣”,与苏绣,湘绣,粤绣齐名,为中国四大名绣之一,蜀绣以其 明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的 独特的韵味,丰富程度居四大名绣之首. 1915 年, 蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖,在 绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的 三角形状,点�为边��上靠近�点的三等分点,∠��� = 60°,�� = 2. (1)若∠��� = 45°,求三角形手巾的面积; (2)当�� �� 取最小值时,请帮设计师计算��的长. 20.(本小题 15 分)如图,在四棱锥� − 陕西师大附中期末考试高一年级数学试题 第 6页共 6页 ����中,底面����是边长为 2 的菱形,△���是等边三角形,∠��� = ∠��� = � 4 ,点�,�分别为��和��的中点. (1)求证:��∥平面���; (2)求证:平面��� ⊥平面����; (3)求��与平面���所成角的正弦值. 21.(本小题 17 分)如果对于平面上任意一个向量� = (�, �),按照某种确定的关 系�,都有唯一确定的平面向量� = (�, �)和它对应,那么就称�为平面向量的一 个变换,记作 � = � � (或 �, � = � �, � ) 记� = �� � , � = ��(� ), 若(i)∀� = �, � ,都有 � � = � ; (ii)∀ �, � ≠ 0 , �, � = � �, � 都有cos< � �, � , �, � >恒为定值,且�� − �� 恒大于等于 0或恒小于 0. 则称�是一个旋转变换. (1) � �, � = ( 2 2 � − 2 2 �, 2 2 � + 2 2 �),� �, � = (�, − �), 判断并说明�, �是否是旋转变换; (2) 已知�, �是旋转变换,� 1 2 , 3 2 = 0,1 , � 0,1 = ( 1 2 , 3 2 ),求出一个满足条件 的� �, � , �(�, �),并计算�(� �, � ); (3) 设 � = {(�, �)|16�2 − 15� + 9�2 − 20� − 24�� + 25 = 0} , � = {(�, �)|� =− 3 4 �}.求�中点到直线�的最短距离.(对于旋转变换�,有cos<� � , � � >= cos< � , � >)

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