第19章 微专题8 一次函数与几何问题综合-【宝典训练】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂课件（人教版）

第十九章　一次函数 微专题8　一次函数与几何问题综合 类型1　一次函数与等腰三角形 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－ x＋4与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D(0，－6)在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E. 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (1)求点A，B，C的坐标； 在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，则AB＝5. 由折叠的性质，可知AC＝AB＝5， ∴OC＝OA＋AC＝8， ∴点C的坐标为(8，0)． 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (2)求△ADE的面积； 解：∵∠DBA＝∠DCA，∠OAB＝∠EAC，∠DBA＋∠AOB＋∠OAB＝180°，∠DCA＋∠AEC＋∠EAC＝180°， ∴∠AEC＝∠AOB＝90°＝∠AED＝∠AOD. 又∵∠BDA＝∠CDA， 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (3)y轴上是否存在一点P，使得△PAD是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 类型2　一次函数与直角三角形 2．如图，在△ABO中，以O为原点构建直角坐标系，点B在x轴上，AB与y轴交于点C(0，3)，已知OB＝4，S△AOB＝8. 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (1)求直线AB的解析式； 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (2)求点A的坐标； 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (3)在x轴上是否存在点D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 类型3　一次函数与矩形 3．如图，在矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足S△POB＝S矩形OBCD. 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (1)求S△POB； 解：根据条件可知S矩形OBCD＝15， ∵S△POB＝S矩形OBCD，∴S△POB＝15. 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (2)求直线OC的解析式； 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (3)当点P在矩形的对角线OC上时，求点P的坐标； 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (4)当点P到O，B两点的距离之和PO＋PB取最小值时，求点P的坐标． 解：∵S△POB＝S矩形OBCD＝15， ∴点P的运动轨迹有两条：在直线y＝6或y＝－6上， ①当点P在直线y＝6上时，找到点B关于直线y＝6的对称点G，如答图，则G(5，12)，连接OG交直线y＝6于点P，则该点即为OP＋BP的最小值． 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 类型4　一次函数与正方形 4．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝ x＋1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD. 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (1)求正方形ABCD的面积； 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 (2)点C，D的坐标分别为__________，__________； (3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：作点B关于y轴的对称点B′，连接B′D交x轴于点M，此时BM＋DM取得最小值，即△MDB的周长最小，如答图所示． ∵点B的坐标为(0，1)， ∴点B′的坐标为(0，－1)． 设直线B′D的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将B′(0，－1)，D(－3，2)代入y＝kx＋b， (－1，3) (－3，2) 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 ∴直线B′D的解析式为y＝－x－1. 当y＝0时，－x－1＝0，解得x＝－1， ∴点M的坐标为(－1，0)． ∴在x轴上存在点M，使△MDB的周长最小，点M的坐标为(－1，0)． 第 ‹#› 页 微专题8　一次函数与几何问题综合 返回首页 本节内容到此结束！ logo 解：当x＝0时，y＝－x＋4＝4，∴点B的坐标为(0，4)； 当y＝0时，－x＋4＝0，解得x＝3，∴点A的坐标为(3，0)． 在Rt△AOD和Rt△AED中， ∴Rt△AOD≌Rt△AED(AAS)， 则S△ADE＝S△AOD＝×AO·OD＝×3×6＝9； 解：存在，点P的坐标为(0，6)或(0，－6＋3)或(0，－6－3)或. 解：由条件可得B(4，0)，C(0，3)， 设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则解得 ∴直线AB的解析式为y＝－x＋3； 解：设点A(x，y)，则SAOB＝×4y＝8，解得y＝4， ∴点A的坐标为； 解：存在，理由如下： 设点D为(m，0)，AB2＝(4＋)2＋42＝， ∴BD2＝(4－m)2＝m2－8m＋16，AD2＝(m＋)2＋42＝m2＋m＋， 由题意可得△ABD是直角三角形需分两种情况讨论： ①∠ADB＝90°，此时点D的坐标为； ②∠BAD＝90°，AB2＋AD2＝BD2， 即＋m2＋m＋＝m2－8m＋16，解得m＝－， 此时点D的坐标为； 综上所述，满足条件的点D的坐标为或. 解：根据条件可知C(5，3)，设直线OC的解析式为y＝kx， 代入C点的坐标得k＝， ∴直线OC的解析式为y＝x. 解：当点P在矩形的对角线OC上时，设点P的坐标为， ∵S△POB＝S矩形OBCD＝15， ∴×5×＝15， m1＝10，m2＝－10， ∴P(10，6)或P(－10，－6)． 设直线OG的解析式为y＝kx，代入点G坐标得k＝， ∴直线OG的解析式为y＝x，令y＝6，则x＝.∴P. ②当点P在直线y＝－6上时；根据对称性和①的求法，可直接得PO＋PB取最小值时，P点坐标是. 综上，当点P到O，B两点的距离之和PO＋PB取最小值时，P或. 解：当x＝0时，y＝×0＋1＝1， ∴点B的坐标为(0，1)，∴OB＝1；当y＝0时，x＋1＝0， 解得x＝－2，∴点A的坐标为(－2，0)，∴OA＝2. 在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1， ∴AB＝＝＝， ∴正方形ABCD的面积为AB2＝()2＝5. 得解得 $$