12.1 函数的表示方法（第3课时，图象法）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十二章 一次函数 12.1 函数 第三课时 函数的表示方法（图像法） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解并掌握函数的表示方法：图象法 2. 根据步骤自主画出函数的图象；（重点） 3.从函数图象中获取信息解决问题；（重点） 4. 能用这三种表示函数的方法解决简单的实际问题.（难点） 情景导入 上节课我们学习了函数的表达方式，函数的表达方式有哪几种？ 表示函数 的一般方法 列表法 图象法 解析法 但在实际运用中发现有些函数问题很难用函数关系式表示出来，却可以通过图像来直观的反映. 所以对于能用表达式表示的函数关系，有时需画出图来表示，使函数关系更直观、形象. 这节课我们就来探讨函数的第三种表示方法：图像法 问题2 下图是S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线. O 这个函数关系就很难用式子表示，但可以在平面直角坐标系很直观准确的表示. 1.函数图象的画法 新知探究 那么我们应该如何准确的作出函数的图象呢？ 以函数y=2x为例. 对于自变量 x 的每一个确定的值，可得出对应函数 y 的唯一值. 列表如下： x y …… …… -3 -6 -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4 3 6 …… …… 任意一个有序实数对（x , y），与坐标平面内一点M（x , y）成一一对应。 因此，表中给出的有序实数对，可以在平面直角坐标系中表示出来 -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 0 -1 -2 -3 -4 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y 因为函数y=2x中的自变量x可以取一切实数，因此列表计算可以得到无数个有序实数，在平面直角坐标系中可以描出无数个点，取其中一段有规律的点描出来便构成了坐标系中的图象. 将这些点按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接起来，就得到了函数y=2x的图象. -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 0 -1 -2 -3 -4 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y 你能由此总结出画函数图象的方法吗？ 由函数表达式画图象的一般步骤： 1.列表:分析函数自变量的取值范围，取自变量的一些值（间隔相同），算出y的对应值； 2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标系内描出相应的点； 3.连线:分析函数图象的发展趋势（是直线还是曲线，有限还是无限）按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线连接所描的各点,即得图象. 注意：描出的点越多，图象就越精确. 概念归纳 例4 画出前面问题3中的函数 的图像. （1）列表:因为这里v≥0,我们分别取v=0，10，20，30，40，求出它们对应 的s值，列成表格: v s 0 0 10 0.4 20 1.6 30 3.5 40 6.3 …… …… 课本例题 s/m x 20 10 30 40 0 1 2 3 4 5 6 7 v/(km·h-1) （2）描点：在坐标平面内描出 （0，0），（10，0.4），（20，1.6）， （30，3.5）（40，6.3）. （3）连线：将以上各点按自变量由小到大的顺序用平滑的曲线连接，就得到了图象。 s/m v/(km·h-1) 20 10 30 40 0 1 2 3 4 5 6 7 3.一条小船沿直线向码头匀速前进.在0min ，2min，4min，6min时，测得小船与码头的距离分别为200m，150m，100m，50m. （1）小船与码头的距离是时间的函数吗？ （2）如果是，写出函数的解析式，并画出函数图象. 函数解析式为： . 是 s = 200-25t 练一练 t/min 0 2 4 6 …… s/m 200 150 100 50 …… 列表： 解析：船速度为 （200-150）÷2=25m/min， s=200-25t 画图： t/min s/m O 1 2 3 4 5 6 7 50 100 150 200 课本P28思考：1.如图所示是记录某人在24 h内的体温变化情况的图象. 2.从函数图象中获取信息 新知探究 （1）图中有哪两个变化的量？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？ （2）在这天中此人的最高体温与最低体温各是多少？分别是在什么时刻达到的？ 答：（1）人的体温和时间两个变化的量，时间是自变量，人的体温是因变量 （2）人的最高体温是36.8℃，是在18时达到的， 最低气温是35.9℃，是在4时达到的 （3）21:00时此人的体温是多少？ （4）这天体温达到36.2 ℃时是在什么时刻？ （5）此人体温在哪几段时间上升？在哪几段时间下降？在哪几段时间变化最小？ 36.5℃ 6时和约23时 （5）观察图象可知， 人的体温在 1 ~ 2，4~7，8~9，10~11，12~14，15~16，17~18这7个时间段上升， 人的体温在 2~4，7~8，9~10，11~12，14~15，16~17，18～24这7个时间段下降，人的体温在 1~2，9~10，15~16这3个时间段变化最小 2.一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输图（1），只行驶一个来回，中间经过丙港，图（2）是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化曲线. （1）观察曲线回答下列问题： ①从甲港（O）出发到达丙港（A），需用多长时间？ ②由丙港（A）到达乙港（C），需用多长时间？ ③图中CD段表示什么情况，船在乙港停留多长时间？返回时，多长时间到达丙港（B）？ ④从丙港（B）返回到出发点甲港（E），用多长时间？ 1h 2h 轮船在乙港停留，停留1h；返回时，4h 到达丙港 2h （2）你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快，还是轮船返回的平均速度快呢？ （3）如果轮船往返的机器速度是一样的，那么从甲港到乙港是顺水还是逆水？ （2）轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度为： 40 ÷3=（km/h） 轮船返回的平均速度： 40÷（10-4）=（km/h） ∵ ∴轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快. （3）由（2）可知轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度比返回时的平均速度快， 则轮船从甲港到乙港是顺水. 1.画出函数y=-2x的图像（先列表，然后描点、连线） 解：（1）列表: （3）连线: -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 0 -1 -2 -3 -4 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y （2）描点: x y …… …… -3 6 -2 4 -1 2 0 0 1 -2 2 -4 3 -6 …… …… 课本练习 2.（1）画出函数y =-x的图象； （2）判断点，B（0，0），，是否在函数 y=-x的图象上. 3.如图，下列各曲线中哪些能够表示y是x 的函数？你能说出其中的道理吗？ （3）（4）对于x的每一个取值，y都有不唯一确定的值与之对应关系，故（3）（4）不是函数； （1）、（2）能够表示y是x的函数.对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值， （1）、（2）能够表示y是x的函数. 1. 下列函数关系中，自变量、因变量分别是什么？ (1)一种笔记本每本的单价为5 元，则销售金额y元与销售量x本之间的关系满足表达式 y=5x； 解：(1)自变量是销售量x， 因变量是销售金额y． 习题12.1 (3)自变量是球的半径r， 因变量是球的体积V． （3）球的体积V与球的半径r之间的关系满足表 达式 . （2）水的密度是1×103 kg/m3，则水的质量m与体积V之间的关系满足表达式 m=1×103×V=1000V； (2)自变量是水的体积V， 因变量是水的质量m． 大米每千克4 元，写出销售金额y 元与销售量x kg之间的函数表达式. 2. 解：y=4x . 写出下列函数中自变量x的取值范围： （1）y=2x-3； （2）y=-2x2+1； 3. 解：（1）x可取全体实数. （2）x可取全体实数. 解：（3）x≠1. （4）x≤4. （3）y= ； （4）y= . 求下列函数当 x=-2，x= 时的函数值： （1）y= ； 4. 解：（1）当x=-2时，y= 当x= 时，y= （2）y= . （2）当x=-2时，y= 当x= 时，y= 画出下列函数的图象： （1）y=4x ； （2）y=-4x ； 5. 解：列表如下. x … -2 -1 0 1 2 … y=4x … -8 -4 0 4 8 … y=-4x … 8 4 0 -4 -8 … 描点，连线，如图所示. 画出函数y=x2的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连接各点)： 6. x … -2 -1.5 -1 -0.5 y … x 0 0.5 1 1.5 2 … y … 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 解：描点，连线，如图所示. 某人骑车沿直线旅行，先前进了a km，休息了一段时间，又原路返回b km(b<a)，再前进 c km，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图应 7. 是（ ） C 如图是1 cm3水的质量m随温度t变化的图象： 8. 解：（1）自变量是温度t， 因变量是质量m. （1）在这一变化过程中，自变量、因变量分别是什么？ （2）在0~4℃时，水的质量随温度的升高而增大；在4~10℃时，水的质量随温度的升高而减小. （2）在什么温度范围内，水的质量随温度的升高而增大？在什么范围内，水的质量随温度的升高而减小？ （3）在4℃时，水的质量最大. （3）在什么温度下，水的质量最大？ 王林同学对他家今年上半年每月所用天然气的量与应缴费用进行了统计，结果如下表： 9. 月 份 项 目 1 2 3 4 5 6 上月抄表数/m3 200 230 270 305 340 380 本月抄表数/m3 230 270 305 340 380 412 本月总金额/元 63 84 73.5 73.5 84 67.2 解：（1）63÷（230-200）=2.1（元/m³）. 仔细观察表格，然后回答问题：（1）天然气费的单价是多少元？ （2）y=2.1(x-a). （2）如果用y表示每月总金额，x表示本月抄表数，a表示上月抄表数，请写出y与x之间的函数表达式； （3）当x=443，a=412时， y=2.1×(443-412)=65.1（元）. （3）如果王林家7月份抄表数为443，那么他家7月份应缴的天然气费总金额是多少元？ D 随堂练 A 随堂练 D 随堂练 7 2≤y≤5 随堂练 横 纵 D 分层练习-基础 B B 分层练习-基础 40 10 分层练习-基础 列表 描点 连线 4 分层练习-基础 D 分层练习-巩固 D C 7 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 函数关系的方法有三种： 1.解析法——用数学式子表示函数的关系. 2.列表法——通过列表给出自变量与函数的对应关系. 3.图象法——把自变量作为点的横坐标，对应的函数值作为点的纵坐标，在直角坐标系内描出对应的点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象.用图象来表示两个变量之间的函数关系叫做图象法. 画函数的图象要经过（1）列表；（2）描点； （3）连线. 课堂小结 1．下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是(　　) A．4：00气温最低 B．6：00气温为24 ℃ C．14：00气温最高 D．气温是30 ℃的时刻 为16：00 2．下列函数中，图象经过原点的是(　　) A．y＝3x　　　　　　 B．y＝1－2x C．y＝eq \f(4,x) D．y＝x2－1 3．(黄冈中考)2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y(吨)与时间t(天)之间函数关系的大致图象的是(　　) A． INCLUDEPICTURE"H019A.TIF" B． C． D． 4．已知点P(2，a)是函数y＝2x＋3的图象上的一点，则a＝ . 5．两个变量y与x之间的函数图象如图所示，则y的取值范围是 . 6．画函数y＝2x－3的图象，并判断点(2，－1)是否在这个函数的图象上． 解：图象略，点(2，－1)不在这个函数图象上． 知识点一：函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 坐标与 坐标，那么坐标平面内由这些点所组成的图形就是这个函数的图象． 1．周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是(　　) 2．(通辽中考)小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s(单位：m)与时间t(单位：min)之间函数关系的大致图象是(　　) 3．(长沙中考)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是(　　) A．小明吃早餐用了25min B．小明读报用了30min C．食堂到图书馆的距离为0.8km D．小明从图书馆回家的速度为0.8km/h 4．“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事，如图表示路程s与时间t之间的关系，那么可以知道： (1)赛跑中，兔子共睡了 分钟； (2)乌龟在这次赛跑中的平均速度为 米/分． 知识点二：画函数的图象 画函数图象的一般步骤为 、 、 ．　 5．如果点(－2,3)在函数y＝eq \f(1,2)x＋n的图象上，则n＝ . 6．画函数y＝2x－3的图象，并判断点(2，－1)是否在这个函数的图象上． 解：图象略，点(2，－1)不在这个函数图象上． 7．(广元中考)小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7∶40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s(米)和所用时间t(分钟)的关系图．则下列说法中错误的是(　　) A．小明吃早餐用时5分钟 B．小华到学校的平均速度是240米/分 C．小明跑步的平均速度是100米/分 D．小华到学校的时间是7∶55 8．(青海中考)均匀地向一个容器注水，最后将容器注满．在注水过程中，水的高度h随时间t的变化规律如图所示，这个容器的形状可能是(　　) 9．小刚以400米/分的速度匀速骑车5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是(　　) 10．已知P(2，a)是函数y＝2x＋3的图象上的一点，则a＝ . 11．(宿州中考)一游泳池长90米，甲乙两人分别从两对边同时向所对的另一边游去，到达对边后，再返回，这样往复数次．图中的实线和虚线分别表示甲、乙与游泳池固定一边的距离随游泳时间变化的情况，请根据图形回答： (1)甲、乙两人分别游了几个来回？ (2)甲、乙两人在整个游泳过程中，谁曾休息过？休息过几次？ (3)甲游了多长时间？游泳的速度是多少？ (4)在整个游泳过程中，甲、乙两人相遇了几次？ 解：(1)甲游了3个来回，乙游了2个来回； (2)乙曾休息了两次； (3)甲游了180秒，游泳的速度是90×6÷180＝3米/秒；　 (4)甲、乙相遇了5次． 12．已知点P(x，y)是第一象限内的点，且x＋y＝8，点A的坐标为(10,0)，设△OAP的面积为S. (1)求S与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)画出此函数的图象． 解：(1)因为P(x，y)在第一象限，所以x＞0，y＞0，因为x＋y＝8，所以y＝8－x，所以S＝eq \f(1,2)OA·y＝eq \f(1,2)×10(8－x)，即S＝－5x＋40，其中x的取值范围是0＜x＜8；　 (2)图象如图： 　画函数的图象． 【例1】某校办工厂现在年产值是15万元，计划以后每年增加2万元． (1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数表达式； (2)画出函数图象； (3)求5年后的年产值． 【思路分析】根据题意，y＝15＋2x，其中自变量的取值范围是x≥0. 【规范解答】(1)函数表达式为y＝15＋2x(x≥0)； (2)列表： x 0 1 2 3 4 5 6 … y＝15 ＋2x 15 17 19 21 23 25 27 … 描点、连线，得出函数图象如图： (3)当x＝5时，y＝12＋2×5＝25，∴5年后的年产值是25万元． 　从函数图象中获取信息． 【例2】如图是某地一天的气温T随时间t变化的图象． 根据图象回答：在这一天中， (1)什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少度？ (2)20时的气温是多少？ (3)什么时候气温为6 ℃？ (4)哪段时间内气温不断下降？ (5)哪段时间内气温不断上升？ (6)哪段时间内气温保持不变？ (5)4时到12时和14时到16时这两段时间内气温不断上升； (6)12时到14时这段时间内气温保持不变． 【规范解答】观察分析图象，可知： (1)16时气温最高，是10 ℃；凌晨4时气温最低，是－4 ℃； (2)20时的气温是8 ℃； (3)10时和22时的气温都是6 ℃； (4)0时到4时和16时到24时这两段时间内气温不断下降； $$