1.4.2 用空间向量研究距离问题（第1课时）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何 第一课时 用空间向量研究距离问题 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 1 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解点到直线、点到平面的距离公式及其推导（重点） 2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、两平行直线、直线到平面、两平行平面的距离的思想（难点） 3.能利用距离公式解决相关的距离问题，归纳总结解决立体几何问题的“三部曲”（重点） 情景导入 某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计? 直线 平面 法向量 方向向量 回忆下：我们中学学习几何主要是研究它的哪些量？ 复习回顾 5 6 问题1 空间中距离包括哪些具体的内容？ 我们该如何用空间向量解决这些距离？ 用空间向量探究距离问题 新知探究 空间距离 两点距离、点到直线的距离、两条平行直线的距离 点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面的距离 接下来我们一起探究这些距离公式及推导 7 追问：我们该如何用向量研究距离？ 向量的模 空间向量的模 空间中还有其他的向量长度吗？ 向量的投影 探究一：利用向量的方法求直线l外的一点P到直线l的距离。 新知探究 8 问题2 已知直线的单位方向向量为,A是直线上的定点,P是直线外一点,如何利用这些条件求点P到直线l的距离? 如图，向量在直线上的投影向量为,则△APQ是直角三角形,因为A、P都是定点,所以||,与的夹角∠PAQ是确定的于是可求||,再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ。 A P Q 9 A P Q 直线的单位方向向量为 点线距 概念归纳 10 问题3 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 请大家思考一下，它的思路是怎样的？ A P Q 在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离． 11 探究二 利用向量的方法求平面𝜶外的一点P到平面𝜶的距离。 新知探究 12 用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成： (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 概念归纳 13 (1)如何求直线到平面的距离？ (2)如何求平面到平面的距离？ (3)如何求两条异面直线的距离？ 在直线（平面）上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为直线到平面的距离、平面到平面的距离、两条异面直线的距离！ 点到平面的距离 点面距 合作探究 14 异面直线间的距离 新知探究 15 z A C B D y x A1 B1 C1 D1 E F 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 探究3 利用公式在立体图形中求对应的距离 新知探究 16 建系 设点 取向量 套公式 17 求法向量 套公式 18 点线距 概念归纳 用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确． 19 建系 求向量 求法向量 得距离 结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系 在坐标系中求出点B到平面内任一点A对应的向量 设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n 代入求点到平面的距离公式计算出答案 求点到平面的距离步骤 20 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： 21 　已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，M是B1C1的中点，N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出点D，N，M的坐标； (2)求线段MD，MN的长度； (3)设P是线段DN上的动点，求线段MP的最小值． 素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养． 题型1　求两点间的距离 典例剖析 概念归纳 练一练 　如图，在棱长为1的立方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，H为平面AA1D1D内的点． (1)若C1H⊥平面BDE，确定点H的位置； (2)求点C1到平面BDE的距离． 素养点睛：考查直观想象、数学运算的 核心素养． 题型2　求点到直线的距离 典例剖析 概念归纳 2．用向量法求线面距、面面距的方法 线面距 面面距 点面距 转化 概念归纳 2．如图，正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，E，F分别为AB，AD的中点，求点A到平面GEF的距离． 练一练 素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心 素养． 典例剖析 典例剖析 素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养． (1)证明：连接BD，取BD的中点P，连接FP，GP， ∵P，G分别BD，BC是的中点，E，F分别是SA，SB的中点， ∴PG∥CD，EF∥AB． 又∵AB∥CD，∴EF∥PG.∴PG⊂平面EFG. ∵F，P分别是SB，BD的中点， ∴SD∥FP.又∵SD⊄平面EFG，FP⊂平面EFG， ∴SD∥平面EFG. 典例剖析 3．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB的中点，PC与平面ABCD所成的角为30°.当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2? 练一练 解：设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，OD为x轴正半轴，OP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系． 　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2. (1)求证：EF∥平面PCD； (2)求点E到平面PCD的距离． 命题意图：本题考查了线面平行的判定、三棱锥 的等体积法，点到平面的距离等基础知识，考查了空间 想象能力、数学运算能力、转化的数学思想． 方向3 等价转化思想在求空间的距离问题中的应用 典例剖析 知识依托：(1)线线平行判定定理和线面平行判定定理． (2)棱锥的体积公式． 解：(1)证明：取PC中点G，连接DG，FG，如图． 1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(　　) 答案 B 随堂练 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(　　) 解析 分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1), 则 答案 D 随堂练 3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是(　　) 答案 B 随堂练 4.Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC= ,则点P到斜边AB的距离是　　　　　.  答案 3 随堂练 5.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为　　　　　.  随堂练 解析 如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. A C B D A1 B1 C1 D1 1 1 1 课本练习 A C B D A1 B1 C1 D1 E F x y z A C B D A1 B1 C1 D1 E F x y z A C B D A1 B1 C1 D1 E F x y z A C B D A1 B1 C1 D1 E F x y z A C B D A1 B1 C1 D1 E F x y z A C B D A1 B1 C1 D1 x y z A C B D A1 B1 C1 D1 x y z A C B D A1 B1 C1 D1 错因分析 错因分析 错因分析 错因分析 1．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 【答案】 D 分层练习-基础 分层练习-基础 4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则正三棱柱的侧棱长为________． 5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离． 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 转化与化归思想在求空间距离中的应用 典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点, EF与B1D相交于点H. (1)求证:B1D⊥平面ABD; (2)求证:平面EGF∥平面ABD; (3)求平面EGF与平面ABD的距离. 思路分析根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距. 分层练习-拓展 【规范答题】 (1)证明 如图所示以B1为原点,分别以B1A1,B1C1,B1B为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=a, 则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4), 所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD. 分层练习-拓展 所以GF∥AB,EF∥BD. 又GF∩EF=F,AB∩BD=B, 所以平面EGF∥平面ABD. 分层练习-拓展 方法总结 求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主. 课堂小结 93 课堂小结 94 求出与两条直线的方向向量都垂直的法向量n，在两条直线上分别取A和B，则在法向量n上的投影向量的长度即为异面直线a，b的距离 所以距离为 . 课本例6.如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离. 解：(1)根据图中建立的空间直角坐标系，易知点D，N，M的坐标分别为D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)． (2)由空间两点间的距离公式，可得 |MD|＝eq \r(1－02＋2－02＋3－02)＝eq \r(14)， |MN|＝eq \r(1－22＋2－12＋3－02)＝eq \r(11). (3)在Oxy平面上，依题意可设点P的坐标为(2y，y,0)，其中y∈[0,1]． 则|MP|＝eq \r(2y－12＋y－22＋0－32)＝eq \r(5y2－8y＋14)＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(4,5)))2＋\f(54,5)). ∵0<eq \f(4,5)<1， ∴当y＝eq \f(4,5)时，线段MP取得最小值eq \r(\f(54,5))，即eq \f(3\r(30),5). 故MP的最小值为eq \f(3\r(30),5). 计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|AB|＝eq \r(　|\o(AB,\s\up16(→))|2)＝eq \r(　\o(AB,\s\up16(→))·\o(AB,\s\up16(→)))求解． (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 1．正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜eq \r(2))． (1)求MN的长度； (2)当a为何值时，MN的长度最短． 解：因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直．取B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为|BC|＝1，|CM|＝a，点M在坐标平面Bzx上且在正方形ABCD的对角线AC上， 所以点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a)). 因为点N在坐标平面Bxy上且在正方形ABEF的对角线BF上，|BN|＝a，所以点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0)). (1)由空间两点间的距离公式，得|MN|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a－\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)a－0))2)＝eq \r(a2－\r(2)a＋1)，即MN的长度为eq \r(a2－\r(2)a＋1). (2)由(1)得 |MN|＝eq \r(a2－\r(2)a＋1)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))， 当a＝eq \f(\r(2),2)(满足0＜a＜eq \r(2))时，eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))取得最小值eq \f(\r(2),2)，即MN的长度最短，最短为eq \f(\r(2),2). 解：以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 由棱长为1可得D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)． 由E是棱A1D1的中点可得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1)). (1)由H为平面AA1D1D内的点可设H(m,0，n)， 则eq \o(C1H,\s\up16(→))＝(m，－1，n－1)，eq \o(DB,\s\up16(→))＝(1,1,0)，eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1)). 若C1H⊥平面BDE， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(C1H,\s\up16(→))·\o(DB,\s\up16(→))＝m－1＝0，,\o(C1H,\s\up16(→))·\o(DE,\s\up16(→))＝\f(1,2)m＋n－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,2)，)) 即Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，所以H是AA1的中点． (2)由(1)知平面DBE的一个法向量n＝eq \o(C1H,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，－\f(1,2))). 连接BC1，可得eq \o(BC1,\s\up16(→))＝(－1,0,1)．所以C1到平面DBE的距离d＝eq \f(|\o(BC1,\s\up16(→))·n|,|n|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,2))),\r(1＋1＋\f(1,4)))＝1. 1．用向量法求点面距的方法与步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(eq \o(AP,\s\up16(→))，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离：d＝eq \f(|\o(AP,\s\up16(→))·n|,|n|). 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则点A，E，F，G的坐标分别为(4,4,0)，(2,4,0)，(4,2,0)，(0,0，2)，则eq \o(GE,\s\up16(→))＝(2,4，－2)，eq \o(GF,\s\up16(→))＝(4,2，－2)，eq \o(AE,\s\up16(→))＝(－2,0,0)． 设n＝(x，y，z)为平面GEF的一个法向量，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(GE,\s\up16(→))＝0，,n·\o(GF,\s\up16(→))＝0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋4y－2z＝0，,4x＋2y－2z＝0，))取z＝3，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴n＝(1,1,3)． ∴点A到平面GEF的距离 d＝eq \f(|\o(AE,\s\up16(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2|,\r(1＋1＋9))＝eq \f(2,11) eq \r(11). 　题型3　求点面、线面、面面距离 方向1　三种距离的综合应用 　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA＝AC＝4，AB＝2. (1)求证：MN∥平面BDE； (2)求直线MN到平面BDE的距离． (1)证明：在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA＝AC＝4，AB＝2，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则M(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，N(1,2,0)，D(0,0,2)，P(0,0,4)，E(0,2,2)， eq \o(MN,\s\up16(→))＝(1,2，－1)，eq \o(BD,\s\up16(→))＝(－2,0,2)，eq \o(BE,\s\up16(→))＝(－2,2,2)， 设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up16(→))＝－2x＋2z＝0，,n·\o(BE,\s\up16(→))＝－2x＋2y＋2z＝0，))取x＝1，得n＝(1,0,1)， ∵n·eq \o(MN,\s\up16(→))＝0，MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDE. (2)解：∵eq \o(BM,\s\up16(→))＝(－2,0,1)， ∴直线MN到平面BDE的距离d＝eq \f(|\o(BM,\s\up16(→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2). 方向2　有关距离的探索性问题 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD，二面角S－DC－A的大小为eq \f(π,4)，E，F，G分别是SA，SB，BC的中点． (1)求证：SD∥平面EFG. (2)在线段BC上是否存在一点M，使得点A 到平面EFM的距离为eq \f(4,5)？若存在，求出eq \f(BM,MC)的值； 若不存在，请说明理由． (2)解：∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴SA⊥CD． 又∵AD⊥CD，SA∩AD＝A， ∴CD⊥平面SAD．∴CD⊥SD． ∴∠SDA为二面角S－DC－A的平面角， 即∠SDA＝eq \f(π,4). ∴SA＝AD＝2. 以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系． 设BM＝a，A(0,0,0)，E(0,0,1)，F(－1,0,1)，M(－2，a,0)， ∴eq \o(EF,\s\up16(→))＝(－1,0,0)，eq \o(EM,\s\up16(→))＝(－2，a，－1)，eq \o(AE,\s\up16(→))＝(0,0,1)． 设平面EFM的法向量n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up16(→))＝0，,n·\o(EM,\s\up16(→))＝0，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＝0，,－2x＋ay－z＝0，))令z＝1可得n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)，1)). 则点A到平面EFM的距离d＝eq \f(|\o(AE,\s\up16(→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(1＋\f(1,a2)))＝eq \f(4,5)， 解得a＝eq \f(4,3). ∵0<a<2， ∴线段BC上存在一点M，使得点A到平面EFM的距离为eq \f(4,5)，且eq \f(BM,MC)＝eq \f(\f(4,3),2－\f(4,3))＝2. 连接OC，则∠PCO为PC与面AC所成的角，∠PCO＝30°. 设AD＝2a，则PO＝eq \r(3)a，OC＝3a，故CD＝2eq \r(2)a， 则P(0,0，eq \r(3)a)，C(a，2eq \r(2)a,0)，E(－a，eq \r(2)a,0)，eq \o(PC,\s\up16(→))＝(a,2eq \r(2)a，－eq \r(3)a)，eq \o(PE,\s\up16(→))＝(－a，eq \r(2)a，－eq \r(3)a)． 设平面PCE的一个法向量n＝(x，y,1)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(PC,\s\up16(→))＝0，,n·\o(PE,\s\up16(→))＝0，))得n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(6),3)，1))，D(a,0,0)， 所以eq \o(CD,\s\up16(→))＝(0，－2eq \r(2)a,0)． 令点D到平面PCE的距离d＝eq \f(|\o(CD,\s\up16(→))·n|,|n|)＝eq \f(2\r(6),3)a＝2， 故a＝eq \f(\r(6),2)，AD＝eq \r(6). ∵四边形ABCD为正方形，∴DE∥BC． ∵G，F分别为PC，PB的中点，∴FG∥BC． ∴DE∥FG. 又∵DE＝eq \f(1,2)BC，FG＝eq \f(1,2)BC，∴DE＝FG. ∴四边形EFGD为平行四边形． ∴EF∥DG. 又∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD， ∴EF∥平面PCD． (2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB． ∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD． ∵AD∩PA＝A， ∴AB⊥平面PAD． ∵DC∥AB，∴点C到平面PAD的距离为CD． ∴VC－PAD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(4,3). ∵VE－PCD＝eq \f(1,2)VA－PCD，VA－PCD＝VC－PAD， ∴VE－PCD＝eq \f(2,3). 在△PCD中，CD＝2，PC＝2eq \r(3)，PD＝2eq \r(2)， ∴S△PCD＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＝2eq \r(2)，VE－PCD＝eq \f(1,3)×S△PCD×d＝eq \f(1,3)×2eq \r(2)×d＝eq \f(2,3).∴d＝eq \f(\r(2),2). 故点E到平面PCD的距离为eq \f(\r(2),2). 求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离． (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求． (3)等体积法：求点面距离可以转化为求三棱锥的高，如四面体中点A到平面BCD的距离，用等体积法求得h＝eq \f(3VA－BCD,S△BCD). (4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝eq \f(|\o(PA,\s\up16(→))·n|,|n|). A. B. C. D.3 解析 ∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),∴两平面间的距离d=. 故选B. A. B. C. D. d=. A. B. C. D. 解析 建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O. ∴=(0,1,0),=(-1,0,1). 设n=(1,y,z)是平面ABC1D1的一个法向量, 则解得y=0,z=1,∴n=(1,0,1). 又,∴点O到平面ABC1D1的距离为. 解析 以点C为坐标原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(4,0,0),B(0,3,0),P, 所以=(-4,3,0),, 所以点P到AB的距离d==3. 答案 则D(0,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M,A(1,0,0), ∴=(-1,1,0),=(-1,0,1). 设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则y=z=1,∴n=(1,1,1). ∴点M到平面ACD1的距离d=. 又􀰿,故MN∥平面ACD1, 故直线MN到平面ACD1的距离为. 易错辨析　混淆二面角与面面角的大小 例5　已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，求平面BPC与平面DPC夹角的余弦值． 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a,0,0)，C(a,2a,0)，P(0,0，a)，D(0,2a,0)，eq \o(BC,\s\up10(→))＝(0,2a,0)，eq \o(BP,\s\up10(→))＝(－a,0，a)，eq \o(CD,\s\up10(→))＝(－a,0,0)，eq \o(PD,\s\up10(→))＝(0,2a，－a)． 设平面BPC、平面DPC的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2ay1＝0,－ax1＋az1＝0))和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－ax2＝0,ay2－az2＝0)). 取n1＝(1,0,1)，n2＝(0,1,2)，则cos〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(\r(10),5)， 故平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为eq \f(\r(10),5). 【易错警示】 易错原因 纠错心得 本题易错的地方是认为平面BPC与平面DPC的夹角就是二面角B－PC－D，得到错解：求得cos〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(\r(10),5)后，观察图形知二面角B－PC－D为钝角，得平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为－eq \f(\r(10),5). 事实上，二面角的取值范围是[0，π]，面面角的取值范围是[0，eq \f(π,2)]，不要将两者混淆了. 求二面角θ的大小时，通过求二面角两个半平面的法向量的夹角φ，把问题转化为向量的运算，需注意两法向量的夹角与二面角相等或互补，在解题中，可根据法向量的方向来进行判断，以便准确求出二面角的大小．一般地，如果二面角为锐角，cos θ＝|cos φ|＝eq \f(|u·v|,|u|·|v|)；如果二面角为钝角，cos θ＝－|cos φ|＝－eq \f(|u·v|,|u|·|v|)(u，v为二面角两个半平面的法向量). 【解析】eq \o(AB,\s\up16(→))＝(4，－5,0)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(0,4，－3)，则eq \o(AB,\s\up16(→))在eq \o(AC,\s\up16(→))上的投影d＝eq \f(|\o(AB,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→))|,|\o(AC,\s\up16(→))|)＝4.而|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(41)，所以AC边上的高BD＝eq \r(41－16)＝5. 2．已知△ABC顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则BC边上的中线长为 (　　) A．eq \f(\r(21),2) B．eq \f(\r(26),2) C．eq \f(\r(29),2) D．eq \f(\r(23),2) 【答案】B 【解析】易得BC的中点D坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(3,2)，\f(1,2)))，eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)，－\f(3,2)))，故BC边上的中线长为|AD|＝|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＝eq \r(\f(26,4))＝eq \f(\r(26),2). 3．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为 (　　) A．eq \f(\r(3),3) B．1 C．eq \r(2) D．eq \r(3) 【解析】如图，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离．由AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB＝1，所以BB1＝eq \r(3)，所以A1C1到底面ABCD的距离为eq \r(3). 【答案】eq \r(2) 【解析】设侧棱长为b，则A(0，－1,0)，B1(eq \r(3)，0，b)，B(eq \r(3)，0,0)，C1(0,1，b)．所以eq \o(AB1,\s\up16(→))＝(eq \r(3)，1，b)，eq \o(BC1,\s\up16(→))＝(－eq \r(3)，1，b)．因为AB1⊥BC1，所以－3＋1＋b2＝0，所以b＝eq \r(2)，所以正三棱柱的侧棱长为eq \r(2). 解：取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 则A1(0,0,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，D(0,1,0)， Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，D1(0,1,1)． 所以eq \o(A1E,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－\f(1,2)))，eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝(0,1,0)． 设平面A1D1E的一个法向量n＝(x，y，z)． 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(A1E,\s\up16(→))＝0，,n·\o(A1D1,\s\up16(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)z＝0，,y＝0.)) 令z＝2，则x＝1，所以n＝(1,0,2)． 又eq \o(A1F,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－1))，所以点F到平面A1D1E的距离d＝eq \f(|\o(A1F,\s\up16(→))·n|,|n|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2)),\r(5))＝eq \f(3\r(5),10). 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝eq \r(2)，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为的AD中点.问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为eq \f(\r(3),2)？若存在，求出eq \f(AQ,QD)的值；若不存在，说明理由． 解：∵在△PAD中，PA＝PD，O为AD的中点， ∴PO⊥AD. 又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PO⊥平面ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1,0)，B(1，－1，0)，C(1,0，0)，D(0,1,0)，P(0，0,1)，eq \o(CP,\s\up17(―→))＝(－1,0,1)，eq \o(CD,\s\up17(―→))＝ (－1,1,0)． 假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为eq \f(\r(3),2)， 设Q(0，y,0)(－1≤y≤1)，则eq \o(CQ,\s\up17(―→))＝(－1，y,0)． 设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)， 则o(CP,\s\up17(―→))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·eq \o(CD,\s\up17(―→))＝0，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x0＋z0＝0，,－x0＋y0＝0，)) 取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)． ∴点Q到平面PCD的距离为d＝o(CQ,\s\up17(―→))eq \f(|·n|,|n|) ＝eq \f(|－1＋y|,\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，∴y＝－eq \f(1,2)或y＝eq \f(5,2)(舍去)． 此时|AQ|＝eq \f(1,2)，|QD|＝eq \f(3,2). ∴存在点Q满足题意，此时eq \f(AQ,QD)＝eq \f(1,3). B(0,0,4),D(0,2,2),G. 所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2). 所以=0+0+0=0,=0+4-4=0.所以, (2)证明 由(1)可得=(-a,0,0),=(0,2,-2),=(0,1,-1), 所以=2=2,所以. (3)解 由(1)(2)知,是平面EGF和平面ABD的法向量. 因为平面EGF∥平面ABD,所以点E到平面ABD的距离就是两平面间的距离,设为d. 因为=(0,0,3),=(0,2,2), 所以d=. 即两平面间的距离为. 分类 图示 向量求法 点线距 u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l， eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(AP,\s\up6(→)) 在直线l上的投影向量为 eq \o(AQ,\s\up6(→)) ＝(a·u)u，则PQ＝eq \r(|\a\vs4\al(\o(AP,\s\up6(→)))|2－|\a\vs4\al(\o(AQ,\s\up6(→)))|2)＝eq \r(a2－（a·u）2) . 线线距 转化为点线距 在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离． 点面距 设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α， PQ⊥α， eq \o(AP,\s\up6(→)) 在直线l上的投影向量为 eq \o(AQ,\s\up6(→)) ，则P点到平面α的距离PQ＝ eq \f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|) 线面距（前提是线面平行） 转化为点面距 如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． 面面距（前提是面面平行） 转化为点面距 如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． $$