第13讲 椭圆（十大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第13讲 椭圆 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 知识点四：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作. ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【典例例题】 题型一：椭圆的定义 【典例1-1】（2024·高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【典例1-2】（2024·高二·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【变式1-2】（2024·高二·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知坐标平面上的两点和，动点P到A、B两点距离之和为常数3，则动点P的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．圆 D．椭圆 题型二：求椭圆的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·四川成都·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程 : (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 (2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点； 【典例2-2】（2024·高二·全国·期中）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点，， (1)求的标准方程； (2)写出的焦点和顶点坐标. 【变式2-1】（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程. 【变式2-2】（2024·高二·河北承德·开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，且的周长为，求椭圆的标准方程； 【变式2-3】（2024·高二·宁夏银川·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)经过点，的椭圆标准方程. (2)焦点在轴上，短轴长为12，离心率为的椭圆标准方程. 题型三：椭圆的综合问题 【典例3-1】（2024·广西柳州·高二校考期末）若椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，过作轴的垂线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求三角形的面积. 【典例3-2】（2024·高二课时练习）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积． 【变式3-1】（2024·高二课时练习）已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且． (1)求椭圆的方程； (2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积； (3)设点P在这个椭圆上，且，求的长． 【变式3-2】（2024·高二课时练习）已知椭圆的方程为，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且，求的面积． 题型四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·广东珠海·期中）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点，离心率为．已知 (1)求该椭圆的标准方程； (2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程． 【典例4-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知的两个顶点分别为. (1)若顶点C为，求BC边上的高所在直线的一般式方程； (2)若的周长为14，求点C的轨迹方程. 【变式4-1】（2024·高二·内蒙古赤峰·期中）已知圆，圆．若动圆与圆外切，且与圆内切． (1)求圆和圆的圆心和半径 (2)求动圆的圆心的轨迹方程． 【变式4-2】（2024·高二·全国·随堂练习）已知圆，圆．若动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆的圆心C的轨迹方程． 【变式4-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，线段的中点为D，过的中点E且平行于的直线交于点P．求动点P的轨迹方程. 【变式4-4】（2024·高二·内蒙古赤峰·期中）已知动圆与圆：外切，与圆：内切. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若点为动圆圆心的轨迹上任意一点，过点做轴垂线，垂足为，求中点的轨迹方程. 题型五：椭圆的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（多选题）（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·辽宁朝阳·阶段练习）若实数数列：成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选题）（2024·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·陕西西安·期末）已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（    ） A．的短轴长为7 B．的最大值为 C．的长轴长为6 D．的离心率为 题型六：求椭圆的离心率 【典例6-1】（2024·高二·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为 ． 【典例6-2】（2024·高二·上海·期末）点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【变式6-1】（2024·高二·安徽淮北·阶段练习）已知椭圆的左焦点为上关于原点对称的两点满足，若的值为，则的离心率为 . 【变式6-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为 ． 【变式6-3】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，是等边三角形，椭圆的离心率是 ． 题型七：求椭圆离心率的取值范围 【典例7-1】（2024·高二·甘肃兰州·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足，，为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是 . 【典例7-2】（2024·高二·四川成都·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）． 【变式7-1】（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是 【变式7-2】（2024·高二·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【变式7-3】（2024·高二·广东深圳·期末）设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【变式7-4】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC为等腰直角三角形，A为直角，若这样的△ABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围 【典例8-1】（2024·四川乐山·高二校考期中）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是___________. 【典例8-2】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______． 【变式8-1】（2024·全国·高二专题练习）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论： ①椭圆和椭圆一定没有公共点； ②；     ③； ④. 则所有结论正确的序号是_____. 【变式8-2】（2024·浙江·高二期末）椭圆的离心率是椭圆上关于轴都不对称的两点，线段的垂直平分线与x轴交于点，若的中点为，则的值为_______． 【变式8-3】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______. 题型九：椭圆中的范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·山东济宁·期末）若椭圆：的左、右焦点分别为，，为C上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例9-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【变式9-1】（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·高二·湖北·期中）点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式9-3】（2024·高二·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（2024·高二·全国·竞赛）在中，，已知点，则的最大值为（    ）. A． B． C．4 D．8 题型十：焦点三角形 【典例10-1】（2024·高二·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【典例10-2】（2024·高二·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【变式10-1】（2024·高二·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·高二·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 【变式10-3】（2024·高三·陕西西安·阶段练习）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【变式10-4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-5】（2024·高二·江西·开学考试）已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M是椭圆C上一点，且，则=（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2024·高二·广东清远·期末）椭圆上一点与它的一个焦点的距离等于4，则点与另一个焦点的距离等于（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 2．（2024·高二·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2024·高二·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·广西柳州·二模）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·湖北黄冈·阶段练习）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·贵州黔南·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 11．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 12．（2024·高二·河北·阶段练习）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 13．（2024·高二·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 14．（2024·高二·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 15．（2024·高二·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（2024·高二·河南郑州·开学考试）已知为椭圆上的点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为的平分线交线段于点，则（    ） A．2 B． C． D． 17．（2024·四川成都·二模）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 18．（2024·高二·吉林·期末）已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（    ） A． B． C． D． 19．（多选题）（2024·高二·广东湛江·阶段练习）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 20．（多选题）（2024·高二·安徽芜湖·期中）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（    ） A． B． C． D． 21．（多选题）（2024·高二·河北石家庄·期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，P是椭圆C上的动点，点，则下列结论正确的是（    ） A． B．面积的最大值是 C．椭圆C的离心率为 D．最小值为 22．（多选题）（2024·高二·全国·专题练习）若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（　　） A．m＝2 B．椭圆C的长轴长为 C．椭圆C的短轴长为2 D．椭圆C的离心率为 23．（多选题）（2024·高二·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 24．（2024·高二·山西吕梁·期末）已知为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是 . 25．（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆E：，点，P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 ． 26．（2024·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 27．（2024·高二·全国·专题练习）已知△ABC的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程为 28．（2024·高二·上海·期末）已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ． 29．（2024·高二·上海·期中）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为 ． 30．（2024·高二·河北张家口·阶段练习）几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为 .    31．（2024·高二·广东梅州·期末）天宫空间站的建成，标志着我国独立掌握了近地轨道大型航天器在轨组装建造技术，具备了开展空间长期有人参与科学技术实（试）验的能力，为不断推动我国空间科学、空间技术的创新发展，为建设航天强国、提升我国在国际载人航天领域的影响力提供了重要支墇．设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为，远地点距地面约为，地球半径约为，则此航天器轨道的离心率为 ． 32．（2024·高三·宁夏石嘴山·阶段练习）过椭圆左焦点 F作x轴的垂线，交椭圆于 P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是 . 33．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率是 ． 34．（2024·高二·江苏南通·期中）设椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为，连接并延长交椭圆C于点P，若，则该椭圆的离心率为 ． 35．（2024·高二·江苏·开学考试）已知点P是椭圆C： 上动点，点A是椭圆C的上顶点．当P为下顶点时，取到最大值，则椭圆C的离心率的取值范围为 ． 36．（2024·高二·河南·期中）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是 ． 37．（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）已知椭圆E：的左、右焦点分别为A，B，若E上存在点P满足：，则E的离心率的取值范围是 ． 38．（2024·高二·河南许昌·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 39．（2024·高二·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为 ． 40．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）已知圆：，圆：.若动圆与外切，且与圆内切. (1)判断圆和的位置关系； (2)求动圆的圆心的轨迹方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 椭圆 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 知识点四：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作. ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【典例例题】 题型一：椭圆的定义 【典例1-1】（2024·高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【解析】可设，，则， 可得， 由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，. 故选：C 【典例1-2】（2024·高二·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 的周长为， 故选：D 【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】D 【解析】因为 所以为线段上的点. 故选：D. 【变式1-2】（2024·高二·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，椭圆， 则长轴，焦距， 的周长为. 故选：D 【变式1-3】（2024·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知坐标平面上的两点和，动点P到A、B两点距离之和为常数3，则动点P的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．圆 D．椭圆 【答案】D 【解析】因为，，所以， 因为动点P到A、B两点距离之和为常数3，则， 由椭圆的定义可知动点P的轨迹是椭圆. 故选：D. 题型二：求椭圆的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·四川成都·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程 : (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 (2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点； 【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为， 由解得：. 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意：当椭圆的焦点位于x轴上时，设椭圆的标准方程为， 故，故，此时椭圆的标准方程为， 当椭圆的焦点位于轴上时，设椭圆的标准方程为， 故，故，此时椭圆的标准方程为. 综上所述：椭圆的标准方程为或. 【典例2-2】（2024·高二·全国·期中）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点，， (1)求的标准方程； (2)写出的焦点和顶点坐标. 【解析】（1）设椭圆的方程为（，，）， 则，解得，， 椭圆的标准方程为. （2）椭圆的焦点在轴上， 焦点坐标为，顶点坐标为，. 【变式2-1】（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程. 【解析】由焦点坐标可知，为轴椭圆， 设所求椭圆的标准方程为 两焦点分别为，， 又椭圆过点，，又 ，， 所以椭圆的标准方程为. 【变式2-2】（2024·高二·河北承德·开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，且的周长为，求椭圆的标准方程； 【解析】由题意可得，的周长为， 所以，则，又， 所以椭圆的标准方程为. 【变式2-3】（2024·高二·宁夏银川·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)经过点，的椭圆标准方程. (2)焦点在轴上，短轴长为12，离心率为的椭圆标准方程. 【解析】（1）由题意可得椭圆焦点在轴上，且， 故椭圆方程为， （2）设椭圆方程为， 由题意得，得，而， 解得， 故椭圆方程为 题型三：椭圆的综合问题 【典例3-1】（2024·广西柳州·高二校考期末）若椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，过作轴的垂线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求三角形的面积. 【解析】（1）由题知焦点坐标分别是， 设椭圆方程为：将代入得：解得， （2）过作轴的垂线，其方程为，与联立解得： 【典例3-2】（2024·高二课时练习）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积． 【解析】如下图所示：    由椭圆方程可知， 根据椭圆定义可知， 所以的周长为， 即的周长为； 易知， 又直线的倾斜角为，则， 所以直线的方程为，设 联立整理可得， 由韦达定理可知； 由图可知的面积为； 所以的周长为，面积为 【变式3-1】（2024·高二课时练习）已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且． (1)求椭圆的方程； (2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积； (3)设点P在这个椭圆上，且，求的长． 【解析】（1）因为椭圆的焦点分别是，所以 又因为，，联立可得，， 所以椭圆的方程为； （2）由分别为椭圆的长轴端点，所以不妨设，， 由点B为椭圆的短轴端点，所以或， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 所以点B与两点的连线的斜率的乘积为； （3）因为点P在这个椭圆上，所以，由小问（1）知， 所以，又，联立可得. 【变式3-2】（2024·高二课时练习）已知椭圆的方程为，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且，求的面积． 【解析】由，可知，所以，从而. 在中，由余弦定理得，即，① 由椭圆定义得，② 由①②联立可得，解得. 所以. 题型四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·广东珠海·期中）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点，离心率为．已知 (1)求该椭圆的标准方程； (2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程． 【解析】（1）设椭圆的标准方程为，其焦距为， 由左焦点，则得， 离心率为，则， 故椭圆标准方程为； （2）设，则，， 故，代入中，即， 即线段PA中点M的轨迹方程为. 【典例4-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知的两个顶点分别为. (1)若顶点C为，求BC边上的高所在直线的一般式方程； (2)若的周长为14，求点C的轨迹方程. 【解析】（1）由，则直线的斜率为， ∴上的高所在的直线的斜率为，又直线过点， ∴所求直线的方程为，即. （2）的周长为14且， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，以8为长轴长的椭圆， 即，故顶点的轨迹方程为， 又为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为． 【变式4-1】（2024·高二·内蒙古赤峰·期中）已知圆，圆．若动圆与圆外切，且与圆内切． (1)求圆和圆的圆心和半径 (2)求动圆的圆心的轨迹方程． 【解析】（1）圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. （2）设动圆的半径为R， 动圆与圆外切且与圆内切， ，， 而，由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆的方程为，半焦距为， 则，，， 又可知圆与圆内切，∴点C不能在切点处，即椭圆应去掉点， 曲线C的方程为． 【变式4-2】（2024·高二·全国·随堂练习）已知圆，圆．若动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆的圆心C的轨迹方程． 【解析】因为圆，圆． 所以为，的半径，，的半径， 设动圆的半径为， 则，，可得为定值， 所以圆心在以、为焦点的椭圆上运动， 由，得，， 所以椭圆方程为， 即动圆圆心的轨迹方程为. 【变式4-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，线段的中点为D，过的中点E且平行于的直线交于点P．求动点P的轨迹方程. 【解析】如图所示， 圆心，． 因为D为中点，所以，即， 又，所以， 又E为的中点，所以为线段的垂直平分线， 所以， 所以， 若弦为轴，此时重合，不符合题意，所以不在轴上， 所以动点P的轨迹是以，为焦点的椭圆（左、右顶点除外）， 设动点P的轨迹方程为：，其中，， 则，， 所以， 所以动点P的轨迹方程为：． 【变式4-4】（2024·高二·内蒙古赤峰·期中）已知动圆与圆：外切，与圆：内切. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若点为动圆圆心的轨迹上任意一点，过点做轴垂线，垂足为，求中点的轨迹方程. 【解析】（1）圆：，即，所以圆心，半径 圆：，即，所以圆心，半径 设动圆的圆心,半径为 动圆与圆外切，则. 动圆与圆内切，则 将上面两式相加，可得. 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其椭圆方程为，则 所以动圆圆心的轨迹方程 （2）设，则， 由点在上可得 所以点的轨迹方程 题型五：椭圆的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，又，所以，， 又，即， 所以，则，又，所以，故符合题意的有BCD. 故选：BCD 【典例5-2】（多选题）（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【答案】ABD 【解析】由于，所以, 故， 因此，故， 所以椭圆， 对于A，焦距为，故A正确， 对于B，短轴长为，B正确， 对于C，离心率为，C错误， 对于D，的周长为，D正确， 故选：ABD 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·辽宁朝阳·阶段练习）若实数数列：成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】实数数列：成等差数列，故，解得或3， 当时，即为，是椭圆，则的离心率为； 当时，即为，是椭圆，则的离心率为， 故选：BD 【变式5-2】（多选题）（2024·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，可得， 当椭圆的焦点在轴上时，则，解得； 当椭圆的焦点在轴上时，则，解得. 综上所述，或. 故选：BC. 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·陕西西安·期末）已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（    ） A．的短轴长为7 B．的最大值为 C．的长轴长为6 D．的离心率为 【答案】CD 【解析】由标准方程可知，，， 所以，，． 所以短轴长为，长轴长为，即选项C正确，A错误； 离心率，即D正确； 由椭圆性质得， 故选项B错误. 故选：CD. 题型六：求椭圆的离心率 【典例6-1】（2024·高二·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】由已知，所以， 又点C在椭圆上，所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高二·上海·期末）点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】由题意方程可知，，，设， 所以，，则，整理得：，①， 又，得，即，②， 联立①②，得，即，解得. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·高二·安徽淮北·阶段练习）已知椭圆的左焦点为上关于原点对称的两点满足，若的值为，则的离心率为 . 【答案】/ 【解析】设是椭圆的右焦点，连接， 依题意，根据椭圆的对称性可知四边形是矩形， 所以， 根据椭圆的定义有， 在直角三角形中，， . 故答案为： 【变式6-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数、椭圆的离心率公式进行求解即可. 设， 由， 设A（x1，y1），B（x2，y2），F2（c，0）， 设直线的方程为，代入椭圆的方程中， 得， 因为， 所以有，而， 所以有， 于是有 故答案为： 【变式6-3】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，是等边三角形，椭圆的离心率是 ． 【答案】/0.5 【解析】设椭圆的焦距， 是等边三角形，的上顶点为， ， ， ， ， 故答案为：. 题型七：求椭圆离心率的取值范围 【典例7-1】（2024·高二·甘肃兰州·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足，，为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，，又，， 所以，，又，得到， 即，得到，，所以， 因为，， 又，所以，整理得， 由，消得， 解得或，又，所以舍去， 所以，即， 整理得，解得，又， 所以， 故答案为：. 【典例7-2】（2024·高二·四川成都·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）． 【答案】 【解析】直线AB方程为，设点P的坐标为， ，故， 所以点P在以原点为圆心，为半径的圆M上， ① 圆M与直线AB相切，则原点到直线的距离等于半径， ，即，， 方程两边同除以得，，解得， 故， ②若，，解得， 综上，的取值范围为． 故答案为：. 【变式7-1】（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是 【答案】 【解析】 如图，线段的中垂线经过， ，即椭圆上存在一点，使得． ， . 故答案为：. 【变式7-2】（2024·高二·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】 【解析】设点， 则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即， 所以，即椭圆离心率， 故答案为： 【变式7-3】（2024·高二·广东深圳·期末）设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】点在椭圆的内部，则， . 因为， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 由于椭圆上存在点使得成立， 所以， 综上所述，离心率的取值范围是. 故答案为： 【变式7-4】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC为等腰直角三角形，A为直角，若这样的△ABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由椭圆可知， 易知，直线与的斜率存在且不为0， 故可设直线方程为，直线方程为， 联立消元得， 解得， 同理，联立可解得， 由题知，， 所以，即， 整理得， 因为为上述方程的根， 所以，要使满足条件的△ABC有且只有一个，方程没有实数解，或者有两个相等的根. 当时，解得， 当时，解得，此时方程的根为1. 综上，. 所以，. 故答案为： 题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围 【典例8-1】（2024·四川乐山·高二校考期中）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是___________. 【答案】/0.25 【解析】因为焦点在y轴上的椭圆，故， 又，所以. 故答案为： 【典例8-2】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______． 【答案】/ 【解析】由题设，解得， 所以长轴长与短轴长的比值为. 故答案为： 【变式8-1】（2024·全国·高二专题练习）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论： ①椭圆和椭圆一定没有公共点； ②；     ③； ④. 则所有结论正确的序号是_____. 【答案】①② 【解析】设，由已知可得，则， 所以，，则，②对； 在椭圆上任取一点，则， 所以，，即点在椭圆内，①对； 因为，则，即，③错； 因为，即，④错. 故答案为：①②. 【变式8-2】（2024·浙江·高二期末）椭圆的离心率是椭圆上关于轴都不对称的两点，线段的垂直平分线与x轴交于点，若的中点为，则的值为_______． 【答案】 【解析】设，，则， 因为，所以， 由得，得， 所以， 又线段的垂直平分线与x轴交于点， 所以，所以，解得. 故答案为：. 【变式8-3】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______. 【答案】 【解析】由题意，椭圆的右顶点为，可得， 又由椭圆的离心率为，即，可得， 所以，所以，即椭圆的短轴长为. 故答案为：. 题型九：椭圆中的范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·山东济宁·期末）若椭圆：的左、右焦点分别为，，为C上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知椭圆的参数方程为(是参数)，， 故，，， 故设，由两点间距离公式得， ， 故， 而，，故，即，故B正确 故选：B 【典例9-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【解析】易知， 设，则，可得， 所以 ； 由二次函数性质可得当时，取得最大值为9. 故选：B 【变式9-1】（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又因为N为圆E：上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，，则， 所以的最小值为. 故选：B． 【变式9-2】（2024·高二·湖北·期中）点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】依题意，设为椭圆的左焦点， 因为椭圆，则，， 所以， 故选：D． 【变式9-3】（2024·高二·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示： 在椭圆中，， 则， 圆的圆心，半径， 圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得， ， 由椭圆的几何性质可得，即， 由圆的几何性质可得， 所以， 所以的最小值是. 故选：C. 【变式9-4】（2024·高二·全国·竞赛）在中，，已知点，则的最大值为（    ）. A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以点的轨迹是以点为焦点，长轴为8的椭圆. 所以当且仅当点是椭圆的上下顶点，最大，面积最大值为. 故选：A. 题型十：焦点三角形 【典例10-1】（2024·高二·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】由可得：， 则椭圆得长轴长为， ， 可设，， 由题意可知，， ，，， △是直角三角形， 其面积． 故选：B． 【典例10-2】（2024·高二·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【解析】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 【变式10-1】（2024·高二·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 【变式10-2】（2024·高二·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故选：C 【变式10-3】（2024·高三·陕西西安·阶段练习）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【解析】由题设，，可得， ， 由，，则，即， 所以的面积. 故选：B 【变式10-4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，所以， 因为，即，故， 所以， 所以，故，即， 所以. 故选：B. 【变式10-5】（2024·高二·江西·开学考试）已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M是椭圆C上一点，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆C上，所以，解得，即， ，所以． 故选：C． 【过关测试】 1．（2024·高二·广东清远·期末）椭圆上一点与它的一个焦点的距离等于4，则点与另一个焦点的距离等于（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】D 【解析】椭圆中，所以， 由椭圆的定义可得， 又，所以，即点到另一个焦点的距离是16． 故选：D． 2．（2024·高二·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解析】因为椭圆的标准方程为：，所以该椭圆的交点在轴上，且，， 所以，所以焦点坐标为：和. 因为表示点到两点和的距离之和； 根据椭圆的定义，所以. 故选：A. 3．（2024·高二·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 由于焦点在x轴上，所以椭圆方程为， 故选：A 4．（2024·高二·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 当时，，解得，故， 所以， 因为，所以，即，解得， 故， 所以，解得， 所以， 椭圆C的标准方程为. 故选：A 5．（2024·广西柳州·二模）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由已知可设，又因为 根据椭圆的定义， 在中由余弦定理得，所以 故椭圆方程为： 故选：B 6．（2024·高二·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 7．（2024·高二·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，， ，， 由，得． 即． 动点的轨迹方程为． 故选：B． 8．（2024·高二·湖北黄冈·阶段练习）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为、，所以， 又因为的周长为，得， 由椭圆的定义可知：顶点的轨迹是一个以为焦点的椭圆的一部分， 且椭圆中， ，，即， 椭圆方程为， 因为时，三点共线，不能构成三角形． 顶点的轨迹方程为， 故选：C． 9．（2024·高二·贵州黔南·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，可得，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：A. 10．（2024·高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 11．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 12．（2024·高二·河北·阶段练习）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】如图， 设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 故选：B. 13．（2024·高二·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【解析】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故，C正确， 故选：C 14．（2024·高二·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】由椭圆方程可知：， 设右焦点为，则，，且，即， 如图所示， 可得：， 当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3. 故选：C. 15．（2024·高二·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以， 又， 所以. 故选：B. 16．（2024·高二·河南郑州·开学考试）已知为椭圆上的点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为的平分线交线段于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的平分线交线段于点，所以， 由正弦定理得，. 又因为， 所以，即. 不妨设，则， 则，解得， 所以. 故选：A. 17．（2024·四川成都·二模）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由椭圆的定义可得, 在 中，由余弦定理， 又 ,可得： ，即, 即，即， 则， 故选：A. 18．（2024·高二·吉林·期末）已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由椭圆定义及圆切线性质知：. 故选：B 19．（多选题）（2024·高二·广东湛江·阶段练习）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【解析】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BD． 20．（多选题）（2024·高二·安徽芜湖·期中）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点， 所以，即， 对于A，，则，所以，所以A正确， 对于B，，则，所以，所以B错误， 对于C，，则，所以，所以C正确， 对于D，，则，所以，所以D错误， 故选：AC 21．（多选题）（2024·高二·河北石家庄·期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，P是椭圆C上的动点，点，则下列结论正确的是（    ） A． B．面积的最大值是 C．椭圆C的离心率为 D．最小值为 【答案】ACD 【解析】A选项，由题意得， 由椭圆定义可得，A正确； B选项，当在上顶点或下顶点时，面积最大， 最大值为，B错误； C选项，离心率，C正确； D选项，因为，所以点在椭圆内，连接， 由椭圆定义可知，故， 故， 当三点共线且在之间时，取得最小值， 最小值为， 所以最小值为，D正确. 故选：ACD 22．（多选题）（2024·高二·全国·专题练习）若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（　　） A．m＝2 B．椭圆C的长轴长为 C．椭圆C的短轴长为2 D．椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【解析】对于A项，由题意，椭圆的焦点在轴上，且，，由已知可得， 解得m＝2或m＝－1（舍去），故A项正确； 对于B项，C项，把的值代入椭圆方程即得：.则， 即椭圆C的长轴长为，短轴长为，故B项错误；C项正确； 对于D项，即a＝，b＝，则， 则离心率为,故D项正确. 故选:ACD. 23．（多选题）（2024·高二·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【解析】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 24．（2024·高二·山西吕梁·期末）已知为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设动点， 因为动点满足，其中， 所以， 所以解得，， 因为， 所以，整理得. 故答案为:. 25．（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆E：，点，P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】连结QF，根据题意，， 则， 故Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆， 设椭圆方程为，则有 所以，则， 所以点Q的轨迹方程为． 故答案为： ． 26．（2024·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 内含 【解析】依题意，圆心，半径，圆心，半径， 所以，则两圆内含； 设动圆的圆心，半径为，则， ， 依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中， 又， 所以的轨迹方程为. 故答案为：内含；. 27．（2024·高二·全国·专题练习）已知△ABC的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程为 【答案】 【解析】设顶点A的坐标为，依题意，，整理得， 所以顶点A的轨迹方程为. 故答案为： 28．（2024·高二·上海·期末）已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设是所求轨迹上的一点，且， 因为，且，可得， 即，可得， 代入椭圆，可得，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 29．（2024·高二·上海·期中）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得，设， ，，， 又点在椭圆上， ，∴椭圆的离心率为． 故答案为：. 30．（2024·高二·河北张家口·阶段练习）几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为 .    【答案】/ 【解析】如图所示：切面与底面的二面角的平面角为， 故， 设圆半径为，则， 设椭圆的长轴长及短轴长分别为，故， 故，所以. 故答案为： 31．（2024·高二·广东梅州·期末）天宫空间站的建成，标志着我国独立掌握了近地轨道大型航天器在轨组装建造技术，具备了开展空间长期有人参与科学技术实（试）验的能力，为不断推动我国空间科学、空间技术的创新发展，为建设航天强国、提升我国在国际载人航天领域的影响力提供了重要支墇．设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为，远地点距地面约为，地球半径约为，则此航天器轨道的离心率为 ． 【答案】 【解析】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c. 则根据题意得，解得， 故此航天器轨道的离心率为 故答案为： 32．（2024·高三·宁夏石嘴山·阶段练习）过椭圆左焦点 F作x轴的垂线，交椭圆于 P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是 . 【答案】/ 【解析】结合题意：当时，可得到,， 所以， 因为,所以，即， 整理得，即， 解得：. 故答案为：. 33．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率是 ． 【答案】/ 【解析】如图所示，椭圆上下定点， 所以以线段为直径的圆方程为， 又因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离为， 故，即， 所以离心率. 故答案为：. 34．（2024·高二·江苏南通·期中）设椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为，连接并延长交椭圆C于点P，若，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【解析】依题意，，由， 得：，而， 于是得， 令椭圆半焦距为c，有，如图， 在中，由余弦定理得：， 即，整理得， 因此，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 35．（2024·高二·江苏·开学考试）已知点P是椭圆C： 上动点，点A是椭圆C的上顶点．当P为下顶点时，取到最大值，则椭圆C的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意， ，设 ，因为 ， ， 所以 ， ，因为当 时， 取得最大值，所以 ， 可得 ，即 . 故答案为： . 36．（2024·高二·河南·期中）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，，，则，即， 故，即， ，故，，解得， ，离心率的取值范围为， 故答案为：. 37．（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）已知椭圆E：的左、右焦点分别为A，B，若E上存在点P满足：，则E的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设椭圆E的上顶点为Q， 则，则， 又因为，则， 即E的离心率的取值范围是． 故答案为：. 38．（2024·高二·河南许昌·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为是以为底边的等腰三角形， 所以，所以， ，， 在中，由余弦定理得：， 故，即， 即， 不等式，即， 解得(舍去)或 不等式，即 所以. 故答案为： 39．（2024·高二·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意知，在椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，由对称性知，在直线右侧要存在两个点到的距离相等， 不妨设轴上方椭圆上的点为，即，得， 所以，， 要满足题意，由二次函数的对称性可知需在内对于总能取到两个不同的的值，即等价于二次函数对称轴在的范围内即可， 所以，即，即，即， 化简得，即， 即，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 40．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）已知圆：，圆：.若动圆与外切，且与圆内切. (1)判断圆和的位置关系； (2)求动圆的圆心的轨迹方程. 【解析】（1）圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 可得，可知， 所以圆和内切. （2）设动圆的半径为R， 因为动圆与圆外切且与圆内切， 则，且， 由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆的方程为，半焦距为， 则，，则， 又因为圆与圆内切，则点C不能在切点处，即椭圆应去掉点， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$