第08讲 积的乘方 （1个知识点+2种经典题型+试题练习）2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第08讲 积的乘方 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【例1】（2023秋•松江区月考）成立的条件是　　 A．为奇数 B．是正整数 C．是偶数 D．是负数 【变式1】计算：　　． 【变式2】（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023秋•宝山区期末）如果，那么　　． 【变式4】（2023秋•静安区校级月考）已知，，，探究，，之间有什么数量关系？ 【变式5】（2023秋•闵行区校级月考）计算：． 经典题型汇编 题型一.积的乘方运算 1．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 2．（20-21七年级上·上海松江·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·上海静安·期中）计算：． 题型二.积的乘方的逆用 4．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 5．（21-22七年级上·上海·期末）的计算结果正确的是（　　） A． B． C．1 D． 6．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知（都是正整数），用含的式子表示． 试题练习 一、单选题 1．（22-23七年级上·上海·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海普陀·期中）的计算结果是（    ） A．； B．； C．1； D．． 4．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）成立的条件是（    ） A．为奇数 B．是正整数 C．是偶数 D．是负数 5．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）若与互为倒数，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 二、填空题 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用科学记数法表示） 8．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）（ ）． 9．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算： ． 10．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 11．（15-16八年级上·江苏南通·期中）计算： ． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 13．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）如果，则 ． 14．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 15．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列各式中，①；②；③；④；⑤，正确的有 (写序号)． 16．（22-23七年级上·上海宝山·期中） （比较大小） 17．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）若与互为倒数，则的值是 ． 18．（22-23七年级上·上海静安·期中）通过探究发现：当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 20．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算：． 21．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，求的值． 22．（23-24七年级上·上海静安·期中）计算： 23．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算：． 24．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 25．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）用简便方法计算：（结果，可用幂的形式表示）． 26．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）若单项式与单项式是同类项，那么求的值． 27．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：（都是正整数），用含或的式子表示下列各式： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 积的乘方 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【例1】（2023秋•松江区月考）成立的条件是　　 A．为奇数 B．是正整数 C．是偶数 D．是负数 【分析】根据已知得出是奇数，即可得出答案． 【解答】解：成立的条件是是奇数， 即是偶数， 故选：． 【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方的应用，主要考查学生的理解能力． 【变式1】计算：　　． 【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了积的乘方的性质，熟练掌握并灵活运用性质是解题的关键． 【变式2】（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同底数幂相乘的法则、幂的乘方法则分别计算，判断即可． 【解答】解：、，，，，正确，故此选项不符合题意； 、，，，，正确，故此选项不符合题意； 、，，，错误，故此选项符合题意； 、，，，，正确，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘是解题的关键． 【变式3】（2023秋•宝山区期末）如果，那么　81　． 【分析】根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可． 【解答】解：， ， 则． 故答案为：81． 【点评】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式4】（2023秋•静安区校级月考）已知，，，探究，，之间有什么数量关系？ 【分析】根据幂的乘方和积的乘方将变形为形式，再比较即可． 【解答】解：因为，，， 可得：， 即． 【点评】此题考查幂的乘方和积的乘方问题，关键是根据幂的乘方和积的乘方将变形为形式分析． 【变式5】（2023秋•闵行区校级月考）计算：． 【分析】利用幂的乘方及同底数幂乘法法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查幂的乘方及同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.积的乘方运算 1．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（20-21七年级上·上海松江·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方公式判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查积的乘方运算．熟记积的乘方公式是解题关键． 3．（22-23七年级上·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，同底数幂乘法，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型二.积的乘方的逆用 4．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；因此此题可根据积的乘方的逆用进行求解． 【详解】解：原式； 故答案为． 5．（21-22七年级上·上海·期末）的计算结果正确的是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据同底数幂的逆用将写成，再根据乘法结合律和积的乘方的逆用，可得答案． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的逆用，积的乘方的逆用，解题的关键是熟练掌握运算法则． 6．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知（都是正整数），用含的式子表示． 【答案】 【分析】运用逆用幂的乘方、积的乘方进行解答即可． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了逆用幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（22-23七年级上·上海·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆应用积的乘方，同底数幂的乘法计算即可． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题考查了积的运算的逆应用，同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握积的运算及其逆应用是解题的关键． 2．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方，同底数幂相乘计算，然后判断作答即可． 【详解】解：，错误，故A符合要求； ，正确，故B不符合要求； ，正确，故C不符合要求；     ，正确，故D不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘．解题的关键在于正确的运算． 3．（23-24七年级上·上海普陀·期中）的计算结果是（    ） A．； B．； C．1； D．． 【答案】D 【分析】先把原式化为，再利用积的乘方运算的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解： ； 故选D 【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 4．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）成立的条件是（    ） A．为奇数 B．是正整数 C．是偶数 D．是负数 【答案】C 【分析】由，可得，则为奇数，即是偶数，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为奇数，即是偶数， 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方，乘方．解题的关键在于熟练掌握：负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． 5．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）若与互为倒数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可求，可化为，即可求解． 【详解】解：由题意得 与互为倒数， ， ； 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数的定义，同底数幂的乘法公式逆用，积的乘方公式逆用，理解定义，掌握公式是解题的关键． 6．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此逐项判断即可． 此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及同类项的含义和应用，解答此题的关键是要明确：（1）①（，是正整数）；（是正整数）；（2）同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同． 【详解】解：与都是数字，是同类项， 选项A不符合题意； 与所含的字母相同，都是、，且、的指数都是， 与是同类项， 选项B不符合题意； 与所含的字母不相同，含有字母、，含有字母、， 与不是同类项， 选项C符合题意； ，与所含的字母相同，都是、，且、的指数也相同， 与是同类项， 选项D不符合题意． 故选：C． 二、填空题 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，科学记数法的表示方法即可求解，本题主要考查整式乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）（ ）． 【答案】 【分析】逆用积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方运算法则，准确计算． 9．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算，根据积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：． 11．（15-16八年级上·江苏南通·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】 ． 故答案为：． 13．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）如果，则 ． 【答案】 【分析】逆用幂的乘方与积的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了逆用幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 14．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【分析】先根据积的乘方将分子化简，根据单项式的系数与次数的定义即可求解．单项式中的数字因数称这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了积的乘方，单项式的系数与次数的定义，掌握单项式的系数与次数的定义是解题的关键． 15．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列各式中，①；②；③；④；⑤，正确的有 (写序号)． 【答案】③⑤ 【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提取公因式法分别计算判断即可． 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，利用提取公因式法计算，熟练掌握运算法则和运算性质是解题的关键． 【详解】解：，原式错误； ，原式错误； ，原式正确； ，原式错误； ，原式正确； 所以正确的有， 故答案为：． 16．（22-23七年级上·上海宝山·期中） （比较大小） 【答案】 【分析】根据，可得 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂乘法运算公式（）：，，，掌握幂的运算公式是解题关键． 17．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）若与互为倒数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据与互为倒数，得到，再计算，即可得到答案． 【详解】解：与互为倒数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及倒数定义、同底数幂的乘法运算的逆用、积的乘方运算的逆用等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． 18．（22-23七年级上·上海静安·期中）通过探究发现：当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 【答案】 【分析】所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 【答案】1 【分析】利用积的乘方法则逆向运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是逆用运算法则． 20．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方运算后，再合并同类项． 【详解】解：         ． 【点睛】此题考查了幂的运算的运算以及合并同类项，解题的关键是知道同底数幂相乘底数不变，指数相加；还有负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂还是负数． 21．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】将，根据，得出，求出m的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方运算法则，准确计算． 22．（23-24七年级上·上海静安·期中）计算： 【答案】 【分析】首先计算积的乘方和幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了积的乘方幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；分别计算即可． 本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 【详解】解： ． 24．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和积的乘方及合并同类项运算法则是解题关键． 【详解】解：原式． 25．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）用简便方法计算：（结果，可用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】根据题意先将化为指数相同的数的乘积，然后进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，积的乘方运算，掌握积的乘方，有理数的乘方的运算法则是解题的关键． 26．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）若单项式与单项式是同类项，那么求的值． 【答案】 【分析】根据，同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同；进行计算即可求解． 【详解】解： ， 单项式与单项式是同类项， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了积的乘方，单项式的定义，求代数式的值，理解定义，掌握公式是解题的关键． 27．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：（都是正整数），用含或的式子表示下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用积的乘方法则变形求解即可； （2）逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则变形求解即可． 【详解】（1）∵， ∴． （2）∵， ∴． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法‘积的乘方‘幂的乘方法则是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$