第05讲 幂的运算（九大题型）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第05讲 幂的运算（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方运算； 2、学会幂的运算的逆用； 3、幂的运算综合及其应用。 一、知识引入 我们知道 a·a·a 可以写成 a³ (读作 “a 的三次方”或 “a 的立方”). (读作 “a 的n次方). 其中a表示底数，正整数n表示指数，a的n次乘方的结果叫做a 的n次幂 二、同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【方法规律】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 三、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【方法规律】（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 四、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【方法规律】（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 五、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 题型1：同底数幂相乘 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)256 (4) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法运算法则计算即可． （1）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （2）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （3）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （4）根据同底数幂相乘运算法则求解即可． 【解析】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【解析】（1） ． （2） ． （3） ． （4） （5） ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由同底数幂的乘法法则计算即可； （2）由同底数幂的乘法法则计算即可； （3）由同底数幂的乘法法则计算即可； （4）参照同底数幂的乘法法则计算即可． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握法则是解题的关键． 题型2：同底数幂乘法的逆用 4．已知，，则（   ） A．10 B．-2 C．24 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用．根据同底数幂乘法的逆用可得，即可进行解答． 【解析】解：∵，， ∴． 故选：C． 5．（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法运算的逆用求解即可． 【解析】（1）因为，， ． （2）因为， 所以， 所以， 解得． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 【解析】解：由， 故选：． 题型3：幂的乘方 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）直接根据幂的乘方法则计算； （3）先根据幂的乘方和同底数幂的乘方法则计算，再合并同类项． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； （2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方运算法则进行计算，然后合并同类项即可求解； （3）根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解； （4）根据幂的乘方运算法则进行计算，然后合并同类项即可求解． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及合并同类项，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 题型4：幂的乘方的逆用 10．已知，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，先得出，再得出即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 11．已知 ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方．熟练掌握积的乘方的法则，是解决问题的关键． 根据幂的乘方的性质将原式化成已知条件的形式，代入计算即得． 【解析】解：， 将代入上式得， 原式． 12．已知 ，，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法及逆用幂的乘方即可完成计算． 【解析】（1）解：，， ； （2），， ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方法则，正确运用相关法则是解题的关键． 13．若，，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据幂的运算进行计算，即可得出答案． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算是解题的关键． 14．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答； （3）由可得，再根据幂的乘方运算法则解答即可． 【解析】（1）解： ， ， 解得； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键． 题型5：利用幂的乘方比较大小 15．把这4个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据幂的乘方法则，把4个数化成指数相同的数，再根据底数的大小比较即可．，，，，且，． 【易错点分析】与幂有关的计算，需要用到如下策略：把不同底数的幂化为同底数的幂；把不同指数的幂化为同指数的幂；把已知幂化为特殊底数的幂． 16．已知，，，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便． 先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小． 【解析】解：∵； ； ． 则． 故选：A． 17．探究题： (1)计算下列算式的结果：______，______； 发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）； (2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？ ①若，求的值； ②比较，，的大小，并用“”号连接． 【答案】(1)64；64； (2)①；② 【分析】（1）根据乘方运算法则求解，，从而得到猜想； （2）由（1）中猜想，直接运算以及化成同指数幂的形式比较大小即可得到答案． 【解析】（1）解：，， ， 小浦猜想会有如下规律：（用，，表示）； 故答案为：64；64；； （2）解：①∵， ∴； ②∵，，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方运算的归纳及应用，读懂题意，理解幂的乘方运算法则的应用是解决问题的关键． 题型6：积的乘方 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据积的乘方可进行求解； （2）根据积的乘方及合并同类项可进行求解； （3）根据同底数幂的乘法、积的乘方及整式的加减运算可进行求解； （4）根据同底数幂的乘法、积的乘方及整式的加减运算可进行求解． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查积的乘方、同底数幂的乘法及整式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)﹣a3b6c9 【分析】（1）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解． （2）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解． （3）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解． （4）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解． 【解析】（1）解： （2） （3） （4） 【点睛】本题考查积的乘方，掌握积的乘方是解题关键. 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0； (2)． 【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解； (2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可求解． 【解析】（1）解：原式= ； （2）解：原式= ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，合并同类项，熟练掌握相应的计算法则是解题的关键． 题型7：幂的运算综合 21．计算： (1) (2)； (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，注意：（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．同时考查了实数的运算． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； （2）根据幂的乘方计算即可求解； （3）逆用积的乘方计算即可求解； （4）先算同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并同类项即可求解； （5）先算幂的乘方，再算积的乘方； （6）先算积的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：． ． 22．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) 【分析】（1）直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案； （2）先利用幂的乘方法则计算，再合并同类项计算得出答案； （3）先利用幂的乘方法则计算，再直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案； （4）先利用积的乘方法则计算，再合并同类项计算得出答案； （5）先利用积的乘方及同底数幂相乘的法则计算，再合并同类项计算得出答案； （6）根据单项式乘单项式的法则计算即可； （7）先根据零指数幂及负指数幂法则计算，再进行有理数运算即可。 （8）直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案； 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： 【点睛】此题主要考查了实数的运算、负指数幂、零次幂以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 题型8：积的乘方的逆用、幂的运算综合应用 23．的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键； 根据幂的乘方和积的乘方法则计算即可． 【解析】 ； 故选：A． 24．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．    (1)计算： ①； ②． (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；② (2) 【分析】（1）①根据逆用积的乘方法则得结论； ②先逆运用同底数幂的乘法法则，再逆用积的乘方法则和乘方法则得结论； （2）先运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则得方程，求解即可． 【解析】（1）解：①原式； ②原式； （2）解：∵， ∴， 则， 解得：． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则是解决本题的关键． 25．根据下列条件回答问题 (1)已知，求n的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则，能正确幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算是解此题的关键． （1）先根据幂的乘方进行变形，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，求出，再求出答案即可； （2）先根据积的乘方进行变形，再代入求出答案即可． 【解析】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， 的 ． 26．若（且，m，n是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据将转化为，则，即可求解； （2）将整理为，得出，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：； （2） 解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 27．幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到，求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 28．阅读材料，根据材料回答： 例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216． 例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125 =（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1． (1)仿照上面材料的计算方法计算：． (2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）； (3)用（2）的规律计算：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）模仿材料，把原式整理成，即可得出答案． （2）根据第一问的计算可知指数相同的幂相乘时，可先将底数相乘，指数不变． （3）根据第二问的结论计算即可． 【解析】（1）解： =1； （2）解：原式=， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算． 29．观察并验证下列等式： (1)续写等式： ；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：_______；（结果用因式乘积表示） (3)利用上述结论计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的各式即可得到答案； （2）根据题干中已知等式知从开始的连续个整数的立方和等于这个数的和的平方，据此可得； （3）提公因式，进而根据题意进行计算即可求解． 【解析】（1）由题意可得： ； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3） 【点睛】本题考查积的乘方以及数字规律，涉及整式混合运算，有理数运算等知识，综合程度较高． 一、单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可． 【解析】解：． 故选择C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同底数幂相乘底数不变，把指数3、5相加进行计算. 【解析】， 故选：D. 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握计算法则即可. 3．若，，则等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则的逆运算变性后，把，代入即可求值． 【解析】解：∵，， ∴==2×3=6． 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 4．下列计算中，正确的是（    ） A．（a2b3）2=a4b5 B．（3x2y2）2=6x4y4 C．（-xy）3=-xy3 D．（-m3n2）2=m6n4 【答案】D 【分析】根据积的乘方和幂的乘方运算法则逐项分析判断即可 【解析】解：A、（a2b3）2=a4b6，故该选项不正确，不符合题意； B、（3x2y2）2=9x4y4，故该选项不正确，不符合题意；； C、（-xy）3=-x3y3，故该选项不正确，不符合题意；； D、（-m3n2）2=m6n4， 故该选项正确，符合题意；； 故答案为：D 【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘法，掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键． 5．若2n+2n+2n+2n＝26，则n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意运用同底数幂的乘法对2n+2n+2n+2n进行变形得到22+n，进而即可求出n的值． 【解析】解：∵2n+2n+2n+2n ＝4×2n ＝22×2n ＝22+n ＝26， ∴2+n＝6， 解得n＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答此题的关键． 6．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【解析】∵ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及其逆应用，熟练掌握法则，并灵活逆向应用是解题的关键． 7．如果，那么、的值等于（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据同底数幂的乘法和积的乘方计算法则计算出，由此进行求解即可得到答案． 【解析】解：∵ ∴3n=9，3m+3=15， 解得：n=3，m=4， 故选C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 8．已知，，则（    ） A． B． C．432 D．216 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运用，即可得到答案． 【解析】∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运用，熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则是解题的关键． 9．如果，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方得出指数都是11的幂，再根据底数的大小比较即可． 【解析】解：a=355=（35）11=24311， b=444=（44）11=25611， c=533=（53）11=12511， ∵256＞243＞125， ∴b＞a＞c． 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方，关键是掌握amn=（an）m． 10．若，．则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，根据幂的乘方可得，再将代入即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了幂的乘方及求代数式的值．熟悉幂的运算性质是解题的关键． 二、填空题 11． ； ， 【答案】 1 【分析】 本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、0次幂的意义，根据相关法则计算即可． 【解析】解：；， 故答案为：，，1． 12．计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，熟知积的乘方计算法则是解题的关键． 【解析】解：， 故答案为：． 13．（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 【答案】 或 或64； ． 【分析】（1）根据幂的乘方计算即可； （2）根据幂的乘方计算即可； （3）根据幂的乘方计算化为底数是3，也可按幂的乘方逆运算化为底数为27即可； （4）根据幂的乘方计算，再算负数的偶次幂即可； （5）根据幂的乘方计算，再算负数的偶次幂即可； （6）根据积的乘方，再算幂的乘方计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为（1）；（2）；（3）或；（4）或64；（5）；（6）． 【点睛】本题考查积的乘方与幂的乘方，掌握积的乘方与幂的乘方法则是解题关键． 14．已知，，若用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】2x+1/1+2x 【分析】由，，即可得，，进而有，则问题得解． 【解析】∵，， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，掌握同底数幂的乘法是解答本题的关键． 15．若，，则 ． 【答案】5 【分析】先分别根据两个式子列出关于x，y的方程，分别求出x和y，然后代入求解即可． 【解析】， ， 解得； ， ， 解得， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查同底数幂乘法运算以及幂的乘方，熟记运算法则，灵活根据幂的形式变形是解题关键． 16．已知：2x+3y+3＝0，计算：4x•8y的值＝ ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的计算公式即可得结果． 【解析】解：∵2x+3y+3＝0， ∴2x+3y＝﹣3， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，解决本题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法． 17．若=3，=6，=12，，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】由62=3×12，可得(2y)2=2x×2z=2x+z，即可求得x，y，z之间的关系． 【解析】∵2x=3，2y=6，2z=12，且6×6=62=3×12， ∴(2y)2=2x×2z=2x+z， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法的性质．熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．注意掌握指数的变化是解此题的关键． 18．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是 ． 【答案】 【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可． 【解析】解：； ； ； ， ， ， ， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 三、解答题 19．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）不对，应为；（2）不对，应为；（3）不对，应为；（4）不对，应为；（5）不对，应为；（6）不对，应为． 【分析】（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （2）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （3）幂的乘方：底数不变，指数相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （4）先计算幂的乘方运算，再按照同底数幂的乘法进行运算，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （5）积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （6）积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； 【解析】解：（1）； 以上运算错误，正确的为：； （2）； 以上运算错误，正确的为： （3）； 以上运算错误，正确的为： （4）； 以上运算错误，正确的为： （5）； 以上运算错误，正确的为： （6）． 以上运算错误，正确的为： 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘方，幂的乘方，积的乘方运算，掌握幂的运算法则是解题的关键. 20．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可； （3）把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可； （4）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可. 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4） 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，掌握幂的运算法则是解题的关键. 21．计算： （1）；                        （2）； （3）                       （4）； （5）                           （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）根据同底数幂相乘法则计算； （2）根据乘法法则及同底数幂相乘法则计算； （3）根据同底数幂相乘法则及合并同类项法则计算； （4）根据同底数幂乘法法则及合并同类项法则计算； （5）根据幂的乘方及积的乘方法则计算； （6）先将多项式变为同底数的形式，再根据同底数幂乘法法则及合并同类项法则计算． 【解析】（1） =；                        （2） = =； （3） = =；                      （4） = =； （5） =     =；                  （6） = = =． 【点睛】此题考查整式的乘法计算公式：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，以及合并同类项法则，熟记计算法则是解题的关键． 22．已知，，求的值． 【答案】-39 【分析】由幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算进行计算，即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 23．解答下列问题： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）1500；（2）27 【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答； （1）先由得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将 【解析】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键． 24．（1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）比较大小：，，． 【答案】（1）108；（2）8；（3）． 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据求解即可； （3）先得到，，，然后比较大小即可． 【解析】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴； （3），， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 25．探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　) 　23﹣22=　　　　=2(　　)， 　24﹣23=　　　　=2(　　)， …… （1）请仔细观察，写出第4个等式； （2）请你找规律，写出第n个等式； （3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020． 【答案】探究：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3；（1）25﹣24=2×24﹣1×24=24；（2）2n+1﹣2n=2×2n﹣1×2n=2n；（3）﹣2． 【分析】探究：根据有理数的乘方运算逐个补充即可； （1）观察探究的等式，即可写出第4个等式； （2）根据探究的等式，归纳类推出一般规律即可得； （3）先将所求式子进行变形，再根据题（2）中的规律进行求解即可得． 【解析】探究： （1）第4个等式为； （2）归纳类推得：第n个等式为； （3）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，观察探究中的式子，归纳类推出一般规律是解题关键． 26．如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______； (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数） (3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）． 【答案】(1)1，﹣2 (2)3 (3)0.6020，0.699． 【分析】（1）由“劳格数”的定义运算转化为同底数幂解答即可； （2）根据幂的乘方公式转化求解即可； （3）根据积的乘方公式、幂的乘方转化求解即可. 【解析】（1）解：∵10b＝10， ∴b＝1， ∴d（10）＝1； 10b＝10﹣2，∴b＝﹣2， ∴d（10﹣2）＝﹣2； 故答案为1，﹣2； （2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n） ∴ 故答案为3； （3）解：∵d（2）＝0.3010， ∴d（4）＝2d（2）＝0.6020， d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699． 【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 幂的运算（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方运算； 2、学会幂的运算的逆用； 3、幂的运算综合及其应用。 一、知识引入 我们知道 a·a·a 可以写成 a³ (读作 “a 的三次方”或 “a 的立方”). (读作 “a 的n次方). 其中a表示底数，正整数n表示指数，a的n次乘方的结果叫做a 的n次幂 二、同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【方法规律】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 三、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【方法规律】（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 四、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【方法规律】（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 五、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 题型1：同底数幂相乘 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2：同底数幂乘法的逆用 4．已知，，则（   ） A．10 B．-2 C．24 D． 5．（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 6．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型3：幂的乘方 7．计算： (1)； (2)； (3)． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4：幂的乘方的逆用 10．已知，求的值． 11．已知 ，求的值． 12．已知 ，，求下列各式的值． (1) (2) 13．若，，则等于（    ） A． B． C． D．1 14．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 题型5：利用幂的乘方比较大小 15．把这4个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 16．已知，，，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 17．探究题： (1)计算下列算式的结果：______，______； 发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）； (2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？ ①若，求的值； ②比较，，的大小，并用“”号连接． 题型6：积的乘方 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算： (1)； (2)． 题型7：幂的运算综合 21．计算： (1) (2)； (3) (4) (5) (6)． 22．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 题型8：积的乘方的逆用、幂的运算综合应用 23．的值为（    ） A． B． C．1 D． 24．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．    (1)计算： ①； ②． (2)若，请求出n的值． 25．根据下列条件回答问题 (1)已知，求n的值； (2)已知，，求的值． 26．若（且，m，n是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 27．幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 题型9：材料、规律题 28．阅读材料，根据材料回答： 例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216． 例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125 =（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1． (1)仿照上面材料的计算方法计算：． (2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）； (3)用（2）的规律计算：． 29．观察并验证下列等式： (1)续写等式： ；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：_______；（结果用因式乘积表示） (3)利用上述结论计算： 一、单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 4．下列计算中，正确的是（    ） A．（a2b3）2=a4b5 B．（3x2y2）2=6x4y4 C．（-xy）3=-xy3 D．（-m3n2）2=m6n4 5．若2n+2n+2n+2n＝26，则n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．5 7．如果，那么、的值等于（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知，，则（    ） A． B． C．432 D．216 9．如果，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．若，．则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11． ； ， 12．计算的结果等于 ． 13．（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 14．已知，，若用含x的代数式表示y，则 ． 15．若，，则 ． 16．已知：2x+3y+3＝0，计算：4x•8y的值＝ ． 17．若=3，=6，=12，，，之间的数量关系是 ． 18．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是 ． 三、解答题 19．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 20．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 21．计算： （1）；                        （2）； （3）                       （4）； （5）                           （6）． 22．已知，，求的值． 23．解答下列问题： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 24．（1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）比较大小：，，． 25．探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　) 　23﹣22=　　　　=2(　　)， 　24﹣23=　　　　=2(　　)， …… （1）请仔细观察，写出第4个等式； （2）请你找规律，写出第n个等式； （3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020． 26．如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______； (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数） (3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$