预习08讲 圆的标准方程和一般方程（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习08讲 圆的标准方程和一般方程（精讲+精练） ①求圆的标准方程 ②圆的一般方程的理解 ③求圆的一般方程 ④圆的一般方程与标准方程转化 ⑤点与圆的位置关系 ⑥定点到圆上点的最值（范围）问题 一、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 二、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 三、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 四、圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 五、点与圆的位置关系 1.在圆的标准方程中，判断点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 2.在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 六、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; ①求圆的标准方程 【题型精练】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西运城·期中）已知，则外接圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．5 5．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． ②圆的一般方程的理解 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线：经过圆：的圆心，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏连云港·期中）若方程表示半径为1的圆，则（    ） A．1 B．2 C．或1 D．或2 3．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 ③求圆的一般方程 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）过三点的圆的方程为 ． 4．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 5．（23-24高二上·山东聊城·期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 6．（23-24高二上·全国·课后作业）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． ④圆的一般方程与标准方程转化 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高二上·河南·阶段练习）圆的面积为 ． 5．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知圆的半径为3，则的值为 . 6．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 . ⑤点与圆的位置关系 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知圆的方程为，则点在（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 2．（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 3．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·全国·课后作业）若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A． B． C． D． ⑥定点到圆上点的最值（范围）问题 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高二上·山西长治·期末）已知圆的半径为1，以点为圆心，若圆上的点到原点的距离的最大值为7，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 二、填空题 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ． 5．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点在圆上，则的最小值为 . 6．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习08讲 圆的标准方程和一般方程（精讲+精练） ①求圆的标准方程 ②圆的一般方程的理解 ③求圆的一般方程 ④圆的一般方程与标准方程转化 ⑤点与圆的位置关系 ⑥定点到圆上点的最值（范围）问题 一、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 二、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 三、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 四、圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 五、点与圆的位置关系 1.在圆的标准方程中，判断点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 2.在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 六、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; ①求圆的标准方程 【题型精练】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程写出答案 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心为，则圆的方程为，再根据圆过点，求出的值，即可得解. 【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【详解】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 4．（23-24高二上·山西运城·期中）已知，则外接圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】求和的垂直平分线方程，然后解方程组可得圆心，然后可解. 【详解】依题意可得，线段的垂直平分线方程为， 又的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率为，得方程为，即， 解方程组得，即圆心坐标为， 所以半径． 故选：A    5．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 6．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得. 【详解】设该圆方程为， 则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则， ， 故该圆方程为. 故选：B. ②圆的一般方程的理解 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线：经过圆：的圆心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的普通方程找出圆心代入直线方程中即可. 【详解】因为圆：的为：， 直线：经过圆心， 所以有， 此时圆的方程为，，符合题意， 故选：A. 2．（23-24高二上·江苏连云港·期中）若方程表示半径为1的圆，则（    ） A．1 B．2 C．或1 D．或2 【答案】D 【分析】利用题给条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】由方程表示半径为1的圆， 可得，解之得， 故选：D 3．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. ③求圆的一般方程 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【详解】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 2．（22-23高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 二、填空题 3．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）过三点的圆的方程为 ． 【答案】(或者写成) 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 将代入得， ，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 4．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 【答案】1 【分析】设出圆的一般方程，带入，，坐标，求出圆的方程，再带入点求出答案. 【详解】设过，，的圆的方程为，， 则， 解得， 所以过，，的圆的方程为， 又点在此圆上， 所以， 即， 所以， 故答案为：1 5．（23-24高二上·山东聊城·期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 【答案】 【分析】设所求方程为，然后代入点即可求解. 【详解】设所求圆的一般式方程为， 代入点，可得，解得， 所以，所求圆的方程为. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】 先将所求圆的方程设为，再根据所求圆过原点，将代入方程解出，即可得到圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为， 因为过直线和圆的交点的圆过原点， 所以可得，解得， 将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：． 故答案为：. ④圆的一般方程与标准方程转化 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可. 【详解】由，所以圆心和半径分别为. 故选：D 2．（23-24高三上·四川·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用圆的标准方程即可求解 【详解】方程表示圆， 则， 解得，即的取值范围为. 故选：A. 3．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为圆的方程为， 所以圆的标准方程为， 故，解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 二、填空题 4．（23-24高二上·河南·阶段练习）圆的面积为 ． 【答案】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的半径，由此可得圆的面积. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的半径，则圆的面积为. 故答案为：. 5．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知圆的半径为3，则的值为 . 【答案】 【分析】首先将圆的一般方程，写成标准方程，再利用半径为3，即可求解. 【详解】圆的一般方程写成标准方程为， 由圆的半径为可知，，得. 故答案为： 6．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 . 【答案】 【分析】将一般式转化为标准式即可求解半径. 【详解】由可得， 所以半径为， 故答案为： ⑤点与圆的位置关系 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知圆的方程为，则点在（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】根据该点到圆心的距离与圆的半径进行比较即可. 【详解】圆心为，半径为， 因为， 所以在圆外， 故选：C 2．（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：A. 3．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【详解】由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 4．（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 若点在圆外，则， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 5．（22-23高二上·全国·课后作业）若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果. 【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程， 则，解得，所以故a的取值范围是. 故选：D ⑥定点到圆上点的最值（范围）问题 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【详解】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高二上·山西长治·期末）已知圆的半径为1，以点为圆心，若圆上的点到原点的距离的最大值为7，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设为圆上的点，则，从而求出的最大值，进而确定的值. 【详解】设为圆上的点，则. 因为. 故选：A 3．（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解 【详解】由，得， 所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为，则在圆内， 则的最大值为， 故选：B 二、填空题 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】利用两点间距离几何意义求解最值. 【详解】设点，由实数满足可得： 点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 设点，则的几何意义为动点到定点的距离， 由，则点在圆外， 结合图形可知，. 的最大值是. 故答案为：.    5．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点在圆上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用表示点与点的距离的平方，求出圆心与点的距离为，可求得最小距离，继而可求得所求. 【详解】因为，化为， 圆心为，半径为， 又表示点与点的距离的平方， 圆心与点的距离为， 所以点与点的距离的最小值为， 故的最小值为， 故答案为：. 6．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可得答案. 【详解】由直线方程，则该直线过定点， 易知圆上任意定点到该直线的最大距离就是该点到的距离， 由圆的方程，则其圆心为，半径为， 点到圆上点的最大距离为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$