1.4.2充要条件（3知识点+6题型）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

1.4.2充要条件 明确学习目标 课标要求 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题． 3.能对充要条件进行证明． 重点难点 会判断一些简单的充要条件问题；能对充要条件进行证明． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 充要条件 1.充要条件的概念 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 3.注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 知识点2 充要条件的证明 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 知识点3 充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 2提升学科能力 题型一 充分不必要条件的判断 例1．已知，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 跟踪训练1 1．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 根据充分不必要条件求参数 例2．已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 2．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 3．设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型三 必要不充分条件的判断 例3．设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练3 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 题型四 根据必要不充分条件求参数 例4．若是的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．已知p：或，q：或．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为 ． 2．已知集合或，． (1)若，求和； (2)若是的必要条件，求实数a的取值范围. 3．已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型五 充要条件的证明 例5．已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 跟踪训练5 1．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 2．已知集合． (1)求证：的充要条件是； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 3．求证：一元二次方程有两个实数根，且有一根为的充要条件是． 题型六 根据充要条件求参数 例6．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 跟踪训练6 1．若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则 ； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是： ；（答案不唯一，写出一个即可） 2．方程至少有一个负实根的充要条件是 ． 3．已知，若p是q的充要条件，则 ， . 3质量检测评价 一、单选题 1．“为整数”是“为整数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 2．“”是“”的（    ）. A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．点是第二象限的点的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 5．若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 8．设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知p：或，q：或．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为 ． 10．若，或，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 11．当时，函数中的变量随的增大而增大的充要条件是 ． 四、解答题 12．设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 13．已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 14．已知，求成立的充要条件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2充要条件 明确学习目标 课标要求 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题． 3.能对充要条件进行证明． 重点难点 会判断一些简单的充要条件问题；能对充要条件进行证明． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 充要条件 1.充要条件的概念 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 3.注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 知识点2 充要条件的证明 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 知识点3 充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 2提升学科能力 题型一 充分不必要条件的判断 例1．已知，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据命题的不等式得到解集，由集合的包含关系判断充分、必要性即可. 【详解】由题意可知， ，解得， 要的一个充分不必要条件， 即要集合的一个真子集， 故D满足条件. 故选：D. 跟踪训练1 1．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系即可判断. 【详解】因为， 所以是的充分而不必要条件. 故选：A. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据“充分”和“必要”条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的要求分别判断即得，对于较复杂的命题，应先求出其等价命题在判断. 【详解】因，由“”可得“”，即“”是“”的充分条件； 而由“”显然不能得到“”，即“”不是“”的必要条件. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 题型二 根据充分不必要条件求参数 例2．已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质，由的取值范围，可得的取值范围，结合充分不必要条件的定义，可得答案. 【详解】由，则，由是的充分不必要条件，则， 所以. 故选：D. 跟踪训练2 1．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 2．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 3．设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件转化为，即可根据包含关系求解， （2）根据集合的包含关系结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）由得， 由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得，∴实数的取值范围为. （2）由题意知， 当，，得； 当，，得. 综上所述：实数的取值范围为. 题型三 必要不充分条件的判断 例3．设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先解出不等式，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由，即，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 跟踪训练3 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，再结合充分必要条件的定义求解. 【详解】，，，， 推不出，， 是的必要不充分条件， 即是的必要不充分条件． 故选:B. 2．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合特殊值与不等式的性质求解. 【详解】不能推出，例如， 满足，但是，所以充分性不成立； 根据不等式的性质，若，则，所以必要性成立， 所以，“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 3．已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解． （2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解． 【详解】（1）∵，又， ∴． （2）∵是的必要不充分条件， ∴， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 题型四 根据必要不充分条件求参数 例4．若是的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由“是的必要不充分条件”可知，是的真子集，求解即可. 【详解】∵ 是的必要不充分条件，∴是的真子集， 因此，解得. 故选：D. 跟踪训练4 1．已知p：或，q：或．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由p是q的必要条件，有，列不等式组求实数a的取值范围. 【详解】∵p是q的必要条件，∴，则有，解得. 则实数a的取值范围为 故答案为： 2．已知集合或，． (1)若，求和； (2)若是的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可； （2）根据必要条件的性质进行求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴，或； （2）∵是的必要条件， ∴ ∴当时，则有，解得．满足题意． 当时，有，或， 由不等式组可得，不等式组无解． 综上所述，实数a的取值范围是或. 3．已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可； （2）利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 题型五 充要条件的证明 例5．已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由求出，然后利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】若，则，或，所以，或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，故； 当时，， 故由，可得； 反之，当时，显然也成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 跟踪训练5 1．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合一元二次方程的性质证明即可. 【详解】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 2．已知集合． (1)求证：的充要条件是； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】（1）根据一元二次不等式求解集合，然后由充分性和必要性求解， （2）将充分不必要转化为真子集的关系，分类求解集合，然后由集合间的关系列不等式求解. 【详解】（1）充分性：当时， ，故，充分性成立， 必要性：由题意可知， 当时，，又，故，解得； 当时，，又，故，矛盾； 故，因此必要性成立； （2）由题知，，故由（1）可知， 当时，有或，解得； 当时，有或，解得． 综上，实数a的取值范围是或． 3．求证：一元二次方程有两个实数根，且有一根为的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证充分性，直接将代入解方程即可，再证必要性，结合判别式求解即可. 【详解】证明：充分性：当时，一元二次方程，即，解得，，所以方程有两个实数根，且有一根为． 必要性：一元二次方程有两个实数根，且有一根为， 则，解得． 综上，一元二次方程有两个实数根，且有一根为的充要条件是． 题型六 根据充要条件求参数 例6．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】0 【分析】根据充要条件的定义即可求解. 【详解】， 则{x|}＝{x|}， 即. 故答案为：0. 跟踪训练6 1．若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则 ； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是： ；（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）分析可得，可知是方程的解，即可解得的值； （2）根据不等式对任意的恒成立，求出实数的取值范围，结合是的充分不必要条件可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由已知可得，则是方程的解，且有，解得； （2）若不等式对任意的恒成立，则对任意的恒成立， 当时，，则， 因为是的充分不必要条件，故的取值范围可以是（答案不唯一）. 故答案为：（1）；（2）（答案不唯一）. 【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含 2．方程至少有一个负实根的充要条件是 ． 【答案】a≤1 【分析】先对二次项系数a是否为0讨论，再利用根与系数的关系对方程有一个或两个负根进行讨论解出a的范围. 【详解】当时，原方程可化为：，解得：符合题意； 当时，方程显然没有根等于0， 若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：； 若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述：方程至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 故答案为：a≤1 【点睛】根的分布一般指由一元二次方程实根的分布情况求参数的范围问题，一般解决的方法有两种： （1）利用根与系数的关系列不等式组，可解； （2）根据零点存在定理，借助于函数的图像列不等式组，可解. 3．已知，若p是q的充要条件，则 ， . 【答案】 【解析】由p是q的充要条件，可得，建立方程组即可求解. 【详解】若p是q的充要条件，则， ，解得. 故答案为：；. 【点睛】本题考查充要条件与集合的关系，属于基础题. 3质量检测评价 一、单选题 1．“为整数”是“为整数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件， 由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件， 综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件， 故选：A. 2．“”是“”的（    ）. A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，， 当时，且， 所以“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要条件. 故选：A. 3．点是第二象限的点的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充要条件的定义和第二象限点的特点分析判断 【详解】因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0， 所以点是第二象限的点的充要条件是． 故选：B 4．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出“方程至多有一个实数解”的充要条件，即可判断. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为即， 又是的充分不必要条件， 故选： 5．若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用题给条件判断出与的逻辑关系，进而得到正确选项. 【详解】若是的必要不充分条件，则，， 是的充分不必要条件，则， 则有，，则是的充分不必要条件， 故选：A． 6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”， 但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 7．对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】CD 【分析】根据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A,根据等式的性质，由可以推出， 当时，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误; 对于B，如，但，所以推不出， 如，但，所以推不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误; 因为若则一定成立，但若则不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确; 由得，，由可推出，不能推出， 所以是的充分不必要条件，即”是“”的充分不必要条件， 故D正确; 故选:CD. 8．设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】结合Venn图，利用充分条件和必要条件的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确； 对于B，如下Venn图， 若，则，若，则，故正确； 选项C中，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确； 选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故，故互为充要条件，故正确. 故选：ABCD. 三、填空题 9．已知p：或，q：或．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由p是q的必要条件，有，列不等式组求实数a的取值范围. 【详解】∵p是q的必要条件，∴，则有，解得. 则实数a的取值范围为 故答案为： 10．若，或，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意有AB，根据集合的包含关系，列不等式求实数a的取值范围. 【详解】因为A是B的充分不必要条件，所以AB， 又，或， 因此或，解得或 所以实数a的取值范围是． 故答案为： 11．当时，函数中的变量随的增大而增大的充要条件是 ． 【答案】 【分析】当时，由一次函数的性质易知合符条件；时，由二次函数的图象性质求解即可 【详解】若，则，变量随的增大而增大； 若，则必有，得． 综上，所求的充要条件是． 故答案为： 四、解答题 12．设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件转化为，即可根据包含关系求解， （2）根据集合的包含关系结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）由得， 由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得，∴实数的取值范围为. （2）由题意知， 当，，得； 当，，得. 综上所述：实数的取值范围为. 13．已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解． （2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解． 【详解】（1）∵，又， ∴． （2）∵是的必要不充分条件， ∴， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 14．已知，求成立的充要条件． 【答案】 【分析】根据充要条件的定义分析求解即可 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 当时，成立， 所以在的条件下，成立的充要条件是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$