2.3 函数的单调性与最值讲义-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 2.3函数的单调性与最值 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一.增函数与减函数 1．增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 (1)定义中x1，x2有三个特征： 一是x1，x2同属于一个单调区间； 二是x1，x2是任意的两个实数，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替； 三是x1与x2有大小，通常规定x1＜x2，但也可规定x2＜x1. (2)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显然D⊆I. (3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时，函数单调递增；符号相反时，函数单调递减． (4)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域. (5)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接. 2．函数单调性的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质． (1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性． (2)若a为常数，则当a＞0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a＜0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性．Q (3)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 知识点二．函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 (1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略. (3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个. (4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.　 例题讲解 知识点一、判断或证明函数的单调性 例1、已知函数，判断并证明在上的单调性. 例2、已知：函数，（1）讨论的单调性.（2）试作出的图象. 练习： 1．用定义证明：函数在上是增函数． 2．求证：函数在区间上是减函数． 3．讨论函数的单调性，并证明你的结论. 4．已知函数． （Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （Ⅱ）若，求函数在上的值域． 知识点二、函数的单调区间 例1、函数，的单调减区间为(    ) A． B． C． D． (2)函数的单调增区间为(　　) A．(0，+∞) B．(﹣∞，0) C．(﹣∞，0)∪(0，+∞) D．(﹣∞，0)，(0，+∞) (3)函数的单调递减区间为(    ) A． B． C． D．， (4)．已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为(    ) A． B．和 C． D．和 (5)函数的单增区间为(    ) A． B． C． D． 例2、判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2； (2) 例3、已知函数的定义域为，且对任意的、均有，且对任意的，都有. （1）试说明：函数是上的单调递减函数； （2）试求函数在（且）上的值域. 练习： 1．下列命题正确的是(    ) A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 2．函数单调减区间是___________. 3．已知函数，则的单调递增区间为__________. 4．函数的单调减区间为___________. 5．求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)　(3)；（4）y=|x2-2x-3|. 5．已知的定义域为，且当时.若对于任意两个正数和都有，试判断的单调性. 6．已知增函数y=f（x）的定义域为且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足 f（x）+f（x﹣3）≤2的x的范围． 知识点三、 函数单调性的应用 例1、（1）设函数是上的减函数，则有(    ) A． B． C． D． (2) “”是“函数在区间上为减函数”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 例2、（1）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是(    ) A． B． C． D． (2)已知函数，则不等式的解集为(    ) A． B．或 C． D． 例3、已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为(　　) A． B． C． D．不确定 例4.、已知函数是定义域为的单调增函数． （1）比较与的大小； （2）若，求实数的取值范围． 练习： 1．若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 2．已知函数在上单调，则实数k的取值范围为(    ) A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 4．己知是函数的增区间，则下列结论成立的是(    ) A． B． C． D． 5．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 (    ) A． B． C． D． 6．已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为________. 知识点四、函数的最值 例1、函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是(　　) A． B．2，5 C．1，2 D． 例2、当时，则函数的值域为(    ) A． B． C． D． 例3、求下列函数的值域： (1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)； (3)； (4). 例4、已知函数的最大值为m，的最小值为n，则______． 练习： 1．函数的最小值为(    ) A．2 B． C．3 D．以上都不对 2．设函数，则的值域是(    ) A． B． C． D． 3．若函数的值域是，则实数的取值范围是 __． 知识点五、二次函数的最值 例1、已知函数. (1)求的最小值; (2)求的最大值. 例2、已知 （1）画出这个函数的图象； （2）求函数的单调区间； （3）求函数f（x）的最大值和最小值． 练习： 1．已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 2．已知二次函数，非空集合. (1)当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围； (2)当__________时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在(2)问中的横线上，并求解. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.) 3．已知函数. (1)当时，求的解集； (2)求函数在区间上的最小值. 知识点六、抽象函数 例1、已知函数的定义域为,且对任意的正实数都有,且当时,,. (1)求; (2)求证:为上的增函数; (3)解不等式. 例2、已知：函数对一切实数x，y都有成立，且f（1）=0． （1）求f（0）的值． （2）求f（x）的解析式． （3）已知a∈R，设P：当时，不等式恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩∁RB（R为全集）． 练习： 1．已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 2．已知定义在的函数满足以下条件：①；②当时，； ③对，均有． (1)求和的值； (2)判断并证明的单调性； (3)求不等式的解集． 举一反三 1．已知为增函数，则的取值范围是(    ) A． B．C． D． 2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3．已知是上的增函数，是其图象上两点，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 4．已知函数在上是递减函数，且，则有(    ) A． B． C． D． 5．定义在R上函数满足以下条件：①函数图像关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为(　　) A． B． C． D． 6．若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 7．已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 8．函数的单调增区间是______. 9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 10．函数在上是增函数，则实数a的值为__________． 11．函数在上为增函数，则的取值范围是__________． 12．已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是______． 13．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______ 14．已知函数与在区间上都是减函数，那么__________. 15．若是上的偶函数，且在上单调递增，则下列条件中：①；②；③；④，能使得成立的序号是___________． 16．若，则函数在上的值域是______________． 17．若“，”是真命题，则实数的取值范围是______. 18．规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为______. 19．已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数在上的最值. 20．已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为． (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求的表达式； (2)解关于的不等式． 21．已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数()的最大值与最小值之差为1，求实数的值 22．设函数 (a为常数). (1)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围； (2)在(1)的条件下，求在上的最小值. 23．已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 24．已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)设函数，，求的值域． 25．已知，函数． (1)当，请直接写出函数的单调递增区间(不需要证明)； (2)记在区间上的最小值为，求的表达式； (3)对(2)中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围． 26．已知 的定义域为， 对任意都有， 当时，，. (1)求； (2)证明：在上是减函数； (3)解不等式：. 课 堂 小 结 一．利用定义证明函数单调性的步骤： 1.取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； 2.作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； 3.定号：确定f(x1)－f(x2)的符号； 4.结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性. 二．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y＝ax＋b(a≠0) a＞0时，在R上单调递增； a＜0时，在R上单调递减 反比例函数y＝(a≠0) a＞0时，减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)； a＜0时，增区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0) a＞0时，减区间是(－∞，m]，增区间是[m，＋∞)； a＜0时，减区间是[m，＋∞)，增区间是(－∞，m] 三．利用函数的单调性求最值的常用结论 1.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(a)，最大值ymax＝f(b)． 2.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(b)，最大值ymax＝f(a)． 3.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，在区间[b，c]上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)，最小值为f(a)与f(c)中的较小者． 4.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，在区间[b，c]上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)，最大值为f(a)与f(c)中的较大者．　　 课 后 作 业 1．已知，则“”是“函数在内单调递减”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 3．函数，，对，，使成立，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4． (多选)设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数，都有；②当时，；③.则下列说法不正确的是(    ) A． B． C．不等式的解集为 D．若关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 5． (多选)已知函数，对于任意，，则(    ) A． B． C． D． 6．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是(    ) A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 7． (多选)设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都有；②；则下列结论正确的是(    ) A． B．不等式的解集为 C． D．使关于的不等式有解的所有正数的集合为 8．已知函数在上单调递减，则实数a 的范围为____________． 9．函数在区间上的最大值为，则________． 10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 11．已知函数， (1)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围. 12．已知二次函数满足，对任意，都有恒成立． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围． 13．已知函数，. (1)当时，求的最小值; (2)若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. 14．已知，函数， (1)求在上的最小值； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 2.3函数的单调性与最值 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一.增函数与减函数 1．增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 (1)定义中x1，x2有三个特征： 一是x1，x2同属于一个单调区间； 二是x1，x2是任意的两个实数，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替； 三是x1与x2有大小，通常规定x1＜x2，但也可规定x2＜x1. (2)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显然D⊆I. (3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时，函数单调递增；符号相反时，函数单调递减． (4)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域. (5)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接. 2．函数单调性的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质． (1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性． (2)若a为常数，则当a＞0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a＜0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性．Q (3)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 知识点二．函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 (1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略. (3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个. (4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.　 例题讲解 知识点一、判断或证明函数的单调性 例1、已知函数，判断并证明在上的单调性. 【解析】函数在上单调递增. 证明：，任取，， 因为，所以，，，所以，即， 所以在上单调递增. 例2、已知：函数，（1）讨论的单调性.（2）试作出的图象. 【解析】（1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1<x2，则 ①当时，x1-x2<0，1<x1x2，故，即f(x1)-f(x2)<0 ∴x1<x2时有f(x1)<f(x2)上是增函数. ②当-1<x1<x2<0 ∴x1-x2<0，0<x1x2<1∵0<x1x2<1 故，即f(x1)-f(x2)>0∴x1<x2时有f(x1)>f(x2)上是减函数. 同理：函数是减函数, 函数是增函数. （2）函数的图象如下 练习： 1．用定义证明：函数在上是增函数． 【解析】对任意，， 则， 因为，所以， 又，所以，故函数在上是增函数． 2．求证：函数在区间上是减函数． 【解析】设，且，则, ，且，又，, ,即，故函数在区间是减函数. 3．讨论函数的单调性，并证明你的结论. 【解析】设，则，. ，即. 在上单调递减. 同理可得在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减. 故函数在和上单调递增；在和上单调递减. 4．已知函数． （Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （Ⅱ）若，求函数在上的值域． 【解析】（Ⅰ）当时，任取， 因为，，，所以，得， 故函数在上是减函数； （Ⅱ）当时，由（1）得在上是减函数,故函数在上也是减函数， ,.由此可得，函数在上的值域为． 知识点二、函数的单调区间 例1、函数，的单调减区间为(    ) A． B． C． D． (2)函数的单调增区间为(　　) A．(0，+∞) B．(﹣∞，0) C．(﹣∞，0)∪(0，+∞) D．(﹣∞，0)，(0，+∞) (3)函数的单调递减区间为(    ) A． B． C． D．， (4)．已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为(    ) A． B．和 C． D．和 (5)函数的单增区间为(    ) A． B． C． D． 【解析】(1)函数对称轴为，开口向上，所以函数，的单调减区间为.故选：D (2)∵函数1，定义域为{x|x≠0}，且y的单调递减区间为(﹣∞，0)，(0，+∞)， 故函数的单调增区间为(﹣∞，0)，(0，+∞)，故选：D． (3)函数为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数的单调递减区间为：，. 不能选C，因为不满足减函数的定义.故选：D. (4)由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B (5).因为，， 所以的增区间是．故选：D 例2、判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2； (2) 【解析】(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2)∴图象为 ∴f(x)在上递增. 例3、已知函数的定义域为，且对任意的、均有，且对任意的，都有. （1）试说明：函数是上的单调递减函数； （2）试求函数在（且）上的值域. 【解析】（1）任取、，且，，由题可知： . 对任意的都有，.. 故函数是上的单调递减函数. （2）由于函数是上的单调递减函数，在[m,n]上也为单调递减函数， 在[m,n]上的最大值为，最小值为. 由于，同理... 因此函数在上的值域为. 练习： 1．下列命题正确的是(    ) A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 【解析】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误； 对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误； 对于C：在是增函数，在是减函数， ，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确； 对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；设定义域为，取， 则， 当时，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递减， 同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，故选：C． 2．函数单调减区间是___________. 【解析】由， 如图所示： 由图可知函数单调减区间是：，故答案为：. 3．已知函数，则的单调递增区间为__________. 【解析】当时，单调递减； 当时，，在上单调递增，在单调递减；故答案为： 4．函数的单调减区间为___________. 【解析】，由于函数的单调减区间为和. 故函数的单调减区间为和.故答案为：和 5．求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)　(3)；（4）y=|x2-2x-3|. 【解析】(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 5．已知的定义域为，且当时.若对于任意两个正数和都有，试判断的单调性. 【解析】设，则.. 在上单调递增. 6．已知增函数y=f（x）的定义域为且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足 f（x）+f（x﹣3）≤2的x的范围． 【解析】由f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）可知，2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）， 所以f（x）+f（x﹣3）≤2等价于f（x）+f（x﹣3）≤f（4）， 因为，所以f（x）+f（x﹣3）=f[x（x﹣3）]，所以f[x（x﹣3）]≤f（4）． 又因为y=f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．所以 故满足的实数x的取值范围是． 知识点三、 函数单调性的应用 例1、（1）设函数是上的减函数，则有(    ) A． B． C． D． (2) “”是“函数在区间上为减函数”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意函数是上的减函数， 则，否则为常数函数，不合题意，故为一次函数， 故，故选：D (2)的图象如图所示，要想函数在区间上为减函数，必须满足， 因为是的子集，所以“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 故选：A (3)由函数满足对任意的实数都有成立，所以在上单调递减， 由题意，得，解得，故选：B． 例2、（1）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是(    ) A． B． C． D． (2)已知函数，则不等式的解集为(    ) A． B．或 C． D． 【解析】因为，所以， 又函数的定义域为，且在定义域内是增函数，所以有，解得.故选：C (2)函数中，在上单调递减，在上单调递减，且， 则函数在定义域上单调递减，，， 解得：，即不等式的解集为.故选：D. 例3、已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为(　　) A． B． C． D．不确定 【解析】因为，又是区间内的减函数，所以. 故选：B． 例4.、已知函数是定义域为的单调增函数． （1）比较与的大小； （2）若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，由已知，是单调增函数，所以． （2）因为是单调增函数，且，所以，解得或． 练习： 1．若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【解析】当时，则，在上单调递增，满足题意； 当时，的对称轴为， 要使函数在上单调递增，只需，解得 综上，a的取值范围是故选：D 2．已知函数在上单调，则实数k的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】的对称轴为，若在上单调递增，则，解得， 若在上单调递减，则，得，实数k的取值范围为.故选D. 3．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意，，在中，函数单调递增， ∴，解得：，故选：C. 4．己知是函数的增区间，则下列结论成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为是函数的增区间，所以，故A正确； 由于无法确定、的取值情况，故无法判断的符号，故B、C、D错误； 故选：A 5．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 (    ) A． B． C． D． 【解析】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以. 故选：A 6．已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为________. 【解析】因为是定义在上的减函数，则，可得，故解集为. 故答案为： 知识点四、函数的最值 例1、函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是(　　) A． B．2，5 C．1，2 D． 【解析】∵y＝x2+1在(0，+∞)上单调递增，且y＞1，∴在区间[1，2]上单调递减， ∴函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f(1)，f(2)，故选：A． 例2、当时，则函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【解析】令，因为，所以， 当时，函数单调递减，故， 当时，即，所以， 所以函数的值域为：.故选：C． 例3、求下列函数的值域： (1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)； (3)； (4). 【解析】(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 2)； (2) ； (3)经观察知，，； (4)令. 例4、已知函数的最大值为m，的最小值为n，则______． 【解析】当时，，所以此时， 当时，，所以此时， 综上所述，，即，所以.故答案为：. 练习： 1．函数的最小值为(    ) A．2 B． C．3 D．以上都不对 【解析】令，则， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值，故选：B 2．设函数，则的值域是(    ) A． B． C． D． 【解析】当,即，时,或, , 因为，所以，因此这个区间的值域为. 当时,即，得, 其最小值为，其最大值为，因此这区间的值域为. 综上，函数值域为:.故选：D 3．若函数的值域是，则实数的取值范围是 __． 【解析】因为函数. 当时，有，当且仅当时等号成立. 当，即时，有，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，有，不满足题意； 当，即时，在上单调递增，有. 要使的值域是，则应有，所以. 综上所述，当时，的值域是. 故答案为：. 知识点五、二次函数的最值 例1、已知函数. (1)求的最小值; (2)求的最大值. 【解析】(1)由题意可得：， 当时，在区间上单调递减，最小值； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值； 当时，在区间上单调递增，最小值； 综上所述：. (2)由(1)可知：当时，在单调递减，所以的最大值为； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的最大值为； 当时，在单调递增，所以的最大值为； 综上所述：的最大值. 例2、已知 （1）画出这个函数的图象； （2）求函数的单调区间； （3）求函数f（x）的最大值和最小值． 【解析】（1）∵，作出其图象如下： （2）由f（x）的图象可得，单调递减区间为[―3，―2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[―2，0），[1，3]． （3）由f（x）的图象可得，当x=3时，f（x）取得最大值为4，当x=6时，f（x）取得最小值―5． 练习： 1．已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 【解析】，对称轴为，开口向上， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最大值，，解得：，满足， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，所以当时，取得最大值， 由，解得：，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，所以当时，取得最大值， 由，解得：，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减， 故当时，取得最大值，，解得：，与矛盾，舍去；综上：. 2．已知二次函数，非空集合. (1)当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围； (2)当__________时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在(2)问中的横线上，并求解. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.) 【解析】(1)，由于当且仅当时，才可取到最小值，于是，即. (2)根据二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， 于是当时，最小值一定在取得，最大值在或处取得. 选择方案①，当时，在上递减，，此时，，此时． 选择方案②，当时，，此时或，，此时． 选择方案③，当时，，，此时，，此时． 3．已知函数. (1)当时，求的解集； (2)求函数在区间上的最小值. 【解析】(1)当时， 不等式，即，解得. 所以不等式的解集为. (2)易知的对称轴为，则 ①当时，在上单调递增，则. ②当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ③当时，在上单调递减，则 综上. 知识点六、抽象函数 例1、已知函数的定义域为,且对任意的正实数都有,且当时,,. (1)求; (2)求证:为上的增函数; (3)解不等式. 【解析】(1)因为,,令,则,解得, 令,则,令,,则, 所以. (2)设,因为当时,,则,令,则,即, 所以,根据单调性定义,为上的增函数. (3)因为在上为增函数,又, 所以,解得,即原不等式的解集为. 例2、已知：函数对一切实数x，y都有成立，且f（1）=0． （1）求f（0）的值． （2）求f（x）的解析式． （3）已知a∈R，设P：当时，不等式恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩∁RB（R为全集）． 【解析】（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1×（﹣1+2+1）∵f（1）=0，∴f（0）=﹣2； （2）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1），又∵f（0）=﹣2，∴ ； （3）不等式，即即，当时， ，又恒成立，故A={a|a≥1}， 又在[﹣2，2]上是单调函数，故有，或，∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}， ∴A∩CRB={a|1≤a＜5}． 练习： 1．已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【解析】(1)设，且，则，即， 所以， 所以，所以是上的增函数． (2)因为，所以．在上式中取，则有， 因为，所以．于是不等式等价于． 又由(1)知是上的增函数，所以，解得或， 所以原不等式的解集为． 2．已知定义在的函数满足以下条件：①；②当时，； ③对，均有． (1)求和的值； (2)判断并证明的单调性； (3)求不等式的解集． 【解析】(1)因为，， 所以令，则， 令，则， 令，则，即，得或， 令，则，即， 若，则，与已知矛盾，所以； (2)在上单调递增，证明如下：任取，且，则，所以， 则 ， 令，则，所以， 当时，，所以，所以，则， 所以，即，所以当时，，所以， 因为，所以，即，所以在上单调递增； (3)由(2)可知当时，，所以， 所以可化为， 所以，所以，所以， 因为在上单调递增，所以， 令，则在上单调递增， 因为，所以可化为，所以， 即原不等式的解集为. 举一反三 1．已知为增函数，则的取值范围是(    ) A． B．C． D． 【解析】因为为增函数，故，解得.故选：. 2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得； 易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增； 若满足函数在上单调递增，则分段端点处的函数值需满足，如下图所示： 所以，解得；综上可得.故选：A 3．已知是上的增函数，是其图象上两点，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意，，则，故， 所以，即解集为.故选：C 4．已知函数在上是递减函数，且，则有(    ) A． B． C． D． 【解析】是减函数， ；故选：D. 5．定义在R上函数满足以下条件：①函数图像关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为(　　) A． B． C． D． 【解析】∵函数图像关于对称，且对任意，当时都有， ∴在，上单调递减，在单调递增，，∴．故选：B． 6．若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】当时，函数单调递增所以 当时，是单调递增函数，所以，所以 当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以，解之得：， 综上所述：实数a的取值范围是故选：B 7．已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】，因此在定义域上是增函数，， 不等式即为，所以， 所以在上恒成立，若，即，显然成立， 若，即时，由于，因此，，从而也满足题意， 综上，，故选：B． 8．函数的单调增区间是______. 【解析】因为函数可化为，当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为，故答案为：. 9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 【解析】任取且设， 则． 因为在上单调递增，，所以，则． 又，所以，所以，则实数的取值范围为．故答案为：． 10．函数在上是增函数，则实数a的值为__________． 【解析】当时，函数，在上单调递增，符合题意； 当时，函数，其对称轴为， 若，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增； 若，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，综上，.故答案为：0. 11．函数在上为增函数，则的取值范围是__________． 【解析】函数开口向上，对称轴为， 要使函数在上为增函数，则，解得，即.故答案为： 12．已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是______． 【解析】，因为在区间上是严格增函数， 所以，即.故答案为：. 13．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______ 【解析】二次函数的图像开口向上，单调增区间为， 又函数在区间上是增函数， 则，解之得，则实数的取值范围是故答案为： 14．已知函数与在区间上都是减函数，那么__________. 【解析】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，是反比例型函数，若在区间是减函数，则，所以. 所以与在区间上都是减函数，a的取值范围为.故答案为:.. 15．若是上的偶函数，且在上单调递增，则下列条件中：①；②；③；④，能使得成立的序号是___________． 【解析】函数为偶函数，所以，且在上单调递增， 由偶函数性质知函数在单调递减， 对于①，当时，恒成立； 对于②，当时，则，恒成立； 对于③，当时，不恒成立，比如，，； 对于④，当时，若，则，恒成立 若，则，恒成立；故答案为：①②④. 16．若，则函数在上的值域是______________． 【解析】，任取，，且， 则，所以， 所以函数在上单调递增，则，， 所以函数在上的值域是.故答案为：. 17．若“，”是真命题，则实数的取值范围是______. 【解析】由题，“，”是真命题，对于能成立，只需要即可， 令，对称轴为，故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即,所以实数的取值范围是.故答案为：. 18．规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为______. 【解析】在同一直角坐标系中分别画出与的图象如图， 两个函数的图象有四个交点A，B，C，D．由图可知，B为函数图象的最低点，联立方程组，解得或(舍去)， 所以的最小值为．故答案为：． 19．已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数在上的最值. 【解析】(1)根据题意得：，解得：； (2)在上的单调递增；理由如下： 设，则 ∵，故，，∴ ，∴f(x)在上的单调递增； (3)根据题意，由(2)可知，在上单调递增，故，， ∴函数在上的值域为. 20．已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为． (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求的表达式； (2)解关于的不等式． 【解析】(1)若满足②，则二次函数开口向下， 的解集不能满足为， 此时有最大值，所以①②不能同时满足，②③不能同时满足， 所以满足的两个条件为①③， 所以解得，所以. (2)因为，所以对称轴为，且函数在单调递减，单调递增， 因为，即， 因为恒成立，恒成立，所以，即， 解得或，所以不等式的解为. 21．已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数()的最大值与最小值之差为1，求实数的值 【解析】(1)且，则， 因为，所以，又因为，所以， 因此，所以在是减函数； (2)由(1)可知，是减函数，所以时，取得最大值为，时，取得最小值为，因为最大值与最小值之差为1，所以，解得. 22．设函数 (a为常数). (1)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围； (2)在(1)的条件下，求在上的最小值. 【解析】(1)因为函数在R上是增函数，则有，解得， 所以a的取值范围是. (2)函数图象的对称轴为，由(1)知，而， 当时，函数在上单调递增，当时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，， 当时，函数在上单调递减，当时，， 所以函数在上的最小值. 23．已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【解析】(1)函数在上是增函数， 证明：任取，且，. ∵，，∴，即. ∴函数在区间上是增函数. (2)由(1)知函数在区间上是增函数，故函数在区间上的最大值为， 最小值为. 24．已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)设函数，，求的值域． 【解析】(1)在上的单调递减，证明如下： 设，则 ， 因为，所以，，，，即， 所以，即，所以函数在上的单调递减； (2)， 设，在上单调递增，当时，，所以， 令，，由(1)可知，在上单调递减， 又，，所以，所以的值域为. 25．已知，函数． (1)当，请直接写出函数的单调递增区间(不需要证明)； (2)记在区间上的最小值为，求的表达式； (3)对(2)中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围． 【解析】(1)解：当时，， 所以，函数的单调递增区间为. (2)解：由题意可知， ①当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，； ②当时，函数在上单调递减，则.综上所述，. (3)解：当，时，令，则， ①若，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，此时，，此时； ②若时，当时，函数在上单调递减，此时，，此时. 综上所述，. 26．已知 的定义域为， 对任意都有， 当时，，. (1)求； (2)证明：在上是减函数； (3)解不等式：. 【解析】(1)，令，则，解得：， 令，则，因为，故，解得：； (2)证明：令，且，则， 因为当时，，所以， 故，所以在上是减函数； (3)令，则，令得：， 令得：，令，则， 故变形为， 故，整理得： 所以，即，由(2)得：在上是减函数， 所以，解得：，不等式的解集为. 课 堂 小 结 一．利用定义证明函数单调性的步骤： 1.取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； 2.作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； 3.定号：确定f(x1)－f(x2)的符号； 4.结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性. 二．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y＝ax＋b(a≠0) a＞0时，在R上单调递增； a＜0时，在R上单调递减 反比例函数y＝(a≠0) a＞0时，减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)； a＜0时，增区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0) a＞0时，减区间是(－∞，m]，增区间是[m，＋∞)； a＜0时，减区间是[m，＋∞)，增区间是(－∞，m] 三．利用函数的单调性求最值的常用结论 1.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(a)，最大值ymax＝f(b)． 2.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(b)，最大值ymax＝f(a)． 3.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，在区间[b，c]上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)，最小值为f(a)与f(c)中的较小者． 4.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，在区间[b，c]上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)，最大值为f(a)与f(c)中的较大者．　　 课 后 作 业 1．已知，则“”是“函数在内单调递减”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若函数在内单调递减， 当时，在内单调递减，符合题意. 当时，的开口向上，对称轴为，则，解得. 当时，的开口向下，对称轴为，则，解得. 综上所述，若函数在内单调递减，则. 所以“”是“函数在内单调递减”的充分不必要条件.故选：A 2．定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【解析】由且，，则两边同时除以可得， 令，则在单调递增，由得且， 即解得，故选：D. 3．函数，，对，，使成立，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解析】，当时， ，， 即值域为.又，则为增函数， 当时， 值域为. 要使对，，使得 成立，则， ，解得 ，所以实数的取值范围是.故选：C. 4． (多选)设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数，都有；②当时，；③.则下列说法不正确的是(    ) A． B． C．不等式的解集为 D．若关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 【解析】因为对正数，都有，所以，所以，A错误； 由已知，，， 所以，又， 所以，所以，B正确，任取两个实数，且， 则，因为，所以， 又当时，，所以，所以，故， 所以函数在上单调递增，又不等式可化为 ，， 所以，，(此时已经可以判断C错误) 所以，， 解得，且，故，C错误；不等式可化为 ，，所以，， 当时，，没有意义，不满足要求，(此时已经可以判断D错误)， 当时，，，由已知，，， 当时，，所以， 若，则且，由已知，， 当时，，又，所以不存在满足条件， 所以的取值范围是，D错误，故选：ACD. 5． (多选)已知函数，对于任意，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】令，故A正确； 由已知，① 令满足题干要求，则，故B错误； 由①可知，令，则， 又因为，则，所以，故C正确； 因为，所以， 又由①，令，则， 所以，故D正确.故选：ACD. 6．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是(    ) A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 【解析】对于A，因为， 令，得，所以，故A正确； 对于B，令，得，所以， 任取，且，则， 因为，所以，即，所以， 所以在上是减函数，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，因为，，所以， 又因为， 所以由得，故， 因为在上是减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为，故D正确.故选：ABD． 7． (多选)设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都有；②；则下列结论正确的是(    ) A． B．不等式的解集为 C． D．使关于的不等式有解的所有正数的集合为 【解析】因为对，都有， 令，即，则，故选项A正确； 令，则，又，所以，故选项C正确； 令，则，所以， 所以，，可化为， 故，所以 因为函数在上单调递减，所以，且， 解得：，所以的取值范围为，故选项B错误； 不等式可化为， 故，所以且，， 得，此不等式有解，等价于， 在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成立，，，故即为所求范围，故选项D正确， 故选：ACD． 8．已知函数在上单调递减，则实数a 的范围为____________． 【答案】或 【解析】由题仅考虑在上的单调性. ①当时，，其在上单调递增，不合题意； ②当时，. 任取，， 则， 因，则时，， 得在上单调递减.则； ③当时，令， 得或(舍去). 则， 因函数，均在上单调递增，则在上单调递减，则 i当时，，则满足题意； ii当时，有. 则当时，. 综上a 的范围是或. 故答案为：或 9．函数在区间上的最大值为，则________． 【答案】# 【解析】设，根据对勾函数的性质，可得函数在区间为单调递增函数， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 因为在区间上的最大值为， 所以当，即时，可得函数， 即，此时方程无解； 当且，即时，函数，不符合题意，舍去； 当，即时，可得函数， 即，解得， 综上可得，实数的值为. 故答案为：#. 10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】对于函数，则，当且仅当时取等号， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减， 令，解得或，所以与的两个交点分别为、， 则函数与的图象如下所示： 当时，当时，当时， 显然，此时函数的值域不为，不符合题意； 当时，当时，当时， 此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意； 当时，在时，即， 此时的值域为，符合题意， 当时，当时，当时， 此时，即，此时函数的值域为，符合题意； 综上可得. 故答案为： 11．已知函数， (1)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解析】(1)解：由，即， 即对任意的恒成立， 当时恒成立，符合题意， 当时，问题等价于在上恒成立， 因为当且仅当，即时取等号，故符合题意， 当时，问题等价于在上恒成立， 则，解得或， 综上可得或. (2)解：当时，． 又． ①当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解， ②当，即时， 对任意，． 所以，解得， ③当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解， ④当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 12．已知二次函数满足，对任意，都有恒成立． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)解：对任意，都有恒成立． 令，可得，所以 (2)解：由，知，得． 由对任意恒成立，可得不等式对任意恒成立． 则，即，又，故， 所以，，则， 因为对任意的恒成立，合乎题意. 综上所述，函数的解析式为 (3)解：由(2)可得，则函数在上连续. ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； ②当时，在上单调递增， 所以． 综上，. 当时，恒成立， 即对恒成立，即， 易得函数在上单调递增，，所以，； 当时，恒成立，即恒成立， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上单调递增，且其最大值为，所以，. 综上所述，实数的取值范围是. 13．已知函数，. (1)当时，求的最小值; (2)若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)令，，不妨设， ， 若，，则，，， ，在是减函数. 若，，则，， ，在是增函数. ，， . (2)要使在上有解，则需恒成立. 对于，， 由(1)可知在递减，在递增， 同理可求得， 当时，，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上得或， 因此，当时，不等式在上有解. 14．已知，函数， (1)求在上的最小值； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】1)的对称轴为， ①当即时，最小值， ②当即时，最小值， ③当即时，最小值，， 综上， (2)由题意得， ，由得，故在单调递减，在单调递增， 同理得在上的最小值 解不等式， ①当时，，即，解得， ②当时，，解得， ③当时，，解得， ④当时，此时，，故无解， ⑤当时，同理得无解， 综上，的取值范围为 41 学科网（北京）股份有限公司 $$