第07讲：统计和概率高频题型归纳（10大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第07讲：统计和概率高频题型归纳 【考点归纳】 【题型归纳】 · 考点一：随机抽样 · 考点二：用样本估计总体 · 考点三：平均数 方差问题 · 考点四：百分位数 · 考点五：互斥事件和对立事件 · 考点六：随机事件的概率 · 考点七：几何概型 · 考点八：频率和概率 · 考点九：统计和概率的综合 【知识归纳】 知识点一．随机抽样 (1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样． (3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． 知识点二．用样本的频率分布估计总体分布 (1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1. (2)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线． (3)茎叶图：茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 知识点三．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数． (2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数． (3)平均数：＝，反映了一组数据的平均水平． (4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝ . (5)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)． 知识点四．概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 知识点五．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥事件 A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅且 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ＝1 知识点六.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 【题型归纳】 题型一：随机抽样 1．（2024高一下·全国）为了保证采用分层随机抽样方法时每个个体被等可能地抽取，必须要求（    ） A．每层等可能抽取 B．每层抽取的个体数相等 C．每层抽取的比例为（其中n为抽取的样本容量，N是总体容量） D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制 2．（2024·四川南充·二模）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（    ） A．150 B．180 C．200 D．250 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）为了解高一新生的体质健康状况，某校将组织高一学生进行体质健康抽测．已知该校高一年级共有800名学生，将他们依次编号，拟利用随机数表随机抽取80名同学参加体质健康测试，随机数表的一部分如下： 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481 2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322 在随机数表中从第2行第4列开始，横向依次读取三个数字，则被抽中的第5个编号是（    ） A．036 B．341 C．328 D．693 题型二：用样本估计总体 4．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 5．（23-24高一下·天津河北·期末）某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（    ） A．该市14天空气质量指数的中位数为78.5 B．该市14天空气质量指数的第30百分位数为55 C．该市14天空气质量指数的平均值大于100 D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大 6．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）2016年至2023年我国原油进口数量如图所示： 下列结论正确的是（    ） A．2016年至2023年我国原油进口数量逐年增加 B．2016年至2023年我国原油进口数量的极差为16138万吨 C．2016年至2023年我国原油进口数是的分位数为54239万吨 D．2015年我国原油进口数量少于30000万吨 题型三：平均数 方差问题 7．（23-24高一下·浙江衢州·期中）已知甲组数据由这个数据构成，记这组数据的平均数为，方差为；乙组数据由，这数据构成，记这组数据的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（   ） A． =10，=14 B． =9，=44 C． =29，=45 D． =29，=44 9．（23-24高一下·浙江·期中）已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则平均数（    ） A．1 B． C．2 D． 题型四：百分位数 10．（2024·山东临沂·二模）一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·湖南长沙·三模）已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（    ） A．44.5 B．45 C．45.5 D．46 12．（2024·河北保定·二模）某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下： 5588   6054   8799   9851   9901   10111  11029  11207  12634  12901 13001  13092  13127  13268  13562  13621  13761  13801  14101  14172 14191  14292  14426  14468  14562  14621  15061  15601  15901  19972 估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（    ） A．14292 B．14359 C．14426 D．14468 题型五：互斥事件和对立事件 13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生 14．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 15．（22-23高一下·湖南湘西·期末）湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件“只去甲草原”，事件“至少去一个草原”，事件“至多去一个草原”，事件“不去甲草原”，事件“一个草原也不去”.下列命题正确的是（    ） A．E与G是互斥事件； B．F与I是互斥事件，且是对立事件； C．F与G是互斥事件； D．G与I是互斥事件. 题型六：随机事件的概率 16．（2024·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高三·全国·专题练习）随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 题型七：几何概型 19．（21-22高一下·青海海东·期末）已知直角的两条直角边分别为3，4，且的三个顶点都在圆O上，若在圆O内随机取一点，则此点取自内的概率是（    ） A． B． C． D． 20．（20-21高一下·广东茂名·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 21．（20-21高一下·甘肃兰州·期末）如图，在以点O为圆心，线段OB长为半径的半圆弧上任取一点A，其中，则△AOB的面积大于的概率为（    ） A． B． C． D． 题型八：频率和概率 22．（22-23高一下·新疆喀什·期末）给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 23．（22-23高一下·海南·期末）每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间（时） 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 24．（21-22高一下·湖南岳阳·期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 题型九：统计和概率的综合 25．（23-24高一下·江苏南京·期末）某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 26．（23-24高一下·浙江湖州·期末）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． (1)求和的值； (2)求两次摸到的不都是红球的概率． 27．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. (1)求这200户居民本次问卷评分的中位数； (2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ (3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【专项训练】 一、单选题 28．（23-24高一下·河北衡水·期末）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，不变的数字特征是（   ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 29．（23-24高一下·河北衡水·期末）已知某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的平均数为，标准差为，则（   ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·河北衡水·期末）一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，则这组数据的一个四分位数是15，则它是（   ） A．15%分位数 B．25%分位数 C．50%分位数 D．75%分位数 31．（23-24高一下·四川·期末）某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试，先将60个太阳能面板进行编号，.从中抽取12个样本，下图提供随机数表的第6行至第8行，若从表中第7行第9列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 12 23 43 56 77 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 35 78 90 56 42 25 30 07 32 86 23 45 58 89 07 23 18 96 08 04 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 34 89 94 83 75 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A．07 B．18 C．23 D．08 32．（23-24高一下·江苏南京·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（   ） A．与C互斥 B．A与C相互独立 C．B与D互斥 D．B与D相互独立 33．（23-24高一下·河南郑州·期末）某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.已知甲､乙､丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响.假设甲､乙､丙三人都同时参加了笔试和面试，则三人中只有一人被录取的概率是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 35．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立 36．（23-24高一下·江苏苏州·期末）长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（    ） A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D． 二、多选题 37．（23-24高一下·四川·期末）某校为更好地支持学生的个性化发展，开设了学科拓展类､创新素质类､兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位学生从中选择一门课程学习.现对该校4000名学生的选课情况进行了统计，如图①，并用分层抽样的方法从中抽取的学生对其所选课程进行了满意率调查，如图②.下列说法正确的是（    ） A．抽取的样本容量为4000 B．该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为700 C．若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为24，则 D．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1000 38．（23-24高一下·全国·期末）制造业指数反映制造业的整体增长或衰退，制造业指数的临界点为．我国年月至年月制造业指数如图所示，则（   ） A．年月中国制造业指数为，比上月下降个百分点，低于临界点 B．年月至年月中国制造业指数的极差为 C．年月至年月中国制造业指数的众数为 D．年月至年月中国制造业指数的标准差小于年月至年月中国制造业指数的标准差 39．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件是互斥事件 B．事件A与事件是互斥事件 C．事件A与事件相互独立 D．事件与事件是对立事件 40．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列描述正确的是（    ） A．若事件，相互独立，，，则 B．若三个事件，，两两独立，则满足 C．若，，则事件，相互独立与，互斥一定不能同时成立 D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 41．（23-24高一下·江苏无锡·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于2”；“点数大于2”，“点数大于4”，则下列结论正确的是（表示样本空间）（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列命题正确的是（    ） A．若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件 B．若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 C．设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为 D．设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 三、填空题 43．（23-24高一下·江苏南京·期末）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ． 44．（23-24高一下·江苏常州·期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ． 45．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）如图，用，，这3类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统正常工作的概率是 . 46．（23-24高一下·天津河北·期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 ． 47．（23-24高一下·浙江宁波·期末）总体由编号为01， 02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为 7816     6527     0802    6314     0704     4369    9728     1198 3204     9234     4935    8200     3623     4869    6938     7481 48．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为 . 四、解答题 49．（23-24高一下·浙江宁波·期末）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 50．（23-24高一下·江苏无锡·期末）袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏． (1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数； (2)已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率； (3)若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 51．（23-24高一下·江苏常州·期末）为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 52．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图： 根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70． (1)估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值； (2)求乙工厂频率分布直方图中a，b的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)； (3)现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲：统计和概率高频题型归纳 【考点归纳】 【题型归纳】 · 考点一：随机抽样 · 考点二：用样本估计总体 · 考点三：平均数 方差问题 · 考点四：百分位数 · 考点五：互斥事件和对立事件 · 考点六：随机事件的概率 · 考点七：几何概型 · 考点八：频率和概率 · 考点九：统计和概率的综合 【知识归纳】 知识点一．随机抽样 (1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样． (3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． 知识点二．用样本的频率分布估计总体分布 (1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1. (2)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线． (3)茎叶图 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 知识点三．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数． (2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数． (3)平均数：＝，反映了一组数据的平均水平． (4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝ . (5)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)． 知识点四．概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 知识点五．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥事件 A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅且 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ＝1 知识点六.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 【题型归纳】 题型一：随机抽样 1．（2024高一下·全国）为了保证采用分层随机抽样方法时每个个体被等可能地抽取，必须要求（    ） A．每层等可能抽取 B．每层抽取的个体数相等 C．每层抽取的比例为（其中n为抽取的样本容量，N是总体容量） D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制 【答案】C 【分析】利用分层抽样的概念和性质分析判断每一个选项得解. 【详解】分层随机抽样时，在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样， A中，虽然每层等可能地抽样，但是没有指明各层中应抽取几个个体，故A不正确； B中，由于每层的个体数不一定相等，每层抽取同样多的个体数， 显然从总体来看，各层的个体被抽取的可能性就不相等了，因此B也不正确； C中，按照这个比例抽取，对于每个个体来说，被抽取为样本的可能性是相同的，故C正确； D显然不正确. 故选：C. 2．（2024·四川南充·二模）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（    ） A．150 B．180 C．200 D．250 【答案】A 【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可. 【详解】由题意样本容量为. 故选：A. 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）为了解高一新生的体质健康状况，某校将组织高一学生进行体质健康抽测．已知该校高一年级共有800名学生，将他们依次编号，拟利用随机数表随机抽取80名同学参加体质健康测试，随机数表的一部分如下： 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481 2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322 在随机数表中从第2行第4列开始，横向依次读取三个数字，则被抽中的第5个编号是（    ） A．036 B．341 C．328 D．693 【答案】D 【分析】根据随机数表的用法，依次列出有关数据即可. 【详解】由题意，从第2行，第4列开始，横向依次读取的三个数字是：492，434，935（无效，舍去），820（无效，舍去），036，234，869（无效，舍去），693，所以抽中的第5个编号是：693. 故选：D 题型二：用样本估计总体 4．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 【答案】C 【分析】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解. 【详解】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：天，故A错误； 对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，故B错误； 对于C，的频率为，的频率为， 则该学生每日完成作业时间的中位数为，故C正确； 对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为，故D错误； 故选：C 5．（23-24高一下·天津河北·期末）某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（    ） A．该市14天空气质量指数的中位数为78.5 B．该市14天空气质量指数的第30百分位数为55 C．该市14天空气质量指数的平均值大于100 D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大 【答案】C 【分析】由平均数、中位数、百分位数和方差的概念即可得出答案. 【详解】对于A，将14天的空气质量指数由小到大排列为： ， 所以该市14天空气质量指数的中位数为：，故A正确. 对于B：因为，所以该市14天空气质量指数的百分位数为，故B正确； 对于C：， 该市14天空气质量指数的平均值小于100，故C错误； 对于D：因为连续3天空气质量指数，6日到8日的波动最大，也即方差最大，故D正确. 故选：C. 6．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）2016年至2023年我国原油进口数量如图所示： 下列结论正确的是（    ） A．2016年至2023年我国原油进口数量逐年增加 B．2016年至2023年我国原油进口数量的极差为16138万吨 C．2016年至2023年我国原油进口数是的分位数为54239万吨 D．2015年我国原油进口数量少于30000万吨 【答案】C 【分析】根据统计图的数据，依次分析选项即可得答案. 【详解】2021年和2022年我国原油进口数量都比上一年少，A错误； 2016年至2023年我国原油进口数量的极差为18298万吨，B错误； 将数据从小到大排序：，，，，，，，， 由于，则年至2023年我国原油进口数量的分位数为为第7个数，即54239万吨，C正确； 设2015年我国原油进口数量为万吨，，， 所以2015年我国原油进口数量超过30000万吨，D错误． 故选：C 题型三：平均数 方差问题 7．（23-24高一下·浙江衢州·期中）已知甲组数据由这个数据构成，记这组数据的平均数为，方差为；乙组数据由，这数据构成，记这组数据的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用平均数公式可得出的大小关系，由方差公式可得出的大小关系. 【详解】由已知可得， ， ， ， 所以ABC错误，D正确. 故选：D. 8．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（   ） A． =10，=14 B． =9，=44 C． =29，=45 D． =29，=44 【答案】C 【分析】根据平均数和方差公式计算即可． 【详解】解：原来数据平均值为，方差为则， 方差为 ． 故选：C． 9．（23-24高一下·浙江·期中）已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则平均数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的性质得到答案. 【详解】已知样本数据的平均数为，方差为， 则样本数据的方差为，所以， 又因为，所以． 样本数据的平均数为，所以，解得. 故选：C． 题型四：百分位数 10．（2024·山东临沂·二模）一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干中该组数据极差和中位数的关系列方程求出，然后根据百分位数的定义求解即可. 【详解】根据中位数的定义，该组数据的中位数是， 根据极差的定义，该组数据的极差是， 依题意得，，解得， ， 根据百分位数的定义， 该组数据的第百分位数是从小到大排列的第个数，即. 故选：A 11．（2024·湖南长沙·三模）已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（    ） A．44.5 B．45 C．45.5 D．46 【答案】C 【分析】根据百分位数的知识求得正确答案. 【详解】将数据从小到大排序为：38，41，42，43，44，45，46，47， 因为，所以分位数为. 故选：C 12．（2024·河北保定·二模）某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下： 5588   6054   8799   9851   9901   10111  11029  11207  12634  12901 13001  13092  13127  13268  13562  13621  13761  13801  14101  14172 14191  14292  14426  14468  14562  14621  15061  15601  15901  19972 估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（    ） A．14292 B．14359 C．14426 D．14468 【答案】C 【分析】根据给定数据，利用第75百分位数的意义求解即得. 【详解】由，得样本的第75百分位数为第23个数据， 据此估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为14426. 故选：C 题型五：互斥事件和对立事件 13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生 【答案】A 【分析】根据互斥事件的定义判断即可. 【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生； 对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； 对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误； 对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误； 对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生， 故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误. 故选：A 14．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可. 【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次， 对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D 15．（22-23高一下·湖南湘西·期末）湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件“只去甲草原”，事件“至少去一个草原”，事件“至多去一个草原”，事件“不去甲草原”，事件“一个草原也不去”.下列命题正确的是（    ） A．E与G是互斥事件； B．F与I是互斥事件，且是对立事件； C．F与G是互斥事件； D．G与I是互斥事件. 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可； 【详解】依题意基本事件有“去甲草原”、“去乙草原”、 “一个草原也不去”、 “去甲、乙草原”共四个， 事件“至少去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “去甲、乙草原”三个基本事件； 事件“至多去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “一个草原也不去”三个基本事件； 事件“不去甲草原”包含“去乙草原”、 “一个草原也不去”两个基本事件； 对于A，事件，有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件与不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 对于C，事件与有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误； 对于D，事件与有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误. 故选：B 题型六：随机事件的概率 16．（2024·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分第一次从袋中摸出个白球，一次从袋中摸出个黑球两种情况可求解. 【详解】若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为， 若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为， 故两次摸到的小球颜色不同的概率为. 故选：B. 17．（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分抛掷次数为及抛掷次数为，利用列举法及概率乘法公式计算即可得. 【详解】抛掷次数为的概率为，点数可能为或， 抛掷次数为的概率为， 此时基本事件有、、、、、、、共八种， 其中点数之和至少为4的情况有、、、、共五种， 故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为. 故选：A. 18．（2024高三·全国·专题练习）随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出从6类场景中选2类场景进行拍摄的所有基本事件，再列举出汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼这6类场景分别为A，B，C，D，E，F， 从6类场景中选2类场景进行拍摄的基本事件有 ，，，，，，，，， ，，，，，，共15种， 设事件M为“汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中”， 则事件M包含的基本事件有，，，，， ，，，，共9种， 故所求概率， 故选：C． 题型七：几何概型 19．（21-22高一下·青海海东·期末）已知直角的两条直角边分别为3，4，且的三个顶点都在圆O上，若在圆O内随机取一点，则此点取自内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的面积和圆的面积，由几何概型求解概率． 【详解】的面积为：， 由题意得圆O的半径为，则圆的面积为：， 所以所求的概率为. 故选：C． 20．（20-21高一下·广东茂名·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成． 大等腰直角三角形的面积为， 梯形的上底为，下底为，高为，面积为， 故所求概率． 故选：D. 21．（20-21高一下·甘肃兰州·期末）如图，在以点O为圆心，线段OB长为半径的半圆弧上任取一点A，其中，则△AOB的面积大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得使得的面积大于时点A到直线OB的距离的范围，进而求得A的轨迹对应的弧的圆心角，得到弧长，再根据几何概型的概率计算公式. 【详解】设A到的距离为， 则， 故， 如图： 两点到的距离为时，则， 故，此时两点之间的弧长为， 由于半圆的弧长为， 故所求的概率为. 故选：C． 题型八：频率和概率 22．（22-23高一下·新疆喀什·期末）给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断． 【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值， 一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误； 对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误； 对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误； 对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，④正确. 故选：D. 23．（22-23高一下·海南·期末）每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间（时） 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式求得样本中学习时间不少于6小时的概率，然后可得. 【详解】由统计表可知，样本容量为人，学习时间不少于6小时有人， 所以学习时间不少于6小时的概率为. 故选：B 24．（21-22高一下·湖南岳阳·期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率和概率的关系得到答案. 【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个， 故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：B 题型九：统计和概率的综合 25．（23-24高一下·江苏南京·期末）某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 【答案】(1)0.012，68.4 (2)①10人，②0.784 【分析】（1）根据频率之和为1，可求的值，再利用各区间的中间值估计区间的平均数，估计样本的平均数. （2）根据分层抽样的计算方法求B等级中抽取的人数；根据独立事件和对立事件的概率公式进行计算. 【详解】（1）由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1， ∴0.012 易知，，，，，相应的频率分别为 0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04 ， ∴100名同学的平均成绩估计值为： 0.04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4. （2）①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人， B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人， C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人， ∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人. ②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4 ， 抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216， 所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784. 26．（23-24高一下·浙江湖州·期末）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． (1)求和的值； (2)求两次摸到的不都是红球的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解； （2）利用对立事件概率公式，即可求解. 【详解】（1）将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5． 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有4种等可能的结果． 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果， 第一次摸到红球的可能结果有8种，即， 所以． 第二次摸到红球的可能结果也有8种，即， 所以． （2）事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即， 则两次摸到都是红球的概率， 故两次摸到的不都是红球的概率． 27．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. (1)求这200户居民本次问卷评分的中位数； (2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ (3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【答案】(1). (2)480 (3). 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数； （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率； 【详解】（1）由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. （2）由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. （3）由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【专项训练】 一、单选题 28．（23-24高一下·河北衡水·期末）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，不变的数字特征是（   ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】A 【分析】根据中位数，平均数，方差，极差的定义进行判断，得到答案. 【详解】A选项，9个数据从小到大进行排列，，故中位数为， 去掉后，的中位数为，A正确； B选项，原数据的平均数为， 去掉后，的平均数为， 则， 由于的正负不确定，无法确定平均数是否改变，B错误； C选项，同平均数一样，方差也无法确定是否改变，C错误； D选项，若，则极差不改变， 若或，此时极差变小，D错误. 故选：A． 29．（23-24高一下·河北衡水·期末）已知某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的平均数为，标准差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平均数和方差公式计算即得解. 【详解】设个数为， 则平均数为，即， 方差为， 即， 加入新数据4之后，则这8个数的平均数为 ， 方差为 所以标准差. 故选：A． 30．（23-24高一下·河北衡水·期末）一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，则这组数据的一个四分位数是15，则它是（   ） A．15%分位数 B．25%分位数 C．50%分位数 D．75%分位数 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排列，然后逐个分析判断即可. 【详解】解：将数据从小到大排序为：6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49， 对于A，因为，所以15%分位数为7，所以A错误， 对于B，因为，所以25%分位数为15，所以B正确， 对于C，因为，所以50%分位数为40，所以C错误， 对于D，因为，所以75%分位数为43，所以D错误， 故选：B 31．（23-24高一下·四川·期末）某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试，先将60个太阳能面板进行编号，.从中抽取12个样本，下图提供随机数表的第6行至第8行，若从表中第7行第9列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 12 23 43 56 77 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 35 78 90 56 42 25 30 07 32 86 23 45 58 89 07 23 18 96 08 04 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 34 89 94 83 75 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A．07 B．18 C．23 D．08 【答案】D 【分析】利用随机数表法来选取样本编号即可. 【详解】从第7行第9列开始向右读取数据，开始为86，不符合要求，第一个数是23，第二个数是45，第三个数是58，下一个数是89，不符合要求，第四个数是07，下一个数是23，重复，第五个数是18，下一个数是96，不符合要求，第六个数是08； 故选:D. 32．（23-24高一下·江苏南京·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（   ） A．与C互斥 B．A与C相互独立 C．B与D互斥 D．B与D相互独立 【答案】C 【分析】根据互斥、独立事件的概念判断各选项的正确与错误. 【详解】记表示基本事件：第一枚骰子的点数为，第二枚骰子的点数为. 对A：对事件、都包含基本事件，所以与不互斥，故A错误； 对B：因为，，事件包含基本事件，，所以， 因为，所以不独立，故B错误； 对C：若第二枚骰子的点数是偶数，则两枚骰子的点数之积不可能为奇数，所以事件和互斥，故C正确； 对D：因为，，，因为，所以不独立，故D错误. 故选：C 33．（23-24高一下·河南郑州·期末）某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.已知甲､乙､丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响.假设甲､乙､丙三人都同时参加了笔试和面试，则三人中只有一人被录取的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出甲、乙、丙被录取的概率，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲被录取的概率，乙被录取的概率，丙被录取的概率， 所以三人中只有一人被录取的概率. 故选：D 34．（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可. 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 35．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件，事件相互独立的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于A，，所以与事件B可以同时发生，故A错； 对于B， , ,所以事件A与事件B相互独立，故B正确； 对于C ， ,所以事件A与事件C不对立，故C错误； 对于D，由图可知，所以，所以，所以事件A与事件C不相互独立，故D错误； 故选：B. 36．（23-24高一下·江苏苏州·期末）长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（    ） A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D． 【答案】B 【分析】计算事件M和事件N的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可. 【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共种， 事件M：“三人都没选择《子归》篇”共有：，所以， 事件N：“至少有两人选择的篇目一样”共有种，所以， ，所以M与N不互斥，A错误，D错误； 事件MN共有种，所以，B正确； 因为，所以C错误. 故选：B. 二、多选题 37．（23-24高一下·四川·期末）某校为更好地支持学生的个性化发展，开设了学科拓展类､创新素质类､兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位学生从中选择一门课程学习.现对该校4000名学生的选课情况进行了统计，如图①，并用分层抽样的方法从中抽取的学生对其所选课程进行了满意率调查，如图②.下列说法正确的是（    ） A．抽取的样本容量为4000 B．该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为700 C．若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为24，则 D．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1000 【答案】BD 【分析】根据统计图表一一分析即可. 【详解】对于A，抽取的样本容量为，故A错误； 对于B，该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为人，故B正确； 对于C，抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为，则，解得，故C错误； 对于D，由扇形统计图知该校学生中选择学科拓展类课程的频率为， 则该校学生中选择学科拓展类课程的人数为人，故D正确； 故选：BD. 38．（23-24高一下·全国·期末）制造业指数反映制造业的整体增长或衰退，制造业指数的临界点为．我国年月至年月制造业指数如图所示，则（   ） A．年月中国制造业指数为，比上月下降个百分点，低于临界点 B．年月至年月中国制造业指数的极差为 C．年月至年月中国制造业指数的众数为 D．年月至年月中国制造业指数的标准差小于年月至年月中国制造业指数的标准差 【答案】ABD 【分析】根据指数图结合极差、众数、标准差的概念逐项分析即可. 【详解】对于A，由图可知：年月中国制造业指数为，年月中国制造业指数为，年月中国制造业指数比上月下降个百分点，且低于临界点，A正确； 对于B，年月至年月中国制造业指数的极差为，B正确； 对于C，由图中数据知：众数为，C错误； 对于D，由图中数据波动幅度知： 年月至年月中国制造业指数比年月至年月更稳定， 年月至年月中国制造业指数的标准差更小，D正确. 故选：ABD. 39．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件是互斥事件 B．事件A与事件是互斥事件 C．事件A与事件相互独立 D．事件与事件是对立事件 【答案】AC 【分析】根据题意利用列举法求和，结合互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：样本空间， 则，可得， 对于选项A：因为，所以事件A与事件是互斥事件，故A正确； 对于选项B：因为，所以事件A与事件不是互斥事件，故B错误； 对于选项C：由选项B可知，则， 可知，所以事件A与事件相互独立，故C正确； 对于选项D：因为， 所以事件与事件不是对立事件，故D错误； 故选：AC. 40．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列描述正确的是（    ） A．若事件，相互独立，，，则 B．若三个事件，，两两独立，则满足 C．若，，则事件，相互独立与，互斥一定不能同时成立 D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 【答案】ACD 【分析】根据独立事件的概念及乘法公式直接可判断. 【详解】A选项：由，，则，，又事件，相互独立，则，A选项正确； B选项：若三个事件，，两两独立，由独立事件的乘法公式，，，无法确定，B选项错误； C选项：，，若事件，相互独立则，若事件，互斥，则，C选项正确； D选项：设任意事件发生的概率为，必然事件事件发生的概率为，不可能事件发生的概率为，则，，D选项正确； 故选：ACD. 41．（23-24高一下·江苏无锡·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于2”；“点数大于2”，“点数大于4”，则下列结论正确的是（表示样本空间）（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知，该事件的样本空间为，，，再结合随机事件的基本运算求解. 【详解】该事件的样本空间为，，， 对于A选项，，所以A错误； 对于B选项，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误； 故选：BC. 42．（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列命题正确的是（    ） A．若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件 B．若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 C．设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为 D．设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 【答案】ACD 【分析】对于A，根据对立事件的定义分析判断，对于B，根据分层抽样的定义结合题意求解判断，对于C，根据平均数和方差的性质分析判断，对于D，根据独立事件和互斥事件的定义分析判断. 【详解】对于A，若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件，所以A正确， 对于B，由题意可知女运动员应抽取人，所以B错误， 对于C，一组数据的平均数为x，方差为， 若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据， 则新数据的平均数为2x，方差为，所以C正确， 对于D，因为A和B是两个概率大于0的随机事件，A和B相互独立， 所以，所以A和B一定不互斥，所以D正确， 故选：ACD 三、填空题 43．（23-24高一下·江苏南京·期末）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ． 【答案】/0.6 【分析】利用古典概型，结合列举法即可. 【详解】根据题意，设2个白球的编号为，1个红球的编号为c，3个黄球编号为， 从中1次随机摸出2个球，共有： ，共15种基本事件， 其中满足恰有一球是黄球的基本事件有9种， 故所求概率．     故恰有一球是黄球的概率为：． 故答案为：． 44．（23-24高一下·江苏常州·期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ． 【答案】/ 【分析】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算即可，分别计算可得结论. 【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 故答案为：. 45．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）如图，用，，这3类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统正常工作的概率是 . 【答案】/ 【分析】根据独立事件概率公式求解． 【详解】设元件，，正常工作分别为事件，，， 则，，， ，中至少有一个正常工作的概率为：， 则系统正常工作概率为：． 故答案为：. 46．（23-24高一下·天津河北·期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用古典概型概率计算公式，再结合计数的基本知识计算即可. 【详解】所有的基本事件为，其中，，共25个基本事件. 目标事件为，，，，，共5个基本事件. 所以. 故答案为：. 47．（23-24高一下·浙江宁波·期末）总体由编号为01， 02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为 7816     6527     0802    6314     0704     4369    9728     1198 3204     9234     4935    8200     3623     4869    6938     7481 【答案】11 【分析】按照随机数表根据规则要求依次选取即可求解. 【详解】按照规则要求，所选编号依次为：08，02，14，07，04，11， 所以第6个个体编号为：11. 故答案为：11. 48．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为 . 【答案】19.8 【分析】利用平均数公式和方差公式计算. 【详解】设增加的数为， 则，， 所以， 又因为即 所以 故答案为:19.8. 四、解答题 49．（23-24高一下·浙江宁波·期末）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 【答案】(1)，75 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）（i）根据古典概型结合相互独立事件的乘法公式求解即可； （ii）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图有， 得， 因为，， 所以中位数在区间上，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； （2）设 “任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”， “任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，，， 所以有，，， （i）记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）记“甲、乙、两三个人中至少有一个人答对”，则， 所以 ， 解得：. 50．（23-24高一下·江苏无锡·期末）袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏． (1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数； (2)已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率； (3)若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 【答案】(1)4个 (2) (3)4，5，6，7，8个 【分析】设袋中有红球m个, （1）利用对立事件求概率，列出关于m的方程，解方程得解； （2）“摸球三次共取出两个白球”分三类，求出每一类的概率再求和可得； （3）由题意知，然后对m进行分类讨论，符合题意就可，最后解出m的所有可能取值即可得解. 【详解】（1）设袋中有红球m个． 设“采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球”，则． 设“摸球两次，至少得到一次白球”．“摸球两次，两次均为红球”． 则，解得，即袋中红球有4个． （2）设事“摸球三次共取出两个白球”， 则三次摸球可能情况为：“白白红”，“白红白”，“红白白”， 则． 所以摸球三次共取出两个白球的概率为． （3）设“第三次摸球后停止摸球”，“第五次摸球后停止摸球”． 由题意知：． 若，则不可能连续两次摸到红球，不合题意． 若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，， 事件F五次摸球依次为“白白白红红”，，，不合题意． 若，则最多第四次就停止摸球，不符合题意． 若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，， 事件F五次摸球依次为“白红白红红”或“红白白红红”， ，，符合题意． 若，则事件E：三次摸球依次为“白红红”，， 事件F：五次摸球依次为“白白白红红”或“白红白红红”或“红白白红红”， ， 由得，， 即，解得或．即，5，6，7， 综上所述，红球个数的所有可能取值为4，5，6，7，8个． 51．（23-24高一下·江苏常州·期末）为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对总次数分三种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算可得； （2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； （2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解. 52．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图： 根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70． (1)估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值； (2)求乙工厂频率分布直方图中a，b的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)； (3)现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率． 【答案】(1) (2)，，中位数 (3) 【分析】（1）结合频率分布直方图，由平均数的公式代入计算，即可得到结果； （2）由频率分布直方图的性质代入计算，即可求得，再由中位数的公式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由分层抽样可得抽取的8个零件中[40，50)个数为个，再由概率的计算公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值为. （2）因为“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70， 即，解得， 再由频率分布直方图的性质可知 ，解得， 因为， ， 所以中位数位于之间， 设中位数为，则， 解得. 即乙工厂被测零件尺寸的中位数为. （3）由分层抽样可知，甲工厂抽取尺寸在[40，50)为个， 则甲工厂抽取尺寸在[70，80)为个， 乙工厂抽取尺寸在[40，50)为个， 则乙工厂抽取尺寸在[80，90)为个， 所以抽得的8个零件中[40，50)个数为个，记为， 另外4个零件记为， 设事件E为抽取的两个零件的尺寸都在[40，50)内， 所有情况为， ， ，， ，共28种， 其中满足条件的为，共6种， 则. 所以抽取的两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$