第04讲 平面向量高频题型归纳（13大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 平面向量高频题型归纳 【考点归纳】 · 考点一、平面向量的概念 · 考点二、平面向量的线性运算 · 考点三、平面向量的数量积运算 · 考点四、平面向量的基本定理 · 考点五、平面向量线性运算的坐标表示 · 考点六、平面向量数量积运算的坐标表示 · 考点七、向量的平行与垂直 · 考点八、平面向量共线定理的推论 · 考点九、求平面向量的模 · 考点十、求平面向量的夹角 · 考点十一、投影向量 · 考点十二：向量在几何中的应用 · 考点十三、平面向量综合 【知识归纳】 知识点一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点二．平面向量共线/垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) ⑴a∥b ⇔ b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0 ⑵a⊥b ⇔ a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 知识点三．平面向量的数量积 a·b=|a||b|·cos θ. cos θ＝ 知识点四．a在向量b上的投影向量： 知识点五．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【题型归纳】 题型一、平面向量的概念 1．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一下·重庆·期中）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若的方向相反，则是相反向量 C．若，则 D．若与不共线，则可构成一组基底 3．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二、平面向量的线性运算 4．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，设分别是边上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·上海·期末）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高一下·湖南株洲·期中）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 题型三、平面向量的数量积运算 7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．1或2 8．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 9．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C．4 D．12 题型四、平面向量的基本定理 10．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（     ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，平行四边形中，为的中点，与交于，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 12．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、平面向量线性运算的坐标表示 13．（23-24高一下·天津·期中）若向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 15．（23-24高一下·河南洛阳）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（    ）    A． B． C． D． 题型六、平面向量数量积运算的坐标表示 16．（23-24高一下·江苏无锡·期末）设向量，，，若的最大值为5，则正实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 17．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B．向量与向量的夹角为 C． D．向量在向量上的投影向量是 题型七、向量的平行与垂直 19．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知向量满足，且，若，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 21．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 题型八、平面向量共线定理的推论 22．（23-24高一下·广东惠州·期中）如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·河北衡水·模拟预测）在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型九、求平面向量的模 25．（22-23高一下·河南南阳·期末）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 26．（22-23高一下·河北邯郸·期中）已知向量，，且，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为 ， 27．（22-23高一下·江西赣州·期中）平面向量，满足，，，对于任意实数k，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 题型十、求平面向量的夹角 28．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·四川成都·期末）在边长为1的正中，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 题型十一、投影向量 31．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量与是非零向量，，，与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型十二：向量在几何中的应用 34．（23-24高一下·四川泸州·期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·海南海口·阶段练习）在中，，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 36．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十三、平面向量综合 37．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，    (1)若·=32，求的长； (2)设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 38．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在梯形ABCD中，，O为AC与BM的交点. (1)若，求； (2)若，求. 39．（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. (1)若，求线段EF的长； (2)若，设，求实数和的值； (3)若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 【专项训练】 一、单选题 40．（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 41．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影数量是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）中国古代的花窗花板，既雕工精美，又具有丰富的文化内涵．如图，这是某花窗的平面图（扇形AOB截去扇形COD剩余的部分），已知，，，则 （    ）    A． B． C．8 D． 43．（23-24高一下·广东茂名·期中）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 44．（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 47．（23-24高一下·福建福州·期中）已知平面向量，，满足，，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 48．（23-24高一下·广西河池·期中）已知向量，，，其中均为正数，且，下列说法正确的是（   ） A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影向量为 C． D．的最大值为2 49．（23-24高一下·山西朔州·期中）下列四个命题.其中说法错误的是（    ） A． B．若点，则与向量共线的单位向量为 C．若非零向量和满足.则与的夹角为 D．已知平面向量，若向量与的夹角为锐角.则 50．（23-24高一下·湖南·期中）已知非零向量，满足，则（    ） A．，的夹角为 B． C．若，，则的外接圆半径长为 D．若，向量满足，则的最大值是 51．（23-24高一下·江苏无锡·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D． 52．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，点是的内心.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 53．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 54．（23-24高一下·云南丽江·期中）在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 55．（23-24高一下·山东聊城·期中）如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则 ． 56．（23-24高一下·辽宁大连·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则 ；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ． 四、解答题 57．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知是单位向量，满足，记与夹角为． (1)求； (2)若平面向量在上的投影向量为，求． 58．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. (1)用向量，表示； (2)求. 59．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点. (1)用向量的方法证明：； (2)求的余弦值； (3)连接，求的值. 60．（23-24高一下·云南昆明·期中）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： (1)已知向量满足，求的值； (2)①若，用坐标表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，求的值； (3)已知向量，求的最小值． 61．（23-24高一下·青海海东·阶段练习）如图，扇形所在圆的半径为3，它所对的圆心角为，点满足，点是线段上的一点，，点是弧上的一点.    (1)若点是弧的中点，求与夹角的余弦值； (2)求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平面向量高频题型归纳 【考点归纳】 · 考点一、平面向量的概念 · 考点二、平面向量的线性运算 · 考点三、平面向量的数量积运算 · 考点四、平面向量的基本定理 · 考点五、平面向量线性运算的坐标表示 · 考点六、平面向量数量积运算的坐标表示 · 考点七、向量的平行与垂直 · 考点八、平面向量共线定理的推论 · 考点九、求平面向量的模 · 考点十、求平面向量的夹角 · 考点十一、投影向量 · 考点十二：向量在几何中的应用 · 考点十三、平面向量综合 【知识归纳】 知识点一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点二．平面向量共线/垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) ⑴a∥b ⇔ b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0 ⑵a⊥b ⇔ a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 知识点三．平面向量的数量积 a·b=|a||b|·cos θ. cos θ＝ 知识点四．a在向量b上的投影向量： 知识点五．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【题型归纳】 题型一、平面向量的概念 1．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误； 对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确； 对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误； 对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误. 故选：A 2．（23-24高一下·重庆·期中）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若的方向相反，则是相反向量 C．若，则 D．若与不共线，则可构成一组基底 【答案】D 【分析】根据平面向量的概念，平行与垂直的性质以及基底的概念，对各选项进行判定即可． 【详解】选项A，当时，可得，，但与不一定平行，故A错误； 选项B，若，的方向相反，长度不相等，则，不是相反向量，故B错误； 选项C，若，则有，故或或，故C错误； 选项D，不共线的一组向量与，可构成基底，故D正确． 故选：D． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 题型二、平面向量的线性运算 4．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，设分别是边上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形，结合平面向量的线性运算即可求解. 【详解】因为，所以是的中点， 则. 故选：A 5．（23-24高一下·上海·期末）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据几何关系，直接判断与是否平行，即可判断A;再根据转化向量求数量积判断B；根据几何关系，以及相等相等向量转化，判断C；根据向量转化证明数量积相等. 【详解】A.，则与不平行，故①错误； B.设，， ， ，故②正确； C.，故③正确； D.，故④正确. 故选：C 6．（23-24高一下·湖南株洲·期中）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 【答案】D 【分析】根据向量夹角定义可得A错误；利用向量加、减法运算法则及模长关系可得B错误，C错误；再利用投影向量定义计算可得D正确. 【详解】由八卦图可知与的夹角为，其大小为， 即与的夹角为，所以A错误； 由向量的平行四边形法则可知，即B错误； 易知，又，所以， 而，所以，即C错误； 易知在上的投影向量为，即D正确. 故选：D 题型三、平面向量的数量积运算 7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．1或2 【答案】C 【分析】根据题意得到或，然后利用数量积的运算律求模即可. 【详解】设的夹角为，则或， ，，， ， 当时，， 当时，. 故选：C. 8．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 【答案】B 【分析】根据题意利用平向量基本定理将用表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以， ， 所以 . 故选：B 9．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，然后求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以， 所以，所以， 所以，得， 所以， 故选：B 题型四、平面向量的基本定理 10．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，分别得到和，联立方程组，求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】设， 由， 又由， 所以，解得，可得， 因为，所以，所以. 故选：D. 11．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，平行四边形中，为的中点，与交于，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，平行四边形中，， 所以， 则，所以， 所以在方向上的投影向量为，所以A错误； 对于B，因为，为的中点， 所以，则， 故，所以B不正确； 对于C，，所以C不正确； 对于D，，即，所以D正确. 故选：D. 12．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，以为基底表示后可得，求出后结合可求的范围. 【详解】设，则， 故， 又，因不共线， 所以，故，所以， 因为，故， 故选：C. 题型五、平面向量线性运算的坐标表示 13．（23-24高一下·天津·期中）若向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与的坐标，然后根据向量夹角余弦公式即可求夹角. 【详解】因为向量，，所以，， 所以，，， 设与的夹角为，则，又，所以. 故选：C 14．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 15．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】    以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则，，，，，，． 因为，所以 解得所以． 故选：B． 题型六、平面向量数量积运算的坐标表示 16．（23-24高一下·江苏无锡·期末）设向量，，，若的最大值为5，则正实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】首先求出，，再根据数量积的运算律及定义得到，即可求出的值. 【详解】因为，， 所以， ， 则， 又， 所以 ，当且仅当与反向时取等号， 所以，即，解得或， 又，所以. 故选：C 17．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，利用坐标求解. 【详解】    如图，以BC中点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，由，得 而为AD的中点，则， 所以 故选：B 18．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B．向量与向量的夹角为 C． D．向量在向量上的投影向量是 【答案】C 【分析】利用向量垂直的坐标表示判断A；求出向量的夹角判断B；利用坐标求模判断C；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】对于A，，则，即，A正确； 对于B，，，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：C 题型七、向量的平行与垂直 19．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知向量满足，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，则，结合数量积运算律化简可解. 【详解】根据题意，，所以， 又，所以， 即，因为， 所以. 故选：A. 20．（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 21．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量垂直得到数量积为0，得到的坐标，又由得到答案. 【详解】因为， 所以，得， 所以，所以. 故选：C. 题型八、平面向量共线定理的推论 22．（23-24高一下·广东惠州·期中）如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【详解】由题意可知，，所以， 又，即. 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 23．（2024·河北衡水·模拟预测）在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算法则，利用表示，结合向量三点共线的定理列式运算求解. 【详解】由，得. 因为共线，所以，解得. 故选：B. 24．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：B 题型九、求平面向量的模 25．（22-23高一下·河南南阳·期末）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积运算律可得到，，令，平方后可求得的范围，进而得到的范围，即可求得所求最值. 【详解】设的夹角为， ， ， ， 令，则且， ，，，， 即的最小值为，最大值为. 故答案为：；. 26．（22-23高一下·河北邯郸·期中）已知向量，，且，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为 ， 【答案】 【分析】直接利用投影向量的公式和向量的模的公式，即可求得本题答案； 【详解】因为，所以， 所以，在上的投影向量的坐标， 所以，. 故答案为：； 27．（22-23高一下·江西赣州·期中）平面向量，满足，，，对于任意实数k，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由两边平方，结合向量的数量积运算求得，由两边平方并整理化简，从而问题转化为：对于任意实数，不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立问题的解法即可得出答案. 【详解】，，， 则，得， 又对于任意实数，不等式恒成立， 即对于任意实数，不等式恒成立， 即对于任意实数，不等式恒成立， 则，即，解得：或， 则实数的取值范围是． 故答案为：． 题型十、求平面向量的夹角 28．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律得到、，再由夹角公式计算可得. 【详解】，即①，即， ，可得， 即，代入①可得，即， 又，为非零向量，． 故选：B． 29．（23-24高一下·四川成都·期末）在边长为1的正中，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，再根据数量积的运算求出，，，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为在边长为1的正中，，， 所以，, 所以， ， ， 所以， 因为，所以． 故选：A． 30．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，四边形为直角梯形，建立平面直角坐标系，利用向量夹角公式运算得解. 【详解】，，则且， 又，，所以，则， 所以四边形为直角梯形，如图，以点为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，所以，， 所以. 故选：B. 题型十一、投影向量 31．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量与是非零向量，，，与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，，与的夹角为，所以， 所以， 所以在上的投影向量为， 故选：A. 32．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可． 【详解】因为向量，向量，则，， 所以向量在向量上的投影向量是：. 故选：C. 33．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据投影向量公式求出向量数量积，再求出投影向量即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以, 又因为，所以,在方向上的投影向量为. 故选：D. 题型十二：向量在几何中的应用 34．（23-24高一下·四川泸州·期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，，，， 所以， 因为的取值范围是，所以的取值范围是. 故选：D． 35．（23-24高一下·海南海口·阶段练习）在中，，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】借助向量的性质可得为等腰三角形，且，结合向量的数量积公式计算可得，即是等边三角形，即可得其周长. 【详解】设，则均为单位向量， 且与同向，与同向，与的角平分线共线， 又的角平分线与垂直， 即的角平分线与高线合一，为等腰三角形，且， 又由，可得， 是等边三角形，则的周长为. 故选：B. 36．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后利用数量积的运算律和计算公式计算即可. 【详解】如图所示    由图像可知，与夹角的范围为， 所以, 所以. 故选：D. 题型十三、平面向量综合 37．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，    (1)若·=32，求的长； (2)设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 【答案】(1)4 (2)－ 【分析】（1）利用投影向量来求向量的数量积即可； （2）先解三角形得到各边长，再利用向量知识来求解即可. 【详解】（1）,∴是在方向上的投影向量, ∴·＝,即； 法二：，∴·||·||||·||， 即； （2）在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图:    易知因为E为中点， 所以， ，，, ∵＝x＋y,∴    ，解得：，所以： 法二： 在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 因为，所以， 又∵ 由平面向量基本定理得： ，解得：，所以： 38．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在梯形ABCD中，，O为AC与BM的交点. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线性运算可得，，结合数量积的定义和运算律分析求解； （2）由数量积的运算律结合（1）中结论可得，进而可求，，结合向量夹角运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，， 可得则，， 若，则， 所以. （2）由（1）可知：，， 且， 可得， 则，即， ，即， 所以. 39．（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. (1)若，求线段EF的长； (2)若，设，求实数和的值； (3)若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量的线性运算可得，两边平方可求解； （2）由已知可得，，可得结论； （3）利用向量的线性关系可得，，计算可得结论. 【详解】（1）若，则，， 所以， 两边平方可得， 所以； （2）若，则，所以， ①， ②， 由①②可得； （3）， ， 设，又， 又，所以①， 由，可得，所以，所以， 所以， 由，可得， 所以， 又三点共线，所以②， 联立①②解， 所以，所以， ， ， 所以 ， 又， 所以，同理可得， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算. 【专项训练】 一、单选题 40．（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先计算时的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 当时， ，即 解得 所以“”是的充分不必要条件. 故选：A. 41．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影数量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入投影数量公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影数量是． 故选：C 42．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）中国古代的花窗花板，既雕工精美，又具有丰富的文化内涵．如图，这是某花窗的平面图（扇形AOB截去扇形COD剩余的部分），已知，，，则 （    ）    A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】首先求向量的模和向量的夹角，再代入向量的数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，且， 所以. 故选：B 43．（23-24高一下·广东茂名·期中）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平面基底的定义确定每个选项是否平行是否可以作为基底判断各个选项即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量，为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，假设存在实数，使得，显然无解，可以作为一个基底； 对于B中，向量和，假设存在实数，使得，可得无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得，可得，解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得，可得无解，所以和可以作为基底． 故选:C． 44．（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量的减法运算得，B，C，D三点共线，即，根据向量平行求出. 【详解】因为，且B，C，D三点共线，即, 又，所以，解得. 故选：C. 45．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】在正方形中，， 由，得，又， 因此 ， 而，且不共线，于是. 故选：D 46．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用数量积的运算律，结合已知可得，再利用数量积运算律及定义求解即得. 【详解】由，得，即，则， 因此 ， 而， 所以当时，取得最大值2． 故选：A 47．（23-24高一下·福建福州·期中）已知平面向量，，满足，，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用平面向量数量积的运算可得，令，，可得，结合正弦型函数的值域可得取值范围. 【详解】因为，，，且，， 所以， 所以， 令，， 所以， 其中，， 所以， 即的取值范围是． 故选：B． 二、多选题 48．（23-24高一下·广西河池·期中）已知向量，，，其中均为正数，且，下列说法正确的是（   ） A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影向量为 C． D．的最大值为2 【答案】BCD 【分析】根据题意，由向量数量积的性质分析可得错误；由投影向量公式计算得正确；由向量平行的表示方法得，变形得，可得C正确；由C的结论：，结合基本不等式性质分析可得的最大值，可得D正确. 【详解】对于A：，，则， 所以与的夹角不为钝角，故错误； 对于B：则在方向上的投影向量为，故正确； 对于C：由题意，， 若 ，得，即，故C正确； 对于D：，均为正数，则有， 当且仅当时，即时取等号，即的最大值为2，故D正确. 故选：. 49．（23-24高一下·山西朔州·期中）下列四个命题.其中说法错误的是（    ） A． B．若点，则与向量共线的单位向量为 C．若非零向量和满足.则与的夹角为 D．已知平面向量，若向量与的夹角为锐角.则 【答案】BD 【分析】根据数量积的性质可得，即可根据数乘的性质求解A，根据共线向量的定义即可求解B，根据模长公式可得，即可利用夹角公式求解C，或者利用向量的加减法的几何意义求解，利用共线即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，当且仅当共线时，等号成立，故A正确； 对于，因为，则， 所以与向量共线的单位向量为，故B错误； 对于C，方法一：因为， 所以，则，化简得， 则， 即，又， 所以， 因为，所以. 方法二：由可知，以为边长的三角形为等边三角形， 则向量的夹角为，所以向量与的夹角为，故C正确； 对于D，因为，当时，，得， 经检验，当时，与同向共线，即此时与的夹角不为锐角，故D错误. 故选：BD 50．（23-24高一下·湖南·期中）已知非零向量，满足，则（    ） A．，的夹角为 B． C．若，，则的外接圆半径长为 D．若，向量满足，则的最大值是 【答案】BCD 【分析】令，利用数量积的运算律及数量积的性质计算判断ABD；利用正弦定理求出外接圆半径判断C. 【详解】非零向量满足，设，则， 对于A，由，得，解得， ，而，则，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由选项A知，，则的外接圆半径，C正确； 对于D，显然，由， 得，则，当且仅当时取等号， 于是，解得，因此的最大值是，D正确. 故选：BCD 51．（23-24高一下·江苏无锡·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用正八边形的特征，结合向量的线性运算及向量数量积的定义逐一分析运算即可. 【详解】对A，因为八边形为正八边形，所以， 所以与的夹角为，故A正确； 对B，由于四边形不是平行四边形，所以，故B错误； 对C，，所以，， 所以，故C正确； 对D，因为， 所以，故D正确. 故选：ACD 52．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，点是的内心.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先由平面向量的数量积得，再结合余弦定理即可求出，于是由，结合半角公式和诱导公式即可推出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 所以， 则由余弦定理得， 整理得， 所以由余弦定理，当且仅当时，等号成立， 又为三角形的内角， 所以，， 又且，所以， 因为点是的内心，故，分别为，的角平分线， 所以， 则， 因为，所以，即，故符合题意的有ABC. 故选：ABC 三、填空题 53．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可知且不共线，结合向量的坐标运算列式求解. 【详解】因为的夹角为钝角，则且不共线， 可得，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 54．（23-24高一下·云南丽江·期中）在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则和向量的数量积的几何意义，即可求解. 【详解】如图所示，在平行四边形中，连接，交于点， 则. 故答案为：. 55．（23-24高一下·山东聊城·期中）如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则 ． 【答案】2 【分析】通过代入后，根据三点共线计算即可. 【详解】因为点是的中点， 所以， 又三点共线， 所以，即. 故答案为：. 56．（23-24高一下·辽宁大连·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则 ；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ． 【答案】 2 6 【分析】由正六边形的性质可得，，利用向量的数量积的运算律求出，然后利用数量积的定义和正六边形的性质求出的最大值. 【详解】由题意得，， ∴， ∴， 又以及正六边形的几何特征可知为的中点， 则 ， 要使最大，可知当在处时，最大，此时最大， 即. 故答案为：；． 四、解答题 57．（23-24高一下·浙江温州·期末）已知是单位向量，满足，记与夹角为． (1)求； (2)若平面向量在上的投影向量为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，，由结合数量积的运算可得，即可得结果； （2）设，结合题意列式解得，结合模长与数量积的运算律分析求解. 【详解】（1）因为，则， 若，则， 即，可得， 且，所以. （2）由（1）可知：，， 由题意可设， 因为平面向量在上的投影向量为，则， 由题意可得：，可得，解得， 则，可得， 所以. 58．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. (1)用向量，表示； (2)求. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算分析求解； （2）根据题意结合向量的线性运算可得，再根据数量积的定义以及运算律分析求解. 【详解】（1）由题意可知：. （2）由题意可知：， 因为，，， 则， 所以. 59．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点. (1)用向量的方法证明：； (2)求的余弦值； (3)连接，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角形的中线的性质结合向量共线定理证明即可； （2）利用（1）的结论，用表示出，然后利用向量的夹角公式求解即可； （3）用表示出，然后利用向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）证明：因为为的中点，为的中点， 所以, 因为三点共线，所以设， 所以， 所以， 因为三点共线，所以，得， 所以，所以， 所以，所以； （2）在中，， 由余弦定理得， 所以，整理得， 解得或（舍去）， 所以，所以， 由（1）可知， ， 所以， ， ， 所以， （3）因为， ， 所以 . 60．（23-24高一下·云南昆明·期中）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： (1)已知向量满足，求的值； (2)①若，用坐标表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，求的值； (3)已知向量，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据计算即可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由已知，得， 所以，即， 又，所以， 所以； （2）①设，则， 所以， ， 所以， ②， 所以； （3）由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是9． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助所给定义及三角函数间的关系，计算得到. 61．（23-24高一下·青海海东·阶段练习）如图，扇形所在圆的半径为3，它所对的圆心角为，点满足，点是线段上的一点，，点是弧上的一点.    (1)若点是弧的中点，求与夹角的余弦值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示，直接用数量积变形公式求得与夹角的余弦值； （2）设，则，再用表示出，根据三角函数求最值即可. 【详解】（1）因为，，扇形所在圆的半径为3， 所以，， ， 所以，又点是弧的中点，所以， ， 所以. （2）设，则， . 因为，所以当时，的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$