精品解析：湖南省郴州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

郴州市2024年上学期期末学业质量抽测试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共26道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的选项中，选出符合题目的一项） 1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，下列点在第四象限是（ ） A. B. C. D. 5. 为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，在50名报名者中，青年组有20人，中年组17人，老年组13人，则中年组的频率是（　　） A. 0.4 B. 0.34 C. 0.26 D. 0.6 6. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象与轴交于点 C. 图象不经过第二象限 D. 函数值随的增大而增大 7. 若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 工人师傅在做矩形门窗时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，以确定门窗是否为矩形．这样做的依据是（ ） A. 矩形的两组对边分别相等 B. 矩形的两条对角线相等 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 9. 如图，在中，，．以为圆心，任意长为半径画弧交于，于，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，连接．下列四个结论：①是的平分线；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 甲无人机从地面起飞，同时乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A 5s时，两架无人机都上升了20m B. 10s时，两架无人机的高度差为30m C. 乙无人机上升的速度为4m/s D. 8s时，甲无人机距离地面的高度是60m 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 中，，，则________． 13. 一组数据的最大值是100，最小值是35，若选取组距为10，则这组数据可分成_______组． 14. 如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________米． 15. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是_______． 16. 一次函数图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是_______． 17. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O ， H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 20， 则OH 的长等于_____． 18. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则_______． 三、解答题（共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19. 已知是正比例函数，当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的最大值． 20. 如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 21. 某校为了解本校八年级学生的视力情况，对八年级的学生进行了一次视力调查，并将调查数据进行统计整理，绘制出如下频数分布表和频数分布直方图的一部分． 视力 频数（人数） 频率 20 40 70 b a 10 （1）根据频率分布表分别求的值； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若视力在以下均属不正常，求视力不正常的人数占被调查人数的百分比． 22. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出关于轴的轴对称图形； （2）将向下平移5个单位，作出它的像，并写出像的顶点坐标； （3）请使用无刻度的直尺作出的平分线，与交于点（要求标注点），并求出线段的长度． 23. 如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合． （1）连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． （2）若，，求四边形的周长与面积． 24. 2023年9月15日至17日第二届湖南旅游发展大会在郴州市举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，郴州某知名小吃店计划购买两种食材制作小吃，已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需23元，购买5千克A种食材和2千克B种食材共需91元． （1）求两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共30千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 25. 如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是的上的一点．若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处． （1）求，两点的坐标； （2）求直线表达式； （3）平面直角坐标系内是否存在点，使得以点，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动： 探究发现】 （1）如图1，点是正方形中边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到，连接，请问是否为等腰直角三角形？并说明理由； 【联想拓展】 （2）如图2，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接． 求证：． 【迁移应用】 （3）如图3，若点是菱形外部的一点，，，请求出，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郴州市2024年上学期期末学业质量抽测试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共26道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的选项中，选出符合题目的一项） 1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． 3. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，在某变化过程中有两个变量,如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应,那么就称是的函数，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个的值，不是有唯一确定的值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个的值，不是有唯一确定的值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个的值，不是有唯一确定的值与之对应，不是函数图象，不符合题意； 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，下列点在第四象限是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限，根据第四象限点的特征即可求得结果，掌握象限的特征是解题的关键． 【详解】解：A、横坐标为正，纵坐标为0，该点在横轴上，该选项不符合题意； B、横坐标为负，纵坐标为正，该点在第二象限，该选项不符合题意； C、横坐标为负，纵坐标为负，该点在第三象限，该选项不符合题意； D、横坐标为正，纵坐标为负，该点在第四象限，该选项符合题意； 故选：D． 5. 为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，在50名报名者中，青年组有20人，中年组17人，老年组13人，则中年组的频率是（　　） A. 0.4 B. 0.34 C. 0.26 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据进行计算即可． 【详解】解：17÷50=0.34， 故选：B． 【点睛】本题考查频数与频率，掌握是解题关键． 6. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象与轴交于点 C. 图象不经过第二象限 D. 函数值随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解 【详解】A．图象经过点，正确 B．图象与x轴交于点是错误的，因为与 x轴交于点 C． 图象不经过第二象限，因为图象经过第一、二、三象限，正确 D． 函数值随的增大而增大，正确 故选B 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质． 7. 若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可． 【详解】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360° ∴正多边形的边数是360°÷45°=8． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键． 8. 工人师傅在做矩形门窗时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，以确定门窗是否为矩形．这样做的依据是（ ） A. 矩形的两组对边分别相等 B. 矩形的两条对角线相等 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意抽离出已知信息：两组对边的长度分别相等，即为平行四边形；再对角线相等的平行四边形即为矩形，即可求解． 【详解】解：令两组对边的长度分别相等，即为平行四边形； 再令对角线相等，即对角线相等的平行四边形即为矩形， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形判定、矩形的判定，掌握“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，“对角线相等的平行四边形是矩形”是解题的关键． 9. 如图，在中，，．以为圆心，任意长为半径画弧交于，于，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，连接．下列四个结论：①是的平分线；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形面积公式，由作图可得是的平分线，，即可判断①；由等腰三角形的判定与性质即可判断②③；由三角形面积公式分别表示出面积即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：是的平分线，，故①正确； 由等腰三角形的三线合一的性质可得：，故②正确； ∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④， 故选：D． 10. 甲无人机从地面起飞，同时乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了20m B. 10s时，两架无人机的高度差为30m C. 乙无人机上升的速度为4m/s D. 8s时，甲无人机距离地面的高度是60m 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得， 5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了，故选项A错误； 甲无人机速度为：，乙无人机的速度为：，故选项C正确； 则10s时，两架无人机的高度差为：，故选项B错误； 8s时，甲无人机距离地面的高度是，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 中，，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 13. 一组数据的最大值是100，最小值是35，若选取组距为10，则这组数据可分成_______组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，根据组数（最大值最小值）组距，计算即可得出答案，注意小数部分要进位． 【详解】解：∵一组数据的最大值是100，最小值是35， ∴它们的差为， ∵选取组距为10， ∴， ∴这组数据可分成组， 故答案为：． 14. 如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米， 过作于E，则， 在直角三角形中，． 答：小鸟至少要飞10米． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的的实际运用和两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 15. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则， ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：． 16. 一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为，由题意得出，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 17. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O ， H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 20， 则OH 的长等于_____． 【答案】2.5 【解析】 【分析】先求菱形的边长，再根据直角三角形中底边的中线等于底边的一半的性质求解． 【详解】解：已知菱形 ABCD 的周长为 20 菱形 ABCD 中，交于点O． 在中， 故答案为2.5． 【点睛】此题重点考查学生对菱形性质的理解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 18. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式，连接，由矩形的性质得出，，，由勾股定理得出，推出，再结合，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19. 已知是的正比例函数，当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的最大值． 【答案】（1） （2）当时，的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据正比例函数的性质计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，为， ∴当时，的最大值为． 20. 如图，已知，、线段上，与交于点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据，得到，利用直角三角形全等的判定定理得到，再根据全等三角形的性质，对应角相等即可得到． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 21. 某校为了解本校八年级学生的视力情况，对八年级的学生进行了一次视力调查，并将调查数据进行统计整理，绘制出如下频数分布表和频数分布直方图的一部分． 视力 频数（人数） 频率 20 40 70 b a 10 （1）根据频率分布表分别求的值； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若视力在以下均属不正常，求视力不正常的人数占被调查人数的百分比． 【答案】（1）， （2）频数分布直方图补充完整见解析 （3）视力不正常的人数占被调查人数的百分比是65％ 【解析】 【分析】（1）先利用段有20人，占比，可得总人数，再求解a，b即可； （2）根据a的值结合频数分布表补全图形即可； （3）求解视力在以下的频率之和即可． 【小问1详解】 解：总人数=． ∴， ． 【小问2详解】 频数分布直方图如图所示， 【小问3详解】 视力不正常的人数占被调查人数的百分比是：． 【点睛】本题考查的是从频数分布表与频数直方图中获取信息，理解图表信息是解本题的关键． 22. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出关于轴的轴对称图形； （2）将向下平移5个单位，作出它的像，并写出像的顶点坐标； （3）请使用无刻度的直尺作出的平分线，与交于点（要求标注点），并求出线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，，， （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、平移变换，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作出点，再顺次连接即可得出答案； （2）根据平移的性质作出点，再顺次连接即可得出答案，写出坐标即可； （3）取的中点，连接，即为所求，由勾股定理得出，再由等腰三角形的性质即可得出平分，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， 【小问2详解】 解：如图，即为所作， ，，； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接，即为所求， 由勾股定理可得：， ∴等腰三角形， ∵为的中点， ∴， ∴平分， 由勾股定理可得：． 23. 如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合． （1）连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． （2）若，，求四边形的周长与面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质得出，由折叠的性质可得：，，得到，推出，继而得出，即可得出四边形是平行四边形，从而得证； （2）由矩形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则， 由勾股定理计算得出，再由菱形的周长和面积公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的周长， 四边形的面积． 24. 2023年9月15日至17日第二届湖南旅游发展大会在郴州市举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，郴州某知名小吃店计划购买两种食材制作小吃，已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需23元，购买5千克A种食材和2千克B种食材共需91元． （1）求两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共30千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）15元，8元 （2）A种食材购买20千克，B种食材10千克，总费用最少，为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的实际应用： （1）根据题意得到有关二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意得到一次函数以及不等式，求得最值即可； 正确理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设食材A单价为x元，食材B单价为y元， 由题可得：， 解得：， ∴食材A单价为15元，食材B单价为8元； 【小问2详解】 解：设A种食材购买千克，B种食材千克，总费用为元， 由题可得：， ∵， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值为：元， ∴A种食材购买20千克，B种食材10千克，总费用最少，为元． 25. 如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是的上的一点．若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处． （1）求，两点的坐标； （2）求直线的表达式； （3）平面直角坐标系内是否存在点，使得以点，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）直线的表达式为 （3）存在，点的坐标为，， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、求一次函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，，即可得出的坐标，当时，，解得，即可得出的坐标； （2）由题意得，，则，由折叠的性质可得：，，推出，设，则，由勾股定理求出的值，从而得出的坐标，最后利用待定系数法求解即可； （3）分来两种情况：当为对角线时，当为边时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的表达式为； 【小问3详解】 解：由（2）可得：， ∴， 如图，当为对角线时，四边形为平行四边形， 设，则， 解得：， ∴； 当为边时，四边形、为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，； 综上所述，存在，点的坐标为，，． 26. 在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动： 【探究发现】 （1）如图1，点是正方形中边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到，连接，请问是否为等腰直角三角形？并说明理由； 【联想拓展】 （2）如图2，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接． 求证：． 【迁移应用】 （3）如图3，若点是菱形外部的一点，，，请求出，，之间的数量关系． 【答案】（1）为等腰直角三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，即，由旋转的性质可得：，，从而得出，即可得证； （2），由旋转的性质可得：，，，，从而得出为等腰直角三角形，，再由勾股定理即可得出答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出，作于，则，，由勾股定理得出，得到，最后再由勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，即， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； （2）证明：∵四边形为正方形， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， 作于，则，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴，即． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$