1.4 充分条件和必要条件（六大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.4充分条件和必要条件 知识点1 命题及相关概念 定义 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 分类 真命题:判断为真的语句 假命题:判断为假的语句 形式 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 知识点2 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件p 不能推出结论q,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 知识点3 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 题型一 判断命题的真假 1．已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【详解】p为假，q为真, 故选：B 2．下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 3．下列结论错误的是（    ） A．不大于0的数一定不大于1 B．367人中一定有同月同日出生的两个人 C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四 D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心 【答案】C 【详解】对A，若，则，所以A正确． 对B，每年有365天或366天，所以367人中一定有同月同日出生的两个人，所以B正确． 对C，，如果今天是星期五，那么2000天后是星期三，所以C错误． 对D，若点P到三边的距离相等，则P可能是内心，也可能在所在平面外，所以D正确． 故选：C. 4．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】AB 【详解】对于选项A：命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误； 对于选项B：语句“当时，方程有实根”是陈述句， 当时，则，方程无实根， 即“当时，方程有实根”为假， 故该语句是命题，所以选项B错误； 对于选项C：由菱形的定义和性质可知：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题，故C正确； 对于选项D：当时，， 所以“时，”是真命题，故D正确； 故选：AB 5．对于实数、，命题“若，则或”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”， 明显命题“若且，则”为真命题，则其逆否命题也为真命题. 故答案为：真. 6．下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 【答案】(1)真命题，原因见解析 (2)假命题，原因见解析 (3)不是命题（祈使句） (4)假命题，原因见解析 (5)不是命题（一般疑问句） (6)不是命题（无法判断真假） 【详解】（1）是命题，并且是真命题． 这是因为个位数是的自然数可写成的形式，而， 所以能被整除，即“个位数是的自然数能被整除”是一个真命题； （2）是命题，并且是假命题. 取三个角分别为的直角三角形，它与三个角分别为的直角三角形不相似．所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题； （3）不是命题，因为“上课请不要讲话”不是判断语句，所以它不是一个命题； （4）是命题，并且是假命题， 取一个角为，另一个角也为，它们是互补的，所以它是假命题； （5）不是命题.因为“你是高一学生吗？”是问句，不是表示判断的陈述句，所以它不是命题； （6）不是命题.虽然“”是陈述句，但是它包含一个可变的对象，无法判断其真假，因此它不是命题. 7．判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题． (1)； (2)等腰三角形两底角相等； (3)若，是任意实数且，则． 【答案】(1)不是命题 (2)真命题 (3)假命题 【详解】（1）因为不能判断真假，所以不是命题； （2）因为等腰三角形两底角相等， 所以本语句是命题，而且是真命题； （3）当时，显然成立，但是不成立， 因为本语句能判断真假， 所以本语句是命题，而且是假命题. 题型二 充分、必要的判断 8．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 9．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】由诗句可知，若“不破楼兰”，则“不返家乡”， 所以“不破楼兰”，能推出“不返家乡”，所以“不返家乡”是“不破楼兰”的必要条件. 故选：A 10．（多选）已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（    ） A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件 C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件 【答案】BD 【详解】命题p：，q：，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 故选：BD 11．（多选）已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 【答案】BCD 【详解】因为p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件， 所以，，，， 所以，，则， 所以p是q的必要条件，故A错误，B正确； s是r的充要条件，故C正确； r是q的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 12．已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【详解】解：由题意，， ∴若，则；若，不一定有. ∴“”是“”的充分条件. 故答案为：充分. 13．用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理： (1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)若，，则； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)如果是一元二次方程的两个实数根，那么． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）在一个平面内，“两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件，但不是必要条件（如平行四边形两边平行，但不一定与邻边垂直）. （2）“”是“”的充分条件，但不是必要条件（如，满足条件，但推不出）﹒ （3）“四边形的一组对边平行且相等”是“四边形为平行四边形”的充分条件，也是必要条件. （4）“是一元二次方程的两个实数根”是“”的充分条件，但不是必要条件（如满足，但不满足的实数，不是一元二次方程的根）. 14．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是 【详解】（1）∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p． ∴p是q的必要条件． （2）四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，如，等腰梯形，即qp． ∴p不是q的必要条件． （3）∵A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． （4）∵c的正负不确定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp， ∴p不是q的必要条件． 题型三 充分不必要、必要不充分的判断 15．已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 16．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以或， 易得“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 17．若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 若，则，， 则“”是“”的充分条件； 若，则， 则时，不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 18．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】若，，，则，则， ∴“”是“”的不充分条件； 若，∵，∴，即， ∴“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：D． 19． “”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解：因为⫋， 所以“”是“”的的必要不充分条件， 故选：C 20．已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件； 而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件， 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 21．指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)充要条件 (3)既非充分也非必要条件 (4)充分非必要条件 【详解】（1）由可得或者， 故是的必要不充分条件， （2）同位角相等，两直线平行；当两直线平行时，同位角相等， 故是的充要条件 （3）由可得或，故是的既不充分也不必要条件， （4）由可得，故是的充分不必要条件， 题型四 找出命题的充分、必要条件 22．命题“”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得或， 要成为命题“”的一个充分不必要条件， 则其对应的集合是或的真子集， 所以、、均不是的充分不必要条件， 是的一个充分不必要条件. 故选：D. 23．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 24．（多选）关于的方程的解大于2的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】方程的解为，由可得， 方程的解大于2的充分不必要条件是选项为真子集， 因为，，， ，故，符合. 故选：CD. 25．“，关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若“，关于的不等式恒成立”为真， 则， 解得， 故此命题的充分不必要条件对应的集合是的真子集， 对照各选项，可知项，，符合题意， 故选：. 26．使成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 对于A选项，是充要条件，A错误 对于B选项，是充分不必要条件，B错误 对于C选项，是必要不充分条件，C正确 对于D选项，是充分不必要条件，D错误 故选:C 27．已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】因为且不能推出，所以且不是的充分条件，A错； 因为且不能推出，所以且不是的充分条件，C错； 因为且不能推出，所以且不是的充分条件，D错； 对于B，由且可得，充分性成立，若不能推出且，例如时，满足，而且，必要性不成立，所以且是成立的一个充分不必要条件，B符合题意． 故选：B. 28．（多选）关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为有两个实数解， 当时，，显然不满足题意； 当时，，得； 综上，且， 即有两个实数解等价于且，即或， 要使得选项中的范围是题设条件的充分条件， 则选项中的范围对应的集合是或的子集， 经检验，AB满足要求，CD不满足要求. 故选：AB. 题型五 探究命题为真的充要条件 29．已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则关系如图， 由图可知BCD选项错误，正确. 故选：A 30．“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若有两个不相等的实数根，则， 故方程至多有一个实数解时，， 故“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是：， 故选：A 31．关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由方程有实根，则，可得. 所以是题设方程有实根的充要条件. 故选：C 32．点是第二象限的点的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0， 所以点是第二象限的点的充要条件是． 故选：B 33．（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　） A． B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 【答案】BD 【详解】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件； 对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件； 对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件； 对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件． 故选：BD. 34．（多选）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】 由维恩图可知，A不是的充要条件，B，C，D都是的充要条件， 故选：BCD． 35．设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 【答案】（只需与等价即可）. 【详解】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 36．不等式成立的充要条件是 【答案】 【详解】因为等价于等价于，所以不等式成立的充要条件是. 故答案为：. 题型六 根据充分、必要条件求参数 37．已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 38．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 39．（多选）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C. 故选：ABC 40．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】，得或， 若“”是“”的必要不充分条件，得或， 所以，即的最大值为. 故答案为： 41．（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合. 故选：AD 42．（多选）若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】AB 【详解】由，解得或，所以p：或， 因为p是q的必要不充分条件，所以方程一定有解，则， 所以或，解得或， 故选:AB. 43．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以有，等号不同时成立，， 当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 44．已知集合，集合,． (1)若“”是真命题，求实数取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）若“”是真命题，则， 解得．实数取值范围是． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则是A的真子集， 即或，解得， 故实数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4充分条件和必要条件 知识点1 命题及相关概念 定义 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 分类 真命题:判断为真的语句 假命题:判断为假的语句 形式 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 知识点2 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件p 不能推出结论q,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 知识点3 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 题型一 判断命题的真假 1．已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【详解】p为假，q为真, 故选：B 2．下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 3．下列结论错误的是（    ） A．不大于0的数一定不大于1 B．367人中一定有同月同日出生的两个人 C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四 D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心 【答案】C 【详解】对A，若，则，所以A正确． 对B，每年有365天或366天，所以367人中一定有同月同日出生的两个人，所以B正确． 对C，，如果今天是星期五，那么2000天后是星期三，所以C错误． 对D，若点P到三边的距离相等，则P可能是内心，也可能在所在平面外，所以D正确． 故选：C. 4．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】AB 【详解】对于选项A：命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误； 对于选项B：语句“当时，方程有实根”是陈述句， 当时，则，方程无实根， 即“当时，方程有实根”为假， 故该语句是命题，所以选项B错误； 对于选项C：由菱形的定义和性质可知：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题，故C正确； 对于选项D：当时，， 所以“时，”是真命题，故D正确； 故选：AB 5．对于实数、，命题“若，则或”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”， 明显命题“若且，则”为真命题，则其逆否命题也为真命题. 故答案为：真. 6．下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 【答案】(1)真命题，原因见解析 (2)假命题，原因见解析 (3)不是命题（祈使句） (4)假命题，原因见解析 (5)不是命题（一般疑问句） (6)不是命题（无法判断真假） 【详解】（1）是命题，并且是真命题． 这是因为个位数是的自然数可写成的形式，而， 所以能被整除，即“个位数是的自然数能被整除”是一个真命题； （2）是命题，并且是假命题. 取三个角分别为的直角三角形，它与三个角分别为的直角三角形不相似．所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题； （3）不是命题，因为“上课请不要讲话”不是判断语句，所以它不是一个命题； （4）是命题，并且是假命题， 取一个角为，另一个角也为，它们是互补的，所以它是假命题； （5）不是命题.因为“你是高一学生吗？”是问句，不是表示判断的陈述句，所以它不是命题； （6）不是命题.虽然“”是陈述句，但是它包含一个可变的对象，无法判断其真假，因此它不是命题. 7．判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题． (1)； (2)等腰三角形两底角相等； (3)若，是任意实数且，则． 【答案】(1)不是命题 (2)真命题 (3)假命题 【详解】（1）因为不能判断真假，所以不是命题； （2）因为等腰三角形两底角相等， 所以本语句是命题，而且是真命题； （3）当时，显然成立，但是不成立， 因为本语句能判断真假， 所以本语句是命题，而且是假命题. 题型二 充分、必要的判断 8．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 9．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】由诗句可知，若“不破楼兰”，则“不返家乡”， 所以“不破楼兰”，能推出“不返家乡”，所以“不返家乡”是“不破楼兰”的必要条件. 故选：A 10．（多选）已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（    ） A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件 C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件 【答案】BD 【详解】命题p：，q：，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 故选：BD 11．（多选）已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 【答案】BCD 【详解】因为p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件， 所以，，，， 所以，，则， 所以p是q的必要条件，故A错误，B正确； s是r的充要条件，故C正确； r是q的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 12．已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【详解】解：由题意，， ∴若，则；若，不一定有. ∴“”是“”的充分条件. 故答案为：充分. 13．用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理： (1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)若，，则； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)如果是一元二次方程的两个实数根，那么． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）在一个平面内，“两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件，但不是必要条件（如平行四边形两边平行，但不一定与邻边垂直）. （2）“”是“”的充分条件，但不是必要条件（如，满足条件，但推不出）﹒ （3）“四边形的一组对边平行且相等”是“四边形为平行四边形”的充分条件，也是必要条件. （4）“是一元二次方程的两个实数根”是“”的充分条件，但不是必要条件（如满足，但不满足的实数，不是一元二次方程的根）. 14．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是 【详解】（1）∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p． ∴p是q的必要条件． （2）四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，如，等腰梯形，即qp． ∴p不是q的必要条件． （3）∵A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． （4）∵c的正负不确定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp， ∴p不是q的必要条件． 题型三 充分不必要、必要不充分的判断 15．已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 16．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以或， 易得“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 17．若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 若，则，， 则“”是“”的充分条件； 若，则， 则时，不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 18．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】若，，，则，则， ∴“”是“”的不充分条件； 若，∵，∴，即， ∴“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：D． 19． “”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解：因为⫋， 所以“”是“”的的必要不充分条件， 故选：C 20．已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件； 而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件， 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 21．指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)充要条件 (3)既非充分也非必要条件 (4)充分非必要条件 【详解】（1）由可得或者， 故是的必要不充分条件， （2）同位角相等，两直线平行；当两直线平行时，同位角相等， 故是的充要条件 （3）由可得或，故是的既不充分也不必要条件， （4）由可得，故是的充分不必要条件， 题型四 找出命题的充分、必要条件 22．命题“”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得或， 要成为命题“”的一个充分不必要条件， 则其对应的集合是或的真子集， 所以、、均不是的充分不必要条件， 是的一个充分不必要条件. 故选：D. 23．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 24．（多选）关于的方程的解大于2的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】方程的解为，由可得， 方程的解大于2的充分不必要条件是选项为真子集， 因为，，， ，故，符合. 故选：CD. 25．“，关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若“，关于的不等式恒成立”为真， 则， 解得， 故此命题的充分不必要条件对应的集合是的真子集， 对照各选项，可知项，，符合题意， 故选：. 26．使成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 对于A选项，是充要条件，A错误 对于B选项，是充分不必要条件，B错误 对于C选项，是必要不充分条件，C正确 对于D选项，是充分不必要条件，D错误 故选:C 27．已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】因为且不能推出，所以且不是的充分条件，A错； 因为且不能推出，所以且不是的充分条件，C错； 因为且不能推出，所以且不是的充分条件，D错； 对于B，由且可得，充分性成立，若不能推出且，例如时，满足，而且，必要性不成立，所以且是成立的一个充分不必要条件，B符合题意． 故选：B. 28．（多选）关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为有两个实数解， 当时，，显然不满足题意； 当时，，得； 综上，且， 即有两个实数解等价于且，即或， 要使得选项中的范围是题设条件的充分条件， 则选项中的范围对应的集合是或的子集， 经检验，AB满足要求，CD不满足要求. 故选：AB. 题型五 探究命题为真的充要条件 29．已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则关系如图， 由图可知BCD选项错误，正确. 故选：A 30．“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若有两个不相等的实数根，则， 故方程至多有一个实数解时，， 故“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是：， 故选：A 31．关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由方程有实根，则，可得. 所以是题设方程有实根的充要条件. 故选：C 32．点是第二象限的点的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0， 所以点是第二象限的点的充要条件是． 故选：B 33．（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　） A． B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 【答案】BD 【详解】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件； 对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件； 对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件； 对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件． 故选：BD. 34．（多选）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】 由维恩图可知，A不是的充要条件，B，C，D都是的充要条件， 故选：BCD． 35．设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 【答案】（只需与等价即可）. 【详解】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 36．不等式成立的充要条件是 【答案】 【详解】因为等价于等价于，所以不等式成立的充要条件是. 故答案为：. 题型六 根据充分、必要条件求参数 37．已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 38．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 39．（多选）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C. 故选：ABC 40．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】，得或， 若“”是“”的必要不充分条件，得或， 所以，即的最大值为. 故答案为： 41．（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合. 故选：AD 42．（多选）若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】AB 【详解】由，解得或，所以p：或， 因为p是q的必要不充分条件，所以方程一定有解，则， 所以或，解得或， 故选:AB. 43．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以有，等号不同时成立，， 当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 44．已知集合，集合,． (1)若“”是真命题，求实数取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）若“”是真命题，则， 解得．实数取值范围是． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则是A的真子集， 即或，解得， 故实数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$