第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（十大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点四：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【典例例题】 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【典例1-2】（2024·高二·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1-1】（2024·高二·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【变式1-2】（2024·四川南充·二模）已知圆，直线与圆C（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【变式1-3】（2024·高二·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 【典例2-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【变式2-2】（2024·高二·湖南长沙·开学考试）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2-4】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：切线与切线长问题 【典例3-1】（2024·高二·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【典例3-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【变式3-1】（2024·高二·福建漳州·期末）圆在点处的切线方程为 . 【变式3-2】（2024·高二·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【变式3-3】（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【变式3-4】（2024·高二·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可） 【变式3-5】（2024·高二·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则 . 题型四：弦长问题 【典例4-1】（2024·高二·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 【典例4-2】（2024·高二·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ． 【变式4-1】（2024·高二·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【变式4-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ． 【变式4-3】（2024·天津·一模）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为 . 题型五：判断圆与圆的位置关系 【典例5-1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【典例5-2】（2024·高二·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【变式5-1】（2024·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【变式5-2】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【变式5-3】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 题型六：由圆的位置关系确定参数 【典例6-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·湖南常德·二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式6-1】（2024·高二·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高二·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·高二·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2024·高二·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：公共弦与切点弦问题 【典例7-1】（2024·高二·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【典例7-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线，点P为上一动点．过点P作圆M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【变式7-2】（2024·高二·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】（2024·高二·河南漯河·期末）设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 题型八：公切线问题 【典例8-1】（2024·高二·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【典例8-2】（2024·高三·广西百色·阶段练习）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高二·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·河南·模拟预测）下列方程中，圆与圆的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 题型九：圆中范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·河南驻马店·阶段练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是 . 【变式9-1】（2024·河南·三模）已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选题）（2024·高二·安徽·阶段练习）已知实数，满足，则（   ） A．当时，的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是1 【变式9-3】（多选题）（2024·高二·浙江丽水·期末）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．线段长的最大值为6 C．线段长的最小值为4 D．面积的最大值为 【变式9-4】（多选题）（2024·高二·浙江绍兴·期末）已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（    ） A．的最大值为6 B．的最小值为4 C．的最小值为-1 D．的最大值为34 【变式9-5】（多选题）（2024·高二·山东·期中）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的范围是 题型十：圆系问题 【典例10-1】（2024·高二课时练习）求经过点以及圆与交点的圆的方程________. 【典例10-2】（2024·全国·高二专题练习）求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 【变式10-1】（2024·江苏·高二专题练习）已知圆：与：相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在的直线方程； （2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； （3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程． 【变式10-2】过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 【变式10-3】已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【过关测试】 1．（2024·高二·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 2．（2024·高二·上海·阶段练习）已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 3．（2024·高三·安徽亳州·期末）已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 4．（2024·高二·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 5．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·重庆·阶段练习）设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 8．（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 9．（2024·高二·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 10．（2024·高二·安徽蚌埠·期末）若圆：与圆：内切，则（ ） A．29 B．9 C． D．19 11．（2024·高二·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 12．（2024·高二·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·高二·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·高三·北京顺义·期中）过直线上一动点，向圆：引两条切线，、为切点，则圆上的动点到直线距离的最大值等于（    ） A． B． C． D． 16．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） （1）y＝0      （2）       （3）       （4） A．（1）（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3） 18．（2024·高二·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·高二·福建龙岩·期末）已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 20．（2024·高二·四川成都·开学考试）若点P是直线l：上的一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 21．（多选题）（2024·高二·福建厦门·期中）已知点在上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值是 B．满足的点有2个 C．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．的最小值为 22．（2024·高二·北京·期中）已知点，点在圆上，则的取值范围是 ；若与圆相切，则 . 23．（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）过点作圆O：的两条切线，则两条切线夹角的正弦值为 ． 24．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆，直线被圆C截得的弦长为 . 25．（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 . 26．（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 27．（2024·高二·湖北武汉·期中）已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为 ． 28．（2024·高二·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 29．（2024·高二·四川德阳·阶段练习）已知为圆上任意一点，则的最小值为 30．（2024·高二·安徽芜湖·期中）若直线始终平分圆，则的最小值为 ． 31．（2024·高二·浙江杭州·阶段练习）已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 . 32．（2024·高二·湖北·阶段练习）过点的直线交：于，两点，则的最小值为 33．（2024·高二·广东广州·期中）已知，满足，则的范围是 ． 34．（2024·高二·天津静海·阶段练习）已知若圆上存在点P，使得，则m的范围 ． 35．（2024·高二·贵州黔西·开学考试）已知实数满足 (1)求最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值. 36．（2024·高二·湖北·开学考试）已知圆的圆心在第一象限且在直线上，与轴相切，被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)设是圆上任意一点，，，求的最大值． 37．（2024·高二·江苏·单元测试）已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点四：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【典例例题】 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2. 故选：C. 【典例1-2】（2024·高二·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】由直线，可得，所以直线过定点， 又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交. 故选：A. 【变式1-1】（2024·高二·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【答案】A 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：A 【变式1-2】（2024·四川南充·二模）已知圆，直线与圆C（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】D 【解析】根据题意，直线的方程为，恒过定点， 设为，又由圆，即， 其圆心为，半径， 由，则在圆上， 则直线与圆相交或相切. 故选：D． 【变式1-3】（2024·高二·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】C 【解析】圆，即， 其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆的位置关系为相切. 故选：C 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 【典例2-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线恒过点， 由，得， 所以曲线表示圆心，半径为2的半圆，如图所示， 由图可知，当时，曲线与直线有两个相异的交点， 因为，，所以， 因为直线与半圆相切，所以，解得， 所以， 故选：B 【典例2-2】（2024·高二·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为. 故选:C. 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【答案】D 【解析】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动. 圆心到直线的距离，令，则. ①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，， 与圆的三个交点是，，，满足题意. ②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意. 综上，. 故选：D. 【变式2-2】（2024·高二·湖南长沙·开学考试）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得圆的圆心到直线的距离为， 要使得圆上恒有4个点到直线的距离为1， 需满足直线与圆相交，且与l平行且距离为1的两平行直线与圆也相交，如图示： 结合图示可知，圆的半径应大于圆心到直线的距离， 即实数r的取值范围是， 故选：A 【变式2-3】（2024·高二·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】为直角，故在以为直径的圆上， 圆心为，半径为， 圆方程为，取得到或， 即点坐标为或. 故选：B. 【变式2-4】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义. 联立，解得或，所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选：B 题型三：切线与切线长问题 【典例3-1】（2024·高二·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 【典例3-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 故答案为：. 【变式3-1】（2024·高二·福建漳州·期末）圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：，即. 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【解析】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 【变式3-3】（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【解析】当直线斜率存在时，设切线的点斜式方程为：，圆心到直线的距离为， 化简得到，故； 另一条应为不存在的情况，即满足题意. 故答案为：或. 【变式3-4】（2024·高二·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可） 【答案】或（一个方程即给满分） 【解析】设关于直线对称的点为， 所以，解得， 当反射光线斜率存在时，设其所在直线的方程为即 因为反射光线与圆C：相切， 所以圆心到反射光线的距离，即，解得，所以反射光线所在直线的方程为； 当反射光线斜率不存在时，设其所在直线的方程为，满足反射光线与圆相切， 故反射光线所在直线的方程为或. 故答案为：或（一个方程即给满分） 【变式3-5】（2024·高二·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则 . 【答案】 【解析】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由已知可得， 由圆的几何性质可得，由勾股定理可得. 故答案为：. 题型四：弦长问题 【典例4-1】（2024·高二·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【解析】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 【典例4-2】（2024·高二·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ． 【答案】2 【解析】圆C：的圆心为，半径， 圆心到直线l：的距离为， 所以弦长为. 故答案为：2. 【变式4-1】（2024·高二·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【答案】或 【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， 设直线l的方程为，即. 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， 结合点到直线距离公式，得， 化简得，解得，即直线l的方程为. 故答案为：或. 【变式4-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ． 【答案】或 【解析】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，解得，此时直线：， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 【变式4-3】（2024·天津·一模）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为 . 【答案】或 【解析】当直线斜率不存在时，直线为， 则有，即， 则，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线为，即， 由可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则有，即， 即，即. 故答案为：或. 题型五：判断圆与圆的位置关系 【典例5-1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【解析】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 【典例5-2】（2024·高二·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 【变式5-1】（2024·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【解析】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为1， 可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切. 故选：B 【变式5-2】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【解析】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心， 所以，，所以，故两圆外切， 故选B. 【变式5-3】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【解析】易知圆的圆心为，半径为； 圆可化为，圆心，半径为； 圆心距，所以两圆外切. 故选：B 题型六：由圆的位置关系确定参数 【典例6-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 【典例6-2】（2024·湖南常德·二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由，故点 P在圆上，又点P在圆C上，所以两圆有交点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1， 所以，又，故有， 解得，所以a的最小值为4. 故选：C. 【变式6-1】（2024·高二·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 【变式6-2】（2024·高二·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 【变式6-3】（2024·高二·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 【变式6-4】（2024·高二·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为恰有两个公共点,所以两圆相交，所以， 解得或，即的取值范围是. 故选：A 题型七：公共弦与切点弦问题 【典例7-1】（2024·高二·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 【典例7-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线，点P为上一动点．过点P作圆M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆与切线的性质可知，而四边形的面积等于， 所以要使得取最小值，即满足四边形的面积取到最小值， 又因为四边形的面积等于三角形的面积的2倍， 所以只需要满足三角形的面积取到最小值即可， 又因为，而圆，可知， 所以，即求的最小值， 又因为，所以只需要求的最小值， 由于点P为上一动点，点为定点，所以的最小值为点P到直线的距离， 此时，设垂足为，则由与垂线联立得：，即可得此时， 由可知两点在以为直径的圆上， 且以为直径的圆的方程为：， 所以直线方程为两圆的相交弦方程， 即由与为直径的圆的方程为：相减得： ， 故选：A. 【变式7-1】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长． 故选：B． 【变式7-2】（2024·高二·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为. 故选：A 【变式7-3】（2024·高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 【变式7-4】（2024·高二·河南漯河·期末）设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为,，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：，变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 题型八：公切线问题 【典例8-1】（2024·高二·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【答案】C 【解析】由条件可得：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离； 圆心为到直线的距离， 所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确； 对于选项D，圆心到直线的距离， 所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误. 故选：C 【典例8-2】（2024·高三·广西百色·阶段练习）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两圆方程得：圆心，，半径， 两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条； 两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行， 经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：， ，解得：或，即公切线方程为：或； ，与平行的公切线方程为，即， ，解得：，即公切线方程为或； 综上所述：两圆的公切线方程为：或或或. 故选：C. 【变式8-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 如图所示，两圆相离，有四条公切线. 两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点， 设切线，则圆心到直线的距离，解得或， 当时，切线方程为，A正确； 当时，切线方程为，即，B正确； 另两条切线与直线平行且相距为1，又由， 设切线，则，解得， 即切线方程分别为，； 整理可得两切线方程为和， 所以C正确，D不正确. 故选：D. 【变式8-2】（2024·高二·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D 【变式8-3】（2024·河南·模拟预测）下列方程中，圆与圆的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，， 如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P， 由几何关系可知，，，， 所以，，，，l的斜率为， 则l的方程为，即， 根据对称可得出另一条公切线方程为. 故选：B． 题型九：圆中范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·河南驻马店·阶段练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将l的方程转化为， 令解得，即过定点， 当时，圆心到直线的距离最大值为， 此时取得最小值,根据勾股定理：. 故选：A 【典例9-2】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是 . 【答案】 【解析】 如图，过点的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设直线方程为，即， 所以圆心到该直线的距离为易得当时，，当直线经过圆心时，，故， 又因，故. 因时，可知函数单调递增，故. 即面积的最大值是. 故答案为：. 【变式9-1】（2024·河南·三模）已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设线段的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为． 所以． 故选:A. 【变式9-2】（多选题）（2024·高二·安徽·阶段练习）已知实数，满足，则（   ） A．当时，的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是1 【答案】BCD 【解析】由，得．该方程表示圆心为，半径的圆． 设，则表示圆上的点（除去点和）与原点连线的斜率， 由，则，解得或， 所以（可以为）， 即当时，无最小值，的最大值是，故A错误，B正确； 设，则，表示当直线与圆有公共点时直线在轴上的截距， 则，解得，即的最小值是，故C正确； 因为表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在轴上， 所以当，时，取得最小值，且最小值为，故D正确． 故选：BCD 【变式9-3】（多选题）（2024·高二·浙江丽水·期末）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．线段长的最大值为6 C．线段长的最小值为4 D．面积的最大值为 【答案】ABC 【解析】直线即直线， 联立，解得，，所以直线过定点，故A正确； 当直线过圆圆心时，线段最长，为圆的直径，等于6，故B正确； 当直线AB与过原点和点的直线垂直时，弦长AB最短， 因为原点C到点的距离为， 此时，故C正确； 因为，所以的面积取得最大值时， 此时，故D错误. 故选：ABC. 【变式9-4】（多选题）（2024·高二·浙江绍兴·期末）已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（    ） A．的最大值为6 B．的最小值为4 C．的最小值为-1 D．的最大值为34 【答案】ABD 【解析】当直线与垂直时，圆心到直线的距离取最大值，此时的最小值为， 当直线经过圆心时，的最大值为6，故A，B正确； 设，则 ， 由，当时，， 当时，，故C错误，D正确. 故选：ABD 【变式9-5】（多选题）（2024·高二·山东·期中）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的范围是 【答案】ABD 【解析】因为实数x，y满足方程， 所以，得圆心为，半径为1， 对于AB，设，则两直线与圆有公共点， 所以， 解得，， 所以的最大值为，的最大值为，所以AB正确， 对于C，因为原点到圆心的距离为， 所以圆上的点到原点的距离， 所以，所以， 所以的最大值为，所以C错误， 对于D， 表示出圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即，所以D正确， 故选：ABD 题型十：圆系问题 【典例10-1】（2024·高二课时练习）求经过点以及圆与交点的圆的方程________. 【答案】. 【解析】方法一：将化为一般式，所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为，整理得：； 此圆经过,代入上述方程得，解得, 所以该圆的方程为，即. 方法二：圆与的交点为，因为圆心在轴上 设所求圆的方程为，则，解得，所求圆的方程为，化为一般式为. 故答案为：. 【典例10-2】（2024·全国·高二专题练习）求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 【解析】设所求的圆的方程为，且与轴的交点坐标为， 令得，化简得 ， 由两边平方得 ，化简得 解得或 所求圆的方程为， 或 所求圆的方程为或 【变式10-1】（2024·江苏·高二专题练习）已知圆：与：相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在的直线方程； （2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； （3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程． 【解析】（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程． （2）设经过A、B两点的圆的方程为（为常数）， 则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故， 解得，故所求方程为． （3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0， 与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为． 故面积最小的圆的方程为． 【变式10-2】过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 【答案】 【解析】 设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入，可得， 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 【变式10-3】已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【解析】（1），① ，② ①-②得 即公共弦AB所在直线方程为． （2）设圆的方程为 即 因为圆过原点，所以， 所以圆的方程为 【过关测试】 1．（2024·高二·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即， 所以直线与圆相切. 故选：A. 2．（2024·高二·上海·阶段练习）已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离为 ，即 故直线与圆相交，圆心代入直线方程得到，不符合题意. 故选：C 3．（2024·高三·安徽亳州·期末）已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【解析】直线的方程可化为， 所以直线恒过点， 曲线即， 表示圆心为坐标原点，半径为3的圆的上半部分（如图）， 由图可知，当时，直线与曲线的交点个数为1. 故选：B. 4．（2024·高二·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为直线与圆相切，所以，解得， 由直线和圆相切， 所以或，解得或， 故实数的值为或. 故选：D. 5．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一  由，得， 该圆的圆心为，半径为1，如图所示，连接， 易知， 所以， 解法二  由，得， 该圆的圆心为，半径为1，设直线的方程为， 则， 解得：或，所以． 故选：B． 6．（2024·高二·重庆·阶段练习）设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心到直线的距离， 即直线与圆相交，当点在圆及内部时， 该圆上存在两点A，B，使， 当点在圆外时，过点作圆的切线，为切点，显然是最大的， 则只需即可，此时，，而也符合要求， 因此，即，又，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 7．（2024·高二·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【解析】由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 8．（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 【答案】B 【解析】直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于圆的半径1， 即，得. 圆的圆心坐标为，半径为， 其圆心在圆上，所以两圆相交. 故选：B 9．（2024·高二·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【解析】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意得圆与圆只有一个交点， 可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或， 当两圆内切时，解得或， 当两圆外切时，无解，结合选项 故选：D 10．（2024·高二·安徽蚌埠·期末）若圆：与圆：内切，则（ ） A．29 B．9 C． D．19 【答案】C 【解析】由圆：，可得圆心，半径； 圆：可化为， 可得圆心，半径， 所以， 由圆圆内切，所以，即， 解得：. 故选：C. 11．（2024·高二·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【解析】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 12．（2024·高二·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两个圆的方程相减，得， 故选：C 13．（2024·高二·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距离为，故两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线方程为，即， 所以公共弦的长度为. 故选：D. 14．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 15．（2024·高三·北京顺义·期中）过直线上一动点，向圆：引两条切线，、为切点，则圆上的动点到直线距离的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，点在直线上，设，则， 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点、在以为直径的圆上， 又由，则以为直径的圆的方程是， 圆的方程为， 联立两个圆的方程可得：直线的方程为，即， 因为，所以，代入直线的方程，得，即， 当且，即，时该方程恒成立，所以直线过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离加上圆的半径， 即点到直线距离的最大值为． 动点到直线距离的最大值为， 故选：B 16．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 17．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） （1）y＝0      （2）       （3）       （4） A．（1）（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3） 【答案】A 【解析】圆M的圆心为，半径．圆N的圆心为，半径，圆心距，两圆外离，故有四条公切线． 又两圆关于原点O对称，则有两条内公切线过原点O，设切线方程为， 则圆心到直线的距离，解得k＝0或， 对应方程分别为y＝0，． 两条外公切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得， 切线方程为，． 故选：A 18．（2024·高二·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 19．（2024·高二·福建龙岩·期末）已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 设点与点关于直线对称， 则，解得，即， 所以， 其中分别为圆的圆心和半径， 等号成立当且仅当分别与重合，其中分别为线段与直线和圆的交点， 综上所述，的最小值为. 故选：C. 20．（2024·高二·四川成都·开学考试）若点P是直线l：上的一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆心C到直线l的距离为，如图， 连接，由圆的几何性质知，， 设， 则，，， 所以， 由图可知，当时，取得最小值，即， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 故当即时，取得最小值，且最小值为. 故选：C 21．（多选题）（2024·高二·福建厦门·期中）已知点在上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值是 B．满足的点有2个 C．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】 对于A，由于，，故直线的方程为. 当的坐标是时，点到直线的距离，故A错误； 对于B，满足的全部点即为以为直径的圆和的公共点，而的中点为，. 故以为直径的圆的方程为，即. 联立并等价变形为，由于点到直线的距离，所以直线和圆有两个不同的交点，从而满足条件的点有2个，故B正确； 对于C，设是圆外一点，熟知关于圆的两条切线的切点确定的直线的方程是，若在直线即直线上，则，即. 所以直线即直线恒过点，C正确； 对于D，设点，，则由点在圆上，知. 所以，故. 从而. 当时，在上，且. 所以的最小值是，D正确. 故选：BCD 22．（2024·高二·北京·期中）已知点，点在圆上，则的取值范围是 ；若与圆相切，则 . 【答案】 【解析】圆标准化为，圆心，半径，， 则，所以的取值范围是， 当与圆相切时，可知. 故答案为：； 23．（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）过点作圆O：的两条切线，则两条切线夹角的正弦值为 ． 【答案】/0.8 【解析】圆O：的圆心为，半径， 设切点为，， ，， 则， 两条切线的夹角为，则． 即两条切线夹角的正弦值为． 故答案为：． 24．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆，直线被圆C截得的弦长为 . 【答案】 【解析】由题意可得，圆心为，半径， 弦心距， 故直线被C截得的弦长为， 故答案为： 25．（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 . 【答案】 【解析】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有， 解可得：； 故答案为：. 26．（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【解析】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 27．（2024·高二·湖北武汉·期中）已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，，的中点， 点，为圆上的两动点，且， ，①， ，②， ③ 由③得，即④， 把②中两个等式两边平方得：，， 即⑤， 把④代入⑤，可得，即在以为圆心，以为半径的圆上． 则的最大值为． 所以． 当且仅当，的坐标为时取等号． 故答案为： 28．（2024·高二·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 29．（2024·高二·四川德阳·阶段练习）已知为圆上任意一点，则的最小值为 【答案】 【解析】依题意可得，则表示圆上的点与点连线的斜率， 显然当过点且与圆相切（除外）时，斜率取得最小值， 设此时切线斜率为，则切线方程为，即. 由圆心到切线的距离等于半径，得，解得， 即的最小值为. 故答案为： 30．（2024·高二·安徽芜湖·期中）若直线始终平分圆，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】， 故圆心， 由题意得在上，代入得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 故答案为： 31．（2024·高二·浙江杭州·阶段练习）已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意知的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 设，则， ， 则， 设，则， 当且仅当三点共线时取等号， 此时的最小值为， 故答案为： 32．（2024·高二·湖北·阶段练习）过点的直线交：于，两点，则的最小值为 【答案】 【解析】 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 设的中点为，过作直线的垂线，垂足为，连接， 又 . 因为为的中点，故， 故的轨迹为以的直径的圆，其方程为， 即，其圆心为，半径为， 到直线的距离为， 故到直线的距离的最小值为， 故的最小值为. 故答案为：. 33．（2024·高二·广东广州·期中）已知，满足，则的范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以，表示以为圆心，为半径的圆，即点为圆上的点， 令，即，当直线与圆相切时取得最值，所以，即，解得，所以 故答案为： 34．（2024·高二·天津静海·阶段练习）已知若圆上存在点P，使得，则m的范围 ． 【答案】 【解析】设点，由得：，整理得：， 于是得点P的轨迹是以原点O为圆心，m为半径的圆，而圆的圆心，半径为2， 显然圆O与圆C有公共点P，因此有，而，解得， 所以m的范围是. 故答案为： 35．（2024·高二·贵州黔西·开学考试）已知实数满足 (1)求最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值. 【解析】（1）原方程化为：，表示以为圆心，为半径的圆， 设，即， 当直线与圆相切时，斜率取得最大值与最小值， 此时有：，解得， 所以的最大值为，最小值为. （2）表示圆上一点到原点距离的平方， 易知在原点与圆心的连线与圆的两个交点出取得最大值与最小值， 又圆心到原点的距离为，半径为， 所以 36．（2024·高二·湖北·开学考试）已知圆的圆心在第一象限且在直线上，与轴相切，被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)设是圆上任意一点，，，求的最大值． 【解析】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，，半径为， 到直线得距离为， 所以，解得， 所以圆的方程为． （2） 表示与点距离的平方， 因为是圆上任意一点， 所以 所以的最大值为． 37．（2024·高二·江苏·单元测试）已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【解析】（1）由圆，可得圆心为，半径， 设，将看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为. （2）记点，则表示直线的斜率， 设直线的方程为，即， 因为直线与圆有公共点，可得， 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）设， 则等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 根据圆的性质，可得， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$