小升初典型奥数：间隔问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

间隔问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 一、定义：生活中我们可以发现在摆放物体时，物体之间会存在着空格部分，这个空格部分就叫间隔。我们把含有间隔的数学知识称为间隔问题，常见的间隔问题有楼层之间的间隔、时间中的间隔等，本课我们就一起探索一下间隔问题带给我们的奥妙。 二、间隔问题中存在着以下几个特点：(1)任意相邻的两个物体之间存在着空格部分；(2)空格部分的距离是相等；(3)物体数量比间隔个数多1;(4)间隔个数等于两个物体的序号之差。 三、1、楼梯问题中的层数即为间隔数，楼数即为序号，所以层数等于两层楼序号相减的差。 2、在爬楼梯的时间问题里，需要利用间隔找到走一层楼的时间和要走的楼层数。 3、在锯木头的问题中，锯的次数即为间隔个数，需要通过段数找到锯的次数与锯一次的时间。 4、在敲钟的时间问题中，每两下之间存在一个间隔，所以间隔个数比敲的数量少1个，找到一个间隔的时间和敲的间隔个数。 第二部分 典型例题 例题1：校门口放着一排花，共盆。从左往右数茉莉花摆在第，从右往左数，月季花摆在第， 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间。算一算，一串红花一共有多少盆？ 【答案】盆 【分析】从左往右数茉莉花摆在第，那么从右往左数茉莉花就是第[10－（6－1）]盆，即第5盆，从右往左数，月季花摆在第，从左往右数月季花就是第[10－（8－1）]盆花，即第3盆花，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：（盆）。 【详解】10－[10－（6－1）]－[10－（8－1）] ＝10－[10－5]－[10－7] ＝10－5－3 ＝2（盆） 答：一串红花一共有2盆。 【点睛】解答本题的关键是，找出月季花与茉莉花分别摆放在第几盆的位置，即一串红的左边有几盆花，右边有几盆花，即可求出它们之间可以摆放几盆一串红。 例题2：王伯伯沿教室走廊一侧放花盆，每隔2米放一盆，一共放了18盆。从第一盆到最后一盆的距离有多远？ 【答案】34米 【分析】根据间隔数＝棵树－1，总长＝间隔数×间隔长，代数解答即可。 【详解】（18－1）×2 ＝17×2 ＝34（米） 答：从第一盆到最后一盆的距离有34米。 【点睛】此题主要考查学生对植树问题的理解与应用，牢记公式，分析关系量，代入解答即可。 例题3：一个圆形花坛，周长是180米。每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花。问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？ 【答案】棵； 棵；2米或4米 【分析】①在圆形花坛上栽花，是封闭路线植树问题，其株数＝段数。② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。求两棵月季之间的株距时；要注意：相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花。所以，共可栽芍药花：（棵），共种月季花：（棵），两种花共：（棵），两棵花之间距离：（米）；相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米。 【详解】180÷6＋180÷6×2 ＝30＋60 ＝90（棵） 180÷90＝2（米） 2＋2＝4（米） 答：可栽30棵芍药，60棵月季？两棵月季之间的株距是2米或4米。 【点睛】解答本题时，把圆的周长按照6米1段的方法求解，先求出段数，再根据数量关系求解。 第三部分 高频真题 1．社区门口有一条长为100米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔10米种一棵，而且马路的两端都要种，一共需要种多少棵树？ 2．二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？ 3．同学们用盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？ 4．一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共辆，每辆车长米，前后每辆车相隔米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶米，那么这列车队要通过米长的检阅场地，需要多少时间？ 5．育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人．育英小学四年级有多少人？ 6．仪仗队原计划64名少先队员手持彩旗，在彩车周围排成一个每边二层的方阵，后来决定在方阵外面再增加一层，成为三层方阵，求需要增加多少名学生？ 7．节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了盆花，一共层，一共用去多少盆花？ 8．从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共种53棵；现在改成每隔60米种一棵树。求可余下多少棵树？ 9．同学们排成一个方阵做早操，每行9人，这个方阵一共有多少人？ 10．学校门前有条长100米的马路，马路两侧一共种了42棵树，每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且马路的两端都种了，请问：相邻两棵树之间的距离是多大？ 11．光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前后每行间隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟? 12．一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第11棵树用了11分钟，这位老爷爷如果走24分钟，应走到第几棵树？（家门口没有树） 13．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？ 14．军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？ 15．在一个周长为1000米的圆形池塘周围种树，每隔20米种1棵杨树，在每两棵杨树中间等距离的种了3棵松树，这个圆形池塘的周围共种了多少棵树？ 16．一条马路长40米，在马路的两边种树，每两棵之间的距离是8米，从头摆到尾，需要种多少棵树？ 17．在一条长480米的大路两侧每隔8米栽树（首尾都栽），现在改为每隔6米栽一棵，那么不需要移栽的树有多少棵？需要重新栽上多少棵？需要拔掉多少棵？ 18．甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4层时，乙恰好跑到3层。照这样计算，甲跑到16层时，乙跑到多少层？ 19．有一群学生排成三层空心方阵，多人，如空心部分增加两层，又少人，问有学生多少人？ 20．小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长1500米，每隔3米栽种一棵树。问：共需树苗多少株？ 21．四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵．排列这个方阵共需要多少名同学？ 22．把一根木料锯成8小段，共用了28分钟，每据一小段需要几分钟？ 23．水池周围栽种了一些树，小明和小红沿同一方向绕水池散步，边走边数树的棵数．由于两人的出发地点不同，因此小明数的第20棵在小红那儿是第7棵，小明数的第7棵在小红那儿是第94棵．问水池四周栽了多少棵树? 24．园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？ 25．大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？ 26．有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？ 27．同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外圈两层又是女同学．已知方阵中男同学是108人，问女同学是多少人？ 28．运动场上有一条长45米的跑道，跑道两边每隔5米插一面彩旗。如果两端都插，需要多少面彩旗？ 29．小明家的小狗喝水时间很规律，每隔5分钟喝一次水，第一次喝水的时间是8点整，当小狗第20次喝水时，时间是多少？ 30．某市国庆节有60000人参加游行庆祝活动，这些人被平均分成25队，每队以32人为一排．行进中，排与排之间相隔1米，队与队之间相隔6米．求这支游行队伍的长度． 31．32路公交车起点站与终点站之间的路程是3200米,如果每隔400米设一个停靠点,一共要设置多少个停靠点? 32．晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第一层走到第六层需要走多少级台阶? 33．环卫工人要在3千米的公路两旁安放垃圾桶（一端安一端不安），每150米安放一个，一共需要多少个垃圾桶？ 34．在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个行列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？ 35．校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？ 36．某市政公司计划在一条6千米的公路两旁架设电线杆（两端都架设），每相邻两根电线杆之间的距离是200米，一共要架设多少根电线杆？ 37．同学们在马路一边栽树，从马路的一头到另一头共栽了12棵树，每两棵之间相距4米，这段马路长多少米？ 38．同学们排成一个三层的空心方阵．已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？ 39．长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？ 40．参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列．如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人．问参加团体操表演的运动员有多少人？ 41．在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树，1棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？ 42．一个圆形花坛，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 43．某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？ 44．一段人行道长30米，现在要在人行道的两侧栽树，从起点开始，每隔6米栽1棵树，这段人行道共需要栽多少棵树？（两端都栽） 45．小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在至人之间，你能告诉他到底有多少人吗？ 46．明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？ 47．学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? 48．三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？ 49．学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？ 50．一队战士排成三层空心方阵多出人，如果空心部分再加一层又少人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？ 51．北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进。排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？ 52．在一条长1800米的公路两旁从头到尾每隔30米架设一盏路灯,一共需要架设多少盏路灯? 参考答案： 1．11棵. 【详解】试题分析：抓住植树棵数=间隔数+1，马路长100米，每隔10米栽一棵，则间隔数就是：100÷10=10，据此即可解答． 解：100÷10+1 =10+1 =11（棵）， 答：一共栽11棵树． 点评：本题属于植树问题，关键是植树棵数=间隔数+1，根据除法的意义求出间隔数再加1来解． 2．人 【分析】因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是人，因有人是既在他所在的行，又在他所在的列。若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，据此即可求出原来一行或一列的人数和参加健美操表演的人数。 【详解】（17－1）÷2 ＝16÷2 ＝8（人） 8×8＝64（人） 答：原来准备参加健美操表演的有64人。 【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。 3．盆 【分析】对于两层方阵，外层比内层多盆，两层共盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是：（盆），从而得出需增加的盆数：（盆）。 【详解】（64＋8）÷2＋8 ＝72÷2＋8 ＝36＋8 ＝44（盆） 答：还需44盆花。 【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一层，每层的个数就减少8个，这是解题关键。 4．265米；分秒 【分析】车队间隔共有：（个），每个间隔5米，所以，间隔的总长为：（米），而车身的总长为：30×4＝120（米），故这列车队的总长为：（米）。由于车队要行：（米），且每秒行2米，所以车队通过检阅场地需要：（秒）＝6分40秒。 【详解】（30－1）×5＋30×4 ＝145＋120 ＝265（米） （265＋535）÷2 ＝800÷2 ＝400（秒） 400秒＝6分40秒 答：这列车队共排列了265米长；列车队要通过米长的检阅场地，需要时间6分40秒。 【点睛】本题考查了植树问题的灵活应用，本题的难点是先求出30辆汽车组成的这个车队的间隔总长是多少米，然后加上车身的总长即可；知识点是：间隔数＝辆数－1，距离＝间距×间隔数。 5．230人 【分析】排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数．因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人． 【详解】（1）原来方阵中每排有：（5+26-1）÷2=15（人） （2）四年级共有：15×15+5=230（人） 答：育英小学四年级有230人． 6．44人 【详解】（64+8）÷2=36（人）   36+8=44(人)   增加人数 或  64÷4÷2+2=10(人)     (10+2)×4-4=44(人) 7．盆 【分析】不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少个，每层的花盆就少个，因此可以依次求出每层花盆的个数。最外层有花盆：（盆），第二层有：（盆），第三层有：（盆），共有：（盆）。 【详解】（12－1）×4 ＝11×4 ＝44（盆） 44＋44－2×4＋44－2×4×2 ＝44＋36＋28 ＝108（盆） 答：一共用去108盆花。 【点睛】正确理解：不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少个；这是解答此题的关键。 8．棵 【分析】从小熊家到小猪家的距离是：45×（53－1）＝2340（米），间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60＋1＝40（棵），所以可余下树： 53－40＝13（棵），综合算式为：53－[45×（53－1）÷60＋1]＝13（棵）。 【详解】53－[45×（53－1）÷60＋1] ＝53－[45×52÷60＋1] ＝53－[39＋1] ＝53－40 ＝13（棵） 答：可以余下13棵树。 【点睛】先根据植树问题求出这条路的总长度，再求出变化后植树的棵数，即可解题。 9．81人 【分析】这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少人，就是求实心方阵中布点的总数． 【详解】9×9=81（人） 答：这个方阵一共有81人． 10．5米． 【详解】试题分析：根据题意可知，是在马路两侧栽树，所以，每一旁栽树的棵数是总棵数的一半，即42÷2=21棵，那么，每一旁一共有的间隔数比栽树的棵数少1，即21﹣1=20个间隔数，然后用路长除以间隔数就是相邻两棵树之间的距离． 解：根据题意可得： 100÷（42÷2﹣1） =100÷（21﹣1） =100÷20 =5（米）． 答：相邻两棵树之间的距离是5米． 点评：植树问题，要看清是大路两侧，还是大路一旁，然后根据一旁的棵数，求出间隔数，就不难求出相邻两棵树之间的距离． 11．2分钟 【分析】125人参加运动会入场式，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么这里25行就相当于直线上的25棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全长是2×(25-1)=48米；这列队伍通过主席台，所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主席台的时间是90÷45=2分钟． 【详解】125÷5=25(行) 2×(25-1)=48（米） 48+42=90（米） 90÷45=2（分钟） 12．棵 【分析】从家门口走到第11棵树是走了11个间隔，走一个间隔所用时间是：11÷11＝1（分钟），那么走24分钟应该走了（24÷1）个间隔，所以老爷爷应该走到了第24棵树。 【详解】24÷（11÷11） ＝24÷1 ＝24（个） 答：应走到第24棵树。 【点睛】本题考查了“植树问题”，解答此题的关键是，要要清楚老爷爷走的间隔数是多少个。 13．解：8×4﹣4   =32﹣4 =28（盆） 8×8=64（盆） 答：最外层一共摆了28盆，这个方阵花坛共有64盆花   【详解】【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆8盆，可以看做每边点数为8的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解决问题． 14．要去掉13人；还剩下36人 【分析】如下图： 【详解】方法一：去掉的一行一列的人数为：7×2－1＝13（人） 剩下的人数为：7×7-13＝36（人） 方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即6×6＝36（人） 去掉的人数为：7×7-6×6＝13（人） 15．200棵 【分析】间隔总长÷间隔距离＝间隔数，植树棵数＝间隔数，由此求出1000米里有几个20米的间隔，用1000÷20即可求出一共有几棵杨树，已知在每两棵杨树中间等距离的种了3棵松树，用间隔数×3即可求出松树的棵数，最后用松树的棵数加上杨树的棵数，即可求出树的总数量。 【详解】1000÷20＝50（棵） 50×3＝150（棵） 50＋150＝200（棵） 答：这个圆形池塘的周围共种了200棵树。 【点睛】此题属于围成圆圈植树问题，掌握对应的公式是解题的关键。 16．12棵 【分析】马路一边的头尾都种树，用马路长度除以每两棵树之间的距离，求出间隔数，再用间隔数加上1，求出马路一边种树棵数。因为马路两边都种树，所以用马路一边种树棵数乘2，求出种树总棵数。 【详解】（40÷8＋1）×2 ＝（5＋1）×2 ＝6×2 ＝12（棵） 答：需要种12棵树。 【点睛】解决本题时需要注意两点，一点是马路两边都种树，另一点是头尾都种树，一边种树棵数＝间隔数＋1。 17．42棵；120棵；80棵 【分析】（1）因为8和6的最小公倍数是24，所以在距离是24米的倍数的位置上的树不用移栽，用全长除以间距再加上1，再乘2即可得出两侧不用移栽的树的棵数。 （2）用全长除以6米再加上1就是一侧重新栽后的棵树，减去不用移栽的棵树后就是需要重新栽的棵树，两侧再乘2。 （3）480米除以8米得数加上1就是原来一侧栽的棵树，减去不用移栽的棵树，就是需要拔掉的棵树，再乘2就是两侧共拔掉的棵树。 【详解】8＝2×2×2， 6＝2×3 所以8和6的最小公倍数是2×2×2×3＝24， 480÷24＝20（棵） 20＋1＝21（棵） 21×2＝42（棵） 答：不用移栽的树有42棵。 480÷6＋1＝81（棵） 81－21＝60（棵） 60×2＝120（棵） 答：需要重新栽上120棵。 480÷8＋1＝61（棵） 61－21＝40（棵） 40×2＝80（棵） 答：需要拔掉80棵。 【点睛】这是植树问题，考查了公倍数应用题，利用8和6的最小公倍数和基本的数量关系求出一边栽树的棵数是解答此题的关键，注意道路两旁首尾都栽，根据株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1； 18．11层 【分析】爬楼梯问题，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算．因为第一层楼是不用爬的，（楼层数－1）才是要走的楼梯段数。根据题意“甲跑到4层时，乙恰好跑到3层”，实际是说甲跑（4－1）段楼梯，与乙跑（3－1）段楼梯时间相同。照这样计算，甲跑到16层时，也就是跑了（16－1）段楼梯，应是跑（4－1）段楼梯所用时间的5倍，在同一时间乙跑的楼梯段数也是他跑（3－1）段楼梯的5倍，也就是这时他跑了10段楼梯，即他跑到了第10＋1＝11层楼。 【详解】4－1＝3（段） 3－1＝2（段） 15÷3×2 ＝5×2 ＝10（段） 10＋1＝11（层） 答：乙跑到11层。 【点睛】楼梯的问题就是“植树问题”，两端都是层数，相当于两端都植树，间隔＝树的棵数－1，对应的爬的楼梯的段数＝层数－1。 19．人 【分析】增加的两层人数为：（人），这两层人数之差是人，因此最里层有：（人），现在的方阵共层，那么最外层有：（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数是人。 【详解】（9＋15－8）÷2 ＝16÷2 ＝8（人） 8＋8×4 ＝8＋32 ＝40（人） 40÷4＋1＝11（人） （11－5）×5×4－15 ＝6×5×4－15 ＝120－15 ＝105（人） 答：有学生105人。 【点睛】找出最外层的人数是解答此题的关键。 20．株 【分析】因为圆形池塘是一个封闭的模型，可以直接运用公式：棵数＝段数＝周长÷株距，即可求出树苗有株数。 【详解】1500÷3＝500（株） 答：共需树苗500株。 【点睛】熟练封闭线路植树问题的解题方法，是解答此题的关键。 21．64名 【分析】这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数．排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点．求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？ 【详解】8×8=64（人） 答：排列这个方阵，共需要64名同学． 22．4分钟 【分析】锯木料同植树问题一样，锯的次数与植树棵树一样，属于两端都不植，所以锯的次数比段数少1，就是说锯成8段，实际是锯了8－1＝7次，7次共用28分钟，1次用28÷7，计算即可。 【详解】28÷（8－1） ＝28÷7 ＝4（分） 答：每据一小段需要4分钟。 【点睛】本题考查的是“植树问题”类型题目，关键要明白锯成8段是锯了7次。 23．100棵 【详解】小红在小明的前方20－7＝13棵树的地方，所以小红数的第94棵数在小明数来应该是第94+13＝107棵，但现在小明数的是第7棵，所以一周栽有107－7＝100棵树或者100能除开的数，但是有第94棵树，所以水池四周栽了100棵树． 24．210米 【分析】本题是两端都栽的植树问题，一侧的植树棵数－1＝间隔数，已知每两棵树的间隔是6米，用间隔数乘间隔距离即可求出从第一棵到最后一棵的距离。 【详解】6×（36－1） ＝6×35 ＝210（米） 答：从第一棵到最后一棵的距离是210米。 【点睛】本题主要考查了植树问题的灵活应用，掌握相关公式是解答本题的关键。 25．棵 【分析】根据“棵数＝间隔数＋1，距离÷间距＝间隔数”可知，每隔4米种一棵树，在一条长400米的路的一边从头到尾，可以种（400÷4＋1）棵树。 【详解】400÷4＋1 ＝100＋1 ＝101（棵） 答：一共可以种101棵树。 【点睛】本题考查了植树问题，根据“棵数＝间隔数＋1，距离÷间距＝间隔数”即可解题。 26．144盆 【详解】由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48－8＝40盆，第三层有花40－8＝32盆，第四层有花32－8＝24盆．这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数．因此一共摆了48＋40＋32＋24＝144盆． 答：一共摆了144盆． 27．148人 【分析】我们可以把这个团体分解成三个方阵：3层的男生空心方阵，里面的女生实心方阵，外面的2层女生空心方阵．女同学的人数就是两个女生方阵的人数之和． 【详解】先由男生总人数，求出3层的男生空心方阵外层一边的人数：108÷4÷3+3=12（人） 因为每向里一层,每条边上的人数就少2，所以： （1）里面女生实心方阵每行人数为：12-3×2=6（人），总人数为：6×6=36（人）； （2）外面2层女生空心方阵最外层每边人数为：12+2×2=16（人），总人数为：（16-2）×2×4=112（人）； 女同学总人数为:112+36=148(人)． 28．20面 【分析】由题可知，跑道总长45米，每段长度是5米，即已知跑道的总长和段长，求整条跑道一共可以分成多少段（段数），段数＝总长÷段长；两端都插，则旗数比段数多1，求出一侧的彩旗数还要乘才求出一共需要的彩旗数量，据此解答。 【详解】段数：45÷5＝9（段） 9＋1＝10（面） 10×2＝20（面） 答：需要插20面彩旗。 【点睛】本题考查植树问题，熟练掌握段数＝总长÷段长、两端都插，则旗数比段数多1，是解答本题的关键。 29．时分 【分析】第20次喝水与第1次喝水之间有间隔：（个），因为小狗每隔5分钟喝一次，所以到第20次喝水中间间隔的时间是：（分钟），也就是1个小时35分钟，所以小狗第20次喝水时时间是：9时35分。 【详解】（20－1）×5 ＝19×5 ＝95（分钟） 95分＝1小时35分钟 8时＋1时35分＝9时35分 答：小狗第20次喝水时，时间是9时35分。 【点睛】根据植树问题可知：间隔数＝喝水次数－1，距离＝间距×间隔数；由此解题即可。 30．1994米 【详解】每队有60000÷25＝2400人，所以每队有2400÷32＝75排，于是每队排排之间有74个间隔，即每队长74×1＝74米． 但是每队之间又间隔6米，25队有24个间隔，即24×6＝144米，那么这只游行队伍的长度为74×25+144＝1994米． 31．7个 【详解】3200÷400-1=7(个) 32．90级 【详解】从第一层到第三层只需要走2段台阶，即每段台阶36÷2＝18级，而从第一层走到第六层需要走5段台阶，所以需走18×5＝90级台阶． 33．40个 【详解】3千米=3000米，3000÷150=20(个)   20×2=40（个） 答：一共需要40个垃圾桶． 34．64人；36人 【分析】10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50~100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人。 【详解】10×10＝100（人） 8×8＋6×6 ＝64＋36 ＝100（人） 答：大方阵有64人，小方阵有36人。 【点睛】根据数据多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，熟记一些简单的平方数是解答此题的关键。 35．10人；人 【分析】根据“每边人数＝四周人数÷4＋1”，求出最外层每边人数；再根据“实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”，求出这个方阵共有三年级学生的人数。 【详解】36÷4＋1 ＝9＋1 ＝10（人） 10×10＝100（人） 答：方阵外层每边有10人，这个方阵共有三年级学生100人。 【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，“每边人数＝四周人数÷4＋1、实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。 36．62根 【分析】两端都架设，电线杆的根数＝段数＋1，公路总长÷间距＋1，先求出公路一侧的电线杆数量，再乘2即可。 【详解】6千米＝6000米 （6000÷200＋1）×2 ＝（30＋1）×2 ＝31×2 ＝62（根） 答：一共要架设62根电线杆。 【点睛】关键是根据植树问题的解题思路，理解电线杆数量和段数之间的关系。 37．44米 【分析】由题意可知，从路的一头开始栽树，由于单独的第一棵树没有间隔，只有从第二棵树开始才有1个间隔，栽第三棵树时有2个间隔，以此类推，12棵树一共有11个间隔，而两棵树之间的间隔是4米，用间隔的总数乘间隔的距离即可得出马路的总长，列式计算即可。 【详解】（12－1）×4 ＝11×4 ＝44（米） 答：这段马路长44米。 【点睛】本题主要考查植树问题，关键在于明确马路两头栽不栽树，根据栽树的总数确定栽树的间隔总数，进而列式计算得出结论。 38．84人 【分析】要求出这个方阵有多少人，就要先求出这个方阵最外层每边多少．已知最内层每边有6人，又知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（3-1）×2人，即10人．又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数-层数）×层数×4，即可求出这个方阵共有多少人． 【详解】[6+（3-1）×2-3]×3×4=84（人） 答：这个方阵共有84人． 39．根 【分析】根据题意，画出涂色示意图如下；由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点。而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍。最后（100－30×3）厘米也可以得一个短木棍，故4厘米的短木棍共有：（根）。 【详解】画出涂色示意图如下： 可知，每（5×6）厘米里可以锯2个4厘米的短木棍； 100÷30＝3（个）……10（厘米） 剩下的10厘米还可以锯出1个4厘米长的短木棍。 2×3＋1＝7（根） 答：长度是4厘米的短木棍有7根。 【点睛】由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点，这是解题的关键。画涂色示意图发现，这是一个周期为5与6最小公倍数的周期问题。 40．289人 【分析】方阵问题的核心是求最外层每边人数． 【详解】去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17人，方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17＝289（人）． 41．解：100÷2+1=51（棵） 51÷3=17（个周期） 柳树：17×1×2=34（棵） 杨树：17×2×2=68（棵） 34+68=102（棵） 34÷102= 68÷102= 答：柳树占植树总数的，杨树占植树总数的． 【详解】周期性问题 先考虑在公路一侧栽树的情况，两端都要栽，栽树的棵数=间隔数+1；再把3棵树看作一个周期，求出一侧植树的总棵数包含几个周期，进而分别求得两种树的棵数，再乘2求得两侧栽的棵数，最后分别用柳树、杨树的棵数除以植树总数即可． 42．157盏 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出环形石子小路的周长；再用周长除以0.4，即可求出一共要装多少盏地灯。 【详解】3.14×（9＋1）×2÷0.4 ＝3.14×10×2÷0.4 ＝31.4×2÷0.4 ＝62.8÷0.4 ＝157（盏） 答：一个要装157盏地灯。 【点睛】利用圆的周长公式以及植树问题进行解答；关键明确在封闭线路上植树，间隔数＝植树棵数。 43．人 【分析】根据题意，后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排的交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数是：（人），因此可以求出总人数：（人）。 【详解】（17＋1）÷2 ＝18÷2 ＝9（人） 9×9＝81（人） 答：现共有战士81人。 【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。 44．12棵 【详解】略 45．人 【分析】方阵总人数的特点：它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是：总数是从开始若干个连续自然数的和，我们只要在的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数。由于队伍可以排成方阵，在至人的范围内人数可能是：6×6＝36（人），或是：（人），又因为： 36＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8，49＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋4，所以总人数是36人。 【详解】根据分析可知： 6×6＝36（人），36＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8，符合题意； 7×7＝49（人），49＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋4，不符合题意，舍去。 答：这个体操表演队伍有36人。 【点睛】解答此题的关键是，理解方阵和正三角形实心队列的特征。 46．这个方阵最里层一周有40个棋子；摆这个中空方阵共用144个棋子 【分析】（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数． （2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘层数，再乘4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个． 【详解】（1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1）×4=40（个） （2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3）×3×4=144（个） 答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子． 47．256人 【分析】方阵问题的核心是求最外层每边人数．根据四周人数和每边人数的关系可知： 每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了． 【详解】方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人） 48．9人；81人 【分析】根据“四周人数＝（每边人数－1）×4”可得：每边人数为：（四周人数＋4）÷4＝每边人数，求出每边的人数，再根据“总人数＝每边人数×每边人数”，即可求出这个方阵的总人数。 【详解】（32＋4）÷4 ＝36÷4 ＝9（人） 9×9＝81（人） 答：这个方阵共有三年级学生81人。 【点睛】熟练掌握方阵问题的解题方法，是解答此题的关键。 49．144人 【详解】解：（23+1）÷2=12（人） 12×12=144（人） 或 （23-1）÷2+1=12（人） 12×12=144(人)……高年级人数 50．人；人 【分析】把多余的人放在方阵内部还少人，可见方阵内部增加一层，需要：（人），因此向外三层的每层人数都可以求出。从内向外每层人数依次是：第一层：（人），第二层：（人），第三层：（人），总人数：（人），因为，所以排成实心方阵每边有人。 【详解】（16＋28＋8）＋（16＋28＋2×8）＋（16＋28＋3×8）＋16 ＝52＋（16＋28＋16）＋（16＋28＋24）＋16 ＝52＋60＋68＋16 ＝196（人） 196＝14×14 答：这队战士共有196人，如果他们改成实心方阵，每边应有14人。 【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一层，每层的个数就减少8个，据此求出总人数即可解题。 51．5071米 【分析】不封闭型植树问题，相当于植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长。注意段数比树的株数少1。 【详解】每队的人数是：60000÷25＝2400（人） 每队可以分成的排数是：2400÷12＝200（排） 200排的全长米数是：1×（200－1）＝199（米） 25个队的全长米数是：199×25＝4975（米） 25个队之间的距离总米数是：4×（25－1）＝96（米） 游行队伍的全长是：4975＋96＝5071（米） 答：游行队伍全长5071米。 【点睛】将实际问题抽象出数学模型中的植树问题模型是解决本题的关键。 52．122盏 【详解】1800÷30+1=61(盏)　61×2=122(盏) 学科网（北京）股份有限公司 $$