5.1.1 方程 课时1 课件 2024-2025学年人教版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 七上数学 RJ 5.1.1 从算式到方程 课时1 5.1 方程 1.通过对现实情境中数量关系的分析，感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，初步形成模型观念. 2.理解方程的意义，会根据实际情境列方程. 学习目标 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km 的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km. 多长时间后，甲队在途中追上乙队? 课堂导入 (3-1)÷(1.2-0.8)=5 (时) 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗? 思考 如果用方程解决本题，什么是已知的，什么是未知的呢？ 知识点1 方程的定义 新知探究 在这个问题中，甲、乙两队的行进速度是已知的，甲、乙两队到大本营的距离也是已知的，行进的时间和路程是未知的. 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km 的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队? 大本营 一号营地 二号营地 峰顶 甲 1.2 km/h 乙 0.8 km/h 1km 3km 追上地点 1.2x 用图展示更加直观. 0.8x 甲队距大本营的路程：(1.2x+1) km 乙队距大本营的路程：(0.8x+3) km 知识点1 方程的定义 新知探究 如果设两队行进的时间为x h， 想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？ 甲队追上乙队时，他们距大本营的路程相等. 知识点1 方程的定义 新知探究 甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程. 1.2x+1=0.8x+3. 用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数.而列方程时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数.这就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系. 问题1 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x-5)元. 知识点1 方程的定义 新知探究 3x=4(x-5). 等量关系是什么呢? 3个大水杯的总价= 4个小水杯的总价. 根据“单价×数量=总价”，列得方程 由这个含有未知数 x 的等式可以求出大水杯的单价，进而可以求出小水杯的单价. 问题1 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 设小水杯的单价为x元，那么大水杯的单价为(x+5)元. 知识点1 方程的定义 新知探究 3(x+5)=4x. 若将小水杯的单价设为x元，你会列方程吗？ 3个大水杯的总价= 4个小水杯的总价. 由这个含有未知数 x 的等式可以求出小水杯的单价，进而可以求出大水杯的单价. 如果设这枚纪念币的长为x mm，则纪念币的宽可以表示为x mm. 依据长方形的面积公式，可得 问题2 右图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4 000 mm2. 长和宽的比为8:5（即宽是长的）.这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 知识点1 方程的定义 新知探究 x2 =4 000. 由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的长，进而可以求出纪念币的宽. 知识点1 方程的定义 新知探究 1.2x+1=0.8x+3 3x=4(x-5) x2 =4000 3(x+5)=4x 观察 上面得到的这些等式有什么共同点呢？ 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 注意 方程必须具备两个条件： (1)是等式；(2)含有未知数. 两者缺一不可. 知识点1 方程的定义 新知探究 例1 已知下列式子：+8=3；12-x；2x-3y=3；x+1=2x+1；3a2=10；2+5=7；x-1≠0； =1 ；xy=1. 其中方程的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：12-x，x-1≠0不是等式，所以它不是方程； 2+5=7是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； +8=3 , 2x-3y=3, x+1=2x+1, 3a2=10, =1, xy=1都符合方程的定义，所以都是方程. 未知数的个数不一定是一个 未知数也可以用其他字母表示 D 知识点1 方程的定义 新知探究 跟踪训练 判断下列各式哪些是方程？是的标记“√”，不是的标记“×”. （1） 5x+3y-6x=37. （ ）（2） 4x-7. （ ） （3） 5x≥3. （ ）（4） 6x2+x-2=0. （ ） （5） 1+2=3. （ ）（6）m=11. （ ） 知识点1 方程的定义 新知探究 13 李善兰(1811-1882) 溯源 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题.我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”.19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation (指含有未知数的等式)一词译为“方程”. 知识点1 方程的定义 新知探究 知识点1 方程的定义 新知探究 用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只含有已知数，不含未知数；而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，这为解决许多问题带来了方便通过今后的学习， 你会逐步认识到：从算式到方程是数学的一大进步. 知识点2 列方程 新知探究 例2 根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ 解：(1)设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x. 列得方程 0.52x-(1-0.52)x=80. 相等关系是什么？ 女生人数-男生人数=80. 知识点2 列方程 新知探究 例2 根据下列问题，设未知数并列出方程： (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长. 解： (2)设正方形绿地的边长为x m. 列得方程 x(x+5)=500. x2+5x=500. 相等关系是什么？ x x+5 扩大后的绿地面积=长×宽. 知识点2 列方程 新知探究 跟踪训练 根据问题，设未知数并列出方程： 甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元. 用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ 解：设买甲种铅笔x支，则买乙种铅笔(15-x)支. 由题意得， 1.4x+1.8(15-x)=23. 甲种铅笔总价+乙种铅笔总价=23. 甲种铅笔数量+乙种铅笔数量=15. 准确找出相等关系是列方程的关键，一般可以从以下几个方面入手： (1) 根据周长、面积、体积等公式列方程； (2) 根据题目中的不变量确定相等关系； (3) 根据关键词确定相等关系，如和差关系通常用“一共有……”“比……多……”“比……少……”表示，倍数关系通常用“是……的几倍”表示. 知识点2 列方程 新知探究 知识点2 列方程 新知探究 归纳 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 这个过程可以表示如下： 设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系 实际问题 方程 随堂练习 1. 下列等式中，是方程的是（ ） ①3+6=9；②2x-1；③ x+1=5； ④3x+4y=12； ⑤5x2+x=3. A.①②③④⑤ B.①③④⑤ C.②③④⑤ D.③④⑤ D 不含未知数. 不是等式. 随堂练习 2.根据问题，设未知数并列出方程： （1）有两条电线，第一条长90 m,第二条长40 m. 要从第一条裁下一段接在第二条上，使两条电线长度相等.求截下的那段电线的长度（两条电线接头部分的长度忽略不计）. 解：设截下的那段电线的长度为x m， 则 90-x=40+x. 随堂练习 2.根据问题，设未知数并列出方程： （2）某圆环形状的工件如图所示，它的面积是200 cm2，外沿大圆的半径是10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？ 解：设小圆半径为x cm, 则 π(102-x2)=200. 随堂练习 2.根据问题，设未知数并列出方程： （3）某校七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人，这个班有男生多少人？ 解：设这个班有男生x人，则有女生(x+3)人. 由题意得，x+（x+3）=48. 24 随堂练习 2.根据问题，设未知数并列出方程： （4）小明从家到学校时，每小时行5千米，按原路返回家时，每小时行4千米，结果返回的时间比去学校的时间多花10分钟，小明家到学校有多远？ 解：设小明家离学校x千米， 则. 课堂小结 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 方程的定义： 含有未知数的等式叫作方程. 方程 $$