第09讲 直线的方程（十大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第09讲 直线的方程 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 知识点八：直线方程的综合应用 1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 【典例例题】 题型一：点斜式直线方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的点斜式方程为 ． 【变式1-1】（2024·高二·四川乐山·期中）平面直角坐标系中，过点，且倾斜角α满足，则直线的点斜式方程为 . 【变式1-2】（2024·高二·新疆和田·期中）过点，且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为 题型二：斜截式直线方程 【典例2-1】（2024·高二·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 【变式2-1】（2024·高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 题型三：两点式直线方程 【典例3-1】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【典例3-2】（2024·高二·上海金山·阶段练习）已知，，则直线的两点式方程为 ． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为 ． 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 题型四：截距式直线方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ． 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（    ） A．x＝3 B．y＝－5 C．2y＝x D．x＝4y－1 【变式4-1】（2024·高二·湖北十堰·期末）若直线与垂直，则的方程的截距式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：中点坐标公式 【典例5-1】（2024·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为__________. 【典例5-2】（2024·高二单元测试）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______． 【变式5-1】（2024·江苏南通·高二统考期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为___________. 【变式5-2】（2024·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为______. 题型六：直线的一般式方程 【典例6-1】（2024·高二·云南昭通·期中）过点且方向向量为的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）若直线过两点，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高三·广东·阶段练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·高二·北京西城·期末）已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 题型七：直线方程的综合应用 【典例7-1】（2024·高二课时练习）当直线方程的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？ (1)过坐标原点； (2)与两条坐标轴都相交； (3)只与x轴相交； (4)是x轴所在直线； (5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成． 【典例7-2】（2024·高一·河北石家庄·期末）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 【变式7-1】（2024·高二·安徽六安·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式7-2】（2024·高二·浙江绍兴·期中）已知中，，，.求： (1)中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程； (2)BC边的中线所在直线的截距式方程. 【变式7-3】（2024·高二·上海·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，.求: (1)边的中线所在直线的方程； (2)边的中垂线所在的直线的方程. 【变式7-4】（2024·高二·广东广州·期中）已知分别过定点的直线，与轴交于点 (1)若为中，边上的高所在直线，求边上的中线所在直线方程； (2)若为中，边上的中线所在直线，求边上的高所在直线方程． 【变式7-5】（2024·高二·江苏无锡·期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 题型八：判断动直线所过定点 【典例8-1】（2024·高二·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高二·天津武清·阶段练习）已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·高二·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·高二·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 【典例9-1】（2024·高二·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【典例9-2】（2024·高二·贵州·阶段练习）已知直线的方程为. (1)证明：不论为何值，直线过定点. (2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程. 【变式9-1】（2024·高二·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 【变式9-2】（2024·高二·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【变式9-3】（2024·高一·黑龙江鸡西·期末）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 题型十：直线方程的实际应用 【典例10-1】（2024·高二校考课时练习）如图所示，某县相邻两镇在同一平面直角坐标系下的坐标为，一条河所在的直线方程为 ，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最短，问供水站P应建在什么地方?    【过关测试】 1．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·全国·课后作业）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 3．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）斜率为，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·北京·期中）若点与的中点为，则直线必定经过点（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·甘肃白银·期中）直线经过定点A，则点A的横坐标与纵坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2024·高二·全国·课后作业）若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为 . 7．（2024·高二·四川眉山·阶段练习）已知直线l经过点A.且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的斜截式方程为 . 8．（2024·高二·全国·课后作业）过点，且斜率为的直线的斜截式方程为 ． 9．（2024·高二·上海·期中）已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 10．（2024·高二·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 11．（2024·高二·江苏·假期作业）已知在第一象限的 中， 求边所在直线的点斜式方程. 12．（2024·高二·全国·课后作业）求过点，倾斜角等于的倾斜角的一半的直线的点斜式方程． 13．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线l过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程. 14．（2024·高二·全国·课后作业）求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 15．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 16．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 17．（2024·高二·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 18．（2024·高二·江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)； (2)A(2, 1), B(0, －3)； (3)A(0, 5), B(4, 0). 19．（2024·高二·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 20．（2024·高二·广东东莞·阶段练习）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 21．（2024·高二·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 22．（2024·高二·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 23．（2024·高二·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 24．（2024·高二·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 25．（2024·高二·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 26．（2024·高二·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，. (1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形； (2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程. 27．（2024·高一·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 28．（2024·高二·江苏宿迁·期中）设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 29．（2024·高二·广东清远·期中）已知直线. (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 30．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知直线． (1)求证：无论为何值，直线恒过定点； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线的方程 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 知识点八：直线方程的综合应用 1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 【典例例题】 题型一：点斜式直线方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【解析】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【解析】因为所求直线得倾斜角为，所以，该直线的斜率为， 又因为该直线过点，所以直线的点斜式方程为． 故答案为：． 【变式1-1】（2024·高二·四川乐山·期中）平面直角坐标系中，过点，且倾斜角α满足，则直线的点斜式方程为 . 【答案】 【解析】因为，且，解得或，因为，所以，即，所以，即直线的斜率，所以直线方程为， 故答案为： 【变式1-2】（2024·高二·新疆和田·期中）过点，且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为 【答案】 【解析】因为， 所以过点，且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为: . 故答案为： 题型二：斜截式直线方程 【典例2-1】（2024·高二·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【解析】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 【答案】 【解析】设所求直线斜率为k，则， 即，又在y轴上的截距为4， 则直线为，与y轴交点为. 故答案为：；. 【变式2-1】（2024·高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：. 题型三：两点式直线方程 【典例3-1】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 【典例3-2】（2024·高二·上海金山·阶段练习）已知，，则直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】当直线过两点，时，其两点式方程为， 则直线的两点式方程为， 故答案为：. 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】过点，直线的两点式方程为 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 【答案】 【解析】易得直线过，故l的斜率为. 故答案为： 题型四：截距式直线方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ． 【答案】 【解析】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3.由截距式可知，方程为. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（    ） A．x＝3 B．y＝－5 C．2y＝x D．x＝4y－1 【答案】B 【解析】直线的斜截式方程为， 所以B选项是斜截式方程，ACD选项不是斜截式方程. 故选：B 【变式4-1】（2024·高二·湖北十堰·期末）若直线与垂直，则的方程的截距式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由两直线垂直，求出，再将的方程化为截距式即可.因为与垂直，所以， 解得， 则的方程为，即. 故选：C. 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的方程为，则的面积为①． 因为直线过点，所以②． 联立①②，解得，， 故直线的方程为， 故选：A． 题型五：中点坐标公式 【典例5-1】（2024·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】设点､， 由中点坐标公式得：， 解得：，， 由直线过点､， 直线的方程为：， 即. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二单元测试）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】设直线与和，分别交于点和， 因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得， 所以和，则， 可得直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式5-1】（2024·江苏南通·高二统考期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为___________. 【答案】 【解析】在平面直角坐标系中，， 则为直角三角形，且为斜边， 故. 故答案为： 【变式5-2】（2024·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为______. 【答案】 【解析】因为点，，线段PQ的中点为， 所以，所以， 所以， 所以直线PQ的方程为，即， 故答案为：. 题型六：直线的一般式方程 【典例6-1】（2024·高二·云南昭通·期中）过点且方向向量为的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，直线的方向向量为，则其斜率，直线方程为， 即方程为， 故选：C. 【典例6-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线的倾斜角可得直线的斜率， 所以直线的方程为，即直线的一般方程为：. 故选：D. 【变式6-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）若直线过两点，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线过两点， 所以直线的方程为，即， 故选：A 【变式6-2】（2024·高三·广东·阶段练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然为直角三角形，且为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设的中点为，由， 所以，由 所以的方程为， 所以欧拉线的一般式方程为. 故选：C. 【变式6-3】（2024·高二·北京西城·期末）已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为， 因为直线过点，所以，得， 所以直线方程为， 故选：B. 题型七：直线方程的综合应用 【典例7-1】（2024·高二课时练习）当直线方程的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？ (1)过坐标原点； (2)与两条坐标轴都相交； (3)只与x轴相交； (4)是x轴所在直线； (5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成． 【解析】（1）将代入得， 当且不同为方程表示过坐标原点的直线； （2）直线与两条坐标轴都相交说明横纵截距都存在， 当且时直线过原点满足条件， 当时，令时，令时， 所以都不为0， 综上所述，时直线与两条坐标轴都相交； （3）直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可， 因此直线方程可化成形式， 故且； （4）x轴的方程为，因此方程中时 方程表示的直线是x轴所在直线； （5）因为为直线上一点，所以， 所以， 所以方程可化为， 即， 所以这条直线的方程可以写成． 【典例7-2】（2024·高一·河北石家庄·期末）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【解析】容易知道动直线过定点为， 由可得，所过定点为， 由可知两条动直线互相垂直，即，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A 【变式7-1】（2024·高二·安徽六安·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 【变式7-2】（2024·高二·浙江绍兴·期中）已知中，，，.求： (1)中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程； (2)BC边的中线所在直线的截距式方程. 【解析】（1）由题意中点为，， 所求中位线所在直线方程为，整理得． （2）由已知边中点为，直线的斜率为， 直线方程为，整理得截距式方程为． 【变式7-3】（2024·高二·上海·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，.求: (1)边的中线所在直线的方程； (2)边的中垂线所在的直线的方程. 【解析】（1）因为，，， 所以的中点，所以， 则边的中线所在直线的方程为，即； （2）因为直线的方程为，且线段的中点， 所以边的中垂线所在的直线的方程为，即. 【变式7-4】（2024·高二·广东广州·期中）已知分别过定点的直线，与轴交于点 (1)若为中，边上的高所在直线，求边上的中线所在直线方程； (2)若为中，边上的中线所在直线，求边上的高所在直线方程． 【解析】（1）由可得直线恒过定点， 由可得：， 则，则直线恒过定点， 令中，所以，所以， 因为为边上的高所在直线，所以，解得：. 所以，，所以的中点为，又因为， 所以边上的中线所在直线方程为：，即. （2）为边上的中线所在直线，因为，， 所以的中点为，即， 因为在上，所以，解得：， 解得：或， 当时，，，，， 所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：， 当时，，，，， 所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：， 所以边上的高所在直线方程为或. 【变式7-5】（2024·高二·江苏无锡·期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【解析】（1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为，即. （2）由点在轴上，设，则线段的中点， 由点在直线上，得，得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为. 题型八：判断动直线所过定点 【典例8-1】（2024·高二·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 【典例8-2】（2024·高二·天津武清·阶段练习）已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线可化为： ， 故直线过定点， 故选：D. 【变式8-1】（2024·高二·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点. 故选：C. 【变式8-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 代入直线方程中， 得，即， 令，解得， 所以该直线必过定点. 故选：D 【变式8-3】（2024·高二·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 【典例9-1】（2024·高二·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【解析】（1）直线方程为， 可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为 （2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且， 可设直线方程为可得与轴､轴的负半轴交于，两点，∴，，解得. ∴， 当且仅当时取等号，面积的最小值为4， 此时直线的方程为：，即：. 【典例9-2】（2024·高二·贵州·阶段练习）已知直线的方程为. (1)证明：不论为何值，直线过定点. (2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程. 【解析】（1）证明：直线的方程， 可整理为. 由，解得， 所以直线过定点. （2）由（1）知，直线过定点， 设过点且与直线垂直的直线方程为， 令，则. 令，则. 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【变式9-1】（2024·高二·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 【解析】（1）当直线过原点时，设，因为点在上，所以，即， 此时直线的方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为，点在上，，即， 此时直线的方程为， 综上所述：直线的方程为或； （2）设，，，，则的方程为， 点在上，故， ，当且仅当，即时等号成立， 故当时，取得最小值且最小值为． 【变式9-2】（2024·高二·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【解析】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 【变式9-3】（2024·高一·黑龙江鸡西·期末）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 【解析】（1）将整理成， 令，解得，所以定点P为， 故不论a为何值，直线l必过一定点． （2）由题意知，，，则， 所以面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，面积最小， 此时， 所以的周长为， 直线方程为，即． 故当面积最小时，的周长为，此时直线方程为． （3）因为直线l在两坐标轴上的截距均为正整数， 所以不妨设，则， 又a也为正整数，所以，即，所以或4， 当时，，此时， 所以直线l的方程为，即； 当时，，不符合题意，舍去， 综上所述，直线l的方程为． 题型十：直线方程的实际应用 【典例10-1】（2024·高二校考课时练习）如图所示，某县相邻两镇在同一平面直角坐标系下的坐标为，一条河所在的直线方程为 ，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最短，问供水站P应建在什么地方?    【解析】如图，作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，若点（异于点P）在直线l上，连接，，，    则， 所以供水站建在点P处时，到A，B两镇所使用的管道最省， 设，则的中点在l上，且， 即，解得，即， 所以， 所以直线的方程为，即 ， 联立方程，解得， 所以点P的坐标为， 所以供水P应建在点处． 【过关测试】 1．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 2．（2024·高一·全国·课后作业）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三顶点坐标为， 又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：， 则直线的两点式方程为：，故截距式方程为. 故选：A． 3．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）斜率为，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线在轴上的截距为2，直线经过点(2,0)， 又直线的斜率为，由直线的点斜式方程得直线的方程为,即， 故选：C. 4．（2024·高二·北京·期中）若点与的中点为，则直线必定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则， 所以直线方程为， 所以经过定点， 故选：A 5．（2024·高二·甘肃白银·期中）直线经过定点A，则点A的横坐标与纵坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，得， 令得 所以点A的横坐标与纵坐标之和为． 故选：B 6．（2024·高二·全国·课后作业）若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为 . 【答案】 【解析】因为直线l的倾斜角为，所以，又因为直线在y轴上的截距为， 所以直线方程为：. 故答案为：. 7．（2024·高二·四川眉山·阶段练习）已知直线l经过点A.且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的斜截式方程为 . 【答案】 【解析】由知此直线的斜率为，设直线的倾斜角为，所以，设直线l的倾斜角为，所以，斜率为，代入点斜式即可得解.由知此直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 可得，所以， 设直线l的倾斜角为， 则，斜率为， 根据点斜式可得：， 整理可得：. 故答案为：. 8．（2024·高二·全国·课后作业）过点，且斜率为的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】直线的点斜式方程为：，整理可得其斜截式方程为. 故答案为：. 9．（2024·高二·上海·期中）已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【解析】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为2， 可得所求直线方程为，即. 故答案为： 10．（2024·高二·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 【解析】（1）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得， 直线的点斜式方程为； （2）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 （3）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 11．（2024·高二·江苏·假期作业）已知在第一象限的 中， 求边所在直线的点斜式方程. 【解析】因为直线为水平直线， 所以， 故边所在直线的点斜式方程为. 12．（2024·高二·全国·课后作业）求过点，倾斜角等于的倾斜角的一半的直线的点斜式方程． 【解析】直线的斜率为，倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角为，斜率为， 由直线过点，则直线的点斜式方程为. 13．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线l过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程. 【解析】∵直线的斜率为， ∴直线的倾斜角为， ∵直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， ∴直线l的倾斜角为，即直线l的斜率为， 又直线l过点， ∴直线l的点斜式方程为. 14．（2024·高二·全国·课后作业）求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 【解析】因为直线的斜率为，所以该直线倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角为，其斜率为， 所以所求直线的点斜式方程为． 15．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【解析】设直线方程为，则令得；令得， 由题意得，即，所以， 所以直线l的方程为或. 16．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【解析】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为直线与轴的交点到坐标原点的距离为， 所以，直线在轴上的截距为， 故直线的斜截式方程为或. 17．（2024·高二·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【解析】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为. （2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率. 所以该直线的斜截式方程为. 18．（2024·高二·江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)； (2)A(2, 1), B(0, －3)； (3)A(0, 5), B(4, 0). 【解析】（1）直线的两点式方程为. （2）直线的两点式方程为. （3）直线的两点式方程为. 19．（2024·高二·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【解析】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 20．（2024·高二·广东东莞·阶段练习）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 【解析】（1）依题意，直线的方程为：，即， 所以直线的截距式方程为. （2）由直线与垂直，得直线的斜率为，由（1）知，直线在y轴上的截距为， 于是直线的方程为，即， 所以直线的截距式方程为. 21．（2024·高二·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【解析】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 22．（2024·高二·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【解析】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 23．（2024·高二·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 【解析】（1）因为，， 所以边所在直线的斜率为，且， 所以边所在直线的方程为，即. （2）因为，，所以的中点为， 又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. 24．（2024·高二·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【解析】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 25．（2024·高二·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【解析】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以； （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 26．（2024·高二·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，. (1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形； (2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程. 【解析】（1）如图所示， 因为四边形是平行四边形，所以， 设，则，解得，所以， 又因为，所以，所以， 所以四边形是矩形； （2），所以直线， 即 ； 设的角平分线与轴交于点，求得， 所以，又为角平分线，所以， 所以倾斜角， 所以斜率， 所以直线，即. 27．（2024·高一·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【解析】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最大值， 此时直线的方程为，即. 28．（2024·高二·江苏宿迁·期中）设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 【解析】（1）因为直线， 所以，对恒成立， 从而由，解得，从而直线过定点. （2）由题意设， 因为直线过定点，所以， 与两坐标轴的正半轴的截距之和为， ，当且仅当， 即时等号成立， 从而的方程为，即. 29．（2024·高二·广东清远·期中）已知直线. (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）直线，可化为 故直线过定点. （2）由（1）得直线过定点， 又直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点则， 令，得,所以， 令得所以， 所以 ， （当且仅当即时等号成立，） 此时直线的方程是即 30．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知直线． (1)求证：无论为何值，直线恒过定点； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程． 【解析】（1）直线可化为，故过定点， 所以无论为何值，直线恒过定点； （2）因为直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，所以， 则中取得，取得， ， 当且仅当时，即时取“＝”， 所以的最小值为4，直线的方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$