第08讲 直线的倾斜角与斜率（七大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第08讲 直线的倾斜角与斜率 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 知识点四：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则． 知识点五：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 【典例例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 【典例1-1】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·浙江·期中）若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·河南洛阳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·河南·开学考试）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．0 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 【典例2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高二·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【变式2-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-3】（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例3-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【典例3-2】（2024·高二·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【变式3-1】（2024·高二·上海宝山·阶段练习）已知直线过点，则直线的斜率为 ． 【变式3-2】（2024·高二·四川眉山·期中）若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 【变式3-3】（2024·高二·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【变式3-4】（2024·高二·山东·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数 . 【变式3-5】（多选题）（2024·高二·河南焦作·阶段练习）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典例4-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【典例4-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【变式4-1】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【变式4-2】（2024·高二·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【变式4-3】（2024·高二·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 题型五：直线平行 【典例5-1】（2024·高二·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【典例5-2】（2024·高二·北京怀柔·开学考试）已知直线：，：若，则实数（    ） A．或 B． C． D．与 【变式5-1】（2024·高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【变式5-2】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，． 【变式5-3】（2024·高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 题型六：直线垂直 【典例6-1】（2024·高二·河南·期末）已知直线与垂直，则（    ） A．0 B．0或 C． D．0或 【典例6-2】（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式6-1】（2024·高二·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 【变式6-3】（2024·高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，点满足，且，试求点的坐标. 【典例7-2】（2024·高二·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【变式7-1】（2024·高二·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【变式7-2】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【变式7-3】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【过关测试】 1．（2024·高二·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 2．（2024·高二·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知直线的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为 ，则（     ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·湖北·期中）已知点，若直线与直线垂直，则实数（    ） A． B．2 C．3 D．4 7．（2024·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·湖南·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线与垂直，则（    ） A．2 B． C．1 D． 10．（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024·高二·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 13．（多选题）（2024·高二·四川·期中）若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2024·高二·山东·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值可能是（    ） A． B． C．0 D． 15．（多选题）（2024·高二·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 16．（2024·高二·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 17．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 18．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）已知直线和以为端点的线段无公共点，则实数的取值范围为 19．（2024·高二·广东江门·阶段练习）已知两点，，直线l过点，若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是 . 20．（2024·高二·福建福州·阶段练习）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 . 21．（2024·高二·湖北武汉·期中）设点、，若直线过点且与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 22．（2024·高二·四川内江·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 . 23．（2024·高二·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 24．（2024·高二·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 25．（2024·高二·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 26．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 27．（2024·高二·全国·课后作业）已知 (1)求直线AB的斜率k； (2)已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围． 28．（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）经过点，的直线的倾斜角为，若点在线段AB的中垂线上，求m，n的值． 29．（2024·高二·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 30．（2024·高二·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 31．（2024·高二·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 32．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 33．（2024·高二·全国·课后作业）判断下列各题中直线与是否平行或垂直． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点. (3)经过点，经过点； (4)经过点，经过点. 34．（2024·高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 35．（2024·高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 直线的倾斜角与斜率 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 知识点四：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则． 知识点五：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 【典例例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 【典例1-1】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与轴垂直，所以倾斜角为. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高二·浙江·期中）若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A 【变式1-1】（2024·高二·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 【变式1-2】（2024·高二·河南洛阳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为，设直线倾斜角为， 则，，． 故选：C． 【变式1-3】（2024·高二·河南·开学考试）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】直线的斜率为，所以， 解得. 故选：C. 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 【典例2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 【典例2-2】（2024·高二·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 【变式2-1】（2024·高二·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】作出正切函数在的图象如下图， 如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 【变式2-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为斜率，且，其中时直线无斜率， 当时，得； 当时，得； 故选：C. 【变式2-3】（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例3-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【解析】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得， . 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或. 【典例3-2】（2024·高二·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【解析】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 【变式3-1】（2024·高二·上海宝山·阶段练习）已知直线过点，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【解析】直线的斜率为， 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高二·四川眉山·期中）若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 【答案】1 【解析】由已知可得， 过点，的直线的斜率， 解得， 故答案为： . 【变式3-3】（2024·高二·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【答案】（满足的一个值即可） 【解析】因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 【变式3-4】（2024·高二·山东·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数 . 【答案】 【解析】过两点的直线的倾斜角为， 则，又. 故答案为：1. 【变式3-5】（多选题）（2024·高二·河南焦作·阶段练习）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设的倾斜角分别为，直线的斜率， ，又， 直线的倾斜角的取值范围是. 故选：AD. 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典例4-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【解析】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 【变式4-1】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 【变式4-2】（2024·高二·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·高二·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，点，直线过点， 可得直线的斜率为，直线的斜率为， 如图所示，要使得直线与线段有交点， 则直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 题型五：直线平行 【典例5-1】（2024·高二·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【解析】直线：与直线：平行， 则，解得或， 当时，此时直线：与直线：平行， 当时，此时直线：与直线：平行， 故或 故选：C 【典例5-2】（2024·高二·北京怀柔·开学考试）已知直线：，：若，则实数（    ） A．或 B． C． D．与 【答案】C 【解析】，，解得：或. 当时，直线：，直线：，两直线重合； 当时，经检验，满足题意； 综上，. 故选：C 【变式5-1】（2024·高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【解析】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 【变式5-2】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，． 【解析】（1）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为， 又直线，在y轴上的截距分别为1和， 所以与不重合，从而； （2）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为， 所以与不平行． 【变式5-3】（2024·高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【解析】（1）由题意知，， 所以直线与直线l2平行或重合， 又，故． （2）由题意知，，所以直线与直线平行或重合， 又，故直线与直线重合． （3）由题意知，，则， 所以直线与直线平行或重合． （4）由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以． 题型六：直线垂直 【典例6-1】（2024·高二·河南·期末）已知直线与垂直，则（    ） A．0 B．0或 C． D．0或 【答案】B 【解析】因为，则有，解得或， 故选：B. 【典例6-2】（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为，故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 【变式6-1】（2024·高二·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即， 故选:C． 【变式6-2】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 【解析】（1）将的方程化为斜截式为．因此的斜率为， 又因为的斜率为2， 而且， 从而可知与不垂直． （2）显然，的倾斜角为，的倾斜角为，从而可知与垂直． 【变式6-3】（2024·高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【解析】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则， 所以轴．故． （3）方法一：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以； 方法二：直线的方向向量，直线的方向向量， 因为，所以，所以． 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，点满足，且，试求点的坐标. 【解析】由，得，， 设，由题意可知，且， 则，， 因为，且， 所以， 所以，解得， 即. 【典例7-2】（2024·高二·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【解析】（1）依题意可得， 即，解得. 又，， 所以，所以A、B、C、D四点不共线， 所以. （2）若A为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 综上，的值为或12或. 【变式7-1】（2024·高二·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【解析】， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 【变式7-2】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【解析】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【变式7-3】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【解析】四边形是矩形．证明如下： 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形． 又， 所以，所以四边形是矩形． 又，， 令，即，无解， 所以与不垂直，故四边形是矩形． 【过关测试】 1．（2024·高二·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 【答案】C 【解析】由题意知直线l的倾斜角为， 则l的斜率为， 故选：C 2．（2024·高二·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】设直线的倾斜角为，则 因为，所以， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 3．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知直线的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为 ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以， 故选：C 4．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，且， 所以或， 故选：D 5．（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线的斜率， 且，可知直线的斜率 所以的倾斜角为． 故选：D． 6．（2024·高二·湖北·期中）已知点，若直线与直线垂直，则实数（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】直线的斜率为：， 因为直线与直线垂直， 所以，解得：. 故选：B. 7．（2024·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. 8．（2024·高二·湖南·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得. 故选：D 9．（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线与垂直，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】因为，所以，解得． 故选：B. 10．（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线与直线， 即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件； 若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意， 当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件； 故选：C 11．（2024·高二·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 12．（多选题）（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【解析】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 13．（多选题）（2024·高二·四川·期中）若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】记直线的倾斜角为，斜率为， 则，即， 由正切函数图象可得. 故选：AD 14．（多选题）（2024·高二·山东·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值可能是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【解析】当斜率k存在时，，， 因为，由正切函数的图象可知，倾斜角． 故选：BCD 15．（多选题）（2024·高二·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【解析】由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点， 则， 又， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：ABC. 16．（2024·高二·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意知， 该直线的斜率为， 解得. 故答案为：. 17．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 18．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）已知直线和以为端点的线段无公共点，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】直线恒过定点， 则，， 若直线和以为端点的线段有公共点， 则或， 所以直线和以为端点的线段无公共点时，. 故答案为：. 19．（2024·高二·广东江门·阶段练习）已知两点，，直线l过点，若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是 . 【答案】 【解析】 由题意，设，则，. 故若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是. 故答案为： 20．（2024·高二·福建福州·阶段练习）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 . 【答案】 【解析】由、、，得，， 如图所示： 因为过点C的直线l与线段AB有公共点，所以直线l的斜率或， 即直线l的斜率或，所以直线l斜率k的取值范围 故答案为： 21．（2024·高二·湖北武汉·期中）设点、，若直线过点且与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，， 直线过点且与线段不相交，故，即. 故答案为：. 22．（2024·高二·四川内江·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】 如图所示，可知直线自位置绕P旋转至位置的过程中都可符合题意， 该过程中直线的斜率在， 易知，， 故，则倾斜角. 故答案为： 23．（2024·高二·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 【答案】2 【解析】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 24．（2024·高二·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 【答案】 【解析】当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 25．（2024·高二·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】由已知直线，平行， 则， 解得或， 故答案为：或. 26．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得，得. （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 27．（2024·高二·全国·课后作业）已知 (1)求直线AB的斜率k； (2)已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围． 【解析】（1）当时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为； 当时，由斜率公式得. （2）当时，直线AB的倾斜角为； 当时，因为， 所以， 所以. 由正切函数图象可知， 综上，倾斜角的取值范围为. 28．（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）经过点，的直线的倾斜角为，若点在线段AB的中垂线上，求m，n的值． 【解析】因为经过点，的直线的倾斜角为， 所以，解得， 所以，， 设AB的中点为D，则AB的中点D的坐标为， 所以， 因为，所以，即，解得． 29．（2024·高二·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【解析】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 30．（2024·高二·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【解析】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 31．（2024·高二·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 【解析】（1）由题意得：，故即不平行也不垂直； （2）由题意得：且，故平行； （3）因为，所以重合，即即不平行也不垂直. 32．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 【解析】由斜率公式得， , 所以，， 从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又,所以， 故四边形OPQR为矩形. 33．（2024·高二·全国·课后作业）判断下列各题中直线与是否平行或垂直． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点. (3)经过点，经过点； (4)经过点，经过点. 【解析】（1）两直线斜率都存在， 由，. 由，得与既不平行也不垂直． （2）与都与x轴垂直，且与不重合，所以与平行. （3），， 由，得与既不平行也不垂直． （4）与x轴垂直，与轴垂直，得与垂直． 34．（2024·高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【解析】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 35．（2024·高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】设点．若，则，解得， 点． 若，则，解得，点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$