精品解析：湖南省岳阳市华容县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度第二学期教学质量监测试卷 八年级数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直角三角形的一个锐角等于，则它的另外一个锐角等于（    ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 对某班一次考试成绩进行统计，其中一组的频数是7，频率是，那么该班级的人数是（ ）人． A. 7个 B. 14个 C. 35个 D. 70个 6. 如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为轴的正方向，以正北方向为轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是和，则食堂的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 8. 如图，菱形中，，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 9. 如图，设是边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（ ） A B. C. D. 不能确定 10. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 把点先向上平移4个单位，再向左平移3个单位后得到点Q，则点Q的坐标为________． 12. 如图，，，，则阴影部分的面积是________． 13. 如图，在中，分别是边、的中点，若，则______ 14. 如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是______． 15. 统计某天经过某高速公路某测速点的汽车速度，得到如右所示的频数直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．若该路段汽车限速为（含），则超速行驶的汽车占全部汽车的________%． 16. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则______． 17. 如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是______． 18. 如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则_____． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，中，对角线相交于点，且． （1）求的度数； （2）求面积． 20. 已知y是x的一次函数，且当x=-4，y=9；当x=6时，y=-1． （1）求这个一次函数的解析式和自变量x的取值范围； （2）当x=-时，函数y的值； （3）当y=7时，自变量x的值． 21. 为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． （1）求公路 的长度； （2）若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 22. 某校开展了安全知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用（分）表示，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94 九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均分 中位数 众数 方差 八年级 92 92 23.4 九年级 92 94 29.8 请根据相关信息，回答以下问题： （1）填空：_____，_____，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图； （2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）； （3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？ 23. 如图，是 边的中点，，垂足分别为E、F，且，求证： 24. 为了鼓励居民节约用电，我省实行居民生活用电分季节按阶梯标准收费，其中冬夏季具体标准如下表： 每月用电量（度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度但不超过450度的部分 0.6 超过450度的部分 0.9 设小刚家在冬夏季时每月用电量为（度）（），每月电费为（元）． （1）若小刚家6月份，8月份分别用电265度和480度，应缴纳电费各多少元？ （2）求小刚家月电费（元）关于月用电量（度）的函数表达式． 25. 如图， 是的中位线，延长 至点 ，使 ，连接 ， ． （1）求证：四边形 是平行四边形． （2）若，试判断的形状，并说明理由． 26. 溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足． （1）填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； （2）为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向AA点走去，到达a点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； （3）①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ ②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度第二学期教学质量监测试卷 八年级数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直角三角形的一个锐角等于，则它的另外一个锐角等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：三角形是直角三角形，它的一个锐角等于， 它的另一个锐角为：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、既不轴对称图形也不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据“四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限”，即可求解． 【详解】解：点在第三象限， 故选：C． 4. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数定义来判断即可． 【详解】解：A、，是正比例函数，故选项正确； B、，不是正比例函数，故选项错误； C、，不是正比例函数，故选项错误； D、，不是正比例函数，故选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数是常数是0的一次函数是解题的关键． 5. 对某班一次考试成绩进行统计，其中一组的频数是7，频率是，那么该班级的人数是（ ）人． A. 7个 B. 14个 C. 35个 D. 70个 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率公式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该班级的人数是（人），故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据频率求总数，熟练掌握频率等于频数除以总数是解题的关键． 6. 如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为轴的正方向，以正北方向为轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是和，则食堂的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是根据位置确定点的坐标，根据综合楼和食堂的坐标分别是和，先确定坐标原点以及坐标系，再根据教学楼的位置可得答案． 【详解】解：如图，根据综合楼和教学楼的坐标分别是和，画图如下： ∴食堂的坐标为：， 故选：B. 7. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 8. 如图，菱形中，，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：A 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程． 9. 如图，设是边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），过点M作，交CD于点N，先根据平行四边形的判定可得四边形和四边形都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得． 【详解】如图，过点M作，交CD于点N， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键． 10. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴E为中点， ∴，故③错误； ∵，， ∴，故④正确； 故正确的个数为个， 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 把点先向上平移4个单位，再向左平移3个单位后得到点Q，则点Q的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移与坐标与图形的变化．根据向下平移，纵坐标减，横坐标不变，向左平移，横坐标减，纵坐标不变进行求解即可． 【详解】解：根据题意，点Q的坐标是， 即． 故答案为：． 12. 如图，，，，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积的计算；由勾股定理求得的长度，由扇形面积公式即可计算． 【详解】解：，，， ， 即半圆的半径为； 则阴影部分面积为：． 故答案为：． 13. 如图，在中，分别是边、的中点，若，则______ 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，根据三角形的中位线定理得到，代入即可求出． 【详解】解：∵分别是边、的中点， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 14. 如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是______． 【答案】(﹣2，4) 【解析】 【分析】作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，则∠AMO＝∠BNC＝90°，OM＝2，AM＝1，OB＝5，证明△BCN≌△AOM(AAS)，得出BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，得出ON＝OB﹣BN＝4，即可得出答案． 【详解】解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示： 则∠AMO＝∠BNC＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°， ∵A(2，1)，B(0，5)， ∴OM＝2，AM＝1，OB＝5， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA， ∴∠CBN＝∠AOB， ∵∠AOM+∠AOB＝90°， ∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM， 在△BCN和△AOM中， ， ∴△BCN≌△AOM(AAS)， ∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2， ∴ON＝OB﹣BN＝4， ∴点C坐标是(﹣2，4)； 故答案为(﹣2，4)． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 15. 统计某天经过某高速公路某测速点的汽车速度，得到如右所示的频数直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．若该路段汽车限速为（含），则超速行驶的汽车占全部汽车的________%． 【答案】8 【解析】 【分析】利用频数除以总数求解即可． 【详解】解：根据频数直方图数据，这个时间段的汽车总数是（辆），超速的汽车有（辆）， ∴超速行驶的汽车占全部汽车的， 故答案为：8． 【点睛】本题考查频数直方图、求某事件发生的频率，理解题意，会求某事件发生的频率是解答的关键． 16. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用y=x-3即可求得m的值，然后再把该点代入y=kx-1中可得k的值． 【详解】解：把（4，m）代入y=x-3得：m=1， ∴A（4，1）， 把（4，1）代入y=kx-1得1=4k-1， 解得k=， 故答案为． 【点睛】本题考查了两直线相交问题，首先会利用代入法求点的坐标，然后再根据待定系数法求k． 17. 如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 【详解】已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 18. 如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识．证明，由全等三角形的性质得出，证出，过点作于点，作于点，由全等三角形的性质得出，，得出，由角平分线的性质，再根据，求出的长，最后利用等腰直角三角形的性质得出结论． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点，作于点， ， ，， ，， ， 平分； ， ， ，为的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，在中，对角线相交于点，且． （1）求的度数； （2）求的面积． 【答案】（1）的度数为；（2）24 【解析】 【分析】（1）由平行四边形对角线互相平分的性质再结合勾股逆定理可判定是直角三角形，易知； （2）由平行四边形的性质可知，求出的面积即可. 【详解】解：在中,对角线相交于点,且, ， ． 又且, , 是直角三角形, 的度数为 平行四边形的每一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分， ; 的面积为 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，涉及了勾股定理，灵活应用平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键. 20. 已知y是x的一次函数，且当x=-4，y=9；当x=6时，y=-1． （1）求这个一次函数的解析式和自变量x的取值范围； （2）当x=-时，函数y的值； （3）当y=7时，自变量x的值． 【答案】（1）一次函数的解析式为y=-x+5，自变量x的取值范围是x取任意实数；（2）5.5；（3）x=-2 【解析】 【分析】（1）设y=kx+b，代入（-4，9）和（6，-1）得关于k和b的方程组，解方程组即可； （2）代入x=-于函数式中即可求出y值； （3）把y=7代入函数式，即可求解x的值． 【详解】解：（1）设y=kx+b， 代入（-4，9）和（6，-1）得， 解得k=-1，b=5， 所以一次函数的解析式为y=-x+5，自变量x的取值范围是：x取任意实数； （2）当x=-时，y=-（-）+5=55； （3）当y=7时，即7=-x+5， 解得x=-2． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解决这类问题一般先设函数的一般式，再代入两个点构造方程组求解． 21. 为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． （1）求公路 的长度； （2）若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 【答案】（1）千米，千米； （2）修建公路的费用为万元． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）利用三角形的等面积方法即可求解； 本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：（千米）， ∴（千米）， 在中，由勾股定理得：（千米）； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴（千米）， ∴修建公路的费用为（万元）， 答：修建公路的费用为万元． 22. 某校开展了安全知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用（分）表示，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94 九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均分 中位数 众数 方差 八年级 92 92 23.4 九年级 92 94 29.8 请根据相关信息，回答以下问题： （1）填空：_____，_____，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图； （2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）； （3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？ 【答案】（1）92.5，95，见解析 （2）九年级成绩较好，理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高 （3）360名 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数、众数的意义求解即可，求出九年级10名学生成绩处在“A组”的人数，即可补全频数分布直方图； （2）从中位数、众数、方差的角度比较得出结论； （3）由样本估计总体的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知， 八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是，因此中位数是； 九年级10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即， 九年级10名学生成绩处在“A组”的有 (人)， 补全频数分布直方图如图： 故答案为：92.5；95； 【小问2详解】 解：九年级成绩较好， 理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高； 【小问3详解】 解： (名)， 故该校八年级约有360名同学被评为优秀． 23. 如图，是 的边的中点，，垂足分别为E、F，且，求证： 【答案】详情见详解； 【解析】 【分析】首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】证明：如图 ∵是 的边的中点，， ∴、 均为直角三角形 在中 【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键． 24. 为了鼓励居民节约用电，我省实行居民生活用电分季节按阶梯标准收费，其中冬夏季具体标准如下表： 每月用电量（度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度但不超过450度的部分 0.6 超过450度的部分 0.9 设小刚家在冬夏季时每月用电量为（度）（），每月电费为（元）． （1）若小刚家6月份，8月份分别用电265度和480度，应缴纳电费各多少元？ （2）求小刚家月电费（元）关于月用电量（度）的函数表达式． 【答案】（1）小刚家月份应缴纳电费为139元；小刚家月份应缴纳电费为277元 （2）与函数表达式可以表示为 【解析】 【分析】（1）根据用电量所处的阶梯分段，按阶梯标准计算； （2）确定各阶梯范围的对应的解析式，汇总即可． 【小问1详解】 小刚家月份的电费为：（元） 又 小刚家月份的电费为：（元） 【小问2详解】 当时，； 当时，； 当时，； 与的函数表达式可以表示为： ． 【点睛】本题考查列函数解析式，注意结合自变量的取值范围列出相应的解析式． 25. 如图， 是的中位线，延长 至点 ，使 ，连接 ， ． （1）求证：四边形 是平行四边形． （2）若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）为直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，求出，根据平行四边形的判定可得结论； （2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出，可得，，然后利用三角形内角和定理求出即可． 【小问1详解】 证明：是的中位线， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：为直角三角形； 理由：四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中位线， ． ， ∴，， ∵， ∴，即， 为直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 26. 溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足． （1）填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； （2）为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向AA点走去，到达a点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； （3）①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ ②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）①或110，②存在，， 【解析】 【分析】（1）根据平方数与算术平方根的非负性，即可求出，，由桥长20米，为坐标原点，即可求解， （2）设检修工人走了t秒，由，，当时，代入，即可求解， （3）①设O灯转动了t秒．当时，，， 当时，，代入，即可求解，当时，其中当时，与必相交，当时，由有，代入，即可求解，当时，， ，当时，，代入即可求解，②由，，得到，结合，，得到，若为定值，则与t无关，即可求解， 本题考查了，平方数、算数平方根的非负性，平行线的性质，三角形的内角和，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∵桥长20米，为坐标原点， ∴， 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：设检修工人走了t秒，如图， ， ， 当时，，解得， 故答案为：， 【小问3详解】 解：①设O灯转动了t秒．（ⅰ）当时，如图（ⅰ）， ，， 当时，，则， 即，则，解得， （ⅱ）当时，其中当时，与必相交， 当时，如图（ⅱ）， 由，有， 则，即，即，解得：（舍）， （ⅲ）当时，其中当时，如图（ⅲ）， ，，， 当时，，则， 即，即，解得， 当时，与必相交． 综上，或110； ②存在；如图2， ，， ， 又， ， 又， ， ， 若为定值，则与t无关， ，此时，， 故存在， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$