选择性必修二课本优质习题总结训练-2025届高三数学一轮复习

人教A版数学课本优质习题总结训练——选择性必修二 P18 1．在等差数列{an}中，an=m，am=n，且n≠m，求am+n． P23 2．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数． P24 3．已知数列{an}的前n项和．求这个数列的通项公式． 4．已知数列{an}的通项公式为，前n项和为．求取得最小值时n的值． P25 5．（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ 6．已知一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大的边长为44cm，公差为3cm，求这个多边形的边数． 7．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． P26 8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列{an}． (1)写出数列{an}的一个递推公式；(2)根据(1)中的递推公式，写出数列{an}的一个通项公式． P34 9．已知数列{an}的通项公式为，求使取得最大值时的n的值． P37 10．已知a≠b，且．对于，证明：． 11．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ P40 12．一个乒乓球从高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍． (1)当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到) (2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到？ 13．求和：(1)(； (2)． P41 14．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列.求证：，a8，a5成等差数列． 15．求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：1，11，111，1111，11111，…． 16．在数列{an}中，已知an+1+an=3·n2，a1=1． (1)求证：{an-2n}是等比数列．(2)求数列{an}的前n项和Sn． 17．已知数列{an}的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列．(2)若，求满足条件的最大整数n． 18．已知数列{an}为等差数列，a1=1，a3=2+1，前n项和为，数列{bn}满足， 求证：(1)数列{bn}为等差数列；(2)数列{an}中的任意三项均不能构成等比数列． P55 19．已知数列{an}为等比数列，a1=1024，公比．若是数列{an}的前n项积，求的最大值． 20．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(    ) A． B． C． D． 21．如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为C1，C2，C3，C4，则C4=(    ) A． B． C． D． P56 22．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等)．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)． 现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：(m为正整数)，． (1)当时，试确定使得an=1需要多少步雹程； (2)若a8=1，求m所有可能的取值集合M． 23．已知等差数列{an}的前n项和为，且，． (1)求数列{an}的通项公式；(2)若，令，求数列的前n项和． 24．已知等比数列{an}的前n项和为，且． (1)求数列{an}的通项公式． (2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp，(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 25．类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“-”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立． (1)根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式； 名称 等差数列{an} 等比数列{bn} 定义 an+1-an=d 通项公式 bn=b1qn-1=bmqn-m 常用性质 ①a1+an= a2+an-1= a3+an-2=… ②an-k+an+k=2an(n＞k) ③ ④ ① ② ③若，则 ④b1b2……bn=(b1bn) (2)在等差数列{an}中，若，则有．相应地，在等比数列{bn}中，若，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明． P57 26．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层(第一层)分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．记第n堆的乒乓球总数为f(n)． (1)求出f(2)；(2)试归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式探求f(n)的表达式． 参考公式：． 27．有理数都能表示成，且，m与n互质)的形式，进而有理数集且，m与n互质}．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数．反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数；那么无限循环小数是否为有理数？ 思考下列问题：(1)是有理数吗？请说明理由．(2)是有理数吗？请说明理由． 28．平面上有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论． P70 29．函数y=f(x)的图象如图所示，它的导函数为y=f’(x)，下列导数值排序正确的是(      ) A．f’(1)＞f’(2)＞f’(3)＞0 B．f’(1)＜f’(2)＜f’(3)＜0 C．0＜f’(1)＜f’(2)＜f’(3) D．f’(1)＞f’(2)＞0＞f’(3) P81 30．已知函数f(x)满足，求f(x)在的导数． P98 31．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，．证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小． P103 32．已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) A． B． C． D． P104 33．已知函数在处有极大值，求c的值． 34．用总长14．8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边长比另一边长0．5m．那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积？ 35．用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α为多大时，容器的容积最大？ 36．作函数的大致图象． 37．1.已知函数，证明：当时，. 38．已知函数. (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. -选择性必修二结束- 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1． 【分析】利用等差数列的通项公式，解出，代入即可. 【详解】设等差数列的公差为 则 所以 2．此数列中间一项是，项数为. 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数及中间一项. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， ，解得， 项数，中间项为， 由， 所以此数列中间一项是，项数为. 3． 【分析】利用公式 【详解】当时，, 当时，， 当时，， 所以. 4． 【分析】首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值. 【详解】当，， 解得：， 当和时，， 所以取得最小值时，. 5．（1）；（2）；（3）180，98550；（4）13，663. 【分析】根据等差数列的前n项和公式求和即可. 【详解】（1）通项公式为，所以， （2）通项公式为，所以， （3）因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数，故最小是100，最大是995， 所以， 故和为， （4）被7整除余2的数为，当时，这个数等于100，所以在小于100的正整数中共有13个数被7整除余2，每相邻两个数之间的差（大数减小数）为7， 所以. 6．4 【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式，建立方程求得多边形的边数. 【详解】由题意可知：，， 则， 即，得 解得：或（舍去） 故这个多边形的边数为4. 7．1472 【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可. 【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列， 它们的和为， 这个新数列的各项之和为1472 8．（1）；（2）. 【分析】（1）利用每一层的小球的数量找到递推关系得解； （2）根据递推关系结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）由题意可知，，，，，；所以数列的一个递推公式为； （2）由题意，，故， 所以数列的一个通项公式为. 9．3 【分析】根据已知条件列出前2项比较大小，然后根据最大列出不等式方程组即可得到答案. 【详解】设时，最大，因为，， 所以所以，即， 故 ， ， 即，所以，故当an取最大值时， 10．证明过程看解析. 【分析】利用错位相减法直接求和. 【详解】证明：记， 因为，且，所以两边同乘以，得： ， 所以， 所以. 所以，即证. 11． 【分析】依题意设数列的首项为，公比为，根据等比数列前项和公式得到方程组，两式作商即可求出 【详解】解：依题意设数列的首项为，公比为，则，，所以，即，所以，解得，即，所求 12．(1)386cm (2)8 【分析】（1）利用等比数列的求和公式可得； （2）利用求和公式列出不等式即可求出. 【详解】（1）由题可知，每次落地的高度形成以1为首项，0.61为公比的等比数列， 则当它第6次着地时，经过的总路程为 ， 所以当它第6次着地时，经过的总路程是386cm； （2）由题意得， 整理得，所以， 则至少在第8次着地后，它经过的总路程能达到. 13．（1）（2） 【分析】（1）将式子分组，再分别利用等差数列与等比数列的前项和公式即可. （2）讨论的取值，当时，直接利用等差数列的前项和公式；当时，利用错位相减即可求出答案. 【详解】（1） = = （2）当时： 当时：记 化简得： 综上所述： 14．见解析 【分析】根据为等比数列且，，成等差数列，即可解出，将、用表示出来，即可证明之. 【详解】因为，，成等差数列，所以 （1）当时：，代入解得.不满足题意. （2）当时：，代入得.化简得. 所以,即，，所以. 所以，，成等差数列． 15． ，. 【分析】利用 中 实现1,11,111,1111,1111……，从1位数到n位数. 【详解】设该数列为 ，其前n项和为 因为 ，所以该数列的一个通项公式为， 16．(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）通过凑配法证得是等比数列。（2）利用分组求和法求得. 【详解】（1）由，得， 即， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得. 所以 . 17．（1）证明见解析； （2）. 【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解. 【详解】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得，所以 设数列的前项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）依题意首先求出的通项公式，即可得到，从而得到的通项公式，即可得证； （2）假设存在成等比数列，根据等比中项的性质得到方程，即可得出矛盾，从而得证； 【详解】解：（1）因为等差数列满足，，所以，所以，所以 所以，即，即为公差为的等差数列； （2）设数列中任意三项，， 则，假设成等比数列，则 即 因为 所以，所以，即，与矛盾，所以数列中的任意三项均不能构成等比数列． 19． 【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值，在求乘积. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以 当时，最大， 即 ，解得：， 此时 20．A 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论. 【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为， 依题意可得，， ， ，解得， . 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题. 21．A 【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出. 【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即， 所以为首项为，公比为的等比数列，. 故选：A 22．（1）12；（2）. 【分析】（1）直接利用递推关系逐步计算可得使得需要多少步雹程； （2）由，利用递推关系，分类讨论逆推出的不同取值，进而可得答案. 【详解】当时，即根据上述运算法得出： 故当时，使得需要12步雹程； （2）若， 根据上述运算法进行逆推， 或； 若，则或； 当时，或； 若时，或； 当，则或； 当时，； 当时，， 故所有可能的取值集合． 23．（1）（2） 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出,则可写出其通项公式. （2）利用错位相减，化简解可得出答案. 【详解】（1）由题意知：， 即：化简得. 所以数列的通项公式. （2）因为 所以 化简得：. 24．（1）（2）不存在 【分析】（1）由题意知为等比数列，取代入等式即可解出，即可写出. （2）根据题意结合第一问先写出的通项公式，假设存在，解出m、k、p结果与题意矛盾,则不存在. 【详解】（1）由题意知： 当时：  ① 当时：  ② 联立①②，解得. 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，. 所以. 所以. 设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则， 所以，即. 又因为m，k，p成等差数列, 所以 所以 化简得 所以 又，所以与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 25．（1）答案见下表；（2）等式见解析；证明见解析； 【分析】（1）根据将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“-”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立．类比推断出相关的对偶关系式即可； （2）类比推测出对偶的等式，并根据等比数列性质进行证明即可. 【详解】（1）根据上述说法，参照给出的信息推断出相关的对偶关系式如下表： 名称 等差数列 等比数列 定义 通项公式 常用性质 ①… ② ③若， 则 ④ ① ② ③若， 则 ④ （2）类比推测出对偶的等式知，在等比数列中，若， ； 证明如下： 由等比数列性质知； ； 故当，即时， ； 则 同理当，即时， 综上所述： 26．（1）10；（2）；；证明见解析； 【分析】（1）根据图形可直接求出； （2）观察图形的排列规律，归纳总结出f(n+1)与f(n)的关系式，并求得f(n)的表达式． 【详解】观察图形的排列规律可知， ； ； ； …… （1） （2）由上知， 则 故 又，则 27．（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析 【分析】（1）由等比数列的前n项和可得可判断； （2）由等比数列的前n项和可判断. 【详解】无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数， （1）由， ，可以化为的形式，故是有理数； （2）由， ，可以化为的形式，故是有理数. 28．；证明见解析； 【分析】根据时的直线条数，归纳出有n个点时的直线条数，利用数学归纳法证明即可. 【详解】当时，过任意两个点作直线，共有3条； 当时，设四个点为，过三点中的任意2点的直线有三条，过三点中的任意1点与D点相连的直线有3条，即共有条； 当时，设五个点为，同上，过中的任意2点的直线有6条，过中的任意1点与的连线共有4条，即共有条； 假设当，过k个点（任意三点不共线）中任意2点作直线，共有条； 当时，共有k+1个点（任意三点不共线），过k个点中任意2个作直线，共有条；过这k个点中的任一个点与相连的直线共有k条，因此，过这k+1个点中的任意2个点作直线，共有， 所以当时，假设成立； 综上，有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有条. 29．A 【分析】利用导数的几何意义以及切线斜率的变化可得出结论. 【详解】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，， 即，，， 又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小， 故. 故选：A. 30． 【分析】首先求出函数的导函数，再将代入计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以，解得 31．证明见解析； 【分析】对方差求导，求得单调区间，在处取得最小值. 【详解】， 则当时，， ，，函数单减；，，函数单增； 方差在时，取得最小值. 32．B 【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B. 33．6 【分析】由已知函数在处有极大值，则必有(2)，且在的左侧附近，右侧附近，据此即可求出的值． 【详解】解：，且函数在处有极大值， (2)，即，解得或2． 经检验时，函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去． 故． 故答案为：6． 34．当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，最大容积为． 【详解】设该容器底面矩形的短边长为m，则另一边长为m， 此容器的高为， 于是，此容器的容积为：， 其中， 即，得，（舍去）， 因为，在内只有一个极值点，且时，，函数递增； 时，，函数递减； 所以，当时，函数有最大值， 即当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，最大容积为． 35．. 【详解】试题分析：设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入 ，利用导数求得函数的最大值，以及和，而圆心角. 试题解析：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则，因此    ，令 解得．   ∴  当时容积最大，把代入得 由得，即圆心角为时容积最大． 36．函数图象见解析； 【分析】首先利用导数说明函数的单调性，求出几个关键点的函数值，即可得到函数的大致图象； 【详解】解：，定义域为则，所以当或时，当或时，即函数在和上单调递增，在和单调递减，当时，，，，所以，又，，所以函数的大致图象如下所示： 37．证明见解析 【分析】根据题意，当时，，故只需证明，进而利用导数方法证明函数的最小值大于0即可. 【详解】当时，，故只需证明. . 易知在上单调递增（增+增）. 所以必定存在唯一一个零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由，得，， 所以， 所以. 所以，当时，. 【点睛】本题确定出零点x0的范围之后，注意“，”，将x0代入函数解析式之后可以将式子化简，注意方法的总结和归纳. 38．（1）见解析；（2）. 【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为. 试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，a的取值范围为. 点睛：研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数f(x)有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y=a与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若f(x)有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 答案第8页，共38页 2 学科网（北京）股份有限公司 $$