精品解析：江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

乐平中学2023—2024学年度下学期高二期末考试 数学试卷 考试范围：选择性必修一、二册及集合，简易逻辑，不等式，函数. 考试时间：150分钟；命题人：盛明良 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A 272 B. 270 C. 157 D. 153 2. 某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（ ） A. 10辆 B. 100辆 C. 180辆 D. 900辆 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D. 若随机变量，满足，则 4. 若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 5. 泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量，的近似值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在R上奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 二、多选题 9. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. CE与OF所成角的余弦值为 C. 四点共面 D. 的面积为 10. 若直线与圆交于两点，则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 圆圆心坐标为 C. 圆的半径为3 D. 的取值范围是 11. 已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 若，则__________. 13. 多项式的展开式中，的系数是______. 14. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______． 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 16. 某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从7名社员中随机选择2名参加友谊赛.新学年友谊赛从10月份开始，此时7名社员中有3名新社员没有参加过此前的友谊赛. （1）设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； （2）求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率. 17. 已知椭圆，右焦点为，过点的直线交于两点. （1）若直线的倾斜角为，求； （2）记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求直线的方程. 18. 已知数列满足，，数列的前项和为，且． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求余弦曲线曲率的最大值； （3）余弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乐平中学2023—2024学年度下学期高二期末考试 数学试卷 考试范围：选择性必修一、二册及集合，简易逻辑，不等式，函数. 考试时间：150分钟；命题人：盛明良 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 272 B. 270 C. 157 D. 153 【答案】D 【解析】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以， 故． 故选：D 2. 某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（ ） A. 10辆 B. 100辆 C. 180辆 D. 900辆 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用正态分布的对称性可得，从而得到答案. 【详解】因为，，所以， 故该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有辆； 故选：B 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D. 若随机变量，满足，则 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，根据百分位数的定义进行计算；B选项，，推出结论；C选项，由于事件A，B对立是事件A，B互斥的特殊情况，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件；D选项，，D错误. 【详解】A选项，，故从小到大选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数，即，A错误； B选项，，故可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确； C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥， 故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，C错误； D选项，若随机变量，满足，则，D错误. 故选：B 4. 若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用焦点到渐近线的距离求出，从而求出，即可求出离心率． 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 5. 泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量，的近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，代入公式用对立事件的概率和为1计算即可. 【详解】由题， ，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时， 所以， 所以，， 则. 故选：B 6. 已知，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解. 【详解】，， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 7. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由“”真命题可排除A，由“”为假命题可排除BD，即可得到结果. 【详解】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是. 故选：C 8. 已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，再结合函数的奇偶性和特殊点的函数值，可解不等式. 【详解】令，则． 因为当时，，所以， 所以在上单调递增． 因为为奇函数，所以为奇函数． 因为，所以，所以，即， 所以，所以． 故选：D 【点睛】关键点点睛：在选择题中，解决此类与不等式有关的问题，构造合适的函数，是解决问题的关键.本题注意到有，即，所以根据导数的运算法则，可构造商的函数，之后的问题就好分析了. 二、多选题 9. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. CE与OF所成角的余弦值为 C. 四点共面 D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据正方体结构建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标式计算判断A项，利用空间向量的夹角公式计算判断B项，利用空间向量共面定理判断C项，利用三角形面积公式判断D项即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 对于A项，因,则, 即，故A项正确； 对于B项，因，则, 设CE与OF所成角为，则，故B项错误； 对于C项，因,则, 易得，即为共面向量， 故四点共面，即C项正确； 对于D项，因，则，记， 则，故， 故的面积为，故D项错误. 故选：AC. 10. 若直线与圆交于两点，则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 圆的圆心坐标为 C. 圆的半径为3 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的斜率，即可得到倾斜角，即可判断A；将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断B、C；求出圆心到直线的距离，再由勾股定理判断D. 【详解】当时，直线的方程为，则直线的斜率为，所以倾斜角为，故A正确； 圆的方程化为标准方程为，圆心，半径，故B错误，C正确； 圆心到直线的距离，因为，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A．利用偶函数的性质，结合赋值法即可得解；B．利用赋值法即可得解；CD．利用抽象函数的奇偶性、对称性与周期性得到与的周期均为4，进而求得与，从而得解． 【详解】A．为偶函数，， 即有，则的图象关于对称，A正确，符合题意； B．，令，可得， 又，，B正确，符合题意； C．，，， ①，②， 将①②式分别与联立，化简得： ，， ，， ，，即与的周期均为4， ，， ，， 又函数的图象关于对称， ，， ，C错误，不符合题意； D．又， ，， ，，， ，D正确，符合题意． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的运算法则与赋值法求解. 【详解】因为，则， 令，有，解得. 故答案为：. 13. 多项式展开式中，的系数是______. 【答案】 【解析】 【分析】将展开，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 所以的系数为. 故答案为： 14. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】 ， ，① 又 ② ①-②得：， 的面积为9， ， 故答案为：3. 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明线线垂直推导线面垂直，再由性质即得； （2）建系，写出相关点的坐标，分别求得和平面的一个法向量的坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得. 【小问1详解】 如图，连接，因为，为中点，所以． 因为为直三棱柱的侧棱，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以． 【小问2详解】 以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图. 则，，，. 所以，，． 设平面的一个法向量为， 由可得，， 取，可得，，即可取． 设点到平面的距离为，则． 所以点到平面的距离为． 16. 某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从7名社员中随机选择2名参加友谊赛.新学年友谊赛从10月份开始，此时7名社员中有3名新社员没有参加过此前的友谊赛. （1）设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； （2）求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）结果，并使用全概率公式求解. 【小问1详解】 X的可能值为1,2,3 由于；；. 故的分布列是 数学期望. 【小问2详解】 由（1）的结果及全概率公式知所求概率 . 17. 已知椭圆，右焦点为，过点的直线交于两点. （1）若直线的倾斜角为，求； （2）记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程，即可求出椭圆右焦点坐标，根据直线的点斜式，联立直线方程和椭圆方程，求得交点的坐标，根据两点之间距离公式可求得 ； （2）联立直线方程和椭圆方程，根据椭圆的弦长公式可求得|AB|，计算的中点，利用最大求得直线方程 【小问1详解】 由题意可得， 因为直线的倾斜角为，所以， 因此，的方程为， 联立方程，消去得 解得 所以 因此，； 【小问2详解】 设，由题意得，直线的斜率不为0，故设为， 联立方程消去得，，， 因此， 所以， 设线段的中点为， 则， 所以， 所以 设，则， 当且仅当，即时等号成立， 当最大时，也最大，此时直线的方程为， 即或 18. 已知数列满足，，数列的前项和为，且． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）作差得到，利用累乘法求出的通项公式，根据作差得到，结合等比数列的通项公式计算可得； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以当时，，得． 当时，， 所以，所以． 因为时也满足， 所以，所以，即， 又也满足，所以. 因为，所以当时，，解得． 当时，，所以，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列，故． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以. 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求余弦曲线曲率的最大值； （3）余弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】（1） （2）1 （3）2，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，，再根据所给定义计算即可； （2）根据所给定义表示出，即可得到，再令，设，，利用导数求出函数最大值，即可得解； （3）首先得到，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合零点存在性定理判断函数的零点个数. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以，∴. 【小问2详解】 因为，，， 所，， 令，则，， 设，，则，显然当时，，在上单调递减， 所以， 所以最大值为，所以的最大值为. 【小问3详解】 在区间上有且仅有2个零点. 证明：，所以， ①当时，因为，，则，， ∴，在上单调递增，又，. ∴在上有一个零点， ②设，则，当时，，单调递增， ，又， ∴恒成立， ∴在上无零点. ③当时，，， ∴在上单调递减，又，. ∴在上必存在一个零点， 综上，在区间上有且仅有2个零点. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$