第2章 实数 中档题拓展训练【15个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第2章 实数 中档题拓展训练【15个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．算术平方根 二．立方根 三．无理数 四．实数 五．实数的性质 六．实数与数轴 七．实数大小比较 八．估算无理数的大小 九．实数的运算 一十．二次根式有意义的条件 一十一．最简二次根式 一十二．同类二次根式 一十三．二次根式的加减法 一十四．二次根式的混合运算 一十五．二次根式的化简求值 考点精讲精练 一．算术平方根 · 算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1．（2024春•惠阳区月考）观察下列各式：①，②，③根据以上规律，写出第10个等式：　　． 2．（2024•峰峰矿区校级三模）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 　　； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，　　（填“能”或“否” 剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 3．（2024春•京山市期中）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为　　． 二．立方根 · 立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 4．（2023秋•桓台县期末）下列选项中正确的是　　 A．81的立方根是3 B．的平方根是 C．立方根等于平方根的数是1 D．4的算术平方根是2 5．（2024春•重庆期中）下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•西城区校级期中）已知：，，则　　 A．0.1333 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不对 7．（2024春•大连月考）若，则的立方根是 　　． 8．（2024春•保定期中）求下列各式中的值： （1）； （2）． 三．无理数 · 无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 9．（2024春•江北区校级月考）在下列实数中，无理数是　　 A． B．3.1415 C． D． 10．（2024春•兖州区月考）在下列数中，无理数的个数　　 ，，，，3.1415，，， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 四．实数 · 实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 11．（2024春•甘井子区月考）下面4个数：，其中是有理数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024春•源汇区校级月考）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，0，3.14，，，，0.1010010001． ①有理数集合 　　； ②无理数集合 　　； ③负实数集合 　　． 五．实数的性质 · 实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 13．（2024•海陵区一模）的相反数是 　　． 六．实数与数轴 · 实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 14．（2024春•汉川市期中）如图，，，于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，若点表示的数为，则的值为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•青秀区校级月考）若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．|a|＜4 B．b+d＞0 C．ac＞0 D．a﹣c＞0 16．（2024春•霸州市期中）如图，数轴上点，，所表示的数分别为，且点在原点的左侧，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为． （1）求实数的值； （2）求的值． 七．实数大小比较 · 实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 17．（2024•合肥模拟）在实数1，，0，这四个数中，最小的是　　 A．1 B． C．0 D． 18．（2024春•南宁期中）下列各数中，最小的数是　　 A． B．0 C． D．2 19．（2024春•台江县校级期中）下列四个选项中，比大的数是　　 A． B． C． D． 20．（2024•河源二模）实数0，，，3中，最大的数是　　 A．0 B． C． D．3 21．（2024•郸城县二模）下列实数中，最小的是　　 A． B．0 C． D．3 22．（2024春•海淀区校级期中）比较大小： 　　（填“”，“ ”或“” ． 八．估算无理数的大小 · 估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 23．（2024春•霍邱县月考）已知，且，是两个连续的整数，则的算术平方根是　　 A．3 B． C．4 D． 24．（2024•安徽模拟）若估算的值在整数和之间，则　　． 25．（2023秋•桂东县期末）定义为不大于的最大整数，如，，，若满足，则的最大整数为 　　． 26．（2024春•孝南区期中）写出大于且小于的一个整数为 　　． 27．（2024春•历城区校级月考）（1）已知一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数的立方根； （2）设的整数部分和小数部分分别是，，试求，的值与的算术平方根． 28．（2024春•临县月考）综合与实践 “平方法”是解决二次根式大小比较和计算问题的一种好方法．基于该方法，白老师提出问题：比较与的大小． 数学思考： （1）解答白老师提出的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们思考上述问题的解决办法，并从不同的角度提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：若，，请通过计算，判断与的大小． ②“智慧小组”提出问题：已知，其中是整数，且，请直接写出的值． 九．实数的运算 · 实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 29．（2024春•淮北月考）对于实数，，定义运算“※”：※，如3※．若※，则的值为　　 A． B． C．或 D． 30．（2024春•岱岳区期中）对于任意两个正数、，定义运算※为：※，计算※※的结果为　　 A． B． C．5 D．或5 31．（2024春•重庆月考）计算： （1）； （2）． 32．（2024春•大观区校级月考）计算：； 33．（2024春•绥江县月考）请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： （1）计算：　　；　　； （2）猜想规律：　　为正整数）； （3）若定义，都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 34．（2024春•瓦房店市月考）（1）； （2）计算：． 35．（2024春•江北区校级月考）计算 （1）； （2）． 一十．二次根式有意义的条件 · 二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 36．（2024春•潮阳区期中），为实数，且，化简：　　； 37．（2024春•巴彦县校级月考）若，则的算术平方根为 　　． 一十一．最简二次根式 · 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 38．（2024春•南昌期中）写出一个正整数，使是最简二次根式，则可以是 　　． 一十二．同类二次根式 · 同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 39．（2024春•凉州区期中）已知最简二次根式与能合并，则　　． 一十三．二次根式的加减法 · 二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 40．（2024•化州市一模）计算的结果为 　　． 一十四．二次根式的混合运算 · 二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 41．（2024春•江宁区月考）计算的结果是有理数，则的值可能是　　 A． B． C． D． 42．（2024春•长垣市期中）下列各式计算正确的是　　 A． B． C． D． 43．（2023秋•鼓楼区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 44．（2024春•锡山区校级月考）　　；　　． 45．（2024春•临颍县期中）观察下列运算： 由，得； 由，得； 由，得． （1）观察上面的解答过程，请写出　　； （2）请你用含为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 　　； （3）利用（2）中你发现的规律计算：． 46．（2024春•静安区校级期中）计算： 47．（2024春•旅顺口区校级月考）阅读下列解题过程： ； 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简：＝　 　＝　 　＝　 　． （2）请直接写出的化简结果：　 　． （3）利用上面的结论，通过计算试比较与的大小，并说明理由． 48．（2024春•河北期中）在算式“”中，“〇”表示被开方数，“□”表示“”“ ”“ ”“ ”中的某一个运算符号． （1）当“□”表示“”时，运算结果为，求“〇”表示的数． （2）如果“〇”表示的是（1）中所求的数，当“□”表示哪种运算符号时，算式的结果最小，直接写出这个最小数． 一十五．二次根式的化简求值 · 二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 49．（2024春•广阳区校级月考）设，则　　 A．3 B． C． D． 50．（2024春•广安区校级月考）例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 第2章 实数 中档题拓展训练【15个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．算术平方根 1．（2024春•惠阳区月考）观察下列各式：①，②，③根据以上规律，写出第10个等式：　　． 【答案】． 【分析】根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式． 【解答】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为， 第10个等式：， 故答案为：． 2．（2024•峰峰矿区校级三模）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 　6　； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，　　（填“能”或“否” 剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【答案】（1）6； （2）否． 【分析】（1）由大正方形的面积，即可得大正方形的边长； （2）设长方形纸片长为 ，宽为 ，则，得，故，故不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【解答】解：（1）由大正方形的面积， 得大正方形的边长； 故答案为：6； （2）设长方形纸片长为 ，宽为 ， 则， 得， 故， 故不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 故答案为：否． 3．（2024春•京山市期中）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为　　． 【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【解答】解：如图所示：由题意可得：， ， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 二．立方根 4．（2023秋•桓台县期末）下列选项中正确的是　　 A．81的立方根是3 B．的平方根是 C．立方根等于平方根的数是1 D．4的算术平方根是2 【答案】 【分析】根据立方根，平方根，算术平方根的定义求解． 【解答】解：．3是27的立方根，故选项不符合题意； ．的平方根是，故选项不符合题意； ．立方根等于平方根的数是0，故选项不符合题意； ．4的算术平方根是2，正确，故选项符合题意； 故选：． 5．（2024春•重庆期中）下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用立方根，平方根和算术平方根的意义解答即可． 【解答】解：， 选项的结论不正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，不符合题意； ， 选项的结论正确，符合题意； ， 选项的结论不正确，不符合题意． 故选：． 6．（2024春•西城区校级期中）已知：，，则　　 A．0.1333 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不对 【答案】 【分析】利用立方根的性质求解即可． 【解答】解：． 故选：． 7．（2024春•大连月考）若，则的立方根是 　3　． 【答案】3． 【分析】根据立方根性质，算术平方根的非负性以及绝对值的非负性解答即可， 【解答】解：， ， ，， 则， 的立方根为3， 故答案为：3． 8．（2024春•保定期中）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2）． 【分析】（1）先移项，再根据平方根的定义进行计算，即可得出答案； （2）原式变形可得，再根据立方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， 或， 解得：或； （2）， ， ， 解得：． 三．无理数 9．（2024春•江北区校级月考）在下列实数中，无理数是　　 A． B．3.1415 C． D． 【答案】 【分析】初中范围内常见的无理数有：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个，（两个2之间依次增加1个．据此逐项分析即可． 【解答】解：．是有理数中的负整数； ．3.1415是有理数中的小数； ．是无理数； ．是有理数中的分数； 故选：． 10．（2024春•兖州区月考）在下列数中，无理数的个数　　 ，，，，3.1415，，， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：， ，，，是无理数，共4个． 故选：． 四．实数 11．（2024春•甘井子区月考）下面4个数：，其中是有理数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据有理数的定义、无理数的定义进行判断即可得解． 【解答】解：， 有理数有，共3个， 故选：． 12．（2024春•源汇区校级月考）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，0，3.14，，，，0.1010010001． ①有理数集合 　，，0，3.14，，，0.1010010001　； ②无理数集合 　　； ③负实数集合 　　． 【答案】①，，0，3.14，，，0.1010010001；②，，；③，，． 【分析】有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案． 【解答】解：，，， ①有理数集合，，0，3.14，，，0.1010010001，， 故答案为：，，0，3.14，，，0.1010010001； ②无理数集合，，，， 故答案为：，，； ③负实数集合，，，， 故答案为：，，． 五．实数的性质 13．（2024•海陵区一模）的相反数是 　　． 【分析】根据相反数的意义，可得答案． 【解答】解：的相反数是， 故答案为：． 六．实数与数轴 14．（2024春•汉川市期中）如图，，，于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，若点表示的数为，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由勾股定理算得，因为，可得的长，即得点表示的数得值． 【解答】解：， ， 点表示的数为，即， 故选：． 15．（2024春•青秀区校级月考）若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．|a|＜4 B．b+d＞0 C．ac＞0 D．a﹣c＞0 【答案】B 【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论． 【解答】解：A、∵a＜﹣4， ∴|a|＞4，选项A错误； B、∵b＜﹣1，d＝4， ∴b+d＞0，选项B正确； C、∵a＜﹣4，c＞0， ∴ac＜0，选项C错误； D、∵a＜﹣4，c＞0， ∴a﹣c＜0，选项D错误． 故选：B． 16．（2024春•霸州市期中）如图，数轴上点，，所表示的数分别为，且点在原点的左侧，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为． （1）求实数的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）因为点到点的距离与点到点的距离相等，所以，因为点在原点的左侧，可得的值； （2）将（1）算得的的值代入，去绝对值计算． 【解答】解：（1）点到点的距离与点到点的距离相等， ， 点在原点的左侧， ； （2）． 七．实数大小比较 17．（2024•合肥模拟）在实数1，，0，这四个数中，最小的是　　 A．1 B． C．0 D． 【答案】 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：， 最小的数是：． 故选：． 18．（2024春•南宁期中）下列各数中，最小的数是　　 A． B．0 C． D．2 【答案】 【分析】根据负数小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解． 【解答】解：负数小于正数， 最小的数在和中， ，，， 四个数中最小的数是， 故选：． 19．（2024春•台江县校级期中）下列四个选项中，比大的数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【解答】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 20．（2024•河源二模）实数0，，，3中，最大的数是　　 A．0 B． C． D．3 【答案】 【分析】实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：， 最大的数是：3． 故选：． 21．（2024•郸城县二模）下列实数中，最小的是　　 A． B．0 C． D．3 【答案】 【分析】利用实数的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：， 最小的数是：． 故选：． 22．（2024春•海淀区校级期中）比较大小： 　　（填“”，“ ”或“” ． 【答案】． 【分析】根据二次根式的运算方法进行转化，再被开方数进行比较即可． 【解答】解：，， ， ． 故答案为：． 八．估算无理数的大小 23．（2024春•霍邱县月考）已知，且，是两个连续的整数，则的算术平方根是　　 A．3 B． C．4 D． 【答案】 【分析】根据且，得出两个连续的整数，的值，再代入，最后求出的算术平方根，即可作答． 【解答】解： ，且，是两个连续的整数， ，， ，9的算术平方根是3， 故选：． 24．（2024•安徽模拟）若估算的值在整数和之间，则　4　． 【答案】4． 【分析】先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【解答】解：， 又， 即， ， 又的值在整数和之间， ． 故答案为：4． 25．（2023秋•桂东县期末）定义为不大于的最大整数，如，，，若满足，则的最大整数为 　35　． 【答案】35． 【分析】由题意得：，然后利用平方运算，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ， ， 的最大整数为35． 故答案为：35． 26．（2024春•孝南区期中）写出大于且小于的一个整数为 　3（答案不唯一）．　． 【答案】3（答案不唯一）． 【分析】先估算的大小，然后写出符合条件的整数即可． 【解答】解：， 大于且小于的一个整数为3， 故答案为：3（答案不唯一）． 27．（2024春•历城区校级月考）（1）已知一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数的立方根； （2）设的整数部分和小数部分分别是，，试求，的值与的算术平方根． 【答案】（1）4； （2），，的算术平方根是． 【分析】（1）根据平方根的性质可得与互为相反数，从而可得的值，再根据立方根的性质求解即可得； （2）先根据无理数的估算可得，由此可得，的值，再根据算术平方根的性质求解即可得． 【解答】解：（1）一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得， ， 这个正数是， 这个正数的立方根是； （2）， ，即， ， 的整数部分和小数部分分别是，， ，， 的算术平方根是． 28．（2024春•临县月考）综合与实践 “平方法”是解决二次根式大小比较和计算问题的一种好方法．基于该方法，白老师提出问题：比较与的大小． 数学思考： （1）解答白老师提出的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们思考上述问题的解决办法，并从不同的角度提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：若，，请通过计算，判断与的大小． ②“智慧小组”提出问题：已知，其中是整数，且，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）利用“平方法”即可解决二次根式大小比较； （2）①先计算和，据此比较即可； ②先估算的大小，根据，即可确定、的值，据此求解即可． 【解答】解：（1），，且，，， 即； （2）①，， ，， ， ， ； ②，是整数，且，， ，， ． 九．实数的运算 29．（2024春•淮北月考）对于实数，，定义运算“※”：※，如3※．若※，则的值为　　 A． B． C．或 D． 【答案】 【分析】根据新定义算法，得到，即可求解． 【解答】解：※， 即：，解得：或， 故选：． 30．（2024春•岱岳区期中）对于任意两个正数、，定义运算※为：※，计算※※的结果为　　 A． B． C．5 D．或5 【答案】 【分析】直接利用运算规律，进而代入得出答案． 【解答】解：由题意可得： ※※ ． 故选：． 31．（2024春•重庆月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2），． 【分析】（1）首先根据乘方、算术平方根和立方根运算，然后求和即可． （2）根据平方根的概念求解即可． 【解答】解：（1） ； （2）， 整理，得， ， 根据平方根的意义，得， ， 即，． 32．（2024春•大观区校级月考）计算：； 【答案】． 【分析】先计算乘方，算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减法即可． 【解答】解： ． 33．（2024春•绥江县月考）请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： （1）计算：　5　；　　； （2）猜想规律：　　为正整数）； （3）若定义，都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 【答案】（1）5，6；（2）；（3）102． 【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取之后，根据发现的规律即可解决问题． 【解答】解：（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知，从1开始连续个奇数的和等于的平方， 又 ． 故答案为：． （3）原式 ． 34．（2024春•瓦房店市月考）（1）； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1． 【分析】（1）先去绝对值，再计算加减即可； （2）先算算术平方根，立方根，再算加减即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 35．（2024春•江北区校级月考）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）2；（2）． 【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的性质化简，再计算加减即可求解； （2）先根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质化简，再合并即可求解． 【解答】解：（1） ； （2） ． 一十．二次根式有意义的条件 36．（2024春•潮阳区期中），为实数，且，化简：　　； 【答案】． 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，则，据此化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【解答】解：式子要有意义， ， ， ， ， 故答案为：． 37．（2024春•巴彦县校级月考）若，则的算术平方根为 　4　． 【答案】4． 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出的值，再求出的值，然后代入代数式求出的值，再根据算术平方根的定义解答． 【解答】解：由题意知，所以， ， ， ， ， 故答案为：4． 一十一．最简二次根式 38．（2024春•南昌期中）写出一个正整数，使是最简二次根式，则可以是 　1（答案不唯一）　． 【答案】1（答案不唯一）． 【分析】根据最简二次根式的概念解答即可． 【解答】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 一十二．同类二次根式 39．（2024春•凉州区期中）已知最简二次根式与能合并，则　8　． 【答案】8． 【分析】根据题意可知二次根式与是同类二次根式，可得到，从而可求得的值． 【解答】解：最简二次根式与能合并， ， ． 故答案是：8． 一十三．二次根式的加减法 40．（2024•化州市一模）计算的结果为 　　． 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【解答】解：原式． 故答案为：． 一十四．二次根式的混合运算 41．（2024春•江宁区月考）计算的结果是有理数，则的值可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把四个选项依次代入计算判断即可． 【解答】解：．，是无理数，不符合题意； ．，是无理数，不符合题意； ．，是无理数，不符合题意； ．，是有理数，符合题意； 故选：． 42．（2024春•长垣市期中）下列各式计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； 、，正确，符合题意， 故选：． 43．（2023秋•鼓楼区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用二次根式的减法运算对选项进行判断；利用二次根式的加法运算对选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对选项进行判断；利用二次根式的性质对选项进行判断． 【解答】解：．，所以选项符合题意； ．与不能合并，所以选项不符合题意； ．，所以选项不符合题意； ．，所以选项不符合题意． 故选：． 44．（2024春•锡山区校级月考）　6　；　　． 【答案】6；． 【分析】根据二次根式的乘法法则结合平方差公式计算即可求解． 【解答】解：； ． 故答案为：6；． 45．（2024春•临颍县期中）观察下列运算： 由，得； 由，得； 由，得． （1）观察上面的解答过程，请写出　　； （2）请你用含为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 　　； （3）利用（2）中你发现的规律计算：． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据已知的等式所反映的规律和分母有理化求解； （2）两相邻正整数的算术平方根的和的倒数等于这两个正整数的算术平方根的差； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； （3）原式 ． 46．（2024春•静安区校级期中）计算： 【答案】60． 【分析】先利用完全平方公式进行计算，再去括号，最后计算加减即可得出答案． 【解答】解： ． 47．（2024春•旅顺口区校级月考）阅读下列解题过程： ； 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简：＝　　＝　　＝　　． （2）请直接写出的化简结果：　　． （3）利用上面的结论，通过计算试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），，， （2）， （3）． 【分析】（1）把分子分母有乘以，然后利用平方差公式计算； （2）利把分子分母有乘以，然后利用平方差公式计算； （3）利用（2）中的结论得到，然后比较大小即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：，，； （2）， 故答案为：； （3），理由如下： 由（2）中规律可得：，， ∵， ∴ ∴． 48．（2024春•河北期中）在算式“”中，“〇”表示被开方数，“□”表示“”“ ”“ ”“ ”中的某一个运算符号． （1）当“□”表示“”时，运算结果为，求“〇”表示的数． （2）如果“〇”表示的是（1）中所求的数，当“□”表示哪种运算符号时，算式的结果最小，直接写出这个最小数． 【答案】（1）〇”表示的数为27； （2）当“□”表示“”时，算式的结果最小，这个最小数是． 【分析】（1）设“〇”开平方后表示的数为，根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）分四种情况分别进行计算，然后进行比较即可解答． 【解答】解：（1）设“〇”开平方后表示的数为， 由题意得：， ， ， ， “ “表示的数， 〇”表示的数为27； （2）当“□”表示“”时， ； 当“□”表示“”时， ； 当“□”表示“”时， ； 当“□”表示“”时， ； ， 当“□”表示“”时，算式的结果最小，这个最小数是． 一十五．二次根式的化简求值 49．（2024春•广阳区校级月考）设，则　　 A．3 B． C． D． 【答案】 【分析】先计算出，，再代值利用二次根式的性质化简即可． 【解答】解：， ， ， 故选：． 50．（2024春•广安区校级月考）例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 【答案】（1）2；（2）． 【分析】（1）分别估算后求得a，b的值，然后将其代入计算即可； （2）估算出的值后再结合已知条件确定x，y的值，然后代入x﹣y中再根据相反数的定义即可求得答案． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∴的整数部分为b＝5， ∴＝2； （2）∵， ∴， ∴， 即13＜x+y＜14， ∵x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝13，， 则， 那么x﹣y的相反数为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$