第05讲 解三角形高频题型归纳（11大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 解三角形高频题型归纳 【考点归纳】 · 考点一、余弦定理解三角形 · 考点二、正弦定理解三角形 · 考点三、三角形面积公式及其应用 · 考点四、化角为边判断三角形形状 · 考点五：化边为角判断三角形形状 · 考点六、判断三角形解的个数 · 考点七、正、余弦定理的实际应用 · 考点八、利用基本不等式求范围问题 · 考点九、利用三角函数值域求范围问题 · 考点十、正、余弦定理在几何图形中的计算 · 考点十一：解三角形和三角函数综合问题 【知识归纳】 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 【题型归纳】 题型一、余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意可得的值，再由余弦定理可得边的大小. 【详解】在中，因为，，， 可知，所以， 所以为锐角，可得， 由余弦定理可得， 即，即， 可得. 故选：D. 2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对已知条件变形，然后由余弦定理直接求解即可. 【详解】因为，且，所以，即， 所以由余弦定理得. 故选：D 3．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解. 【详解】由余弦定理， 又， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 又，解得或， 又，所以，则， 所以. 故选：C 题型二、正弦定理解三角形 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得，进而求得，利用正弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得， ，化简得， 因为，所以， 可得，又，所以， 由正弦定理得，. 故选：C. 5．（23-24高一下·河南郑州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理求出角，再利用三角形内角和定理可求出角 【详解】在中，， 则由正弦定理得，， 得， 因为，所以或， 当时，， 当时，， 故选：D 6．（23-24高一下·广东东莞·期中）中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，求出的值，再利用正弦定理即可求出边. 【详解】由可知角是锐角，则， 因，故, 由正弦定理，可得，. 故选：D. 题型三、三角形面积公式及其应用 7．（23-24高一下·四川·期末）在中，分别是角的对边，的面积为，，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先由已知得到，再使用余弦定理求出，最后使用正弦定理得到结果. 【详解】由已知有，故. 再由余弦定理得. 故. 故选：C. 8．（23-24高一下·河南开封·期中）在三角形ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若三角形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积公式以及余弦定理整理可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，则， 可得，且，所以. 故选：D. 9．（23-24高一下·湖南·期中）记的内角的对边分别为为上一点，且．，则的面积为（    ） A．8 B．9 C．12 D．14 【答案】C 【分析】在中利用正弦定理并结合已知条件可得，再由余弦定理计算可知，代入面积公式可得结果. 【详解】如下图所示： 在中，由正弦定理可知， 由已知可得，联立可得， 由余弦定理可得，解得， 且， 故面积为. 故选：C. 题型四、化角为边判断三角形形状 10．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，从而分析得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又， 则，即， 因为，所以，则， 又，所以， 则为直角三角形. 故选：C 11．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 12．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知中，角的对边分别是，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理，结合诱导公式及二倍角的余弦公式可得，可得，从而可得是等边三角形. 【详解】由， 结合正弦定理可得，所以， 又因为是的内角，故， 所以是等边三角形. 故选：B. 题型五：化边为角判断三角形形状 13．（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边求解即得. 【详解】在中，由及余弦定理得，，整理得， 所以是等腰三角形. 故选：A 14．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理角化边，然后整理化简即可得答案. 【详解】因为， 所以， 整理得， 所以是等腰三角形. 故选：B. 15．（22-23高一下·福建福州·期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形. 故选：D 题型六、判断三角形解的个数 16．（23-24高一下·广东深圳·期中）中，角对应的边分别为，解下列三角形，只有一解的时（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理判断三角形解的个数. 【详解】中，，由正弦定理， ，，则，有两解，A选项错误； 中，，由正弦定理， ，，则，有两解，B选项错误； 中，，由正弦定理， ，，则，有两解，C选项错误； 中，，由正弦定理， ，，则，有一解，D选项正确； 故选：D. 17．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件根据正弦定理用表示出，然后由和正弦函数的性质求出的范围，从而可求出的取值范围. 【详解】由正弦定理，可得， 所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 因为，所以， 即，解得. 故选：. 18．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】如图：三角形中，，则有两解的充要条件为： 即， 故选：A. 题型七、正、余弦定理的实际应用 19．（23-24高一下·河南郑州·期末）某建筑的主体建筑集球､圆柱､棱柱､棱锥于一体，极具对称之美.如图，某人站在该建筑的正东方向一座居民楼的顶端，若在处观测到该建筑顶端的仰角为，地面上处的俯角为，若该建筑的高度，，估计居民楼的高度大约为（    ）（人的身高忽略不计，假设位于同一水平面） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中求出，再在中利用正弦定理求出，最后在中利用锐角三角函数求出. 【详解】在中，，所以， 所以， 在中，， 所以， 由正弦定理，即， 在中，所以. 故选：C 20．（23-24高一下·江苏南通·期末）某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（    ） A．10m B．14m C．17m D．20m 【答案】C 【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解. 【详解】 如图，设米，则米，米. 在中，由题意可得，， 由余弦定理可得， 解得 米. 故选：C. 21．（23-24高一下·湖北十堰·期末）在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据已知条件应用正弦定理求出,再在应用正弦定理求出即可. 【详解】设该船的初始位置为小时后的位置为，过作，垂足为，则为所求的最短距离. 由题意可知海里，则. 在中，由正弦定理可得，则海里. 在中，海里, ， 则海里. 故选：D. 题型八、利用基本不等式求范围问题 22．（23-24高一下·重庆涪陵·期中）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解. 【详解】由余弦定理得，即，即，又， ，即，当且仅当时等号成立. ， . . 故选：B 23．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，再由余弦定理，即可求解； （2）方法一：由正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式，求得，进而求得周长的取值范围； 方法二：根据题意，利用正弦定理求得，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得，又因为，所以. （2）方法一：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 由余弦定理得， 因为，所以，即， 由三角形性质知，当且仅当时，等号成立， 所以，故周长的取值范围为. 方法二：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 因为，可得，所以， 所以，故周长的取值范围为. 24．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，求的面积的最大值； (3)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，即可得解； （2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得； （3）结合（2）的结论求出的范围，即可得解. 【详解】（1）因为，，且， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以； （2）因为，， 由余弦定理，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的面积的最大值为； （3）由（2）可知， 则，又， 所以，即，显然， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即的周长的取值范围为. 题型九、利用三角函数值域求范围问题 25．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【详解】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 26．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理及诱导公式，即可求得，得角即可； （2）由正弦定理，将边全部化为角，利用三角函数来求值域即可． 【详解】（1）根据题意得，， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，则则， 则，，则． （2）由正弦定理得，，所以． 所以，， 因为锐角，则，即，解得． 则，故． 所以，则的取值范围． 27．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______. (1)求角； (2)若为锐角三角形,且,求周长的取值范围； (3)在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围. （注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分） 【答案】(1)条件选择见解析, (2) (3) 【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度； 选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度. （2）根据（1）中结果和，把周长转化成，然后再求解范围. （3）根据中线公式和正弦定理，把转化成三角函数求解即可. 【详解】（1）选①：因为， ,即， ，,. 选②：， ,               ， ,,. 选③：向量与平行， ,        , ,,. （2）,        , . 为锐角三角形,   ，         ， .               周长的取值范围为. （3），     又由中线公式可得， . 即， 为锐角三角形，    ，         ,.         . 题型十、正、余弦定理在几何图形中的计算 28．（22-23高一下·新疆和田·期末）如图，在四边形中，，，，，，则的面积 ．    【答案】/ 【分析】由求出，然后在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求出，然后利用三角形的面积公式可求出其面积. 【详解】因为，，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以，得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以的面积为， 故答案为： 29．（21-22高一下·福建福州·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC= . 【答案】 【分析】在中，由正弦定理可得,在中，由正弦定理可，因为，可求出，再由余弦定理可求出的值. 【详解】在中，由正弦定理可得：， 所以①， 在中，由正弦定理可得：， 所以②， 又因为，所以由①②可得：， 解得：， 所以在中，由余弦定理得： ， 解得：. 故答案为: . 30．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. (1)若，求的面积； (2)①求的值； ②求的最大值. 【答案】(1) (2)①27；②. 【分析】(1)利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可; (2)①利用余弦定理求解即可； ②在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理得，结合三角函数求解最值即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得，， 且是等腰直角三角形，则 （2）①设，因为，由余弦定理可得，， ，即； ②在中，， 由正弦定理可得，则， ，又， 在中，由余弦定理得 （其中为锐角，且）， 由可得， 所以当时，即时，取得最大值. 题型十一：解三角形和三角函数综合问题 31．（20-21高一下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围. 【详解】由以及正弦定理得，所以 即，又B为钝角，所以，故 于是 ，因为，所以 由此，即的取值范围是 故选：A 32．（21-22高一下·江苏南京·期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． (1)若，求B； (2)若，求符合条件的k的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换得出，再由，得出； （2）由结合正弦定理以及得出，令，结合基本不等式得出的最小值. 【详解】（1）， 即， ， ， 两边平方得，即， ,, ，; （2）由（1）可得，，则, 则，, ， 由得， 设，则 当且仅当时，等号成立 即符合条件的k的最小值为 33．（22-23高一下·湖南·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知， ． (1)求角B； (2)若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由； (3)若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当且仅当时等号成立，； (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变形即可求解，或者先利用余弦定理可得，再利用正弦定理边化角即可求解； （2）先利用向量的线性运算将用△的边长表示出来，再利用余弦定理以及基本不等式即可求解； （3）由可知BD平分∠ABC，利用三角形面积公式可得，最后利用正弦定理及三角恒等变形即可求解. 【详解】（1）法1： ∵，∴， 由正弦定理得, 即， ∴， ∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； 法2： ∵，∴， ∴①， 在△ABC中，由余弦定理得，②， 由①②得，即 ∴由正弦定理得， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）点是△内一动点，， ∴， ∴，∴， 由余弦定理知, 由基本不等式可得，即，， ∴，当且仅当时等号成立， ∴； （3）∵，∴， ∴， 又∵余弦函数在上单调，∴，即BD平分∠ABC， 又∵，，∴①， 又∵，，∴②， 由①②可得， 所以 ， 又∵，且△为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴． 【专项训练】 一、单选题 34．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知在中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由余弦定理求，再根据正弦定理求. 【详解】由余弦定理得，所以. 由题可得，由正弦定理得. 故选：A 35．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（    ）（参考数据：） A．169.50海里 B．175.10海里 C．182.30海里 D．191.40海里 【答案】A 【分析】根据题意求出，，，在中利用正弦定理可求得，然后在中利用勾股定理可求得结果. 【详解】在中，由题意得， 所以，. 在中，由题意得，，所以， 由正弦定理得， 所以. 在中，，， 所以海里. 故选：A. 36．（23-24高一下·广东中山·期中）在 中， 角 的对边分别为，已知，若，则的外接圆半径等于（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，再结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 可得，即，因为，所以， 又由，所以的外接圆的直径，可得， 所以的外接圆的半径为. 故选：B. 37．（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根据角A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解. 【详解】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以，所以或（舍去），所以， 由正弦定理得,， 而，，所以， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：B 38．（23-24高一下·浙江温州·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，代入面积公式结合角C的范围运算求解. 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由题意可得：，解得， 由正弦定理可得， 则面积， 因为，则，可得， 所以面积. 故选：A. 39．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数得到，化简得到，求得，再利用余弦定理结合基本不等式求解. 【详解】在中，有 由正弦定理得， 又， 所以， 因为，所以，即， 则，即， 由余弦定理得 ， 则，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：B. 40．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设,      因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 二、多选题 41．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（    ） A．若,则是等边三角形 B．若,则是等腰三角形 C．若,则是等腰直角三角形 D．若,则是锐角三角形 【答案】AC 【分析】根据正弦定理,余弦定理逐个进行边角互化即可. 【详解】对于A,由正弦定理得,所以,即,所以是等边三角形,故A正确； 对于B,由正弦定理得,又, 所以,所以或者,则或者, 则是等腰三角形或者直角三角形,故B错误； 对于C,由正弦定理得,当且仅当，即时等号成立, 所以,又,所以,即, 此时,是等腰直角三角形,故C正确； 对于D,因为, 所以或者,即A或者B为钝角,所以是钝角三角形,故D错误． 故选:AC． 42．（23-24高一下·云南丽江·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则符合条件的三角形有两个 C．的最大值为32 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由余弦定理将角化边，即可判断A；利用正弦定理判断B；由余弦定理及基本不等式判断C，将转化为的三角函数，结合的范围及正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：由正弦定理得，解得， 故符合条件的三角形不存在，故B错误； 对于C：由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：， 因为，所以， 所以， 即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 43．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为若，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用正弦定理可得，进而可知，结合三角恒等变换化简得，结合正弦函数分析求解. 【详解】因为， 由正弦定理得，即. 又因为是锐角三角形，即，可知. 由，解得， 则 ， 且，可知，则， 所以的取值范围为. 结合选项可知：AC错误，BD正确； 故选：BD. 44．（23-24高一下·辽宁大连·期中）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式，其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示．在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（    ） A．面积的最大值是 B． C． D．面积的最大值是 【答案】BD 【分析】化简得到，得到，故B正确，C错误；再代入公式求出，从而求出面积最大值. 【详解】由题意，得， 即， 所以根据正弦定理有，故B正确，C错误． 由，得 ， 当，即时，面积取到最大值是，A错误，D正确； 故选：BD． 三、填空题 45．（23-24高一下·上海·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】由正弦定理可得，再利用化简可得，再结合两角差的正弦公式求解即可． 【详解】， ， 由正弦定理得，， ， ， ， 又，， ， 即， ， ， 又，， ，即. 故答案为：. 46．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理，可得，再根据同角三角函数的关系可得，，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得的取值范围，进而可得的取值范围，令，则，然后利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】因为，， 所以，即， 由余弦定理，所以， 又因为，所以， 解得或， 因为为锐角三角形， 所以，所以， 所以，因为， 所以， 由正弦定理得， 因为为锐角三角形， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为，当时，有最大值为， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解. 47．（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则，在中，运用余弦定理可得，再由，，得，代入根据二次函数的最值可求得当时，有最小值，据此即可求解. 【详解】设，则， 在中，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，当时，有最小值，此时取最小值， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示的长，求得何时取得最小值，属于中档题. 48．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，内角的角平分线长为，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】设角的角平分线为，由面积公式得到，将两边平方，再结合余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】设角的角平分线为，则， 即， 即，所以， 所以， 由余弦定理，即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 49．（23-24高一下·河北·期中）莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理.该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.如图，在等腰直角中，是的莫利正三角形，则的边长为 . 【答案】 【分析】首先求出、，在中利用正弦定理求出，同理可得，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】在等腰直角中，， 所以， 在中，，，， 由正弦定理得， 同理可得，，， 所以， 即等边的边长为. 故答案为：. 四、解答题 50．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在中,内角所对的边分别是且. (1)求角; (2)若,求边上的角平分线长; (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理将边化为角,再进行三角恒等变换,求出,得出即可. （2）先选用余弦定理得出关系式,再将三角形面积进行转化,用等面积法. ,运用面积公式求解即可. （3）先用中线的向量表达式,,两边平方,将中线长转化为求的范围,后将又转化为三角函数求值域问题,最终求得中线长范围. 【详解】（1）因为,根据正弦定理, 即, 即,又, 所以,因为,所以． （2）由及余弦定理得,即, 又因为,所以, 所以, 所以,即． （3）因为是的中点,所以, 则, 由正弦定理得, 即, 因为,所以,所以, 所以,所以,所以, 所以,即边上的中线的取值范围为． 51．（23-24高一下·四川·期末）在中，角所对的边分别为，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分） ① ② ③ (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及二倍角公式求解即可；选②，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得；选③，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得. （2）利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦公式，结合正切函数的性质求出范围. 【详解】（1）选①：在中，由及正弦定理得， 则，又，于是， 而，解得，又，则， 所以； 选②：在中，，且， 则，即， 由正弦定理得，又， 于是，而，则，又， 所以； 选③：在中，由及正弦定理得， 得，即， 由余弦定理得，又， 所以； （2）在中，由正弦定理，得， 由（1）知，即，由为锐角三角形， 得，即，于是， 所以，即的取值范围为， 所以. 52．（23-24高一下·河南洛阳·期末）在中，角所对的边分别为，已知． (1)若的外接圆半径为，且，求； (2)若，求锐角的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由已知及正弦定理得到，然后据（1）的条件得到，进一步可得到，最后使用余弦定理解出； （2）先由已知及是锐角三角形，得到，再对任意的构造满足题目条件且面积等于的，即可得到的面积的取值范围是. 【详解】（1）由及正弦定理得. 故，得. 所以，知. 记的外接圆半径为，则，且，故. 又有， 所以，即. 故， 解得. （2）我们已有，记的外接圆半径为，则. 是锐角三角形当且仅当，即，故的范围是. 又因为 . 故由的范围是，知的范围是，所以的范围是. 而，所以的面积的取值范围是. 53．（23-24高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小； (2)若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，求出此时、的值，再由余弦定理计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又，所以， 所以，即，又， 所以； （2）因为的面积为，即， 即，则，， 因为，所以， 在中， 即，当且仅当，即，时取等号， 所以，即的最小值为，此时，， 则， 所以，即. 54．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足 (1)求角； (2)为边上一点，，且求的最小值. (3)圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的面积公式及余弦定理，辅助角公式可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）由题意可得为角平分线，再由等面积法可得，由基本不等式可得的范围，进而求出三角形的面积的最小值； （3）由正弦定理可得三角形外接圆的半径，再由向量的运算及基本不等式可得的最小值． 【详解】（1）由及， 可得， 所以， 由余弦定理可得， 所以，即， 因为， 所以， 即； （2）在中，由正弦定理可得：，即， 在中，由正弦定理可得：，即， 且与互为补角，可得， 即，又，且，即，所以， 又，所以，所以为的角平分线， 所以， 由可得， 所以，解得，当且仅当时取得等号， 即的最小值为， 所以； 即的面积的最小值为；    （3）设圆半径为，则， 设，，则，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为．    【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是设，，从而得到，再根据数量积的定义将转化为关于的式子. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 解三角形高频题型归纳 【考点归纳】 · 考点一、余弦定理解三角形 · 考点二、正弦定理解三角形 · 考点三、三角形面积公式及其应用 · 考点四、化角为边判断三角形形状 · 考点五：化边为角判断三角形形状 · 考点六、判断三角形解的个数 · 考点七、正、余弦定理的实际应用 · 考点八、利用基本不等式求范围问题 · 考点九、利用三角函数值域求范围问题 · 考点十、正、余弦定理在几何图形中的计算 · 考点十一：解三角形和三角函数综合问题 【知识归纳】 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 【题型归纳】 题型一、余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A．4 B． C．3 D． 2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（    ） A． B． C． D． 题型二、正弦定理解三角形 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 5．（23-24高一下·河南郑州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 6．（23-24高一下·广东东莞·期中）中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三、三角形面积公式及其应用 7．（23-24高一下·四川·期末）在中，分别是角的对边，的面积为，，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（23-24高一下·河南开封·期中）在三角形ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若三角形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·湖南·期中）记的内角的对边分别为为上一点，且．，则的面积为（    ） A．8 B．9 C．12 D．14 题型四、化角为边判断三角形形状 10．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 11．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①；②； ③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 12．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知中，角的对边分别是，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 题型五：化边为角判断三角形形状 13．（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 14．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 15．（22-23高一下·福建福州·期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型六、判断三角形解的个数 16．（23-24高一下·广东深圳·期中）中，角对应的边分别为，解下列三角形，只有一解的时（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七、正、余弦定理的实际应用 19．（23-24高一下·河南郑州·期末）某建筑的主体建筑集球､圆柱､棱柱､棱锥于一体，极具对称之美.如图，某人站在该建筑的正东方向一座居民楼的顶端，若在处观测到该建筑顶端的仰角为，地面上处的俯角为，若该建筑的高度，，估计居民楼的高度大约为（    ）（人的身高忽略不计，假设位于同一水平面） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·江苏南通·期末）某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（    ） A．10m B．14m C．17m D．20m 21．（23-24高一下·湖北十堰·期末）在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 题型八、利用基本不等式求范围问题 22．（23-24高一下·重庆涪陵·期中）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 23．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 24．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，求的面积的最大值； (3)若，求的周长的取值范围. 题型九、利用三角函数值域求范围问题 25．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围． 27．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______. (1)求角； (2)若为锐角三角形,且,求周长的取值范围； (3)在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围. （注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分） 题型十、正、余弦定理在几何图形中的计算 28．（22-23高一下·新疆和田·期末）如图，在四边形中，，，，，，则的面积 ．    29．（21-22高一下·福建福州·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC= . 30．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. (1)若，求的面积； (2)①求的值； ②求的最大值. 题型十一：解三角形和三角函数综合问题 31．（20-21高一下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 32．（21-22高一下·江苏南京·期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． (1)若，求B； (2)若，求符合条件的k的最小值． 33．（22-23高一下·湖南·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知， ． (1)求角B； (2)若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由； (3)若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围． 【专项训练】 一、单选题 34．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知在中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（    ）（参考数据：） A．169.50海里 B．175.10海里 C．182.30海里 D．191.40海里 36．（23-24高一下·广东中山·期中）在 中， 角 的对边分别为，已知，若，则的外接圆半径等于（    ） A． B．2 C． D．4 37．（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·浙江温州·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 41．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（    ） A．若,则是等边三角形 B．若,则是等腰三角形 C．若,则是等腰直角三角形 D．若,则是锐角三角形 42．（23-24高一下·云南丽江·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则符合条件的三角形有两个 C．的最大值为32 D．的取值范围为 43．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为若，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 44．（23-24高一下·辽宁大连·期中）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式，其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示．在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（    ） A．面积的最大值是 B． C． D．面积的最大值是 三、填空题 45．（23-24高一下·上海·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，则 ． 46．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为 . 47．（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 48．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，内角的角平分线长为，则的面积为 . 49．（23-24高一下·河北·期中）莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理.该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.如图，在等腰直角中，是的莫利正三角形，则的边长为 . 四、解答题 50．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在中,内角所对的边分别是且. (1)求角; (2)若,求边上的角平分线长; (3)求边上的中线的取值范围． 51．（23-24高一下·四川·期末）在中，角所对的边分别为，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分） ①②③ (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 52．（23-24高一下·河南洛阳·期末）在中，角所对的边分别为，已知． (1)若的外接圆半径为，且，求； (2)若，求锐角的面积的取值范围． 53．（23-24高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小； (2)若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 54．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足 (1)求角； (2)为边上一点，，且求的最小值. (3)圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$