第03讲 一元二次方程根与系数的关系（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第03讲 一元二次方程根与系数的关系（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数关系的应用 知识点一 根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【典型例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1．方程的两根为、，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设方程的两个根为，那么的值等于（   ） A．－3 B．1 C．－1 D．2 3．已知关于 x 的一元二次方程两个根，则 ． 4．若实数m，n是方程：的两个根，则 ． 5．已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【典型例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 1．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．2024 D．2025 2．若a，b是方程的两个根，则（    ） A． B．1 C． D．56 3．已知，是一元二次方程的两个实数根．则的值为 ． 4．关于x的方程的两根之和为，两根之积为3，则的值为 ． 5．已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值. 【典型例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 1．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 3．若一元二次方程的两根为m，n，则 ． 4．设是方程的两个实数根，则 ． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【典型例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 1．若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 2．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 3．已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ． 4．已知实数，满足，，则 ． 5．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【典型例题五 由两根关系求方程字母系数】 1．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 2．已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 3．设是方程的两个根，且，则 ． 4．若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 5．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【典型例题六 根与系数关系的新定义问题】 1．定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 2．定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．对于实数、，定义运算“※”：．例如，．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则 ． 4．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 5．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【典型例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程有两个负实数根；③若方程两根为，且满足，则方程的实数根为和；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 3．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（    ） A．若，则 B．方程的解为 C．若有一根为2，则 D．若分式值为零，则，2 4．对于一元二次方程，下列说法错误的是(       ) A．若，则方程必有一根为； B．若是一元二次方程的根，则 C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根 D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根； 【典型例题八 一元二次方程根与系数关系的应用】 1．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 2．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（   ） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 3．已知菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 ． 4．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 5．已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 【变式训练1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1．若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程两根为，，则的值为 ． 3．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 【变式训练2 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 1．一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)设此方程的两个根为与，若，求k的值． 【变式训练3 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 1．已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．14 D．15 2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【变式训练4 构造一元二次方程求代数式的值】 1．若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如果x、y是两个实数（）且，，则 ． 3．阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【变式训练5 由两根关系求方程字母系数】 1．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数的值为（    ） A． B．7 C． D．1 2．已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ． 3．若关于的一元二次方程有实数根，且． (1)求的取值范围． (2)若，求的值． 【变式训练6 根与系数关系的新定义问题】 1．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（    ） A．或4 B．4 C． D．或1 2．定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ． 3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知是关于x的凤凰方程，m是此方程的一个根，求m的值． 【变式训练7 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 1．关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 2．若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 3．在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ． 4．若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【变式训练8 一元二次方程根与系数关系的应用】 1．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 ． 3．已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 1．已知方程的两根之比为，则k的值为（    ） A． B． C．4 D．6 2．若方程的两根分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 4．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．8 B． C．8或 D．8或9 5．对于一元二次方程，下列说法中正确的个数是（    ） （1）当时，方程一定有实数根； （2）当时，方程至少有一个根为； （3）当，方程的两根一定互为相反数； （4）当时，方程的两个根同号，当时，方程的两个根异号． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知方程的根为，则的值为 ． 7．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 8．设，是方程的两个实数根，则的值是 ． 9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，；则 ． 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，且，则整数m的值为 ． 11．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根． (2)若是方程两个不相等的根，且，求k的值？ 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求的值． 14．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程根与系数的关系（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数关系的应用 知识点一 根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【典型例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1．方程的两根为、，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， 故选：A． 2．设方程的两个根为，那么的值等于（   ） A．－3 B．1 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程两根为，则两根之和，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：方程的两个根为， ， 故选：C． 3．已知关于 x 的一元二次方程两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于一元二次方程的两个根是解题的关键． 直接根据根与系数的关系即可解答． 【详解】解：关于 x 的一元二次方程两个根，则 ． 故答案为． 4．若实数m，n是方程：的两个根，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：、是方程的两个实数根， ∴， 故答案为：． 5．已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 【典型例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 1．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ， 故选：A． 2．若a，b是方程的两个根，则（    ） A． B．1 C． D．56 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及已知式子的值，求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入代数式即可得出答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：D． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根．则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是根与系数的关系，根据题意两根之和为，两根之积为，然后化简 得代入数值即可得到答案． 【详解】解：已知，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：8． 4．关于x的方程的两根之和为，两根之积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系为：是解题的关键． 根据根与系数的关系得出，求出与的值，然后计算即可得出答案． 【详解】解：∵方程的两根之和为，两根之积为3， ， ， ， 故答案为：． 5．已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值. 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，及根与系数的关系． （1）计算一元二次方程根的判别式得，根据“当时，一元二次方程有两个不相等的实数根”即可得证得结论； （2）根据一元二次方程的跟与系数的关系，得，，然后利用完全平方公式变形，求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ，恒成立，与无关， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：，为方程的两个实数根， ，， ， 解得，． 【典型例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 1．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为， ∴， ∴ ； 故选D． 2．已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 故选A 3．若一元二次方程的两根为m，n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，先将一元二次方程的解代入方程中得，再根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后变形所求代数式，进而代值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为m，n， ∴，，，即， ∴ ， 故答案为：． 4．设是方程的两个实数根，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系：先把代入整理得出，结合，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 则 ∴ 故答案为：4 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 【典型例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 1．若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法得到的两个根，，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为， ∴，， ∴关于y的方程的两根为， ∴． 故选C． 2．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得、为方程的两个根，得到，，将转化为，然后代入计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵两个不等实数，满足，， ∴、为方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 3．已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，观察题目中条件中的两个方程和目标式，通过对条件方程的灵活变形，创造条件使用根与系数的关系是解题的关键． 把方程变形为，可知x，是一元二次方程的两个不同的根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】， ， ， ， ， ， x，是一元二次方程的两个不同的根， ， ， 故答案为：24． 4．已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 5．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． （1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到，，然后代入求解即可得到答案； （2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到，，将化为，将，代入求值即可得到答案； （3）根据题意，确定与看作是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到，，先求出的值，再由变形得到，将，代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， ，， ∴， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ， ， ， ， ； （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【典型例题五 由两根关系求方程字母系数】 1．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 2．已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入等式中，求出实数的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 3．设是方程的两个根，且，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵ ∴ 解得 故答案为：6 4．若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由题意得：，，， ， ， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，实数的值是或， 故答案为：或． 5．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， ∴ 解得：． （2）解：原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去）， 【典型例题六 根与系数关系的新定义问题】 1．定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】根据新运算化简得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程的根的情况． 【详解】解：根据题意得， 化简得， ， 方程无实数根． 故选D． 【点睛】本题主要考查了新运算、一元二次方程的根与系数的关系． 2．定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系可找出，根据新运算找出，将其中的1替换成，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 3．对于实数、，定义运算“※”：．例如，．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义表示出，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 4．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为，再由一元二次方程根与系数的关系可得，，然后求出m、n的值，即可． 【详解】解：∵一元二次方程满足， ∴ “和谐”方程的一个根为1， ∵一元二次方程满足， ∴“美好”方程的一个根为， ∵一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ∴一元二次方程的根为1和， ∴，， 解得， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】(1)①② (2)或， (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； （2）解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， （3）解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 【典型例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程有两个负实数根；③若方程两根为，且满足，则方程的实数根为和；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， ∴，即a和c异号， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根， ∴ ∴方程的两个根异号，故②错误； ③∵方程两根为，且满足， ∴， 令，， ∴方程有两个实数根，令两根分别为， ∴， ， ∴方程，必有实根，，故③错误； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ，故④正确． 故正确的有①④． 故选：C． 2．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 3．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（    ） A．若，则 B．方程的解为 C．若有一根为2，则 D．若分式值为零，则，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，分式值为0的条件，解一元二次方程即可判断A、B；根据根与系数的关系得到另一根为，则，即可判断C；根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0即可判断D． 【详解】解：A、若，则，解答错误，不符合题意； B、方程的解为或，解答错误，不符合题意； C、若有一根为2，则另一根为，则，解答正确，符合题意； D、若分式值为零，则，解得，解答错误，不符合题意； 故选：C． 4．对于一元二次方程，下列说法错误的是(       ) A．若，则方程必有一根为； B．若是一元二次方程的根，则 C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根 D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根； 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，由，可得出方程必有一根为，即可判断A；利用求根公式得出，变形即可判断B；由一元二次方程根与系数的关系可得，，变形即可判断C；根据一元二次方程根的判别式即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，， 若，方程必有一根为，故A说法正确，不符合题意； 是一元二次方程的根， ， ， ，故B说法正确，不符合题意； 方程两根为，且满足， ，， ，， 方程，必有实根，故C说法正确，不符合题意； 方程有两个不相等的实根， ， ， 方程有两个不相等的实根，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 【典型例题八 一元二次方程根与系数关系的应用】 1．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（   ） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 【答案】C 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质．设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，即的两根为， 由题意得：， ∵菱形面积为20， ∴，解得：， ∴一元二次方程为， 整理得， 解得， ∴该菱形两对角线长分别为4与10， 故选：C． 3．已知菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 ． 【答案】27 【分析】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质．根据根与系数的关系得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出结果．掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：27． 4．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、判断点所在的象限，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知，推出，，判断点所在的象限即可，掌握“对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则”是解题的关键． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴实数，异号，即一正一负， 又∵， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 5．已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①m的取值范围为；②菱形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了根的判别式和菱形的性质，灵活运用所学知识是关键． （1）计算判别式的值即可判定方程实数根的情况； （2）①根据根与系数关系可得，即可求出m的取值范围；②根据菱形边长和对角线的关系即可求出，再根据根与系数关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵        ∴不论m为何实数，方程总有实数根。 （2）解：①由题意得：   解得：，   ∴m的取值范围为 ②设菱形的边长为a，则 ∵ ∴ ∴ （舍） 所以，菱形的边长为 【变式训练1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1．若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先整理为一般形式，再根据根与系数的关系判定即可． 【详解】方程整理为：， ∵是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 2．若关于的一元二次方程两根为，，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：利用根与系数的关系可知，，， ． 故答案为：7． 3．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可；（3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可． 【详解】解：（1）∵， 且， ∴； （2）∵， 且， ∴； （3）方程化为， ∵， 且， ∴； （4）方程化为，∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 【变式训练2 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 1．一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意得：，，再代入代数式进行计算即可．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 2．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，代入求出的值． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，即，， ∴， 故答案为：． 3．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)设此方程的两个根为与，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式； （1）一元二次方程有实数根，则，求出k的取值范围即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再根据即可求出k的值． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：； （2）解：由题意得：，， ∴，即，解得： 【变式训练3 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 1．已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．14 D．15 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值，把与分别代入方程得到，，根据根与系数的关系得到，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ 故选：C． 2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握，．把代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理，即可求解． 【详解】解：把代入原方程得：， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 故答案为：4049． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系： （1）根据根的判别式即可求出答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：． ∵一元二次方程有两个实数根， ∴；． ∴； ∴ （2）解：由根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 整理得：， 解得或． ∵， ∴不合题意，应舍去， ∴． 【变式训练4 构造一元二次方程求代数式的值】 1．若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是． 【详解】解：根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 2．如果x、y是两个实数（）且，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系和分式的化简求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 将两边同时除以，然后设，则可得为一元二次方程的两个不相等的实数根；由根与系数的关系可得和的值，然后代入原式计算即可． 【详解】解：， ， ， 设，则， ， ， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． 故答案为：． 3．阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可解决问题． （2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题． （3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题． 【详解】（1）解：，， 故答案为：， （2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 【变式训练5 由两根关系求方程字母系数】 1．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数的值为（    ） A． B．7 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系分别求出，的值代入求解即可，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 【详解】解：，， ， ， 解得， 故选：A． 2．已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．由一元二次方程根与系数的关系可知，，再整体代入中，求出m的值，代入原方程，判断是否有两个实数根即可． 【详解】解：、是的两个实数根， ，， ， ， ， ， ，， 当时，原方程为，， 不合题意，应舍去； 当时，原方程为，， 符合题意； 即m的值为． 故答案为：． 3．若关于的一元二次方程有实数根，且． (1)求的取值范围． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）由方程有两个不相等的实数根可得，代入即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由即可得到关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 化为一般形式为， ∵原方程有实数根，且， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ， ， ， 解得． 【变式训练6 根与系数关系的新定义问题】 1．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（    ） A．或4 B．4 C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的方程，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，．根据方程的两实数根的平方和为12，得△，，，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，该方程为， 方程的两实数根的平方和为12， ， ， 设两实数根为，，则，， ， 整理得：， 解得：，， ， ， 故选：C 2．定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，先根据定义运算化简@@，再根据根与系数的关系求出、的值，最后把、的值代入化简后的式子得结论． 【详解】由题意：@@ ，是方程的两根， ， 原式 故答案为： 3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知是关于x的凤凰方程，m是此方程的一个根，求m的值． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．根据“凤凰方程”的定义知是一元二次方程的根，所以由一元二次方程的解的定义、根与系数的关系可求得m的值． 【详解】解：根据“凤凰方程”的定义知是一元二次方程的根； ①当时，是关于x的凤凰方程； ②当时， ∵m是方程的一个根， ∴， 解得． 综上所述，m的值是2或． 【变式训练7 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 1．关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意得，则，故①是真命题；根据题意得，则②是真命题；由题意得，则方程的判别式：，由于a的符号不确定，故③是假命题；由题意得，且，则，有，可得是的一个根，故④是真命题． 【详解】解：若，则， ∴，故①是真命题； 若该方程的两根为和1，则， ∴， ∴，故②是真命题； 若有两个相等的实数根，则， ∴的判别式：， ∵a的符号不确定， ∴方程根的情况不确定，故③是假命题； 若r是该方程的一个根，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的一个根，故④是真命题； 故答案为：①②④． 2．若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 3．在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ． 【答案】 14 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系得应用，方程改写为，则可求得，根据根于系数的关系求出方程的根，进而可求解，解题的关键是理解方程根与系数的关系． 【详解】解：关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，， 方程可以写成， 即：， ， ， ， ， 即：， 即：， ， 或或， ，，， ， 故答案为：；14． 4．若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把变形，再解方程可判定④，从而可得答案． 【详解】解：①化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴ 解得：，故①错误， ∵关于的一元二次方程有实数根、， 当，则， ∴方程为， 解得：，，故②正确； ∵关于x的一元二次方程有实数根，，且， 而可化为：， ∴，， ∴或，故③错误； ∵化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴，， ∵ ， ∴， 解得：或，故④正确， 故答案为：②④ 【变式训练8 一元二次方程根与系数关系的应用】 1．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根和系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形运算，由菱形的面积为得，根据根和系数的关系得，利用勾股定理和完全平方公式的变形运算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为， 则， ∴， ∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的边长， 故选：． 2．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 ． 【答案】5 【分析】设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， 由题意得：， ∵菱形面积为24， ∴，解得：， ∴菱形的边长为 ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 3．已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键． （1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根和， ， 解得：； （2）和一元二次方程的两根， ，， 和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 解得：， ，， 不符合题意， 不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为． 1．已知方程的两根之比为，则k的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，设的两根分别为，根据一元二次方程根与系数关系求解即可． 【详解】解：设的两根分别为， 则 解得 ∵， ． 故选：C 2．若方程的两根分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．利用根与系数的关系可得出，再将其代入整理后的代数式，中即可求出结论． 【详解】解：方程的两根分别为和， ， ． 故选：A． 3．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系．先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，再将化为，最后整体代入即可求解． 【详解】解：，是方程的两个实数根， 即， ， ， 故选：A． 4．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．8 B． C．8或 D．8或9 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的三边关系等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的三边关系是解题的关键． 设是关于的方程的两个根，则，，由等腰三角形的一边长是4，分当时，，当时，两种情况，判断求解即可． 【详解】解：设是关于的方程的两个根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长是4， ∴当时，，此时三边长为4，4，2，能构成三角形，； 当时，此时三边长为4，3，3，能构成三角形，； 综上所述，的值为8或9， 故选：D． 5．对于一元二次方程，下列说法中正确的个数是（    ） （1）当时，方程一定有实数根； （2）当时，方程至少有一个根为； （3）当，方程的两根一定互为相反数； （4）当时，方程的两个根同号，当时，方程的两个根异号． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．正确．当时，，则方程一定有实数根； B．正确．当时，则，则方程至少有一个根为0； C．正确．当时，设方程两根为， ，则方程的两根一定互为相反数； D．错误．当时，方程的两个根异号，当时，方程的两个根同号． 故选：C． 6．已知方程的根为，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．先将变形为，利用根与系数的关系得到，将其代入即可解答． 【详解】解：，方程的根为， ， ， 故答案为：9． 7．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，将变形代入即可求出结果，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为2023． 8．设，是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，；则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，多项式乘以多项式，代数式求值，根据根与系数的关系得出，，根据多项式乘以多项式得到，然后代入求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：． 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，且，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程相关，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程的解法是解题的关键．由题意根据方程有两个不相等的实数根，其根的判别式大于0得到且，然后求出关于x的一元二次方程的解，进而代入，且，进行分析计算得出整数m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴且， ∵ ∴ ∴， 解得， ∵，且， ∴， ∴ ∴ 又∵，且 ∴ ∵m是整数 ∴． 故答案为：． 11．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握相关的知识． （1）由关于的一元二次方程有两个实数根，可得，继而求得实数的取值范围； （2）由方程的两个实数根为、，且，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：； （2）由根与系数的关系可知：，， ， ， 解得：，， ∵， 的值为． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根． (2)若是方程两个不相等的根，且，求k的值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）计算出判别式，再配方即可判断； （2）利用根与系数关系得，把配方为，便于利用根与系数的关系，解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题意得：关于 x 的一元二次方程， ， 故该方程一定有两个不相等的实数根． （2）解：由题意得：， ， ∴， 即， 解得， 综上或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，配方法的应用，正确运用配方法是解题的关键． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ， ， 解得， 即的值为1． 14．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】(1) (2) (3)121，242，363，484 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清“如意数”的定义． （1）根据如意数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合如意数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是如意数， ，即； 故答案为：； （2）解：是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ，， 将两边同除以得：， 将m、看成是方程的两个根， ， 方程有两个相等的实数根， ，即； 故答案为： （3）解：，， ，， ， ， ， ， 解得：， 满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)是，见解析 (2)0或 (3)16 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得：，， ∵，符合邻根方程的定义， ∴是邻根方程； （2）∵关于x的方程是邻根方程 ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由韦达定理：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 答：t的最大值为16． 【点睛】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$