2.5有理数的乘方 学案 2023-2024学年浙教版七年级数学上册

浙教版数学七年级上册自主学案 第2章　有理数的运算 2.5　有理数的乘方 第1课时　有理数的乘方 教材的地位 和作用 　有理数的乘方是有理数的一种基本的运算,是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算的基础上来学习的,它既是有理数乘法的推广和延续,又是后继学习有理数混合运算、科学记数法和开方的基础,起到承前启后、铺路架桥的作用 重点 难点 重点 　乘方运算及其相关概念 难点 　理解乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系 易错点 　当底数是分数或负数时,底数容易忘记添括号;容易混淆负数的乘方与乘方的相反数 知识点　乘方的概念 求几个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做　幂　.在an中,a叫做　底数　,n叫做　指数　.  1.对乘积(-3)×(-3)×(-3)×(-3)记法正确的是 (B) A.-34 B.(-3)4 C.-(+3)4 D.-(-3)4 2.-25的底数是　2　,指数是　5　,运算结果是　-32　.  【题型探究】 类型一　乘方的运算 例1 (教材补充例题)(1)计算的结果是 (D) A.-2 B. C.- D. 　　(2)计算-42的结果是 (B) A.-8 B.-16 C.16 D.8 【归纳总结】 有理数乘方的符号法则: (1)正数的任何正整数次幂都是正数; (2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数; (3)0的任何正整数次幂都是0. 类型二　乘除、乘方的混合运算 例2 (教材例2针对训练)计算: (1)-3×(-4)2; 解:-3×(-4)2=-3×16=-48. 　　(2)(-42)÷(-2)3. 解:(-42)÷(-2)3=(-16)÷(-8)=2. 【归纳总结】 乘除与乘方的混合运算法则: 对于乘除和乘方的混合运算,应先算乘方,后算乘除;如果遇到括号,就先进行括号里的运算. 类型三　乘方的应用 例3 (教材补充例题)1米长的小木棒,第一次截去一半,第二次截去剩下的一半,如此截下去,第六次截去后剩下的小木棒有多长? 解:1×=(米),即剩下的小木棒长米. 【学以致用】 1．某种细菌的分裂速度非常快，1个细菌经过1分钟分裂为2个，再过1分钟又分别分裂为2个，即总共分裂为4个……照这样的分裂速度，一个细菌分裂为满满一小瓶恰好需要1小时．同样的细菌，同样的分裂速度，同样的小瓶，如果开始时瓶内装有2个细菌，那么恰好分裂为满满一小瓶需要(　D　) A．15分钟 B．30分钟 C．45分钟 D．59分钟 2．如图所示为按照一定规律画出的“树形图”．经观察可以发现：图②比图①多出2个“树枝”，图③比图②多出4个“树枝”，图④比图③多出8个“树枝”……照此规律，图⑥比图②多出的“树枝”个数为(　C　) 第2题图 A．28 B．56 C．60 D．124 【解析】 图②比图①多出2个“树枝”，图③比图②多出4个“树枝”，图④比图③多出8个“树枝”……则图⑥比图②多出的“树枝”个数为22＋23＋24＋25＝60. 3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．由图可知，她一共采集到的野果数量为(　B　) 第3题图 A．1 837个 B．1 838个 C．1 839个 D．12 302个 【解析】 由题意得，她一共采集到的野果数量为1×64＋2×63＋3×62＋0×6＋2＝1 838(个)． 4．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为__20__. 第4题图 5．如果一个数的平方等于16，那么这个数是__4或－4__；如果一个数的平方等于(－2)2，那么这个数是__2或－2__. 6．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，….通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是__8__. 【解析】 观察发现，在指数从1开始逐一增大的过程中，幂的个位数字以2，4，8，6四个为一组循环． 又∵15÷4＝3……3， ∴215的个位数字是8. 7．有一张厚度为0.1 mm的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1 mm. (1)对折2次后，厚度为多少？ (2)若每层楼的平均高度为3 m，则这张纸对折20次后约有多少层楼高(假设这张纸能对折20次，结果保留整数；参考数据：219＝524 288，220＝1 048 576)? 解：(1)22×0.1＝0.4(mm)． 答：对折2次后，厚度为0.4 mm. (2)220×0.1＝104 857.6(mm)， 104 857.6 mm＝104.857 6 m， 104．857 6÷3≈35(层)． 答：这张纸对折20次后约有35层楼高． 8．[推理能力]阅读材料： 我们平常用的是十进制，如1 967＝1×103＋9×102＋6×10＋7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如二进制中的111＝1×22＋1×2＋1，相当于十进制中的7，11011＝1×24＋1×23＋0×22＋1×2＋1，相当于十进制中的27. 请你计算： (1)二进制中的1011相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的哪个数相当于十进制中的8? 解：(1)1011＝1×23＋0×22＋1×2＋1＝11， 即二进制中的1011相当于十进制中的11. (2)8＝1×23＋0×22＋0×2＋0，相当于二进制中的1000， 即二进制中的1000相当于十进制中的8. 第2课时　科学记数法 教材的地位 和作用 　科学记数法是在学生学习了有理数的乘方知识后,与现实世界中的大数相关的数学内容.本节课在让学生感受现实世界中的大数的过程中培养数感,同时通过对数学信息作出合理的解释和推断,学会用科学的、方便的方法表示大数,另外也为今后用科学记数法表示微观世界中较小的数据奠定基础 重点 难点 重点 　学会用科学记数法表示大数 难点 　探索归纳出科学记数法中指数与整数位数间的关系 易错点 　科学记数法a×10n中,a和n容易搞错 知识点一　科学记数法的概念 把一个数表示成a(1≤|a|<10)与10的幂相乘的形式,叫做科学记数法. 1.下列各数的表示形式属于科学记数法的是 (B) A.0.34×105 B.3.4×104 C.34×103 D.34000 2.5570000=5.57×　1000000　=5.57×10(　6　).   知识点二　写出用科学记数法表示的数的原数 先根据10的指数确定原数的整数位数(整数位数等于指数n加1),原数等于把a的小数点向右移动　n　位得到的数.  3.写出下列用科学记数法表示的数的原数: (1)2.31×105=　231000　;  (2)3.001×104=　30010　;  (3)-1.28×103=　-1280　;  (4)-7.568×107=　-75680000　.  【题型探究】 类型一　用科学记数法表示绝对值较大的数 例1 (教材补充例题)中国航母辽宁舰是中国海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,满载排水量为67500吨,将67500吨用科学记数法表示为 (A) 图1 A.6.75×104吨 B.67.5×103吨 C.0.675×105吨 D.6.75×10-4吨 【归纳总结】 用科学记数法(a×10n)表示绝对值大于10的数的“三步法”: (1)确定a,a必须满足1≤|a|<10; (2)确定n,n的值等于原数的整数位数减1; (3)写成a×10n的形式. 类型二　写出用科学记数法表示的数的原数 例2 (教材补充例题)写出下列用科学记数法表示的数的原数: (1)全世界的人口大约有7.2×109人; (2)长城总长约2.1×104千米; (3)太阳和地球的平均距离大约是1.5×108千米; (4)一双没有洗过的手大约有8×108个细菌. 解:(1)7200000000. (2)21000. (3)150000000. (4)800000000. 【归纳总结】 将形如a×10n的数还原成原数的方法: (1)还原后原数的整数位数等于n+1; (2)原数等于把a的小数点向右移动n位所得的数; (3)当向右移动小数点时,位数不够则用0补上. 类型三　科学记数法在实际生活中的应用 例3 (教材例4针对训练)一个正常人心脏跳动的平均频率为每分钟70次,请用科学记数法表示一个正常人的心脏5年内跳动的次数.(一年按365天计算) 解:70×5×365×24×60=183960000=1.8396×108(次). 答:一个正常人的心脏5年内大约跳动1.8396×108次. 【归纳总结】 在用科学记数法表示一个具有实际意义的数时,不能丢掉单位. 观察下列各式,回答下列问题: 0.12=0.01,0.012=0.0001, 102=100,1002=10000; 0.13=0.001,0.013=0.000001, 103=1000,1003=1000000. (1)当底数的小数点向左(或向右)移动一位时,其平方数的小数点向左(或向右)移动几位? (2)当底数的小数点向左(或向右)移动一位时,其立方数的小数点向左(或向右)移动几位? 解:(1)当底数的小数点向左移动一位时,其平方数的小数点向左移动两位;当底数的小数点向右移动一位时,其平方数的小数点向右移动两位. (2)当底数的小数点向左移动一位时,其立方数的小数点向左移动三位;当底数的小数点向右移动一位时,其立方数的小数点向右移动三位. 【学以致用】 1．2022年11月30日7时33分，神舟十五号飞船3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7 km/s，则中国空间站绕地球运行2×102 s走过的路程(单位：m)用科学记数法可表示为(　C　) A．1.54×103 B．1.54×105 C．1.54×106 D．15.4×102 2．已知a＝3.2×10n. (1)若a是一个二十位数，则n＝__19__. (2)若n＝5，则a是一个__六__位数． 3．某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按10×10×10箱一堆的方式摞放，共摞放了10堆．已知每箱装100瓶药，每瓶装100片药．回答下列问题(结果用科学记数法表示)． (1)这批药共有多少箱？ (2)这批药共有多少片？ 解：(1)(10×10×10)×10＝1×104(箱)． 答：这批药共有1×104箱． (2)1×104×100×100＝1×108(片)． 答：这批药共有1×108片． 4．德国天文学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星到地球的距离约为102 000 000 000 000 km，约为太阳到地球的距离的690 000倍． (1)用科学记数法表示暗星到地球的距离． (2)用科学记数法表示690 000这个数． (3)如果光的速度约为300 000 km/s，那么从暗星发出的光射到地球需要多少秒(结果用科学记数法表示)? 解：(1)1.02×1014 km. (2)6.9×105. (3)102 000 000 000 000÷300 000＝340 000 000＝3.4×108(s)． 答：从暗星发出的光射到地球需要 3.4×108 s. 5．为节约水资源，某学校环保宣传小组做了一个调查，得到了如下信息：某市人口大约为900万人，每天早晨起来洗脸，如果大家是开着水龙头用流水洗脸，那么就会比用洗脸盆接水洗脸多用400毫升的水．据此回答下列问题(结果用科学记数法表示)． (1)按这样计算，该市一天早晨仅这一项就多用了约多少升水？ (2)如果我们用容量为500毫升的纯净水瓶来装多用的水，可以装多少瓶？ 解：(1)9 000 000×400÷1 000＝3 600 000＝3.6×106(升)． 答：该市一天早晨仅这一项就多用了3.6×106升水． (2)3 600 000×1 000÷500＝7 200 000＝7.2×106(瓶)． 答：如果我们用容量为500毫升的纯净水瓶来装多用的水，可以装7.2×106瓶． 6．[几何直观]如图，数轴上有O，A，B三点，O为原点，OA，OB分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球之间的距离(单位：光年)．下列选项中，与点B表示的数最为接近的是(　C　) 第6题图 A．5×106 B．2.5×107 C．5×107 D．2.5×108 【解析】 ∵点A表示的数为2.5×106，靠近点B的数约是2.5×106的20倍， ∴与点B表示的数最为接近的是2.5×106×20＝5×107. 学科网（北京）股份有限公司 $$