专题 2-1 等式性质与不等式性质【8类题型】- 2024-2025学年新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题2-1 等式性质与不等式性质 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】用不等式（组）表示不等式关系 【题型3】利用不等式的性质判断命题真假 【题型4】作差法比较两数（式）的大小 【题型5】作商法比较两数（式）的大小 【题型7】其它方法比大小 【题型6】不等式的证明 【题型7】不等式性质的实际应用（设计方案） 【题型8】利用不等式的基本性质求代数式的取值范围（待定系数法） 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】用不等式（组）表示不等式关系 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 1． （2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【巩固练习2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【题型2】利用不等式的性质判断命题真假 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 2． 下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3． （2024·高一·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（多选）下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【巩固练习2】下列说法中，错误的是（ ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【巩固练习3】下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【巩固练习4】（多选）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】作差法比较两数（式）的大小 作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论． 对任意两个实数、 ①；②；③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 4． 已知，则 .（填“”，“”，或“”） 5． 今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【巩固练习1】比较下列两式大小： (1)与 (2)与 【巩固练习2】已知，试比较与的大小. 【巩固练习3】比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【题型4】作商法比较两数（式）的大小 作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 1 ；②；③． 6． 设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 7． 已知，，试比较与的大小； 【巩固练习1】设，比较与的大小 【巩固练习2】，则的大小关系为 ． 【巩固练习3】已知，试比较和的大小. 【题型5】其它方法比大小 1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 2、平方法：对两式先平方，再比较大小． 8． 比大小：_____． 9． 若，，则a、b的大小关系是 ． 【巩固练习1】比较大小：．（用，或填空） 【巩固练习2】已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 【巩固练习3】设，，则m n（填入“<”或“>”） 【题型6】不等式的证明 常用不等式的证明方法 1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． 2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 4、平方法：对两式先平方，再比较大小． 5、利用平方公式的非负性 10． （23-24高一上·河北保定·月考）设，，. (1)证明：；(2)若，证明. 【巩固练习1】证明：已知，且，求证：. 【巩固练习2】不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 【巩固练习3】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【题型7】不等式性质的实际应用（设计方案） 常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 11． 体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【巩固练习1】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【巩固练习2】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【题型8】利用不等式的基本性质求代数式的取值范围（待定系数法） 例题 已知，且，则 的取值范围是 第一步：，并化简该式 第二步：列方程组，求出m，n的值． 第三步：分别求出的取值范围． 第四步：合并第三步的结果，即得z的取值范围 解析：设，则解得 由已知得， 则.即. 12． 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13． （23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 2． 下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3． 已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4． 设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 5． 已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 6． 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7． 已知，，则的范围是 . 8． （23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 9． 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式；(2)已知是三角形的三边，求证：． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题2-1 等式性质与不等式性质 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】用不等式（组）表示不等式关系 【题型2】利用不等式的性质判断命题真假 【题型3】作差法比较两数（式）的大小 【题型4】作商法比较两数（式）的大小 【题型5】其它方法比大小 【题型6】不等式的证明 【题型7】不等式性质的实际应用（设计方案） 【题型8】利用不等式的基本性质求代数式的取值范围（待定系数法） 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】用不等式（组）表示不等式关系 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 1． （2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，， 所以有. 【巩固练习1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【解析】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 【巩固练习2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 【题型2】利用不等式的性质判断命题真假 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 2． 下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当，，，时，，，故B错误； C选项，当，，，时，，故C错误； D选项，若，，则，即，故D正确． 3． （2024·高一·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 【巩固练习1】（多选）下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】取特值可判断A；由不等式的性质可判断B，C，D. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题； 对于B，若，则，，所以，故B是真命题； 对于C，若，则， 所以，故C是假命题； 对于D，若，则成立，故D是真命题. 【巩固练习2】下列说法中，错误的是（ ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误. 对于B，由，可知，所以，所以.故B正确. 对于C，，因为， 所以，所以.故C正确. 对于D，因为，所以.又，所以.故D正确. 【巩固练习3】下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 【巩固练习4】（多选）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，所以，因为，所以，所以B正确， 对于C，因为，，，所以，， 所以， 所以，所以C正确， 对于D，若，则，所以D错误，故选：BC 【题型3】作差法比较两数（式）的大小 作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论． 对任意两个实数、 ①；②；③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 4． 已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【解析】，故. 故答案为：. 5． 今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】由题意可得，，，， ，， ， ．故选：C． 【巩固练习1】比较下列两式大小： (1)与 (2)与 【解析】（1）由， 所以. （2）由， 所以． 【巩固练习2】已知，试比较与的大小. 【解析】由， 因为，，可得， 所以. 【巩固练习3】比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【解析】（1）， . （2）， ， ， 则， . 【题型4】作商法比较两数（式）的大小 作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 1 ；②；③． 6． 设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解析】∵，即. 又， . 故答案为：>. 7． 已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】由题意，由立方和公式， 可得分子， 将其代入原式得， 进一步对其分子利用基本不等式可得，且等号成立当且仅当， 将其代入原式得， 综上所述（当且仅当时取等号）. 【巩固练习1】设，比较与的大小 【答案】 【解析】， ， ， . 【巩固练习2】，则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【解析】因为， 则 由 所以 【巩固练习3】已知，试比较和的大小. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【题型5】其它方法比大小 1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 2、平方法：对两式先平方，再比较大小． 8． 比大小：_____． 【答案】> 【分析】对，两边平方，再做差比较大小可得答案. 【详解】因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以. 9． 若，，则a、b的大小关系是 ． 【答案】 【解析】，， 因为，所以， . 故答案为：. 【巩固练习1】比较大小：．（用，或填空） 此类题是方法是，若a+b=c+d，则两个数越接近，其根式和越大. 【答案】< 【巩固练习2】已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 【答案】B 【分析】平方后作差比较大小即可. 【详解】， ∴M<N. 【巩固练习3】设，，则m n（填入“<”或“>”） 【答案】 【解析】依题意，，，而，因此， 所以. 故答案为： 【巩固练习4】 【题型6】不等式的证明 常用不等式的证明方法 1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． 2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 4、平方法：对两式先平方，再比较大小． 5、利用平方公式的非负性 10． （23-24高一上·河北保定·月考）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【巩固练习1】证明：已知，且，求证：. 【解析】因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【巩固练习2】不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】(1)，，证明见解析；(2)证明见解析； 【解析】（1）糖水变甜了得出不等式，. 证明：. .， ，. （2）设的三边长分别为，则有， 由（1）已证不等式可得：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以，. 【巩固练习3】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）， 由，得，而，，， 则，所以． （2）为的三边长，则有，，， 由（1）知：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以． 【题型7】不等式性质的实际应用（设计方案） 常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 11． 体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【解析】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 【巩固练习1】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 【巩固练习2】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足；故选：C. 【题型8】利用不等式的基本性质求代数式的取值范围（待定系数法） 例题 已知，且，则 的取值范围是 第一步：，并化简该式 第二步：列方程组，求出m，n的值． 第三步：分别求出的取值范围． 第四步：合并第三步的结果，即得z的取值范围 解析：设，则解得 由已知得， 则.即. 12． 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，所以，故选：D 13． （23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，， 得，即， ， 所以，即，故选：D 【巩固练习1】已知，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故，，得 故选：B 【巩固练习2】已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 【巩固练习3】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，解得， 于是 又，， 所以，即. 故．故选：D． 【巩固练习4】（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D 2． 下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 3． 已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误； 对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误，故选： 4． 设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】因为，所以. 5． 已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误；故选：D. 6． 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以，故选：A． 7． 已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，其中、， 则，解得，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 8． （23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【答案】 【解析】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 9． 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【解析】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$