精品解析：北京市燕山地区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

燕山地区2023—2024学年第二学期八年级期末质量检测 数 学 试 卷 考生须知 1. 本试卷共8页， 共三道大题， 28道小题， 满分100分。考试时间120分钟. 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号. 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效. 4. 在答题卡上， 选择题、画图题用2B铅笔作答， 其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5. 考试结束， 请将答题卡和试卷一并交回. 一、选择题 (本题共16分， 每小题2分) 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 化简的结果为（　　） A. ±5 B. 25 C. ﹣5 D. 5 2. 下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某羽毛球队20名队员的年龄数据如下表： 年龄/岁 13 14 15 16 17 频数 2 6 8 3 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A. 6， 15 B. 8， 8 C. 15， 8 D. 15， 15 6. 如图， 菱形的对角线交于点O， 点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 3 7. 在平面直角坐标系中，点都在函数的图象上．若，则下列四个推断中错误的是（ ） A. 点P在第二象限 B. 坐标原点不在此函数图象上 C. D. 8. 直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④ 二、填空题 (本题共16分，每小题2分) 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 10. 计算：_____________． 11. 在平面直角坐标系中，一次函数图象，y的值随x的增大而增大，则符合条件的k的值可以是_____________． (写出一个即可) 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 13. 我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目： “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是__________平方丈 14. “漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量水，水从壶下的小孔漏出． 壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下面图象中适合表示y与x的对应关系 (不考虑水量变化对压力的影响)的是_____________(填序号即可)． 15. 已知王红家、体育场、早餐店在同一直线上，如图反映过程是：王红从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到早餐店去买早餐，然后散步走回家，图中x表示时间，y表示王红离家的距离．根据图象王红在体育场停留时间是____________分钟；早餐店到王红家距离是____________． 16. 有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是________． 三、解答题(本题共68分, 第17-19题, 每题5分, 第20题6分, 第21-22题, 每题5分,第23-24题, 每题6分, 第25题5分, 第26题6分, 第27-28题, 每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 下面是小明设计的作菱形的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：如图， ①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接，所以四边形为所求的菱形． （1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明： ∵，， ∴____________， 在平行四边形中，， 即， ∴四边形为平行四边形，（______）（填推理的依据） ∵， ∴四边形为菱形．（______）（填推理的依据） 21. 如图，在中，对角线相交于点O，E，F分别是中点． 求证：四边形是平行四边形． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B （1）求A， B两点的坐标； （2）若点在一次函数的图象上，求的面积． 23. 一次函数图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求k的值并在坐标系中画出该一次函数的图象； （2）已知点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 25. 3月 14日是国际圆周率日，也是国际数学节．某校在这一天组织了数学集市的活动，该校的每位同学都上交了一幅作品，评委从作品的有创意的版面设计和数学在高科技领域中的广泛应用两项对作品打分，各项得分均按百分制计．对所有作品的得分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．所有作品版面设计和广泛应用单项得分平均数、中位数如下： 评分项 平均数 中位数 版面设计 86.5 85 广泛应用 86 88 b．甲、乙两位同学作品的得分如下： 版面设计 广泛应用 甲 86 87 乙 85 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）在所有作品中，记在版面设计这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为；记在广泛应用这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为，则 (填“” ， “”或“” ) ． （2）若按版面设计占，广泛应用占计算每位同学作品的平均得分，那么甲同学作品的平均得分是 ，甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是 (填“甲”或“乙”) ． 26. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 27. 在中，，，点 D在直线上 (点 D 与点A、点C不重合)，连接，过点 D 作 的垂线交直线于点 E，过点A作的垂线交直线于点 F. （1）如图1, 当点 D在线段上时, ①求证: ； ②用等式表示线段，，之间的数量关系并证明. （2）如图2，当点D在射线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段，，之间的数量关系. 28. 定义：对于给定的一次函数. 把形如 的函数称为一次函数的衍生函数. （1）已知函数， 若点 在这个一次函数的衍生函数图象上，则 , （2）已知矩形的顶点坐标分别为，当函数的衍生函数的图象与矩形有1个交点时 .当函数)的衍生函数的图象与矩形有两个交点时，直接写出k的取值范围 . （3）已知点，以为一条对角线作正方形，当正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点时，求t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 燕山地区2023—2024学年第二学期八年级期末质量检测 数 学 试 卷 考生须知 1. 本试卷共8页， 共三道大题， 28道小题， 满分100分。考试时间120分钟. 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号. 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效. 4. 在答题卡上， 选择题、画图题用2B铅笔作答， 其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5. 考试结束， 请将答题卡和试卷一并交回. 一、选择题 (本题共16分， 每小题2分) 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 化简的结果为（　　） A. ±5 B. 25 C. ﹣5 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】∵表示25的算术平方根， ∴=5． 故选D． 2. 下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理结合三角形三边关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，更不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，能构成直角三角形，故C符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理判断三角形是否是直角三角形，是解题的关键． 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键. 4. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，折痕为与，，根据正方形的性质：正方形的对角线平分对角，可得，．所以剪口与折痕所成的角的度数应为． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，． ∴剪口与折痕所成的角的度数应为． 故选：B． 【点睛】本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案． 5. 某羽毛球队20名队员的年龄数据如下表： 年龄/岁 13 14 15 16 17 频数 2 6 8 3 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A. 6， 15 B. 8， 8 C. 15， 8 D. 15， 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：由表可知，这组数据中15出现8次，次数最多， 所以这组数据的众数为15岁， 这20个数据的中位数是第10、11个数据的平均数， 所以这组数据的中位数为（岁）． 故选：D． 6. 如图， 菱形的对角线交于点O， 点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 由菱形的性质得，，，则，所以，由点为的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 点为的中点， . 故选：． 7. 在平面直角坐标系中，点都在函数的图象上．若，则下列四个推断中错误的是（ ） A. 点P在第二象限 B. 坐标原点不在此函数图象上 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质求解即可． 【详解】∵，， ∴y随x的增大而减小，经过第一，二，四象限 ∵ ∴，故C选项正确，不符合题意； ∴点P在第二象限，故A选项正确，不符合题意； ∵当时，， ∴坐标原点不在此函数图象上，故B选项正确，不符合题意； ∵，y随x的增大而减小， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 8. 直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么，掌握勾股定理是解题的关键，分别表示出对应图形的，再结合进行逐一判断即可． 【详解】解：图①中，由等边三角形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图①符合题意； 图②中，由半圆的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图②符合题意； 图③中，由等腰直角三角形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图③符合题意； 图④中，由正方形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图④符合题意； 故选：D 二、填空题 (本题共16分，每小题2分) 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据二次根式有意义的条件，即可求出实数的取值范围. 详解：被开方数为非负数，故． 故答案为． 点睛：考查二次根式有意义的条件，被开方数大于等于零. 10. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象，y的值随x的增大而增大，则符合条件的k的值可以是_____________． (写出一个即可) 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的经过的象限与系数的关系是解答的关键． 根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵一次函数的图象，y的值随x的增大而增大， ∴ ∴符合条件的k的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 【答案】（5，4） 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 13. 我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目： “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是__________平方丈 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下： 丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 14. “漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出． 壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下面图象中适合表示y与x的对应关系 (不考虑水量变化对压力的影响)的是_____________(填序号即可)． 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴图象②适合表示y与x的对应关系． 故答案为：②． 15. 已知王红家、体育场、早餐店在同一直线上，如图反映过程是：王红从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到早餐店去买早餐，然后散步走回家，图中x表示时间，y表示王红离家的距离．根据图象王红在体育场停留时间是____________分钟；早餐店到王红家距离是____________． 【答案】 ①. 15 ②. 【解析】 【分析】本题考查利用函数图象解决实际问题，正确的读懂图象给出的信息是解题的关键． 根据图象进行作答即可． 【详解】由图象可得，王红在体育场停留时间是分钟， 早餐店到王红家距离是． 故答案为：15，． 16. 有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故答案为：2026． 三、解答题(本题共68分, 第17-19题, 每题5分, 第20题6分, 第21-22题, 每题5分,第23-24题, 每题6分, 第25题5分, 第26题6分, 第27-28题, 每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【详解】解： ＝ ＝． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】把系数相乘，被开方数相乘，最后化成最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算、完全平方公式、代数式的求值等问题，利用公式进行变形简化计算是解题的关键． 把代入变形后的结果，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ ． 20. 下面是小明设计的作菱形的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：如图， ①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接，所以四边形为所求的菱形． （1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明： ∵，， ∴____________， 在平行四边形中，， 即， ∴四边形为平行四边形，（______）（填推理的依据） ∵， ∴四边形为菱形．（______）（填推理的依据） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意直接作图即可； （2）由作图可得，结合平行四边形的对边平行，可得四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论． 【小问1详解】 【小问2详解】 ∵，， ∴， 在平行四边形中，， 即， ∴四边形为平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∵， ∴四边形为菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和菱形的判定以及基本作图，正确理解题意、熟知菱形的判定方法是解题的关键． 21. 如图，在中，对角线相交于点O，E，F分别是中点． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由可知，，由 E，F分别是中点，可得，，即，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵ E，F分别是中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B （1）求A， B两点的坐标； （2）若点在一次函数的图象上，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】该题主要考查了一次函数与坐标轴交点，一次函数图象上点的特征： （1）利用坐标轴上点的坐标特征求出点A，点B坐标即可； （2）由一次函数解析式求得C点的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解： 对于， 当时， ， 解得：， ∴点A的坐标为 当时， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解∶ ∵点在一次函数的图象上， ∴． ∴． 23. 一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求k的值并在坐标系中画出该一次函数的图象； （2）已知点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1），图象见解析； （2）点D的坐标是或或． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）将代入可求出k的值，由一次函数解析式可得出答案． （2）分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质可得出点D的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， 函数表达式：， 令，， ∴与y轴交于点； 画出函数图象如下： 【小问2详解】 解：在中，令，则有， 解得：， ∴， 分三种情况：①为对角线时，点D的坐标为； ②为对角线时，点D的坐标为， ③为对角线时，点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标是或或． 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2. 【解析】 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 25. 3月 14日是国际圆周率日，也是国际数学节．某校在这一天组织了数学集市的活动，该校的每位同学都上交了一幅作品，评委从作品的有创意的版面设计和数学在高科技领域中的广泛应用两项对作品打分，各项得分均按百分制计．对所有作品的得分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．所有作品版面设计和广泛应用单项得分的平均数、中位数如下： 评分项 平均数 中位数 版面设计 86.5 85 广泛应用 86 88 b．甲、乙两位同学作品的得分如下： 版面设计 广泛应用 甲 86 87 乙 85 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）在所有作品中，记在版面设计这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为；记在广泛应用这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为，则 (填“” ， “”或“” ) ． （2）若按版面设计占，广泛应用占计算每位同学作品的平均得分，那么甲同学作品的平均得分是 ，甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是 (填“甲”或“乙”) ． 【答案】（1） （2）86.6；乙 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、平均数、加权平均数等知识点： （1）根据中位数和平均数的意义即可解答； （2）根据加权平均数的定义可求得乙同学作品的平均得分，再求出甲的加权平均数，与乙比较即可解答． 【小问1详解】 解：由版面设计的平均数大于中位数，则得分高于该项的平均分的学生作品个数为小于所有学生数的一半；由广泛设计的平均数小于于中位数，则得分高于该项的平均分的学生作品个数为大于所有学生数的一半，故． 故答案为：． 小问2详解】 解：乙同学作品的平均得分为， 甲同学作品的平均得分为， 因为， 则甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是乙． 故答案为：乙． 26. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将、坐标分别代入函数表达式，即可得到一次函数解析式，然后计算函数值为对应的自变量的值即可得到点坐标； （2）分情况讨论：当直线过点时和当直线与直线平行时，即可得到符合条件的的取值范围． 【小问1详解】 解：将、代入函数表达式可得： ， 解得， 则函数的表达式为， 依题得，过点且平行于轴的直线为， 是该函数与过点且平行于轴的直线的交点， ， 解得，， 即． 【小问2详解】 解：当直线过点时， 即把代入， 得， ， 当时，对于的每一个值，的值大于的值， ， 解得， 当与直线平行时，， 此时，满足条件， 且当时，不满足条件， 即． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握数形结合的方法解题． 27. 在中，，，点 D在直线上 (点 D 与点A、点C不重合)，连接，过点 D 作 的垂线交直线于点 E，过点A作的垂线交直线于点 F. （1）如图1, 当点 D在线段上时, ①求证: ； ②用等式表示线段，，之间的数量关系并证明. （2）如图2，当点D在射线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段，，之间的数量关系. 【答案】（1）①见解析；②； （2）； 【解析】 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形内外角关系及内角和定理，等腰三角形的性质，①先根据，得到，根据，得到，，即可得到证明；②在上截取，证明，结合勾股定理即可得到答案； （2）本题考查三角形全等的判定与性质，过D作，先证明，得到，即可得到答案； 【小问1详解】 ①证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：在上截取， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在与中， ，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：图形如图所示，，理由如下， 过D作， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 28. 定义：对于给定的一次函数. 把形如 的函数称为一次函数的衍生函数. （1）已知函数， 若点 在这个一次函数的衍生函数图象上，则 , （2）已知矩形的顶点坐标分别为，当函数的衍生函数的图象与矩形有1个交点时 .当函数)的衍生函数的图象与矩形有两个交点时，直接写出k的取值范围 . （3）已知点，以为一条对角线作正方形，当正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点时，求t的取值范围. 【答案】（1）2 , 3 （2）1， （3）或 或 【解析】 【分析】（1）根据衍生函数的定义求解即可； （2）根据题意求出的衍生函数，画出图形即可求出答案；根据题意画出图形，当点D在衍生函数上时k取最小值，当点A在衍生函数上时k取最大值，求解即可； （3）分情况讨论：当E在y轴正半轴上，当E在y轴负半轴上，分别画出图形，结合图形求解即可 【小问1详解】 由题意得：函数的衍生函数为 ∵点 在这个一次函数的衍生函数图象上， ∴，； 【小问2详解】 由题意得：函数的衍生函数为， 当函数的衍生函数的图象与矩形有1个交点时如图所示， 此时过点，解得：； ②由题意得：函数的衍生函数为 当点D在衍生函数上时k取最小值，，解得： 当点A在衍生函数上时k取最大值，，解得： 当函数)的衍生函数的图象与矩形有两个交点时， k的取值范围是； 【小问3详解】 一次函数的衍生函数为 ∵正方形， 当E在y轴正半轴上 ∴与x轴正半轴的夹角为 ∴直线的表达式为 联立，解得： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； ∵正方形， 当E在y轴负半轴上 ∴与x轴正半轴的夹角为 ∴直线的表达式为 联立，解得： ∴ ∴ ∴ ∴； 如图，当时，正方形与一次函数的衍生函数图象有三个交点 ∴ 综上：t的取值范围是或 或 【点睛】本题考查新定义函数，利用点与分段函数关系求函数值，与矩形、正方形交点个数确定范围，掌握新定义函数，利用点与分段函数的关系求函数值，与矩形、正方形交点个数确定范围分类讨论构造方程求解是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$