第03讲：三角函数性质图像和三角恒等式变换高频题型归纳（10大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲：三角函数性质图像和三角恒等式变换高频题型归纳 【考点梳理】 · 考点一：任意角的三角函数 · 考点二：同角三角函数的基本关系 · 考点三：三角函数的诱导公式 · 考点四：三角形的图像和性质 · 考点五：函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换和综合性质 · 考点六：两角和与差的三角函数 · 考点七：二倍角公式的应用 · 考点八：降幂公式的应用 · 考点九：三角函数恒等式变换 · 考点十：三角函数的综合应用 【知识梳理】 知识点一：任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R； 余弦函数y＝cos x，x∈R； 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)． 知识点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点三：同角三角函数的基本关系 1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)． 知识点四：六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 技巧归纳： 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 知识点五．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 知识点六.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下： 知识点七　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 知识点八　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点九：　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 知识点十：二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点十一　半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 知识点十二　辅助角公式：辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 【题型梳理】 题型一：任意角的三角函数 1．（2024·全国·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边点x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2024·北京房山·一模）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（    ） A． B． C． D． 题型二：同角三角函数的基本关系 4．（22-23高一下·广东汕头·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三：三角函数的诱导公式 7．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，且为第三象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 8．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知，且． (1)求和的值； (2)若，且，求的值． 9．（23-24高一下·辽宁本溪·阶段练习）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 题型四：三角形的图像和性质 10．（23-24高一下·福建福州·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 D．在上的零点有4个 11．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·广东·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则（    ） A． B．当时，在区间上不单调 C．在区间上无最大值 D．在区间上的最小值为 题型五：函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换和综合性质 13．（23-24高一下·四川成都·期末）把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期 B．函数在区间上单调递减 C．函数是奇函数 D．函数在区间上的最大值为 14．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 15．（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 题型六：两角和与差的三角函数 16．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，若，则实数的值（   ） A． B．3 C．2 D． 17．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知，则的值（    ） A． B． C． D． 题型七：二倍角公式的应用 19．（23-24高一下·辽宁·期中）化简的值为（    ） A．1 B． C． D． 20．（23-24高一下·湖北十堰·期末）已知，则 ． 21．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知角，满足，，且，. (1)求的值；(2)求的大小. 题型八：降幂公式的应用 22．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（21-22高一下·陕西西安·期中）若是第三象限角，且，则等于（　　） A． B．－ C． D．5 24．（21-22高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数.若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：三角函数恒等式变换 25．（23-24高一下·浙江·期中）对于任意的恒成立，则实数的取值范围为 ． 26．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 . 27．（21-22高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则 ． 题型十：三角函数的综合应用 28．（23-24高一下·四川遂宁·期末）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，方程有且仅有一个解，求的取值范围. 29．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知函数， (1)求的单调递减区间； (2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 30．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【专题突破】 一、单选题 31．（23-24高一下·江苏镇江·期末）设为锐角，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知函数的一个零点是，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 34．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 35．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 38．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象 二、多选题 39．（23-24高一下·福建·期末）已知函数的部分图象如下所示，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递增 D．函数与在的图象所有交点横坐标之和为 40．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．存在，使得是奇函数 D．在上单调递减 41．（23-24高一下·湖北十堰·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．不等式的解集是 D．将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点中心对称 42．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数在区间上有且仅有个最小值点，下列结论正确的有（   ） A． B．在上最少个零点，最多 个零点 C．在上有个最大值点 D．在上单调递减 43．（23-24高一下·湖北襄阳·期中）把函数（）的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．当时，的值域为 D．若在区间上至少存在六个零点，则实数a的取值范围为 三、填空题 44．（23-24高一下·云南曲靖·期中） . 45．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）若函数在上的值域是，则m的取值范围是 ． 46．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，已知，则的最大值为 . 47．（23-24高一下·四川眉山·期中）已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 四、解答题 48．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知． (1)求的值；(2)求的值． 49．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期及的单调区间； (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域. 50．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期及的单调区间； (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域； (3)若，，求的值． 51．（23-24高一下·上海·期末）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 52．（23-24高一下·江西景德镇·期末）函数，函数的最小正周期为. (1)求函数的递增区间，对称轴以及对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 53．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：三角函数性质图像和三角恒等式变换高频题型归纳 【考点梳理】 · 考点一：任意角的三角函数 · 考点二：同角三角函数的基本关系 · 考点三：三角函数的诱导公式 · 考点四：三角形的图像和性质 · 考点五：函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换和综合性质 · 考点六：两角和与差的三角函数 · 考点七：二倍角公式的应用 · 考点八：降幂公式的应用 · 考点九：三角函数恒等式变换 · 考点十：三角函数的综合应用 【知识梳理】 知识点一：任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R； 余弦函数y＝cos x，x∈R； 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)． 知识点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点三：同角三角函数的基本关系 1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)． 知识点四：六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 技巧归纳： 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 知识点五．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 知识点六.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下： 知识点七　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 知识点八　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点九：　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 知识点十：二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点十一　半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 知识点十二　辅助角公式：辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 【题型梳理】 题型一：任意角的三角函数 1．（2024·全国·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边点x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义得的值，再根据二倍角公式求得的值，于是由正弦两角和公式可得的值. 【详解】由题意可得， 所以， 则. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义计算即可得. 【详解】由三角函数定义可得，解得. 故选：C. 3．（2024·北京房山·一模）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据诱导公式及三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 因为把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边， 所以， 所以. 故选：D. 题型二：同角三角函数的基本关系 4．（22-23高一下·广东汕头·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的范围可确定，由可求得结果. 【详解】，，，， . 故选：D. 5．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求得，再逐项分析判断得解. 【详解】由，得，解得， 对于A，，则，，A正确； 对于D，，D正确； 对于B，由，，得，B错误； 对于C，，C正确. 故选：B 6．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知结合平方关系求出，再求出，最后将目标式子化为正切形式代入即可得解. 【详解】因为，且， 解得或，又，所以所以，所以. 故选：A. 题型三：三角函数的诱导公式 7．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，且为第三象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【详解】（1）因为，， 所以，又为第三象限角， 所以，所以； （2）由诱导公式化简得： ． 8．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知，且． (1)求和的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系和得到，，利用诱导公式和齐次化得到方程； （2）计算出，结合得到答案. 【详解】（1）因为，又， 解得或， 又，所以， 所以． 所以 ； （2）因为，且，所以， 所以， 由，得，所以． 9．（23-24高一下·辽宁本溪·阶段练习）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角函数定义求得，然后弦切互化即可求解； （2）先用诱导公式化简式子，再利用三角函数定义求出，代入即可得解. 【详解】（1）根据三角函数的定义，得， 所以. （2）原式， 又， 故原式. 题型四：三角形的图像和性质 10．（23-24高一下·福建福州·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 D．在上的零点有4个 【答案】D 【分析】由图象确定所对应的解析式，可判断A，然后根据正弦函数的性质即可判断BCD，从而可得结果. 【详解】由图可知，又，所以，解得， 所以，又函数过点，所以， 即，又，所以，则， 所以，故A错误； 当，则，因为在上不单调， 所以在上不单调，故B错误； 将的图象向右平移个单位长度后得到为非奇非偶函数，故C错误： 令，即，即，解得， 所以在上的零点有共4个，故D正确． 故选：D 11．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用的性质，得到且，即可求出结果. 【详解】由，得到， 又因为在上单调递减，所以， 得到，又，，即， 令，得到， 故选：D. 12．（23-24高一下·广东·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则（    ） A． B．当时，在区间上不单调 C．在区间上无最大值 D．在区间上的最小值为 【答案】A 【分析】把相位看成一个整体变量，再结合正弦曲线，即可分析各选项. 【详解】对于A，由，设，则， 由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心， 结合正弦曲线可知直线在线段之间，不含点，可以含，    所以，得.故A正确； 对于B，当，且时，设，则， 由正弦函数在区间是单调递减，故B错误； 对于C，由，设，则， 由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心， 结合正弦曲线可知，这条对称轴正好取到最大值，故C错误； 对于D，由，设，则， 由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心， 则说明相邻的那条对称轴不在这个区间内，所以结合正弦曲线可知， 这条对称轴正好取到最大值，说明在这个区间内没有取到最小值，故D错误； 故选：A. 题型五：函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换和综合性质 13．（23-24高一下·四川成都·期末）把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期 B．函数在区间上单调递减 C．函数是奇函数 D．函数在区间上的最大值为 【答案】B 【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质. 【详解】的图像向左平移个单位长度得函数， 再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数， 其最小正周期为，A选项错误； 由，得，在上单调递减，B选项正确； ，为偶函数，C选项错误； 当时，，所以单调递减， 最大值为，D选项错误. 故选：B. 14．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】由题意利用三角函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到， 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的得到． 也可以将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的得到， 再向左平移个单位长度得到． 故选：A. 15．（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由二倍角公式将三角函数化简，然后由三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】， 周期， ①由条件知，周期为，故①错误； ②函数图象右移个单位长度后得到的函数为， 其图象关于轴对称，则， 故对任意整数，故②错误； ③由条件，得，故③错误； ④由条件，得，又，故④正确. 故选：C. 题型六：两角和与差的三角函数 16．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，若，则实数的值（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由两角和与差的余弦展开式化简可得，再两边平方可得可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以，则, 上述等式两边平方可得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：B. 17．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合，利用两角和正弦公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以， 由 . 故选：B. 18．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得，代入中利用两角和的正切公式化简计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，所以， 所以， 所以 ， 故选：D 题型七：二倍角公式的应用 19．（23-24高一下·辽宁·期中）化简的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和与差公式和二倍角公式求解即可. 【详解】 . 故选：C. 20．（23-24高一下·湖北十堰·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】先利用两角和差公式，再利用二倍角公式即可求得函数值； 【详解】 故答案为：. 21．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 题型八：降幂公式的应用 22．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊值的三角函数，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】， ， ， 所以，，， 所以. 故选：A. 23．（21-22高一下·陕西西安·期中）若是第三象限角，且，则等于（　　） A． B．－ C． D．5 【答案】A 【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值. 【详解】依题意， 即， 由于是第三象限角，所以， 所以. 故选：A 24．（21-22高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数.若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数化简变形，然后由在上有解，可知，所以只要求出在上即可 【详解】 ， 由，得， 所以， 所以，即， 由在上有解，可知， 所以，得， 氢实数m的取值范围是， 故选：C 题型九：三角函数恒等式变换 25．（23-24高一下·浙江·期中）对于任意的恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先利用三角恒等变换，再利用三角函数的性质，参变分离为，再换元，转化为利用函数的单调性求函数的最值. 【详解】不等式，对任意的恒成立， ，则 则恒成立， 令， 所以恒成立，则， 设在单调递增，所以的最大值为， 所以， 所以的取值范围为． 故答案为： 26．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 . 【答案】/0.25 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，再利用倍角公式以及齐次化问题分析求解. 【详解】因为，则， 显然，可得， 整理得，解得或， 又因为，则，可得， 所以. 故答案为：. 27．（21-22高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角差的余弦公式可求得的值，求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为，，则，，， 所以，，， 所以， ， 因此，. 故答案为：. 题型十：三角函数的综合应用 28．（23-24高一下·四川遂宁·期末）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，方程有且仅有一个解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式的逆用将化成单角单函数的形式，结合的单调递减区间求得的单调递减区间； （2）根据图象的伸缩、平移变换得到函数的解析式，由的取值范围得到的取值范围，“方程有且仅有一个解”转化为“函数图象与图象只有一个交点”的问题，结合图象得到的取值范围. 【详解】（1）， 令，则， 所以函数的单调递减区间为：． （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 再将图象向左平移个单位，得到的图象， 因为，所以，则在上递增，在上递减， 所以在的值域为，在的值域为， 所以有且仅有一个解，则． 29．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知函数， (1)求的单调递减区间； (2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得. （2）首先得到，的解析式，依题意可得关于的不等式在上恒成立，参变分离结合函数的单调性求出，即可得解. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）因为， 所以， ， 因为当，关于的不等式恒成立， 即关于的不等式在上恒成立， 即关于的不等式在上恒成立， 即关于的不等式在上恒成立， 因为，所以，所以在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，所以， 即实数的取值范围为. 30．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】（1） ， 由， 所以函数的单调递减区间为； （2）因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； （3）， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 【专题突破】 一、单选题 31．（23-24高一下·江苏镇江·期末）设为锐角，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得. 【详解】由为锐角，得，而， 因此， 所以 . 故选：B 32．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知函数的一个零点是，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合零点的定义，有，解方程即可. 【详解】函数的一个零点是，则有， 即，则，即， 所以当时，有最小值. 故选：A. 33．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】B 【分析】根据题意结合三角函数图象平移逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：可得，不合题意，故A错误； 对于选项B：可得，符合题意，故B正确； 对于选项C：可得， 不合题意，故C错误； 对于选项C：可得，不合题意，故D错误； 故选：B. 34．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 35．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和差角的正弦公式将右边化简，结合平方关系求出，即可得解. 【详解】因为， ， 所以， 又为钝角，所以. 故选：D 36．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数给值求值，解题关键是寻找已知角与所求角的关系，综合运用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换进行求解，易错点是因忽略角的范围而导致三角函数值的符号出现错误. 37．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 因为，所以函数的图象关于点对称，故①正确； 令，解得， 所以函数的对称轴是，，故②正确； 因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故③正确； 当，则，当， 即时，故④错误. 故选：D 38．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象 【答案】D 【分析】结合正弦函数的对称性检验选项A，B，结合余弦函数的单调性检验选项C；结合三角函数图象的变换检验选项D. 【详解】因为不是函数的最值，A错误； 因为，即的图象关于对称，B错误； 当时，， 因为在上单调递减， 所以在区间上单调递减，C错误； 将的图象向右平移个单位长度可得 ， 即可得函数的图象，D正确. 故选：D. 二、多选题 39．（23-24高一下·福建·期末）已知函数的部分图象如下所示，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递增 D．函数与在的图象所有交点横坐标之和为 【答案】CD 【分析】先利用题给条件求得函数的解析式，结合正弦函数性质再利用验证法即可判断选项ABC，利用正弦函数图像性质即可判断选项D. 【详解】函数的最小正周期为，则， 又当时函数取得最小值，则 由，解得, 又，则，则. 由， 可得直线不是的对称轴.故选项A错误； 由， 可得点不是的对称中心.故选项B错误； 由，可得，， 则在区间上单调递增.故选项C正确； 由，可得，， 令，则， 与函数有4个交点，依次为 且 则，， 化简得，则. 则函数与在的图象所有交点横坐标之和为，故选项D正确 故选：CD 40．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．存在，使得是奇函数 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】分析可知是的周期，取一个周期，结合三角函数性质和三角恒等变换整理的解析式，进而结合周期性可得的图象，结合图象逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 因为， 可知是的周期， 令，即， 则，解得； 令，即， 则，解得； 结合周期性可取和， 若，则； 若，则； 综上所述：， 可得的图象，如图所示： 结合周期性可得：的图象，如图所示： 对于选项A：由的图象可知，的最小正周期是，故A正确； 对于选项B：由的图象可知，的值域是，故B正确； 对于选项C：由的图象可知，没有对称中心， 所以不存在，使得是奇函数，故C错误； 对于选项D：因为，由周期性可知：等价于， 由图象可知：在上单调递减， 所以在上单调递减，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：根据周期性取，可得的图象和解析式，进而数形结合分析求解. 41．（23-24高一下·湖北十堰·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．不等式的解集是 D．将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点中心对称 【答案】AC 【分析】将原函数化为正弦型函数后结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可得. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，故A正确. 因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误. 由，即，得， 则，解得， 即不等式的解集是，，故C正确. 将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. 因为， 所以的图象不关于点中心对称，故D错误. 故选：AC. 42．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数在区间上有且仅有个最小值点，下列结论正确的有（   ） A． B．在上最少个零点，最多 个零点 C．在上有个最大值点 D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】由的取值范围，求出的范围，根据在区间上有且仅有个最小值点，求出的范围，即可判断A；利用特殊值判断B、C，根据的范围，求出的范围，结合正弦函数的性质判断D. 【详解】因为，当，则， 因为在区间上有且仅有个最小值点，设函数的最小正周期为， 则，即，则，所以， ，解得，故A正确； 当时，，因为的零点为， 所以此时在上有零点，故B错误； 当时，，因为在处取得最大值， 所以此时在上只有个最大值，故C错误； 因为，当时，， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确. 故选：AD 43．（23-24高一下·湖北襄阳·期中）把函数（）的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．当时，的值域为 D．若在区间上至少存在六个零点，则实数a的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据题意化简得，根据最小正周期计算公式可判断A；根据三角函数性质计算可判断B；由，得，根据三角函数性质计算即可判断C；由得或，所以在区间上的解从小到大依次为：，根据题意建立不等式计算即可判断D. 【详解】 ， 因为图象关于轴对称，所以，解得， 因为，解得，即， 对A，最小正周期，故A错误； 对B，令，解得， 所以函数得单调递增区间为 当时，单调递增区间为， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对C，因为，所以， 当或，即或时，函数有最小值为， 当，即时，函数有最大值为， 所以的值域为，故C正确； 对D，因为，有，即，解得或， 故在区间上的解从小到大依次为：， 要使在区间上至少存在六个零点，则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 44．（23-24高一下·云南曲靖·期中） . 【答案】 【分析】利用两角差的正切公式及诱导公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 45．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）若函数在上的值域是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据函数的定义域求的范围，再根据函数的定义域确定右端点的取值范围. 【详解】当，， 由函数的值域为，可知， 解得：. 故答案为： 46．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式化简，即可求出，从而得到，从而将转化为的三角函数，再利用辅助角公式计算可得. 【详解】因为， 所以， 即，所以， 所以，又，所以，则， 所以 ， 取为锐角，其中，，因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出的值，从而将转化为的三角函数，结合辅助角公式求出最大值. 47．（23-24高一下·四川眉山·期中）已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，由零点个数求的取值范围. 【详解】因为， 由，可得， 令，可得，则或或或，， 因为在上有且仅有三个解， ，解得. 即的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题 48．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出，然后可求出，再利用正切的二倍角公式求解即可； （2）先判断出的范围，再由求出，然后由化简后可求得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为，所以， 因为， 所以， 所以 . 49．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期及的单调区间； (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域. 【答案】(1)的最小正周期为，递增区间是，递减区间是 (2) 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，利用周期公式可求出最小正周期，由可求出增区间，由可求出减区间； （2）先利用三角函数图象变换规律求出的解析，再由，求出的范围，再利用正弦函数的性质可求得值域. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期， 由，解得， 所以的递增区间是， 由，解得， 所以的递减区间是； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数 的图象， 当， 所以， 所以. 50．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期及的单调区间； (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域； (3)若，，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式化简，即可得到函数解析式，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由三角函数的平移变换可得函数的解析式，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解； （3）根据题意，由条件可得，从而可得，再由代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 由，解得， 所以的递增区间是，， 由，解得， 所以的递减区间是，； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数 的图象， 当，， 所以，， 所以的值域为； （3），， 由于，，所以， 所以． 51．（23-24高一下·上海·期末）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用二倍角公式，辅助角公式化简成正弦型函数， 函数，函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同，用五点法作图解题即可； （2）将在图像留下来，直接看图求出来即可； （3）将在图像留下来，转化为交点问题即可. 【详解】（1） ， 令，最小正周期为.可以运用五点法画出的图像. 五点分别为： 由图像，结合函数周期性，可知道的单调递增区间为： 函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同， 故的单调递增区间为： （2）先求出在区间上的最大值与最小值，由图知. ， 函数可以看作向下平移个单位，则 （3）若函数在内有且只有一个零点, 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于与在内有且只有一个交点. 且，图像如下 则满足题意的，只能在l,n位置，或者n到m之间，即 或者，解得或. 52．（23-24高一下·江西景德镇·期末）函数，函数的最小正周期为. (1)求函数的递增区间，对称轴以及对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再利用最小正周期公式，求得，从而求得的解析式，即可求解； （2）通过图象平移和伸缩变换，可以求得的解析式，然后即可求得在区间上的值域. 【详解】（1） 因为函数的最小正周期为，所以，即 所以， 令，解得 所以的递增区间为， 令，解得， 所以的对称轴为， 令，解得， 所以的对称中心为， （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则 ， 因为，所以， 所以， 所以 即函数在区间上的值域为. 53．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）连接，过作，由几何关系可得，由三角函数可表示出的长； （2）图中阴影部分的面积等于和扇形的面积，分别求出即可得出答案. （3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出，利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【详解】（1）连接，过作，则， 所以. （2）． ， ， 所以， （3） 则 令，则， 则，当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$