第十四章提优验收卷(B卷)-【初中上分卷】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（人教版）

八年级上册 人教版 数 学 返回目录 返回目录 返回目录 软件使用 建议老师使用WPS软件打开 编辑修改 点击文本框即可对全文进行编辑、修改 便捷操作 页面之间有超链接相互跳转 课件说明 返回目录 返回目录 卷⑩ 　第十四章提优验收卷(B卷) 考查内容：整式的乘法与因式分解 返回目录 返回目录 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 返回目录 一、选择题 1. [2023安徽滁州期中]若(　　)· xy ＝ x2 y ＋3 xy ，则括号内应填的代数式是(　D　) A. 3 x ＋1 B. x ＋3 y C. 3 x ＋ y D. x ＋3 【解析】( x2 y ＋3 xy )÷ xy ＝ x ＋3，故选D. 2. [2024湖南怀化期末]下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是(　C　) A. ( x ＋2)( x －2)＝ x2－4 B. x2＋4 x ＋4＝ x ( x ＋4) C. x2－2 x ＋1＝( x －1)2 D. m ( x － y )＝ mx － my 【解析】A、D选项的等号右边都不是积的形式，不符合题意；B选项， x2＋4 x ＋4＝( x ＋2)2，所以该选项不符合题意；C选项， x2－2 x ＋1＝( x －1)2，符 合题意.故选C. D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 3. [2024江苏镇江期中]下列运算中，结果正确的是(　C　) A. 2 m2＋ m2＝3 m4 B. m2· m4＝ m8 C. m4÷ m2＝ m2 D. ( m2)4＝ m6 【解析】2 m2＋ m2＝3 m2，故A不符合题意； m2· m4＝ m6，故B不符合题意； m4÷ m2 ＝ m2，故C符合题意；( m2)4＝ m8，故D不符合题意.故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 4. [2024河南南阳月考]在下列各式中，横线上应填入“(－ y )”的是(　B　) A. － y3· 　　　　＝－ y B. －2 y3· 　　　　＝2 y4 C. (－2 y )3· 　　　　＝－8 y4 D. (－ y )12· 　　　　＝－3 y13 【解析】－ y3·(－ y )＝ y4≠－ y ，故A选项不符合题意；－2 y3·(－ y )＝2 y4，故B选项 符合题意；(－2 y )3·(－ y )＝8 y4≠－8 y4，故C选项不符合题意；(－ y )12·(－ y )＝ － y13≠－3 y13，故D选项不符合题意.故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 5. [2024四川南充顺庆区期末]一位庄园主把一块长为 a 米，宽为 b 米( a ＞ b ＞100)的 长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10 米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”根据上述 描述可知张老汉的租地面积(　A　) A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 6. [2024黑龙江哈尔滨南岗区期中]计算：( a ＋ b － c )( a － b － c )，下列步骤出现错 误的是(　D　) ①( a － c ＋ b )( a － c － b )； ②[( a － c )＋ b ][( a － c )－ b ]； ③( a － c )2－ b2； ④ a2－2 ac － c2－ b2. D A. ① B. ② C. ③ D. ④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】 ∴步骤①②③正确，④错误，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 7. [2024福建福州期中]已知2 x ＝8，2 y ＝5，2 z ＝40，那么下列关于 x ， y ， z 之间满 足的等量关系正确的是(　A　) A. x ＋ y ＝ z B. xy ＝ z C. 2 x ＋ y ＝ z D. 2 xy ＝ z 【解析】 故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 8. 新情境[2024江苏南通期中]某中学开展以“杭州第19届亚运会”为主题的学科活 动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福.小冬以长方形 ABCD 的四条边为 边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示.若长方形 ABCD 的相邻 两边之差为8，且四个正方形的面积和为160，则长方形 ABCD 的面积是(　B　) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【解析】由题意得 AB － BC ＝8，∴( AB － BC )2＝64，∴ AB2－2 AB · BC ＋ BC2＝64. ∵四个正方形的面积和为160，∴2( AB2＋ BC2)＝160，∴ AB2＋ BC2＝80， ∴80－2 AB · BC ＝64，∴ AB · BC ＝8.∴长方形 ABCD 的面积为8.故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分点拨　完全平方公式的应用 长方形 ABCD 的面积为 AB · BC ，大、小正方形的面积为 AB2， BC2，可以联想完全 平方公式的几何意义解题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 9. [2023河北保定二模]如图所示的运算程序中，甲输入的 x 为3 a ＋2 b ，乙输入的 x 为－3 a －2 b ，丙输入的 x 为2 b －3 a .若 a ＞ b ＞0，则输出结果相同的是(　B　) A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 三人均不相同 【解析】∵ a ＞ b ＞0，∴3 a ＋2 b ＞0，－3 a －2 b ＜0，2 b －3 a ＜0，∴甲输出的 结果为 y ＝2 a (3 a ＋2 b )－2 ab ＝6 a2＋2 ab ；乙输出的结果为 y ＝－2 a (－3 a －2 b ) ＋6 ab ＝6 a2＋10 ab ；丙输出的结果为 y ＝－2 a (2 b －3 a )＋6 ab ＝6 a2＋2 ab .故输出 结果相同的是甲和丙，故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分点拨　整式运算的应用 先判断要输入运算程序的值的正负，然后代入对应的下一级程序计算得出结果，比 较即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 10. [2024重庆沙坪坝区期末]有两个整数 x ， y ，把整数对( x ， y )进行操作后可得到 ( x ＋ y ， y )，( x － y ， y )，( y ， x )中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照 上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作.若将整数对(2，32)按照上 述规则进行操作，则以下结论正确的个数是(　A　) ①若 m 次操作后得到的整数对仍然为(2，32)，则 m 的最小值为2； ②三次操作后得到的整数对可能为(2，－30)； ③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是(－3，18). A A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】对(2，32)进行操作，第一次操作后得到(34，32)，(－30，32)，(32，2)中 的一个整数对，则第二次操作后得到(66，32)，(－62，32)，(32，34)，(2，32)， (32，－30)，(34，2)，(30，2)中的一个整数对，∴若 m 次操作后得到的整数对仍然 为(2，32)，则 m 的最小值为2，故①正确；∵第二次操作后得到的 (32，－30)经过 操作后可得 (2，－30)，∴三次操作后得到的整数对可能为(2，－30)，故②正确； ∵2和32都是偶数，∴(2，32)进行操作后得到的整数对中的数字都是偶数，∴不管 经过多少次操作，得到的整数对都不会是 (－3，18)，故③正确.综上所述，正确的 结论为①②③，共3个，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 二、填空题 11. [2023湖南常德中考]计算：( a2 b )3＝ ⁠. 【解析】( a2 b )3＝( a2)3 b3＝ a6 b3.故答案为 a6 b3. 12. [2024福建三明期中]若 m2－ n2＝－6，且 m － n ＝－3，则 m ＋ n ＝ ⁠. 【解析】∵( m ＋ n )( m － n )＝ m2－ n2＝－6， m － n ＝－3，∴－3( m ＋ n )＝－6， ∴ m ＋ n ＝2，故答案为2. 13. [2024重庆渝中区月考]太阳到地球的距离约为1.5×108 km，光的传播速度约为 3.0×105 km/s，则太阳光从太阳射到地球的时间约为 ⁠. 【解析】(1.5×108)÷(3.0×105)＝(1.5÷3)×(108÷105)＝0.5×103＝500(s).故答案为 500 s . a6 b3 2 500 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 14. [2024江苏扬州期中]已知多项式 x － a 与2 x2－2 x ＋1的乘积的结果中不含 x2项， 则常数 a 的值是 ⁠. 【解析】( x － a )(2 x2－2 x ＋1)＝2 x3－2 x2＋ x －2 ax2＋2 ax － a ＝2 x3－(2＋2 a ) x2＋ x ＋2 ax － a .∵结果不含 x2项，∴2＋2 a ＝0，解得 a ＝－1.故答案为－1. 15. [2024河南郑州中原区期末]若 a ， b ， c 为△ ABC 的三边长，且 a2－ c2－ bc ＋ ab ＝0，则△ ABC 的形状是 ⁠. 【解析】由 a2－ c2－ bc ＋ ab ＝0得( a ＋ c )( a － c )＋ b ( a － c )＝0，即 ( a － c )( a ＋ b ＋ c )＝0.又因为 a ， b ， c 为△ ABC 的三边长，所以 a ＋ b ＋ c ≠0，则 a － c ＝0，即 a ＝ c ，因此△ ABC 是等腰三角形.故答案为等腰三角形. －1 等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 16. [2024四川成都青羊区期中]定义一种新运算( a ， b )，若 ac ＝ b ，则( a ， b )＝ c ， 例如(2，8)＝3，(3，81)＝4.若(4， n )＝3，则 n ＝ ；若(3，7)＋(3，11)＝(3， m )，则 m 的值为 ⁠. 【解析】∵(4， n )＝3，∴43＝ n ，则 n ＝64.设(3，7)＝ x ，(3，11)＝ y ，(3， m )＝ z ，则3 x ＝7，3 y ＝11，3 z ＝ m .∵(3，7)＋(3，11)＝(3， m )，∴ x ＋ y ＝ z ，则3 x+ y ＝ 3 z ，那么 m ＝3 x ×3 y ＝7×11＝77.故答案为64，77. 64 77 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 17. [2024吉林长春期末]已知 a2( b ＋ c )＝ b2( a ＋ c )＝2 023，且 a ， b ， c 互不相等， 则 c2( a ＋ b )－2 024＝ ⁠. 【解析】∵ a2( b ＋ c )＝ b2( a ＋ c )，∴ a2 b ＋ a2 c － ab2－ b2 c ＝0，∴ ab ( a － b )＋ c ( a ＋ b )( a － b )＝0，∴( a － b )( ab ＋ ac ＋ bc )＝0.∵ a ≠ b ，∴ a － b ≠0，∴ ab ＋ ac ＋ bc ＝0，即 ab ＋ ac ＝－ bc ， ac ＋ bc ＝－ ab .∵ a2( b ＋ c )＝ a ( ab ＋ ac )＝ 2 023，∴ a (－ bc )＝2 023，∴－ abc ＝2 023，∴ abc ＝－2 023，∴ c2( a ＋ b )－ 2 024＝ c ( ac ＋ bc )－2 024＝ c (－ ab )－2 024＝－ abc －2 024＝－1.故答案为－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 ①若多项式 A2＝(2 x －1)2，则 A2的所有系数加常数项之和为1； ②若多项式 A3＝(2 x －1)3，则 A3的所有系数加常数项之和为－1； ③若多项式 A4＝(2 x －1)4，则 a4＋ a2＋ a0＝41； ④若多项式 A2 023＝(2 x －1)2 023，则 a2 023＋ a2 021＋…＋ a3＋ a1＝ . 18. 规律探究[2024河南郑州期中]关于 x 的多项式 An ＝ anxn ＋ an－1 xn－1＋ an－2 xn－2＋…＋ a2 x2＋ a1 x ＋ a0，其中 n 为正整数.例：当 n ＝3时， A3＝ a3 x3＋ a2 x2＋ a1 x ＋ a0， A3的所有系数加常数项之和为 a3＋ a2＋ a1＋ a0.给出下列说法： 则以上说法正确的是 .(填序号) ①③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】由题知，因为 A2＝(2 x －1)2＝4 x2－4 x ＋1，所以 A2的所有系数加常数项之 和为4＋(－4)＋1＝1，故①正确.因为 A3＝(2 x －1)3＝8 x3－12 x2＋6 x －1，所以 A3的 所有系数加常数项之和为8＋(－12)＋6＋(－1)＝1，故②错误.因为 A4＝(2 x －1)4＝ 16 x4－32 x3＋24 x2－8 x ＋1，所以 a4＝16， a2＝24， a0＝1，则 a4＋ a2＋ a0＝16＋24＋ 1＝41，故③正确.因为 A2 023＝(2 x －1)2 023＝ a2 023 x2 023＋ a2 022 x2 022＋…＋ a1 x ＋ a0， 则令 x ＝1，得 a2 023＋ a2 022＋…＋ a1＋ a0＝1，① 令 x ＝－1，得－ a2 023＋ a2 022－…－ a1＋ a0＝－32 023，② ①－②，得2 a2 023＋2 a2 021＋…＋2 a1＝1＋32 023，所以 a2 023＋ a2 021＋…＋ a3＋ a1＝ ，故④正确.故答案为①③④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 三、解答题 19. [2024福建泉州期中](8分)(1)3 m2－6 mn ＋3 m .(因式分解) 【解】(1)3 m2－6 mn ＋3 m ＝3 m ( m －2 n ＋1). (2分) (2) a2( x － y )＋4( y － x ).(因式分解) 【解】(2) a2( x － y )＋4( y － x )＝ a2( x － y )－4( x － y )＝( x － y )( a2－4)＝( x － y )( a ＋2)( a －2). (4分) (3)20 ×19 .(运用公式进行简便计算) 【解】(3)原式＝ × ＝400－ ＝399 . (6分) (4)4992.(运用公式进行简便计算) 【解】(4)原式＝(500－1)2＝250 000－1 000＋1＝249 001. (8分) 【方法总结】因式分解时，能提公因式的先提公因式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 20. [2024河北唐山期末](10分)已知代数式( x －1)2＋( x ＋ y )( x － y )＋ y2. (1)化简这个代数式. 【解】(1)( x －1)2＋( x ＋ y )( x － y )＋ y2＝ x2－2 x ＋1＋ x2－ y2＋ y2 (3分) ＝2 x2－2 x ＋1. (6分) (2)若 x2－ x ＝4，求原代数式的值. 【解】(2)∵ x2－ x ＝4，∴原式＝2( x2－ x )＋1＝2×4＋1＝9. (10分) 【刷有所得】第(2)问用了整体代入的方法，学习过程中要注意积累. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 21. [2024江西九江柴桑区期中](10分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方 差，那么称这个正整数为“神秘数”.例如，4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42， 因此4，12，20这三个数都是“神秘数”. (1)28和52这两个数是“神秘数”吗？为什么？ 【解】(1)28和52这两个数是“神秘数”.理由如下：∵28＝82－62，52＝142－122， ∴28和52这两个数都是“神秘数”. (5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)设两个连续偶数为2 k ＋2和2 k (其中 k 取非负数)，由这两个连续偶数构成的“神 秘数”是4的倍数吗？为什么？ 【解】(2)由2 k ＋2和2 k 这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，理由如下： 设由这两个连续偶数构成的“神秘数”为 x ，∴ x ＝(2 k ＋2)2－(2 k )2＝4(2 k ＋1)， ∴由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数. (10分) 【关键点拨】理解新定义并运用新定义解决问题是关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 22. 探究性问题[2024湖南长沙期末](12分)【阅读理解】 若 x 满足(32－ x )( x －12)＝100，求(32－ x )2＋( x －12)2的值. 解：设32－ x ＝ a ， x －12＝ b ，则(32－ x )( x －12)＝ a · b ＝100， a ＋ b ＝(32－ x )＋ ( x －12)＝20，(32－ x )2＋( x －12)2＝ a2＋ b2＝( a ＋ b )2－2 ab ＝202－2×100＝200， 我们把这种方法叫做换元法.利用换元法达到简化式子的目的，体现了转化的数 学思想. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解决问题】 (1)若 x 满足(100－ x )( x －95)＝5，则(100－ x )2＋( x －95)2＝ ⁠. 【解】(1)设100－ x ＝ a ， x －95＝ b ，则 ab ＝5， a ＋ b ＝5，∴(100－ x )2＋( x －95)2＝ a2＋ b2＝( a ＋ b )2－2 ab ＝52－2×5＝15.故答案为15. (3分) 【思路分析】(1)设100－ x ＝ a ， x －95＝ b ，则 ab ＝5， a ＋ b ＝5，则原式＝ a2＋ b2＝( a ＋ b )2－2 ab ； 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【深入探究】 (2)若 x 满足(2 023－ x )2＋( x －2 000)2＝229，求(2 023－ x )( x －2 000)的值. 【解】(2)设2 023－ x ＝ a ， x －2 000＝ b ，则 a2＋ b2＝229， a ＋ b ＝23. (5分) ∵ a2＋ b2＝( a ＋ b )2－2 ab ，∴2 ab ＝( a ＋ b )2－( a2＋ b2)＝232－229＝529－229＝ 300，∴ ab ＝150，即(2 023－ x )( x －2 000)＝150. (7分) 【思路分析】(2)设2 023－ x ＝ a ， x －2 000＝ b ，则 a2＋ b2＝229， a ＋ b ＝23，根 据完全平方公式即可求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【拓展延伸】 (3)如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝24 cm，点 E ， F 是边 BC ， CD 上的点， EC ＝12 cm，且 BE ＝ DF ＝ x cm，分别以 FC ， CB 为边在长方形 ABCD 外侧作正方形 CFGH 和正方形 CBMN ，若长方形 CBQF 的面积为320 cm2，求图中阴影部分的面积和. 【解】(3)由题意得 CF ＝ CD － DF ＝(24－ x )cm， BC ＝ CE ＋ BE ＝( x ＋12)cm.设 CF ＝ a cm， BC ＝ b cm， 则 a ＋ b ＝24－ x ＋ x ＋12＝36. (9分) ∵长方形 CBQF 的面积为320 cm2，∴(24－ x )(12＋ x )＝ ab ＝320，∴阴影部分的面积和为(24－ x )2＋( x ＋12)2＝ a2＋ b2＝( a ＋ b )2－2 ab ＝362－2×320＝656(cm2). (12分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 23. [2024四川达州期中](12分)我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那 么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除 式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺次数项用零补 齐，再类比数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的 次数. 例：如图，计算(8 x2＋6 x ＋1)÷(2 x ＋1)，可依照672÷21的计算方法用竖式进行计 算.因此(8 x2＋6 x ＋1)÷(2 x ＋1)＝4 x ＋1. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (1)( x3＋4 x2＋5 x －6)÷( x ＋2)的商式是 ，余式是 ⁠. 【解】(1)( x3＋4 x2＋5 x －6)÷( x ＋2)用竖式计算如下， ∴( x3＋4 x2＋5 x －6)÷( x ＋2)的商式是 x2＋2 x ＋1，余式是－8.故答案为 x2＋2 x ＋1，－8. (4分) x2＋2 x ＋1 －8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)已知一个长为 x ＋2，宽为 x －2的长方形A，若将它的长增加6，宽增加 a 就得到 一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍(如图).另有长方形C的一边长为 x ＋10，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的与长为 x ＋10的边相邻的一 边长. 【解】(2)长方形A的周长为2( x ＋2＋ x －2)＝4 x .长方形B的周长为2( x －2＋ a ＋ x ＋ 2＋6)＝4 x ＋2 a ＋12.∵长方形B的周长是A周长的2倍，∴4 x ＋2 a ＋12＝8 x ， ∴ a ＝2 x －6. (7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 ∴长方形B的面积为( x ＋2＋6)( x －2＋2 x －6)＝( x ＋8)(3 x －8)＝3 x2＋16 x －64. (9分) ∴长方形C的面积为3 x2＋16 x －140.∴如图，长方形C的与长为 x ＋10的边相邻的一 边长为(3 x2＋16 x －140)÷( x ＋10)＝3 x －14. (12分) 【关键点拨】本题考查多项式除以多项式，理解题中竖式计算的方法是求解本题的 关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 24. 新定义[2024河北保定清苑区期末](14分)阅读下列材料，完成相应的任务. 平衡多项式 定义：对于一组多项式 x ＋ a ， x ＋ b ， x ＋ c ， x ＋ d ( a ， b ， c ， d 是常数)，当 其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数 p 时，称这样的四个 多项式是一组平衡多项式， p 的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子. 例如：对于多项式 x ＋1， x ＋2， x ＋5， x ＋6，因为( x ＋1)( x ＋6)－( x ＋2)( x ＋5) ＝( x2＋7 x ＋6)－( x2＋7 x ＋10)＝－4，所以多项式 x ＋1， x ＋2， x ＋5， x ＋6是一 组平衡多项式，其平衡因子为｜－4｜＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【任务】 (1)小明发现多项式 x ＋3， x ＋4， x ＋6， x ＋7是一组平衡多项式，在求其平衡因子 时，列式如下：( x ＋3)( x ＋7)－( x ＋4)( x ＋6)，根据他的思路求该组平衡多项式的 平衡因子. 【解】(1)( x ＋3)( x ＋7)－( x ＋4)( x ＋6)＝ x2＋10 x ＋21－ x2－10 x －24＝－3， ｜－3｜＝3，∴该组平衡多项式的平衡因子是3. (2分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)①判断多项式 x －1， x －2， x －4， x －5是否为一组平衡多项式，若是，求出其 平衡因子；若不是，说明理由. 【解】(2)①多项式 x －1， x －2， x －4， x －5是一组平衡多项式. (3分) ∵( x －1)( x －5)－( x －2)( x －4)＝ x2－6 x ＋5－ x2＋6 x －8＝－3， ｜－3｜＝3， ∴该组平衡多项式的平衡因子是3. (5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】②若多项式 x ＋2， x －4， x ＋1， x ＋ m ( m 是常数)是一组平衡多项式，则有三种情况： (ⅰ)( x ＋2)( x －4)－( x ＋1)( x ＋ m )＝ x2－2 x －8－ x2－(1＋ m ) x － m ， ∴－2－(1＋ m )＝0，∴ m ＝－3. (8分) (ⅱ)( x ＋2)( x ＋1)－( x －4)( x ＋ m )＝ x2＋3 x ＋2－ x2－( m －4) x ＋4 m ， ∴3－( m －4)＝0，∴ m ＝7. (11分) (ⅲ)( x ＋2)( x ＋ m )－( x ＋1)( x －4)＝ x2＋(2＋ m ) x ＋2 m － x2＋3 x ＋4， ∴2＋ m ＋3＝0，∴ m ＝－5.综上所述， m 的值为－3或7或－5. (14分) 【易错警示】注意“平衡因子”为非负数，不要忘记取绝对值. ②若多项式 x ＋2， x －4， x ＋1， x ＋ m ( m 是常数)是一组平衡多项式，求 m 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 $$