第十三章提优验收卷(B卷)-【初中上分卷】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（人教版）

八年级上册 人教版 数 学 返回目录 返回目录 返回目录 软件使用 建议老师使用WPS软件打开 编辑修改 点击文本框即可对全文进行编辑、修改 便捷操作 页面之间有超链接相互跳转 课件说明 返回目录 返回目录 卷⑦ 　第十三章提优验收卷(B卷) 考查内容：轴对称 返回目录 返回目录 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 返回目录 一、选择题 1. [2024贵州遵义播州区期末]如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的 倒影表示正确的是(　A　) A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 2. [2024湖南长沙期末]如图，衣架内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三 角形 ABC ，若 AB ＝ AC ＝26 cm， D 是 BC 的中点，∠ ABC ＝30°，则 AD 的长为 (　C　) A. 11 cm B. 12 cm C. 13 cm D. 14 cm 【解析】∵ AB ＝ AC ＝26 cm， D 是 BC 的中点，∴ AD ⊥ BC ，∴∠ ADB ＝90°. ∵∠ ABC ＝30°，∴ AD ＝ AB ＝13 cm，故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 3. 新考法[2024河南郑州金水区开学]小李将一张圆形纸片对折再对折，然后在中间 抠掉一个“2”字形(如图)，再将它展开，则展开后的图形正确的是(　C　) (第3题图) A B C D C 【解析】以两条折痕所在直线为对称轴分别作“2”的轴对称图形，可得展开后的 图形是选项C中的图形.故选C. 上分点拨　实践操作 如果想不到解析中的方法，也可以根据题中步骤动手操作一遍. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 4. [2024贵州六盘水钟山区期中]将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆 放，若∠1＝60°，则△ ABC 是(　B　) A. 不等边三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 (第4题图) 【解析】如图.∵ BC ∥ NM ，∴∠ ACB ＝∠1＝60°.∵∠ A ＝60°，∴∠ ABC ＝180°－ ∠ A －∠ ACB ＝60°，∴∠ ABC ＝60°，∴△ ABC 是等边三角形.故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 5. [2024浙江宁波鄞州区期末]如图，△ ABC 中， AB ＜ AC ＜ BC ，如果要用尺规作 图的方法在 BC 上确定一点 P ，使 PA ＋ PB ＝ BC ，那么符合要求的作图痕迹是 (　D　) A B C D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 6. [2024江苏淮安期末]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝10，点 E ， F ， G 分别在边 AB ， BC ， AC 上， EF ∥ AC ， GF ∥ AB ，则四边形 AEFG 的周长是(　A　) A. 20 B. 24 C. 30 D. 10 (第6题图) 【解析】∵ EF ∥ AC ， GF ∥ AB ，∴∠ B ＝∠ GFC ，∠ C ＝∠ EFB . ∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C ，∴∠ B ＝∠ EFB ，∠ GFC ＝∠ C ， ∴ EB ＝ EF ， FG ＝ GC ，∴四边形 AEFG 的周长为 AE ＋ EF ＋ FG ＋ AG ＝ AE ＋ EB ＋ GC ＋ AG ＝ AB ＋ AC . ∵ AB ＝ AC ＝10， ∴四边形 AEFG 的周长是 AB ＋ AC ＝10＋10＝20.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 7. [2024河北石家庄期末]如图，在3×3的正方形网格中有四个格点 A ， B ， C ， D ，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其 余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是(　D　) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D (第7题图) D 【解析】如图所示，原点是点 D . 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分心得　关于坐标轴对称的点 关于 x 轴对称的两个点的连线一定垂直于 x 轴，平行于 y 轴； 关于 y 轴对称的两个点的连线一定垂直于 y 轴，平行于 x 轴. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 8. [2024山东聊城东昌府区期末]如图所示，点 O 在点 A 的正北方，相距40千米， ∠ AOB ＝60°， OA ＝ OB ，则点 B 相对于点 A 的位置可以表示为(　C　) A. 点 B 在点 A 的南偏东60°方向，距离20千米 B. 点 B 在点 A 的南偏东60°方向，距离40千米 C. 点 B 在点 A 的北偏西60°方向，距离40千米 D. 点 B 在点 A 的北偏西60°方向，距离20千米 (第8题图) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，连接 AB . ∵∠ AOB ＝60°， OA ＝ OB ，∴△ ABO 是等边三角形， ∴∠ BAO ＝60°， AB ＝ OA ＝40千米，∴点 B 在点 A 的北偏西60°方向，距离40千 米，故选C. (第8题图) (第8题图) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 9. 如图，已知∠ MON ＝30°，点 A1， A2， A3， A4，…在射线 ON 上，点 B1， B2， B3，…在射线 OM 上，△ A1 B1 A2，△ A2 B2 A3，△ A3 B3 A4，…均为等边三角形，若 OA1＝2，则△ A5 B5 A6的边长为(　D　) A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 (第9题图) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图所示.∵△ A1 B1 A2是等边三角形，∴ A1 B1＝ A2 B1，∠3＝∠4＝∠11＝ 60°，∴∠2＝120°.∵∠ MON ＝30°，∴∠1＝180°－120°－30°＝30°.又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°－60°－30°＝90°.∵∠ MON ＝∠1＝30°，∴ OA1＝ A1 B1＝2，∴ A2 B1＝ 2.∵△ A2 B2 A3，△ A3 B3 A4是等边三角形，∴ A2 B2＝ B2 A3，∠10＝∠9＝∠12＝ 60°.∵∠4＝∠11＝60°，∴ A1 B1∥ A2 B2∥ A3 B3， B1 A2∥ B2 A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝ 30°，∠5＝∠8＝90°，∴ A2 B2＝2 B1 A2， B3 A3＝2 B2 A3，∴ A3 B3＝4 B1 A2＝8，可得 A4 B4＝8 B1 A2＝16， A5 B5＝16 B1 A2＝32.故选D. (第9题图) (第9题图) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 10. [2023广东深圳龙岗区期末]如图，△ ABC 中， AC ＝ DC ＝3， BD ⊥∠ BAC 的平 分线于 D ， E 为 AC 的中点，则图中两个阴影三角形的面积之差的最大值为(　B　) A. 6 B. 4.5 C. 3 D. 2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，延长 BD ， AC 相交于点 H . 设 AD 交 BE 于点 O . ∵ AD ⊥ BH ， ∴∠ ADB ＝∠ ADH ＝90°，∴∠ ABD ＋∠ BAD ＝90°，∠ H ＋∠ HAD ＝90°. ∵∠ BAD ＝∠ HAD ，∴∠ ABD ＝∠ H ，∴ AB ＝ AH ，∴ BD ＝ DH ， ∴ S△ ADB ＝ S△ ADH . ∵ DC ＝ CA ，∴∠ CDA ＝∠ CAD . ∵∠ CAD ＋∠ H ＝90°， ∠ CDA ＋∠ CDH ＝90°，∴∠ CDH ＝∠ H ，∴ CD ＝ CH ＝ AC . ∵ AE ＝ EC ，∴ S△ ABE ＝ S△ ABH . 易知 S△ CDH ＝ S△ ABH ， ∴ S△ ABE ＝ S△ CDH . ∵ S△ OBD － S△ AOE ＝ S△ ADB － S△ ABE ＝ S△ ADH － S△ CDH ＝ S△ ACD ， AC ＝ CD ＝3，∴当 DC ⊥ AC 时，△ ACD 的面积最大，最大面积为 ×3×3＝4.5，即图中两个阴影三角形的面积之差的最大值为4.5.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 二、填空题 11. [2024吉林松原宁江区期中]如图，已知 OA ＝5， P 是射线 ON 上的一个动点， ∠ AON ＝60°.当 OP ＝ 时，△ AOP 为等边三角形. (第11题图) 【解析】∵∠ AON ＝60°，∴当 OA ＝ OP ＝5时，△ AOP 为等边三角形.故答案为5. 5 上分心得　等边三角形的判定 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 12. [2024江苏镇江期末]图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在 ①②③④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的 新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域 .(填序号) (第12题图) ④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 13. 开放性问题[2023广东模拟]如图，在△ ABC 中，点 E 在 BC 上，点 D 在 AE 上，且 ∠ ABD ＝∠ ACD ，若补充一个条件，可以使 BE ＝ CE ，则可以补充的条件为 ⁠ .(注：填写“ E 为 BC 中点”不得分) (第13题图) AE 是∠ BAC 的平分线(答案不唯一) 【解析】补充条件是 AE 是∠ BAC 的平分线.∵ AE 是∠ BAC 的平分线， ∴∠ BAE ＝∠ CAE . 在△ ABD 与△ ACD 中， ∴△ ABD ≌△ ACD (AAS)，∴ AB ＝ AC ，∴△ ABC 是等腰三角形， ∴ AE 是 BC 边上的中线，∴ BE ＝ CE . 故答案为 AE 是∠ BAC 的平分线(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 14. [2024广东揭阳期中]如图，已知∠ AOB ＝60°，点 P 在边 OA 上， OP ＝16，点 M ， N 在边 OB 上， PM ＝ PN ，若 MN ＝4，则 OM ＝ ⁠. (第14题图) 6 【解析】过点 P 作 PD ⊥ OB ，垂足为 D ，∴∠ PDO ＝90°. ∵∠ AOB ＝60°，∴∠ OPD ＝90°－∠ AOB ＝30°. ∵ OP ＝16，∴ OD ＝ OP ＝8.∵ PM ＝ PN ， PD ⊥ MN ， ∴ DM ＝ MN ＝2，∴ OM ＝ OD － DM ＝6，故答案为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 15. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意图形 G 及直线 l1， l2，给出如下定义：将图 形 G 先沿直线 l1翻折得到图形 G1，再将图形 G1沿直线 l2翻折得到图形 G2，则称图形 G2是图形 G 的＜ l1， l2＞伴随图形.设点 Q (－3，－2)在某个图形上，点Q'在该图形 的＜ x 轴， y 轴＞伴随图形上，则点Q'的坐标为 ⁠. (3，2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 16. [2024陕西榆林期末]如图， EF 是 BC 的垂直平分线，交 BC 于点 D ， A 是直线 EF 上一动点，它从点 D 出发沿射线 DE 方向运动，当∠ ABC 增加 x °时，∠ BAC 减少 y °，则 y 与 x 之间的关系为 ⁠. (第16题图) y ＝2 x 【解析】∵ EF 是 BC 的垂直平分线，∴ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵∠ BAC ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°，∠ ABC 增加 x °时，∠ BAC 减少 y °， ∴∠ BAC － y °＋∠ ABC ＋ x °＋∠ ACB ＋ x °＝180°， ∴ y °＝2 x °，则 y ＝2 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 17. 分类讨论[2024河南三门峡期末]如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ B ＝ 50°， D 为 BC 的中点，点 E 在 AB 上，∠ AED ＝69°，若点 P 是等腰△ ABC 的腰 AC 上的一点，则当△ EDP 为等腰三角形时，∠ EDP 的度数是 ⁠. 100°或142° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，连接 AD ，在 AC 上取点 P1， P2，使得 DP1＝ DP2＝ ED ，此时 P1， P2即为满足题意的 P 点.∵ AB ＝ AC ，∠ B ＝50°，∴∠ BAC ＝180°－50°－50°＝ 80°.∵ D 为 BC 的中点，∴∠ BAD ＝∠ CAD . 过 D 作 DH ⊥ AC ， DG ⊥ AB ，∴ DG ＝ DH . 在Rt△ DEG 与Rt△ DP2 H 中， ∴Rt△ DEG ≌Rt△ DP2 H (HL)， ∴∠ AP2 D ＝∠ AED ＝69°.∵∠ BAC ＝80°，∴∠ EDP2＝360°－80°－69°－69°＝ 142°.同理可得Rt△ DEG ≌Rt△ DP1 H ，∴∠ EDG ＝∠ P1 DH ，∴∠ EDP1＝∠ GDH ＝360°－80°－90°－90°＝100°，故答案为100°或142°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 18. [2024山东济南天桥区期中]如图，△ ABC 是等边三角形， D 是线段 BC 上 一点(不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，点 E ， F 分别在线段 AB ， AC 的延长线 上，且 DE ＝ DF ＝ AD . 在点 D 从 B 运动到 C 的过程中，△ CDF 周长的变化 规律是 .(填序号) ①不变；②一直变小；③先变大后变小；④先变小后变大. ④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ BAC ＝60°，∴∠ EBD ＝ ∠ DCF ＝120°.∵ DF ＝ AD ，∴∠ CAD ＝∠ F . 又∵∠ BAD ＋∠ CAD ＝∠ BAC ＝ 60°，∠ CDF ＋∠ F ＝∠ ACB ＝60°，∴∠ BAD ＝∠ CDF . ∵ DE ＝ AD ，∴∠ BAD ＝∠ E ，∴∠ E ＝∠ CDF . 在△ BDE 和△ CFD 中， ∴△ BDE ≌△ CFD (AAS)，∴ BD ＝ CF ，则△ CFD 周长为 CD ＋ CF ＋ DF ＝ CD ＋ BD ＋ AD ＝ BC ＋ AD . ∵在点 D 从 B 运动到 C 的过程中， BC 的长不变， AD 的长先变小后变大，其中当点 D 运动到 BC 的中点位置时， AD 最小，∴在点 D 从 B 运动到 C 的过程中，△ CFD 周长的变化规律是先变小后变大，故④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 三、解答题 19. [2024江西鹰潭余江区期中](8分)如图，等边△ ABC 的三个顶点都在坐标轴上， A (－1，0)，过点 B 作 BD ⊥ AB 交 x 轴于点 D ，求点 D 的坐标. 【解】∵等边△ ABC 的三个顶点都在坐标轴上， A (－1，0)， ∴ OA ＝1， OB ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝ BC ，∠ BAC ＝∠ ACB ＝ ∠ CBA ＝60°，∴ OC ＝ OA ＝1，∴ AC ＝2，∴ BC ＝2. (3分) ∵ BD ⊥ AB ，∴∠ ABD ＝90°，∴∠ BDA ＝90°－∠ BAC ＝90°－60°＝30°，∠ CBD ＝∠ ABD －∠ CBA ＝90°－60°＝30°， (6分) ∴∠ BDA ＝∠ CBD ，∴ BC ＝ DC ＝2，∴ OD ＝ OC ＋ CD ＝1＋2＝3. ∵点 D 在 x 轴上，∴点 D 的坐标为(3，0). (8分) 【关键点拨】求出 OC ， DC 的长是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 20. [2024福建福州台江区期中](10分)图(1)和图(2)均是由相同的小正方形组成的网格 图，点 A ， B ， C ， D 均落在格点上.请只用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留作 图痕迹，不要求写出作法) 　 (1)如图(1)，在格线 CD 上确定一点 Q ，使 QA 与 QB 的长度之和最小. 【解】(1)如图(1)，点 Q 即为所求. (5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)如图(2)，在四边形 ACBD 的对角线 CD 上确定一点 P ，使∠ APC ＝∠ BPC . 【解】(2)如图(2)，点 P 即为所求. (10分) 【关键点拨】本题考查了轴对称的知识，熟练利用网格结构准确找出对称点的位置 是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 21. 新考法[2024湖北武汉期末](10分)阅读与思考： 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务. ×年×月×日　星期四　　　数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三 角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个. 第一种情况：已知：如图， AB ∥ CD ， CE 是∠ ACD 的平分线.求证：△ ACE 是等 腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 证明：∵ AB ∥ CD ，∴∠ AEC ＝∠ ECD . ∵ CE 是∠ ACD 的平分线，∴∠ ACE ＝∠ ECD ， ∴∠ AEC ＝∠ ACE ，∴ AC ＝ AE (依据)，∴△ ACE 是等腰三角形. 第二种情况：…… 第三种情况：…… (1)上述证明过程中，依据是 ⁠. 【解】(1)∵∠ AEC ＝∠ ACE ，∴ AC ＝ AE ，依据是等角对等边.故答案为等角对 等边. (2分) 等角对等边 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一 种进行证明. 【解】(2)第二种情况：已知：如题图，△ ACE 是等腰三角形， AC ＝ AE ， CE 是 ∠ ACD 的平分线.求证： AB ∥ CD . (4分) 第三种情况：已知：如题图，△ ACE 是等腰三角形， AC ＝ AE ， AB ∥ CD . 求证： CE 是∠ ACD 的平分线. (6分) 选择第二种情况，证明如下： ∵△ ACE 是等腰三角形， AC ＝ AE ，∴∠ AEC ＝∠ ACE . ∵ CE 是∠ ACD 的平分线，∴∠ ACE ＝∠ ECD ，∴∠ AEC ＝∠ ECD ，∴ AB ∥ CD . (10分) 选择第三种情况，证明如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 ∵ AB ∥ CD ，∴∠ AEC ＝∠ ECD . ∵△ ACE 是等腰三角形， AC ＝ AE ，∴∠ AEC ＝∠ ACE ，∴∠ ACE ＝∠ ECD ，∴ CE 是∠ ACD 的平分线. (10分) (选择第二种或第三种情况证明均可) 【思路分析】根据角平分线的定义、平行线的判定及性质和等腰三角形的性质和判 定解题即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 22. [2024陕西宝鸡金台区月考](12分)如图，在△ ABC 中， AB 边的垂直平分线 l1交 BC 于点 D ， AC 边的垂直平分线 l2交 BC 于点 E ， l1与 l2相交于点 O ，连接 OB ， OC ， AD ， AE . 若△ ADE 的周长为6 cm，△ OBC 的周长为16 cm. (1)求线段 BC 的长. 【解】(1)∵ l1是 AB 边的垂直平分线，∴ DA ＝ DB . ∵ l2是 AC 边的垂直平分线，∴ EA ＝ EC ， (2分) ∴ BC ＝ BD ＋ DE ＋ EC ＝ DA ＋ DE ＋ EA . ∵△ ADE 的周长为6 cm，∴ BC ＝6 cm. (4分) 【思路分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到 DA ＝ DB ， EA ＝ EC ，进而即可 求出答案； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)连接 OA ，求线段 OA 的长. 【解】(2)∵ l1是 AB 边的垂直平分线，∴ OA ＝ OB . ∵ l2是 AC 边的垂直平分线，∴ OA ＝ OC . (6分) ∵ OB ＋ OC ＋ BC ＝16 cm， BC ＝6 cm，∴ OA ＝ OB ＝ OC ＝5 cm. (8分) 【思路分析】(2)根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可； (3)若∠ BAC ＝100°，求∠ DAE 的度数. 【解】(3)∵∠ BAC ＝100°，∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝80°.∵ DA ＝ DB ， EA ＝ EC ， ∴∠ BAD ＝∠ ABC ，∠ EAC ＝∠ ACB ，∴∠ DAE ＝∠ BAC －∠ BAD －∠ EAC ＝ ∠ BAC －(∠ ABC ＋∠ ACB )＝20°. (12分) 【思路分析】(3)根据等腰三角形的性质和角的和差关系进行计算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 23. [2024浙江金华期末](12分)如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝2∠ ACB ， BD 为△ ABC 的角平分线. (1)若 AB ＝ BD ，则∠ A 的度数为 °(直接写出结果). (1)【解】设∠ C ＝ x .∵∠ ABC ＝2∠ C ，∴∠ ABC ＝2 x . ∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABD ＝∠ CBD ＝ x . ∵ AB ＝ BD ，∴∠ A ＝∠ ADB ＝∠ DBC ＋∠ C ＝2 x . ∵∠ A ＋∠ ABC ＋∠ C ＝180°，∴2 x ＋2 x ＋ x ＝180°，∴ x ＝36°， ∴∠ A ＝2 x ＝72°，故答案为72. (3分) 72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)如图(1)，若 E 为线段 BC 上一点，∠ DEC ＝∠ A ，求证： AB ＝ EC . 【证明】(2)∵ BD 平分∠ ABC ，∠ ABC ＝2∠ ACB ，∴∠ ABD ＝∠ DBC ＝∠ C ，∴ BD ＝ CD . (4分) 在△ ABD 和△ ECD 中， ∴△ ABD ≌△ ECD (AAS)，∴ AB ＝ EC . (6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【证明】(3)如图，延长 BD 到 T ，使得 CD ＝ CT . (7分) ∵ CD ＝ CT ，∴∠ T ＝∠ CDT ＝∠ ADB . 由(2)知 BD ＝ CD ，∴ BD ＝ CT . (10分) 在△ ABD 和△ ECT 中， ∴△ ABD ≌△ ECT (AAS)，∴ AB ＝ EC . (12分) 【关键点拨】(3)解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题. (3)如图(2)，若 E 为线段 BD 上一点，∠ DEC ＝∠ A ，求证： AB ＝ EC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 24. 探究性问题[2024河南开封期末](14分)在等边△ ABC 的两边 AB ， AC 所在直线上 分别有两点 M ， N ， D 为△ ABC 外一点，且∠ MDN ＝60°，∠ BDC ＝120°， BD ＝ DC . 探究：当 M ， N 分别在直线 AB ， AC 上移动时， BM ， NC ， MN 之间的数量 关系及△ AMN 的周长 Q 与等边△ ABC 的周长 L 的关系. (1)【问题猜想】如图(1)，当点 M ， N 在边 AB ， AC 上，且 DM ＝ DN 时，直接写出 BM ， NC ， MN 之间的数量关系以及此时 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】(1) BM ， NC ， MN 之间的数量关系是 BM ＋ NC ＝ MN ，此时 ＝ . (4分) ∵ DM ＝ DN ，∠ MDN ＝60°，∴△ MDN 是等边三角形.∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ A ＝60°.∵ BD ＝ CD ，∠ BDC ＝120°，∴∠ DBC ＝∠ DCB ＝30°，∴∠ MBD ＝ ∠ NCD ＝90°.∵ DM ＝ DN ， BD ＝ CD ，∴Rt△ BDM ≌Rt△ CDN ，∴∠ BDM ＝ ∠ CDN ＝30°， BM ＝ CN ，∴ DM ＝2 BM ， DN ＝2 CN ， AM ＝ AN ，∴ MN ＝2 BM ＝2 CN ＝ BM ＋ CN ，△ AMN 是等边三角形，∴ AM ＝ MN . ∵ AB ＝ AM ＋ BM ， ∴ AM ∶ AB ＝2∶3，∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【思路分析】(1)由 DM ＝ DN ，∠ MDN ＝60°，可证得△ MDN 是等边三角形，又由△ ABC 是等边三角形， CD ＝ BD ，证得Rt△ BDM ≌Rt△ CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得 BM ， NC ， MN 之间的数量关系为 BM ＋ NC ＝ MN ，此时 ＝ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)【探究发现】如图(2)，点 M ， N 在边 AB ， AC 上，且当 DM ≠ DN 时，猜想(1)问 的两个结论还成立吗？请说明理由. 【解】(2)猜想：(1)中两个结论仍然成立，理由：在 NC 的延长线上截取 CM1＝ BM ，连接 DM1，如图(1). (6分) 由(1)知∠ MBD ＝∠ M1 CD ＝90°，且 BD ＝ CD ，∴△ DBM ≌△ DCM1，∴ DM ＝ DM1，∠ BDM ＝∠ CDM1.∵∠ MDN ＝60°，∠ BDC ＝120°，∴∠ M1 DN ＝∠ M1 DC ＋∠ NDC ＝∠ BDM ＋∠ NDC ＝120°－∠ MDN ＝60°＝∠ MDN ，∴△ MDN ≌△ M1 DN ，(8分) ∴ MN ＝ M1 N ＝ M1 C ＋ NC ＝ BM ＋ NC ，∴△ AMN 的 周长为 AM ＋ MN ＋ AN ＝ AM ＋ BM ＋ CN ＋ AN ＝ AB ＋ AC ， ∴ ＝ . (10分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【思路分析】(2)在 NC 的延长线上截取 CM1＝ BM ，连接 DM1，可证△ DBM ≌ △ DCM1，即可得 DM ＝ DM1，∠ BDM ＝∠ CDM1易证得∠ M1 DN ＝∠ MDN ＝60°，则可证得△ MDN ≌△ M1 DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (3)【拓展延伸】如图(3)，当 M ， N 分别在边 AB ， CA 的延长线上时，探索 BM ， NC ， MN 之间有何数量关系，并给出证明. 【解】(3) NC － BM ＝ MN . 证明：在 CN 上截取 CM1＝ BM ，连接 DM1，如图(2). 同(2)可证△ DBM ≌△ DCM1， (11分) ∴ DM ＝ DM1，∠ BDM ＝∠ CDM1，则∠ MDM1＝∠ BDC ＝120°.又∵∠ MDN ＝ 60°，∴∠ M1 DN ＝∠ MDN ＝60°，∴△ MDN ≌△ M1 DN ， ∴ MN ＝ M1 N ，∴ NC － BM ＝ NC － CM1＝ NM1＝ MN . (14分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【思路分析】(3)首先在 CN 上截取 CM1＝ BM ，连接 DM1，可证△ DBM ≌△ DCM1，即可得 DM ＝ DM1，∠ BDM ＝∠ CDM1，然后证得∠ M1 DN ＝∠ MDN ＝60°，易证得△ MDN ≌△ M1 DN ，则可得 NC － BM ＝ MN . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 $$