第十三章基础诊断卷(A卷)-【初中上分卷】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（人教版）

八年级上册 人教版 数 学 返回目录 返回目录 返回目录 软件使用 建议老师使用WPS软件打开 编辑修改 点击文本框即可对全文进行编辑、修改 便捷操作 页面之间有超链接相互跳转 课件说明 返回目录 返回目录 卷⑥ 　第十三章基础诊断卷(A卷) 考查内容：轴对称 返回目录 返回目录 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 返回目录 一、选择题 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，是轴对称图形的为 (　C　) A B C D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 2. [2024河北邢台期末]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 为∠ BAC 的平分线，若 BC ＝8，则 CD 的长为(　C　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】∵ AB ＝ AC ， AD 为∠ BAC 的平分线，∴ CD ＝ BC ＝4，故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 3. [2024吉林长春绿园区期末]下列选项中，点 M 与点 N 关于直线 l 对称的是(　D　) A B C D 【解析】∵如果两个图形关于某直线对称，那么该直线是任何一对对应点所连线段 的垂直平分线，∴只有选项D表示点 M 与点 N 关于直线 l 对称.故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 4. [2024天津河西区期末]如图， C ， E 是直线 l 两侧的点，以点 C 为圆心， CE 的长 为半径画弧交直线 l 于 A ， B 两点，再分别以点 A ， B 为圆心，大于 AB 的长为半径 画弧，两弧交于点 D ，连接 CA ， CB ， CD 并延长，则下列结论不一定正确的是 (　C　) A. CA ＝ CB B. CD ⊥直线 l C. 点 C ， D 关于直线 l 对称 D. 点 A ， B 关于直线 CD 对称 (第4题图) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】 选项 理由 A 根据作法可知 CA ＝ CB ，故A正确 B 根据作法可知 CD ⊥直线 l ，故B正确 C C ， D 两点到直线 l 的距离不一定相等，故C不一定正确 D 根据作法得 CD 垂直平分线段 AB ，故点 A ， B 关于直线 CD 对称，故D 正确 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 5. [2024河南南阳期末]如图，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD 是边 AB 上的高，若 ∠ A ＝30°， BD ＝1，则 AD ＝(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (第5题图) 【解析】∵△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝30°，∴∠ B ＝60°.∵ CD 是边 AB 上的 高，∴∠ CDB ＝90°，∴∠ BCD ＝30°.∵ BD ＝1，∴ BC ＝2 BD ＝2.∵在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝30°，∴ AB ＝2 BC ＝4，∴ AD ＝ AB － BD ＝4－1＝3.故 选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 6. [2024山东日照东港区期末]如图所示，△ ABC 是在2×2的正方形网格中以格点为 顶点的三角形，那么在正方形网格中与△ ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形 共有(　C　) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 C 【解析】如图，在正方形网格中与△ ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有5个.故选C. 　 　 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分心得　作轴对称图形 可以先画出对称轴，再看所作三角形的顶点是否在格点上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 7. [2024陕西渭南期中]如图，在△ ABC 中，∠ A ＝70°， OD 垂直平分 AB ，垂足为 点 D ， OE 垂直平分 AC ，垂足为点 E ，连接 OC ，则∠ BCO 的度数为(　A　) A. 20° B. 30° C. 25° D. 35° A 【解析】连接 OA ， OB ，如图.∵∠ BAC ＝70°，∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝110°. ∵ O 是 AB ， AC 垂直平分线的交点，∴ OA ＝ OB ， OA ＝ OC ， ∴∠ OAB ＝∠ OBA ，∠ OCA ＝∠ OAC ， OB ＝ OC ， ∴∠ OBA ＋∠ OCA ＝70°，∴∠ OBC ＋∠ BCO ＝110° －70°＝40°.∵ OB ＝ OC ，∴∠ BCO ＝∠ OBC ＝20°.故选A. 上分点拨　垂直平分线与等腰三角形 利用垂直平分线的性质作辅助线可得等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 8. 如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行 30海里到达 B 处后，此时测得灯塔 P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔 P 的 距离是(　B　) A. 15 海里 B. 30海里 C. 45海里 D. 30 海里 (第8题图) 【解析】∵灯塔 P 位于 A 处北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行，∴∠ PAB ＝ 90°－60°＝30°.∵∠ ABP ＝90°＋30°＝120°，∴∠ APB ＝180°－120°－30°＝30°， ∴∠ PAB ＝∠ APB ，∴△ ABP 是等腰三角形，∴ PB ＝ AB ＝30海里.故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 9. [2024江西宜春期中]如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上， BD 的垂直平分线与 AB 相 交于 E 点， CD 的垂直平分线与 AC 相交于 F 点，已知△ ABC 的三个内角皆不相等， 根据图中标注的角，下列判断正确的是(　C　) A. ∠1＝∠3，∠2＝∠4 B. ∠1＝∠3，∠2≠∠4 C. ∠1≠∠3，∠2＝∠4 D. ∠1≠∠3，∠2≠∠4 (第9题图) 【解析】∵ E 在 BD 的垂直平分线上，∴ EB ＝ ED ，∴∠ B ＝∠ EDB . 同理可知∠ C ＝∠ CDF ，∴∠ B ＋∠ C ＝∠ EDB ＋∠ CDF . ∵∠4＋∠ B ＋∠ C ＝180°，∠2＋ ∠ BDE ＋∠ CDF ＝180°，∴∠4＝∠2.∵∠1＝∠ B ＋∠ BDE ＝2∠ B ，∠3＝∠ C ＋ ∠ CDF ＝2∠ C ，∠ B ≠∠ C ，∴∠1≠∠3.故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 10. [2024广东广州天河区期末]如图，点 D 是∠ FAB 内的定点且 AD ＝2，若点 C ， E 分别是射线 AF ， AB 上异于点 A 的动点，当△ CDE 周长的最小值是2时，∠ FAB 的 度数是(　A　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° (第10题图) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，分别作 D 点关于 AF ， AB 的对称点 G ， H ，连接 AG ， AH ， GH 分 别交 AF ， AB 于 C '， E '，连接 DC '， DE '，则此时△ CDE 周长最小，为 DC '＋ DE ' ＋ C ' E '＝ GH ＝2.根据轴对称的性质，得 AG ＝ AD ＝ AH ＝2，∠ DAF ＝∠ GAF ， ∠ DAB ＝∠ HAB ，∴ AG ＝ AH ＝ GH ＝2，∴△ AGH 是等边三角形，∴∠ GAH ＝ 60°，∴∠ FAB ＝ ∠ GAH ＝30°，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 二、填空题 11. [2024河南驻马店期末]如图，直线 AB 左边是计算器上的数字5，若以 AB 为对称 轴，那么它的对称图形是数字 ⁠. (第11题图) 【解析】如图所示，根据轴对称图形的定义可知，数字“5”的轴对称图形是数字 “2”.故答案为2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 12. [2024重庆南岸区期中]已知点 A (2， a )关于 x 轴的对称点为点 B ( b ，－3)，则 a ＋ b 的值为 ⁠. 【解析】∵点 A (2， a )关于 x 轴的对称点为点 B ( b ，－3)，∴ a ＝3， b ＝2，∴ a ＋ b ＝5.故答案为5. 13. [2024吉林松原期中]如图， AB 是线段 CD 的垂直平分线， E ， F 分别是 AB 上的 两点，若∠ CEB ＝30°，∠ CDF ＝40°，则∠ ECF 的度数为 ⁠. (第13题图) 5 100° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，设 AB ， CD 交于点 H . ∵ AB 是线段 CD 的垂直平分线， E ， F 分别 是 AB 上的两点，∴∠ CHE ＝90°， FC ＝ FD ，∴∠ CDF ＝∠ DCF ＝40°，∠ ECD ＝90°－∠ CEB ＝60°，∴∠ ECF ＝∠ ECD ＋∠ DCF ＝100°.故答案为100°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 14. [2024江苏扬州期中]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 为 BC 边的中点，∠1 ＝27°，则∠ C ＝ ⁠°. (第14题图) 【解析】∵ AB ＝ AC ，点 D 为 BC 边的中点，∴∠2＝∠1＝27°， AD ⊥ BC ， ∴∠ ADC ＝90°，∴∠ C ＝90°－27°＝63°，故答案为63. 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 15. [2024河南郑州期末]如图，在△ ABC 中，将∠ B ，∠ C 按如图所示的方式折叠， 点 B ， C 均落于边 BC 上的点 Q 处， MN ， EF 为折痕，若∠ A ＝82°，则∠ MQE ＝ ⁠. (第15题图) 【解析】根据题意可得∠ B ＝∠ MQB ，∠ C ＝∠ EQC . ∵∠ A ＝82°，∴∠ B ＋∠ C ＝180°－82°＝98°，∴∠ MQB ＋∠ EQC ＝∠ B ＋∠ C ＝98°，∴∠ MQE ＝180°－ 98°＝82°，故答案为82°. 82° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分心得　折叠 折叠是一种轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对 应角相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 16. [2024河北秦皇岛海港区期末]如图的5个三角形中，均有 AB ＝ AC ，则经过三角 形的一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 ⁠ . (填序号) 　 　 　 　 ②⑤ 【解析】①如图(1)，过点 B 作∠ ABC 的平分线交 AC 于点 D . ∵ AB ＝ AC ，∠ A ＝ 36°，∴∠ ABC ＝∠ C ＝72°，∴∠ ABD ＝∠ CBD ＝36°，∴∠ BDC ＝72°， ∴△ ABD 和△ BCD 是等腰三角形，∴①不符合题意. ②不能将这个三角形分成两个小等腰三角形，∴②符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 ③如图(2)，过点 A 作∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D ，则∠ BAD ＝∠ CAD . ∵∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C ＝45°，∠ BAD ＝∠ CAD ＝45°， ∴△ ABD 和△ ACD 是等腰三角形，∴③不符合题意. ④如图(3)，作线段 AD 把∠ BAC 分成36°和72°的两角， AD 与 BC 交于点 D ，则∠ BAD ＝36°，∠ CAD ＝72°. ∵∠ BAC ＝108°， AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C ＝36°， ∴∠ BAD ＝∠ B ，∠ ADC ＝∠ CAD ， ∴△ ABD 和△ ACD 是等腰三角形，∴④不符合题意. ⑤不能将这个三角形分成两个小等腰三角形，∴⑤符合题意.故答案为②⑤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 17. [2024广东广州期中]如图，等边△ ABC 中， D 为 AC 中点，点 P ， Q 分别为 AB ， AD 上的点， BP ＝ AQ ＝4， QD ＝3，在 BD 上有一动点 E ，则 PE ＋ QE 的最 小值为 ⁠. (第17题图) 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】∵△ ABC 是等边三角形，∴ BA ＝ BC ，∠ A ＝60°.∵ D 为 AC 中点， ∴ BD ⊥ AC . 如图，作点 Q 关于 BD 的对称点 Q '，连接 PQ '交 BD 于 E ，连接 QE ， 此时 PE ＋ EQ 的值最小，最小值为 PE ＋ EQ '＝ PQ '.∵ BP ＝ AQ ＝4， QD ＝3， ∴ AD ＝ DC ＝ AQ ＋ QD ＝7， QD ＝ DQ '＝3，∴ CQ '＝ CD － DQ '＝4＝ BP ， ∴ AP ＝ AQ '＝10.∵∠ A ＝60°，∴△ APQ '是等边三角形，∴ PQ '＝ PA ＝10， ∴ PE ＋ QE 的最小值为10.故答案为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 18. 分类讨论[2024山东德州期末]如图所示，在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ B ＝ 50°， D 为 BC 的中点，点 E 在 AB 上，∠ AED ＝73°，若点 P 是等腰△ ABC 的腰 AC 上的一点，则当△ EDP 为以 DE 为腰的等腰三角形时，∠ EDP 的度数是 ⁠ ⁠. (第18题图) 134°或 100° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】∵ AB ＝ AC ，∠ B ＝50°，∠ AED ＝73°，∴∠ EDB ＝23°，∠ C ＝∠ B ＝ 50°.连接 AD ，如图所示.①当点 P 在 P1位置时，∵ AB ＝ AC ， D 为 BC 的中点， ∴∠ BAD ＝∠ CAD . 过 D 作 DG ⊥ AB 于 G ， DH ⊥ AC 于 H ，∴ DG ＝ DH . 在Rt△ DEG 与Rt△ DP1 H 中， DE ＝ DP1， DG ＝ DH ，∴Rt△ DEG ≌Rt△ DP1 H (HL)，∴∠ AP1 D ＝∠ AED ＝73°.∵∠ BAC ＝180°－50°－50°＝80°， ∴∠ EDP1＝360°－73°－73°－80°＝134°.②当点 P 在 P2位置时，同理证得Rt△ DEG ≌Rt△ DP2 H (HL)，∴∠ EDG ＝∠ P2 DH ，∴∠ EDP2＝∠ GDH ＝180°－80°＝100°. 综上∠ EDP 的度数为134°或100°.故答案为134°或100°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 三、解答题 19. [2023浙江杭州模拟](8分)如图，在△ ABC 中， AC ＜ AB ＜ BC . (1)如图(1)，已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P ，连接 AP ，求证：∠ APC ＝2∠ B . (1)【证明】∵线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P ，∴ PA ＝ PB ，∴∠ B ＝∠ BAP . (2分) ∵∠ APC ＝∠ B ＋∠ BAP ，∴∠ APC ＝2∠ B . (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)如图(2)，以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q ，连接 AQ . 若∠ AQC ＝3∠ B ，求∠ B 的度数. (2)【解】根据题意可知 BA ＝ BQ ，∴∠ BAQ ＝∠ BQA . ∵∠ AQC ＝3∠ B ， ∠ AQC ＝∠ B ＋∠ BAQ ，∴∠ BQA ＝∠ BAQ ＝2∠ B . (7分) ∵∠ BAQ ＋∠ BQA ＋∠ B ＝180°，∴5∠ B ＝180°，∴∠ B ＝36°. (8分) 【方法总结】要善于利用等腰三角形中相等的角及三角形内角和定理列方程解 决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 20. [2024山东青岛期中](10分)如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长 都为1，网格中有一个格点△ ABC (即三角形的顶点都在格点上). (1)△ ABC 的面积为 ⁠. 【解】(1) S△ ABC ＝3×4－ ×2×2－ ×1×4－ ×2×3＝12－2－2－3＝5.故答案为5. (5分) 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)在图中作出△ ABC 关于直线 MN 的对称图形△A'B'C'. 【解】(2)如图，△A'B'C'即为所求. (7分) (3)利用网格纸，在 MN 上找一点 P ，使得 PB ＋ PC 的值最小.(保留作图痕迹) 【解】(3)如图，点 P 即为所求. (10分) 【刷有所得】凡是涉及两条有一个相同端点的线段之和最小的问题，一般要考虑两点之间线段最短，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 21. [2024陕西西安期末](10分)如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ ABC 的平分线 BE 交 AC 于点 D ， AF ⊥ AB 交 BE 于点 F . (1)如图(1)，若∠ BAC ＝40°，求∠ AFE 的度数. 【解】(1)∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝40°，∴∠ ABC ＝70°.∵ BE 平分∠ ABC ， ∴∠ ABF ＝35°. (2分) ∵ AF ⊥ AB ，∴∠ BAF ＝90°，∴∠ AFE ＝∠ ABF ＋∠ BAF ＝125°. (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)如图(2)，若 BD ⊥ AC ，垂足为 D ， BF ＝8，求 DF 的长. 【解】(2)∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABD ＝∠ CBD . ∵ BD ⊥ AC ， ∴∠ ADB ＝∠ CDB ＝90°.又∵ BD ＝ BD ，∴△ ABD ≌△ CBD (ASA)， ∴ AB ＝ BC . ∵ AB ＝ AC ，∴△ ABC 是等边三角形， (7分) ∴∠ ABF ＝ ∠ ABC ＝30°.∵ AF ⊥ AB ， BF ＝8，∴在Rt△ ABF 中， AF ＝ BF ＝4. ∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ BAC ＝60°，∴∠ DAF ＝90°－60°＝30°， ∴在Rt△ ADF 中， DF ＝ AF ＝2. (10分) 【关键点拨】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，以及全等三角形的 判定和性质，证出△ ABC 是等边三角形是解决本题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 22. 新考法[2024北京海淀区期中](12分)如图，在△ ABC 中，∠ B 是锐角， AD ⊥ BC 于点 D ，且∠ B ＝2∠ C ， AB ＝3.5， BD ＝1，求 DC 的长. 小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 解：如图(1)，在线段 DC 上取一点 E ，使 DE ＝ DB ，连接 AE . ∵ AD ⊥ BC ， DE ＝ DB ， ∴ AD 垂直平分线段 BE ， ∴ AB ＝ AE ，(依据1) ∴∠ B ＝∠ AEB . (依据2) ∵∠ B ＝2∠ C ， ∴∠ AEB ＝2∠ C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 又∵∠ AEB ＝∠ EAC ＋∠ C ， ∴∠ EAC ＋∠ C ＝2∠ C ， ∴∠ EAC ＝∠ C ， ∴ AE ＝ CE ，(依据3) ∴ AE ＝ CE ＝ AB ， ∴ DC ＝ DE ＋ CE ＝ BD ＋ AB ＝1＋3.5＝4.5. (1)上述解题过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是什么？ 依据1： ⁠. 依据2： ⁠. 依据3： . (6分) 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 等边对等角 等角对等边 (6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法： 解：如图(2)，延长 DB 到点 E ，使 BE ＝ AB ，连接 AE . …… 请根据小创的思路写出完整的解题步骤. 【解】(2)∵ EB ＝ AB ＝3.5，∴∠ E ＝∠ EAB . ∵∠ ABD 是△ ABE 的一个外角， ∴∠ ABD ＝∠ E ＋∠ EAB ＝2∠ E . (8分) ∵∠ ABD ＝2∠ C ，∴∠ E ＝∠ C ，∴ AE ＝ AC . ∵ AD ⊥ BC ，∴ ED ＝ DC ＝ EB ＋ BD ＝3.5＋1＝4.5，∴ DC 的长为4.5. (12分) 【易错警示】等腰三角形的性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正 不顾已知条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问 题，应当优先选择简便方法来解决. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 23. [2024辽宁鞍山铁东区期末](12分)如图，△ ABC 为等边三角形， AE ＝ CD ， AD ， BE 相交于点 P ， BQ ⊥ AD 于点 Q ， PQ ＝3， PE ＝1. (1)求证： AD ＝ BE . (1)【证明】∵△ ABC 为等边三角形，∴ AB ＝ CA ＝ BC ，∠ BAE ＝∠ ACD ＝60°. (1分) 在△ ABE 和△ CAD 中， ∴△ ABE ≌△ CAD (SAS)， AD ＝ BE . (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)求 AD 的长. (2)【解】由(1)知△ ABE ≌△ CAD ，∴∠ CAD ＝∠ ABE ，∴∠ BPQ ＝ ∠ ABE ＋∠ BAD ＝∠ BAD ＋∠ CAD ＝∠ BAE ＝60°.∵ BQ ⊥ AD ， ∴∠ AQB ＝90°，∠ PBQ ＝90°－60°＝30°. (8分) ∵ PQ ＝3，∴在Rt△ BPQ 中， BP ＝2 PQ ＝6. 又∵ PE ＝1，∴ AD ＝ BE ＝ BP ＋ PE ＝6＋1＝7. (12分) 【关键点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性 质和含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合运用各知识点进行 推理是解此题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 24. 探究性问题[2023安徽合肥期末](14分)已知，在△ ABC 中，∠ ABC ＝∠ ACB ，点 D 为射线 CB 上一点，过点 D 作 DE ⊥ AC 交射线 CA 于点 E . (1)【观察发现】如图(1)，当点 D 在线段 BC 上时，写出∠ BAC 与∠ EDC 的数量关 系并说明理由. 【解】(1)∠ BAC ＝2∠ EDC . (1分) 理由如下：如图(1)，作 AH ⊥ BC 于 H . ∵∠ ABC ＝∠ ACB ，∴ AB ＝ AC . ∵ AH ⊥ BC ，∴∠ BAH ＝∠ CAH ，∠ BAC ＝ 2∠ CAH . ∵ DE ⊥ AC ，∴∠ AHC ＝∠ CED ＝90°，∴∠ C ＋∠ CAH ＝90°，∠ C ＋ ∠ EDC ＝90°，∴∠ CAH ＝∠ EDC ，∴∠ BAC ＝2∠ EDC . (4分) 【思路分析】(1)作 AH ⊥ BC 于 H ，利用等腰三角形的性质，等角的余角相等解决问 题即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)【问题探究】当点 D 在 CB 的延长线上时，画出图形，探究∠ BAC 与∠ EDC 的数 量关系，并说明理由. 【解】(2)如图(2)即为所作图形，∠ BAC ＝2∠ EDC . (6分) 理由：作 AH ⊥ BC 于 H . 同(1)可证∠ BAC ＝2∠ CAH . ∵ DE ⊥ AC ， AH ⊥ BC ，∴∠ AHC ＝∠ CED ＝90°，∴∠ C ＋∠ CAH ＝90°， ∠ C ＋∠ EDC ＝90°，∴∠ CAH ＝∠ EDC ，∴∠ BAC ＝2∠ EDC . (9分) 【思路分析】(2)根据题意画出图形，探究结论不变，证明方法类似(1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (3)【拓展延伸】如图(2)，在(2)的条件下，点 F 为线段 BC 上一点，过点 F 作 FG ⊥ AC 于点 G ，连接 AF ，且∠ AFG ＝∠ CFG ，∠ BAF ＝∠ BFA ，延长 ED ， AB 交于 点 K ，求∠ EKA 的度数. 【解】(3)如图(3)，根据题意易证△ AFG ≌△ CFG ，则∠ FAC ＝∠ C . 设∠ C ＝∠ FAC ＝∠ ABC ＝ x ，则∠ BAF ＝∠ BFA ＝2 x ，∴5 x ＝180°， (11分) ∴ x ＝36°，∴∠ EAK ＝∠ ABC ＋∠ C ＝72°. ∵ KE ⊥ EC ，∴∠ E ＝90°，∴∠ EKA ＝90°－72°＝18°. (14分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【思路分析】(3)易证△ AFG ≌△ CFG 得到∠ FAC ＝∠ C ，设∠ C ＝∠ FAC ＝ ∠ ABC ＝ x ，则∠ BAF ＝∠ BFA ＝2 x ，利用三角形内角和定理构建方程求出 x 即可解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 $$