第十二章提优验收卷(B卷)-【初中上分卷】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（人教版）

八年级上册 人教版 数 学 返回目录 返回目录 返回目录 软件使用 建议老师使用WPS软件打开 编辑修改 点击文本框即可对全文进行编辑、修改 便捷操作 页面之间有超链接相互跳转 课件说明 返回目录 返回目录 卷④ 　第十二章提优验收卷(B卷) 考查内容：全等三角形 返回目录 返回目录 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 返回目录 一、选择题 1. [2024江苏无锡期中]如图， AC 与 BD 相交于点 O ， OA ＝ OD ，∠ A ＝∠ D ，不添 加辅助线，直接判定△ ABO ≌△ DCO 的依据是(　A　) A. 角边角 B. 边角边 C. 角角边 D. 斜边、直角边 (第1题图) 【解析】在△ ABO 与△ DCO 中， ∴△ ABO ≌△ DCO (ASA)， ∴判定△ ABO ≌△ DCO 的依据是角边角.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 2. [2024山西太原期中]如图，点 D ， E ， F 都在△ ABC 的边 BC 上，半圆 E 和半圆 F 全等，则线段 AD 是△ ABC 的(　A　) A. 中线 B. 角平分线 C. 高线 D. 垂直平分线 (第2题图) 【解析】∵点 D ， E ， F 都在△ ABC 的边 BC 上，半圆 E 和半圆 F 全等，∴ BD ＝ CD ，∴点 D 是线段 BC 的中点，∴线段 AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 3. [2024山东济南莱芜区期末]如图，用尺规作出∠ OBF ＝∠ AOB ，所作痕迹 是 (　D　) A. 以点 B 为圆心，以 CD 长为半径所画的弧 B. 以点 D 为圆心，以 DC 长为半径所画的弧 C. 以点 E 为圆心，以 BE 长为半径所画的弧 D. 以点 E 为圆心，以 CD 长为半径所画的弧 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图所示，用尺规作∠ OBF ＝∠ AOB 的步骤如下：①以点 O 为圆心，以 任意长为半径画弧，分别交射线 OA ， OB 于点 C ， D ；②以点 B 为圆心，以 OC 长 为半径画弧，交射线 BO 于点 E ；③以点 E 为圆心，以 CD 长为半径画 ，交前弧 于点 H ，作射线 BH 即可得出∠ OBF ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 4. [2024吉林长春南关区期中]根据下列条件，能确定唯一△ ABC 的是(　C　) A. AB ＝3， BC ＝4， AC ＝8 B. BC ＝3， AB ＝4，∠ A ＝40° C. AB ＝3，∠ A ＝60°，∠ B ＝40° D. AB ＝3，∠ C ＝90° 【解析】A选项，因为3＋4＜8，即三角形两边之和小于第三边，不符合三角形三边 关系，所以本选项不能组成三角形，故本选项不符合题意；B选项，根据边边角， 不能确定唯一△ ABC ，故本选项不符合题意；C选项，根据角边角，能确定唯一 △ ABC ，故本选项符合题意；D选项，根据直角及斜边，不能确定唯一△ ABC ，故本选项不符合题意.故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 5. [2024山东济宁兖州区期末]如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ， CB ＝ CD ，像 这样，经过不相邻两个顶点的两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.对于如图的筝形 ABCD ，可以证明它具有的性质是(　D　) A. 各对邻边分别相等 B. 对角线互相平分 C. 两组对角分别相等 D. 对角线互相垂直 (第5题图) D 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 6. [2024山东枣庄薛城区月考]如图， AC ＝ BC ， AE ＝ CD ， AE ⊥ CD 于点 E ， BD ⊥ CD 于点 D ， AE ＝7， BD ＝2，则 DE 的长是(　B　) A. 2 B. 5 C. 7 D. 9 (第6题图) B 【解析】 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 7. [2024江苏无锡梁溪区月考]如图， AB ∥ CD ， BP 和 CP 分别平分∠ ABC 和∠ DCB ， AD 过点 P ，且与 AB 垂直.若点 P 到 BC 的距离是4，则 AD 的长为(　A　) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 (第7题图) A 【解析】如图，过点 P 作 PE ⊥ BC 于 E . ∵ AB ∥ CD ， PA ⊥ AB ， ∴ PD ⊥ CD . ∵ BP 和 CP 分别平分∠ ABC 和∠ DCB ，∴ PA ＝ PE ， PD ＝ PE ，∴ PE ＝ PA ＝ PD . ∵ PA ＋ PD ＝ AD ， PE ＝4， ∴ AD ＝2 PE ＝8.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 8. [2024江苏淮安期末]如图， AE ⊥ AB ，且 AE ＝ AB ， BC ⊥ CD ，且 BC ＝ CD ，按 照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 S 的值是(　B　) A. 30 B. 50 C. 60 D. 80 (第8题图) B 【解析】根据题意可知∠ EAF ＋∠ BAG ＝90°，∠ EAF ＋ ∠ AEF ＝90°，∴∠ BAG ＝∠ AEF . ∵在△ AEF 和△ BAG 中， ∴△ AEF ≌△ BAG (AAS)，∴ AF ＝ BG ＝3， AG ＝ EF ＝6.同理可证△ BCG ≌△ CDH ，∴ GC ＝ DH ＝4， BG ＝ CH ＝3， ∴ FH ＝16.∵ S梯形 DEFH ＝ ( EF ＋ DH )· FH ＝80， S△ AEF ＝ S△ ABG ＝ AF · FE ＝9， S△ BCG ＝ S△ CDH ＝ CH · DH ＝6，∴题图中实线所围成的图形的面积 S ＝80－2×9－2×6＝50，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分技巧　求不规则图形的面积 通常利用割补法将不规则图形转化为规则图形，然后求图形面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 9. [2024江西吉安期末]如图(1)，已知 AB ＝ AC ， D 为∠ BAC 的平分线上一点，连接 BD ， CD ；如图(2)，已知 AB ＝ AC ， D ， E 为∠ BAC 的平分线上两点，连接 BD ， CD ， BE ， CE ；如图(3)，已知 AB ＝ AC ， D ， E ， F 为∠ BAC 的平分线上三点， 连接 BD ， CD ， BE ， CE ， BF ， CF ；…， 依此规律，第 n 个图形中全等三角形的对数是(　C　) 　 　 　… A. n B. 2 n －1 C. D. 3( n ＋1) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】由题图知，第1个图形中全等三角形的对数为1；第2个图形中全等三角形 的对数为1＋2＝3；第3个图形中全等三角形的对数为1＋2＋3＝6；…，则第 n 个图 形中全等三角形的对数为1＋2＋3＋4＋…＋ n ＝ .故选C. 上分心得　图形变化类的规律探究 通过分析找到图形中各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律时要认真观 察、仔细思考，善用联想来解决此类问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 10. [2024湖南株洲期末]如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角 AOB 中，初始位置 为 CD ，当一端 C 下滑至C'时，另一端 D 向右滑到D'，则下列说法正确的是(　D　) A. 下滑过程中，始终有 CC '＝ DD ' B. 下滑过程中，始终有 CC '≠ DD ' C. 若 OC ＜ OD ，则下滑过程中，一定存在某个位置使得 CC '＝ DD ' D. 若 OC ＞ OD ，则下滑过程中，一定存在某个位置使得 CC '＝ DD ' D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角 AOB 中，初始位置为 CD ，当一端 C 下 滑至 C '时，另一端 D 向右滑到 D '，当△ OCD 与△ OD ' C '全等时， CC '＝ DD '.A选 项，下滑过程中，△ OCD 与△ OD ' C '不一定全等，所以 CC '与 DD '不一定相等，说 法错误；B选项，下滑过程中，当△ OCD 与△ OD ' C '全等时， CC '＝ DD '，说法错 误；C选项，若 OC ＜ OD ，则下滑过程中，不存在某个位置使得 CC '＝ DD '，说法 错误；D选项，若 OC ＞ OD ，则下滑过程中，当△ OCD 与△ OD ' C '全等时，一定 存在某个位置使得 CC '＝ DD '，说法正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 二、填空题 11. [2024北京西城区期中]如图，已知 AB ⊥ BD ， ED ∥ AB ， AB ＝ ED ，要使△ ABC ≌△ EDC ，且需用“HL”进行判定，可补充的一个条件是 ⁠. (第11题图) 【解析】可补充的一个条件是 AC ＝ EC ，理由如下：∵ AB ⊥ BD ， ED ∥ AB ， ∴ DE ⊥ BD . 在Rt△ ABC 和Rt△ EDC 中， ∴Rt△ ABC ≌Rt△ EDC (HL)，故答案为 AC ＝ EC . AC ＝ EC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 12. [2024湖北武汉月考]已知△ ABC ≌△ DEF ，且△ ABC 中两个锐角的和为60°，则 △ DEF 中最大角的度数为 ⁠. 【解析】∵△ ABC 中两个锐角的和为60°，∴△ ABC 中最大角的度数为180°－60°＝ 120°.∵△ ABC ≌△ DEF ，∴△ DEF 中最大角的度数为120°.故答案为120°. 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 13. [2024江苏镇江月考]如图， AD ＝ DE ， AB ＝ BE ，∠ CED ＝100°，则∠ A ＝ ⁠°. (第13题图) 【解析】∵ AD ＝ DE ， AB ＝ BE ， BD ＝ BD ，∴△ ABD ≌△ EBD (SSS)，∴∠ A ＝ ∠ DEB ＝180°－∠ DEC . ∵∠ CED ＝100°，∴∠ A ＝80°，故答案为80. 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 14. 新情境[2024上海虹口区期末]如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的 点 M 与点 O 的距离(两点之间有障碍，无法直接测量)，在点 O 处立竖杆 PO ，并将 顶端的活动杆 PQ 对准点 M ，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标 记活动杆的延长线与地面的交点 N ，测量点 N 与点 O 的距离，该距离即为点 M 与点 O 的距离.此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 .(填“SAS” “SSS”“ASA”“AAS”或“HL”) ASA 【解析】在△ PMO 与△ PNO 中， ∴△ PMO ≌△ PNO (ASA)，故答案为ASA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 15. [2024四川成都郫都区期末]小明将两把完全相同的长方形直尺(测量单位：cm)如 图放置在∠ AOB 上，两把直尺的接触点为 P ，边 OA 与其中一把直尺边缘的交点为 C ，点 C ， P 在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则 OC 的长度是 ⁠. (第15题图) 3 cm 【解析】如图，过 P 作 PN ⊥ OB 于 N . 由题意得 PM ＝ PN . ∵ PM ⊥ OA ，∴ OP 平 分∠ AOB ，∴∠ COP ＝∠ NOP . ∵ PC ∥ OB ，∴∠ CPO ＝∠ NOP ，∴∠ COP ＝ ∠ CPO ，∴ OC ＝ PC . ∵点 C ， P 在这把直尺上的 刻度读数分别是2，5，∴ PC ＝5－2＝3(cm)， ∴ OC 的长度是3 cm.故答案为3 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 16. [2024山东淄博期中]如图，在△ ABC 中， E 为 AB 中点， D 为边 AC 上的一点，连 接 DE ，作 BF ∥ AC 交 DE 的延长线于点 F ，若 AC ＝5，则 BF ＋ CD 的值是 ⁠. (第16题图) 5 【解析】∵ BF ∥ AC ，∴∠ EBF ＝∠ A . ∵ E 为 AB 中点， ∴ BE ＝ AE . 在△ BEF 和△ AED 中， ∴△ BEF ≌△ AED (ASA)，∴ AD ＝ BF ， ∴ BF ＋ CD ＝ AD ＋ CD ＝ AC ＝5，故答案为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分点拨　全等三角形性质的应用 利用全等三角形的性质可以将线段进行转化，从而求解线段之和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 17. 新考法[2024河北石家庄期中]数学社团活动课上，甲、乙两位同学玩数学游戏.游 戏规则是两人轮流对△ ABC 及△A'B'C'的对应边或对应角添加一组等量条件(点A'， B'，C'分别是点 A ， B ， C 的对应点)，某轮添加条件后，若能判定△ ABC 与 △A'B'C'全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜. 轮次 行动者 添加条件 1 甲 AB ＝A'B'＝2 cm 2 乙 ∠ A ＝∠A'＝35° 3 甲 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 ①若第3轮甲添加∠ C ＝∠C'＝45°，则甲获胜； ②若第3轮甲添加 BC ＝B'C'＝3 cm，则甲获胜； ③若第2轮乙添加条件修改为∠ A ＝∠A'＝90°，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为 BC ＝B'C'＝3 cm，则此游戏最多4轮必分胜负. 表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法错误的是 .(只填序号即可) ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】①若第3轮甲添加∠ C ＝∠C'＝45°，可根据角角边判定△ ABC 与 △A'B'C'全等，则乙获胜，原说法错误，符合题意.②若第3轮甲添加 BC ＝B'C' ＝3 cm，不能判定△ ABC 与△A'B'C'全等，则甲获胜，原说法正确，不符合题 意.③若第2轮乙添加条件修改为∠ A ＝∠A'＝90°，若第3轮甲添加一边相等， 可根据边角边或斜边、直角边判定Rt△ ABC 与Rt△A'B'C'全等，则乙获胜；若 第3轮甲添加一组对应角相等，可根据角角边或角边角判定△ ABC 与△A'B'C' 全等，则乙获胜，故乙必胜，原说法正确，不符合题意.④若第2轮乙添加条件 修改为 BC ＝B'C'＝3 cm，第3轮甲只能添加∠ A ＝∠A'或∠ C ＝∠C'其中之 一，此时已有边边角，无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有 边边边或角角边或角边角来判定出△ ABC 与△A'B'C'全等，则乙必输，甲必 胜，所以最多4轮必分胜负，原说法正确，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 18. [2024湖北武汉期中]如图，在△ ABC 中，∠ BAC 和∠ ABC 的平分线 AE ， BF 相 交于点 O ，过点 O 作 OD ⊥ BC 于点 D ，则下列结论：①∠ AOB ＝90°＋ ∠ C ；② S△ ABE ∶ S△ ACE ＝ AB ∶ AC ；③若 OD ＝ a ， AB ＋ BC ＋ CA ＝2 b ，则 S△ ABC ＝ ab ；④当∠ C ＝60°时， AF ＋ BE ＝ AB . 其中正确结论的序号是 ⁠. ①②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】∵∠ BAC 和∠ ABC 的平分线 AE ， BF 相交于点 O ，∴∠ OBA ＝ ∠ CBA ，∠ OAB ＝ ∠ CAB ，∴∠ AOB ＝180°－∠ OBA －∠ OAB ＝180°－ ∠ CBA － ∠ CAB ＝180°－ (180°－∠ C )＝90°＋ ∠ C ，故①正确. ∵当∠ C ＝60°时，∠ AOB ＝120°，∴∠ AOF ＝∠ BOE ＝60°. 如图(1)，在 AB 上取一点 H ，使 BH ＝ BE . 在△ HBO 与△ EBO 中， ∴△ HBO ≌△ EBO (SAS)，∴∠ BOH ＝∠ BOE ＝60°， ∴∠ AOH ＝120°－60°＝60°，∴∠ AOH ＝∠ AOF . 在△ HAO 与△ FAO 中， ∴△ HAO ≌△ FAO (ASA)，∴ AH ＝ AF ，∴ AB ＝ BH ＋ AH ＝ BE ＋ AF ，故④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 如图(2)，作 EN ⊥ AC 于 N ， EM ⊥ AB 于 M . ∵ AE 平分∠ BAC ，∴ EN ＝ EM ， ∴ S△ ABE ∶ S△ ACE ＝ ∶ ＝ AB ∶ AC ，故②正确.如图(2)，作 OK ⊥ AB ， OP ⊥ AC . ∵∠ BAC 与∠ ABC 的平分线相交于点 O ，∴点 O 在∠ C 的平 分线上，∴ OK ＝ OP ＝ OD ＝ a .∵ AB ＋ AC ＋ BC ＝2 b ，∴ S△ ABC ＝ AB · OK ＋ AC · OP ＋ BC · OD ＝ ( AB ＋ AC ＋ BC )· a ＝ ab ，故③错误.故答案为①②④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 三、解答题 19. [2024安徽宿州埇桥区期末](8分)把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图(1) 所示方式叠合放置，得到如图(2)的Rt△ ABC 和Rt△ BAD . 设 M 是 AD 与 BC 的交点， 则这时 MC 的长度等于点 M 到 AB 的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】过 M 点作 MH ⊥ AB 于 H ，如图. (2分) ∵∠ BAD ＝30°，∠ BAC ＝60°，∴∠ CAM ＝∠ BAC －∠ BAD ＝60°－30°＝30°， ∴ AM 平分∠ BAC . (6分) ∵ MC ⊥ AC ， MH ⊥ AB ，∴ MH ＝ MC ，即 MC 的长度等于点 M 到 AB 的距离. (8分) 【易错警示】角平分线的性质可以直接使用，不必用全等证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 20. [2024湖北黄冈期中](10分)如图，已知△ ABC 和△ ADE ， AB ＝ AD ，∠ BAD ＝ ∠ CAE ，∠ B ＝∠ D ， AD 与 BC 交于点 P ，点 C 在 DE 上. (1)求证： BC ＝ DE . (1)【证明】∵∠ BAD ＝∠ CAE ，∴∠ BAC ＝∠ DAE . ∵∠ B ＝∠ D ， AB ＝ AD ，∴△ ABC ≌△ ADE (ASA)，∴ BC ＝ DE . (6分) (2)若∠ B ＝30°，∠ APC ＝70°，求∠ CAE 的度数. (2)【解】∠ APC 是△ APB 的外角，∴∠ BAD ＝∠ CAE ＝∠ APC －∠ B ＝70°－30°＝40°. (10分) 【关键点拨】证明△ ABC ≌△ ADE ，题目中已经有一组相等的角和相等的边，结合条件，再找一组相等的角即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 21. [2023江苏南通中考](10分)如图，点 D ， E 分别在 AB ， AC 上，∠ ADC ＝∠ AEB ＝90°， BE ， CD 相交于点 O ， OB ＝ OC . 求证：∠1＝∠2. 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵∠ ADC ＝∠ AEB ＝90°， ∴∠ DOB ＋∠ B ＝∠ EOC ＋∠ C ＝90°. ∵∠ DOB ＝∠ EOC ， ∴∠ B ＝∠ C . ……第一步 又 OA ＝ OA ， OB ＝ OC ， ∴△ ABO ≌△ ACO ，……第二步 ∴∠1＝∠2.……第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误. (2分) 二 (2分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)请写出正确的证明过程. 【证明】∵∠ ADC ＝∠ AEB ＝90°，∴∠ BDC ＝∠ CEB ＝90°.在△ DOB 和△ EOC 中， ∴△ DOB ≌△ EOC (AAS)，∴ OD ＝ OE . (6分) 在Rt△ ADO 和Rt△ AEO 中， ∴Rt△ ADO ≌Rt△ AEO (HL)，∴∠1＝∠2. (10分) 【思路分析】先证明△ DOB ≌△ EOC (AAS)，根据全等三角形的性质得到 OD ＝ OE ，再证明Rt△ ADO ≌Rt△ AEO (HL)，得到∠1＝∠2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 22. 项目式学习[2024河南周口期中](12分)某中学八年级(5)班的学生到野外进行数学 活动，为了测量一池塘两端 A ， B 之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案1 如图(1)，先在平地上取一个可以直接到达 A ， B 的点 C ，连接 AC 并延长至点 D ，连 接 BC 并延长至点 E ，使 DC ＝ AC ， EC ＝ BC ，则测出 DE 的距离就是 AB 的长 方案2 如图(2)，过点 B 作 AB 的垂线 BF ，在 BF 上 取 C ， D 两点，使 BC ＝ CD ，接着过 D 作 BD 的垂线 DE ，交 AC 的延长线于 E ，则测 出 DE 的距离就是 AB 的长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 问题(1) 方案1是否可行？并说明理由 问题(2) 方案2是否可行？并说明理由 问题(3) 小明说：“在方案2中，并不一定需要 BF ⊥ AB ， DE ⊥ BF ，将‘ BF ⊥ AB ， DE ⊥ BF ’换成条件‘ AB ∥ DE ’也可以.”你认为小明的说 法正确吗？请说明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】(1)方案1可行. (1分) 理由如下：在△ ABC 和△ DEC 中， ∴△ ABC ≌△ DEC (SAS)， ∴ AB ＝ DE ，即测出 DE 的距离就是 AB 的长. (4分) 【解】(2)方案2可行. (5分) 理由如下：∵ BF ⊥ AB ， DE ⊥ BF ，∴∠ ABC ＝∠ EDC ＝90°.在△ ABC 和△ DEC 中， ∴△ ABC ≌△ EDC (ASA)，∴ AB ＝ ED ，即测出 DE 的距离 就是 AB 的长. (8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】(3)小明的说法正确. (9分) 理由如下：∵ AB ∥ DE ，∴∠ ABC ＝∠ EDC . (10分) 在△ ABC 和△ DEC 中， ∴△ ABC ≌△ EDC (ASA)，∴ AB ＝ ED ，即测出 DE 的距离就是 AB 的长. (12分) 【方法总结】需要认真分析题目的已知和求证问题，分清题目中已知的线段或角与 所证明的线段或角之间的联系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 23. (12分)如图，△ ABC 中，∠ ABC ＝∠ ACB ，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 边上的点， BE ＝ CF . (1)若∠ DEF ＝∠ ABC ，求证： DE ＝ EF . (1)【证明】∵∠ DEC ＝∠ ABC ＋∠ BDE ，∠ DEC ＝∠ DEF ＋∠ CEF ，∠ DEF ＝∠ ABC ，∴∠ BDE ＝∠ CEF . (2分) 在△ DBE 和△ ECF 中， ∴△ DBE ≌△ ECF (AAS)， ∴ DE ＝ EF . (6分) 【思路分析】(1)根据AAS证明△ DBE ≌△ ECF ，可得 DE ＝ EF ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)把(1)中的条件和结论反过来，即若 DE ＝ EF ，则∠ DEF ＝∠ ABC ，这个命题是 否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. (2)【解】成立. (7分) 理由如下：过点 E ， F 分别作 EM ⊥ AB 于点 M ， FN ⊥ BC 于点 N ， 如图所示. (8分) ∵ EM ⊥ AB ， FN ⊥ BC ，∴∠ BME ＝∠ CNF ＝90°.在△ MBE 和△ NCF 中， ∴△ MBE ≌△ NCF (AAS)，∴ ME ＝ FN . (9分) 又∵ DE ＝ EF ，∴Rt△ DME ≌Rt△ ENF (HL)，∴∠ MDE ＝∠ NEF . 又∵∠ DEC ＝∠ DEF ＋∠ CEF ，∠ DEC ＝∠ MDE ＋∠ ABC ， ∴∠ DEF ＝∠ ABC ，∴若 DE ＝ EF ，则∠ DEF ＝∠ ABC ，这个命题成立. (12分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【思路分析】(2)过点 E ， F 分别作 EM ⊥ AB 于 M ， FN ⊥ BC 于 N ，根据AAS证明 △ MBE ≌△ NCF ，可得 ME ＝ FN . 根据HL证明Rt△ DME ≌Rt△ ENF ，可得∠ MDE ＝∠ NEF ，最后由三角形的外角等于不相邻两个内角的和以及角的和差关系证明 ∠ DEF ＝∠ ABC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 24. 探究性问题[2024山东青岛期末](14分)为了进一步探究三角形中线的作用，数学 兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图(1)，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，延长 AD 到 M ，使 DM ＝ AD ，连接 BM . 【探究发现】(1)图(1)中 AC 与 BM 的数量关系是 ，位置关系是 ⁠ ⁠. AC ＝ BM AC∥ BM 【解】(1)∵ AD 是△ ABC 的中线，∴ BD ＝ CD . 在△ ADC 和△ MDB 中， ∴△ ADC ≌△ MDB (SAS)，∴ AC ＝ BM ， ∠ CAD ＝∠ M ，∴ AC ∥ BM . 故答案为 AC ＝ BM ， AC ∥ BM . (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【初步应用】(2)如图(2)，在△ ABC 中，若 AB ＝12， AC ＝8，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围. 【解】(2)如图(1)，延长 AD 到 M ，使 DM ＝ AD ，连接 BM . 由(1)可知，△ MDB ≌ △ ADC (SAS)，∴ BM ＝ AC ＝8.在△ ABM 中， AB － BM ＜ AM ＜ AB ＋ BM ， ∴12－8＜ AM ＜12＋8，即4＜2 AD ＜20，∴2＜ AD ＜10，即 BC 边上的中线 AD 的 取值范围为2＜ AD ＜10. (8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【探究提升】(3)如图(3)， AD 是△ ABC 的中线，过点 A 分别向外作 AE ⊥ AB ， AF ⊥ AC ，使得 AE ＝ AB ， AF ＝ AC ，连接 EF ，延长 DA 交 EF 于点 P ，判断线段 EF 与 AD 的数量关系和位置关系，并说明理由. 【解】(3) EF ＝2 AD ， EF ⊥ AD . (10分) 理由如下：如图(2)，延长 AD 到 M ，使得 DM ＝ AD ， 连接 BM . 由(1)可知，△ BDM ≌△ CDA (SAS)， ∴ BM ＝ AC . ∵ AC ＝ AF ，∴ BM ＝ AF . 又由(1)可知， AC ∥ BM ，∴∠ BAC ＋∠ ABM ＝180°.∵ AE ⊥ AB ， AF ⊥ AC ， ∴∠ BAE ＝∠ FAC ＝90°，∴∠ BAC ＋∠ EAF ＝180°，∴∠ ABM ＝∠ EAF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 在△ ABM 和△ EAF 中，∴△ ABM ≌△ EAF (SAS)， (12分) ∴ AM ＝ EF ，∠ BAM ＝∠ E . ∵ AD ＝ DM ，∴ AM ＝2 AD ，∴ EF ＝2 AD . ∵∠ EAM ＝∠ BAM ＋∠ BAE ＝∠ E ＋∠ APE ， ∴∠ APE ＝∠ BAE ＝90°，∴ EF ⊥ AD . (14分) 【刷有所得】把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 $$