第十二章基础诊断卷(A卷)-【初中上分卷】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（人教版）

八年级上册 人教版 数 学 返回目录 返回目录 返回目录 软件使用 建议老师使用WPS软件打开 编辑修改 点击文本框即可对全文进行编辑、修改 便捷操作 页面之间有超链接相互跳转 课件说明 返回目录 返回目录 卷③ 　第十二章基础诊断卷(A卷) 考查内容：全等三角形 返回目录 返回目录 一、选择题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 二、填空题 返回目录 一、选择题 1. [2024湖北宜昌月考]下列图形中被虚线分成的两部分不是全等图形的是(　A　) A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正五角星 【解析】观察选项可知，选项B、C、D中的虚线把图形分成全等的两部分，故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 2. [2024江苏无锡期末]如图，△ ABC ≌△ DEF ，∠ B ＝40°，∠ D ＝75°，则∠ ACF ＝(　B　) A. 105° B. 115° C. 120° D. 125° (第2题图) 【解析】∵△ ABC ≌△ DEF ，∠ B ＝40°，∠ D ＝75°，∴∠ A ＝∠ D ＝75°， ∴∠ ACF ＝40°＋75°＝115°.故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 3. 传统文化[2024云南昆明官渡区期末]我国传统工艺中，油纸伞的制作非常巧妙， 其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞张开时的示意图， AE ＝ AF ， GE ＝ GF ，则△ AEG ≌△ AFG 的依据是(　D　) 　 (第3题图) A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【解析】在△ AEG 和△ AFG 中， ∴△ AEG ≌△ AFG (SSS)，故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 4. [2024湖南株洲期末]在正方形网格中，∠ AOB 的位置如图所示，到∠ AOB 两边距 离相等的点应是(　A　) A. M 点 B. N 点 C. P 点 D. Q 点 (第4题图) 【解析】从题图上可以看出 M 点在∠ AOB 的平分线上，其余三点不在∠ AOB 的平 分线上，所以 M 点到∠ AOB 两边的距离相等.故选A. A 上分点拨　角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等，故找出∠ AOB 的平分线是解题关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 5. [2024福建厦门思明区期中]课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小 心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有 了下面这道题.如果柱子上每块砖的厚度为 a ＝10 cm，则 DE 的长为(　C　) A. 50 cm B. 60 cm C. 70 cm D. 80 cm (第5题图) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】由题意得∠ ADC ＝∠ CEB ＝∠ ACB ＝90°， AC ＝ CB ，∴∠ ACD ＝90°－ ∠ BCE ＝∠ CBE ，∴△ ACD ≌△ CBE (AAS)，∴ CD ＝ BE ＝3 a ， AD ＝ CE ＝ 4 a ，∴ DE ＝ CD ＋ CE ＝3 a ＋4 a ＝7 a .∵ a ＝10 cm，∴7 a ＝70 cm，∴ DE ＝ 70 cm.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 6. [2024贵州黔东南州期末]如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，按如下步骤操作： ①以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AC ， AB 于 D ， E 两点；②以点 C 为 圆心， AD 长为半径作弧，交 AC 的延长线于点 F ；③以点 F 为圆心， DE 长为半径 作弧，交②中所画的弧于点 G ；④作射线 CG . 若∠ B ＝40°，则∠ FCG 为(　B　) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 7. [2024福建泉州永春期末]如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋ ∠3的度数为(　D　) A. 90° B. 105° C. 120° D. 135° (第7题图) 【解析】观察题图可知，∠1所在的大直角三角形与∠3所在的直角三角形全等， ∴∠1＋∠3＝90°.又∵∠2＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝135°，故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 8. [2023河北保定一模]如图，王华站在河边的 A 处，在河对面(王华的正北方向)的 B 处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了25步到达电线 杆 C 处，接着再向前走了25步到达 D 处，然后转向正南方向直行，当他看到电线塔 B 、电线杆 C 与他所处位置在一条直线上时，他共计走了100步，若王华步长约为 0.4米，则 A 处与电线塔 B 的距离约为(　A　) A. 20米 B. 22米 C. 25米 D. 30米 (第8题图) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，设王华走了100步时到达点 E 处，连接 BE ，则 E ， C ， B 三点在同 一条直线上，∠ DCE ＝∠ ACB . 由题意得 DC ＝ AC ＝25步， DE ＋ DC ＋ AC ＝100 步，∠ D ＝∠ A ＝90°，∴ DE ＋25＋25＝100，解得 DE ＝50.∵0.4×50＝20(米)， ∴ DE ＝20米.在△ DEC 和△ ABC 中， ∴△ DEC ≌△ ABC (ASA)， ∴ DE ＝ AB ，∴ AB ＝20米，∴ A 处与电线塔 B 的距离约为20米， 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分技巧　构造全等三角形 在这一章中经常通过倍长已知线段的方法构造全等三角形，将不能测量的量转化为 方便测量或计算的量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 9. [2024山西太原期末]如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定 在点 P (10，10)处，转动直角三角形，若两条直角边分别与 x 轴正半轴交于点 A ，与 y 轴正半轴交于点 B ，则 OA ＋ OB 的值为(　B　) A. 16 B. 20 C. 10 D. 无法确定 (第9题图) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，作 PM ⊥ x 轴于 M ， PN ⊥ y 轴于 N . ∵ P (10，10)，∴ PN ＝ PM ＝ ON ＝ OM ＝10.∵ OA ⊥ y 轴， PN ⊥ y 轴，∴ PN ∥ OA ，∴∠ NPM ＝∠ PMA ＝ 90°，∴∠ NPM ＝∠ APB ＝90°，∴∠ NPB ＝∠ MPA . 在△ PNB 和△ PMA 中， ∴△ PBN ≌△ PAM (ASA)，∴ AM ＝ BN ，∴ OA ＋ OB ＝ OM ＋ ON ＝20.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 10. [2024江西南昌月考]如图，已知 AC 平分∠ DAB ， CE ⊥ AB 于 E ， AB ＝ AD ＋2 BE ，则下列结论：① AB ＋ AD ＝2 AE ；②∠ DAB ＋∠ DCB ＝180°；③ CD ＝ CB ； ④ S△ ACE －2 S△ BCE ＝ S△ ADC . 其中正确结论的个数是(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (第10题图) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，作 CF ⊥ AD 交 AD 的延长线于点 F . ∵ AC 平分∠ DAB ， CE ⊥ AB 于 E ，∴ CF ＝ CE ，∠ F ＝∠ AEC ＝∠ BEC ＝90°.在Rt△ ACF 和Rt△ ACE 中， ∴Rt△ ACF ≌Rt△ ACE (HL)，∴ AF ＝ AE ，∴ AD ＋ DF ＝ AB － BE ， ∴ AB ＝ AD ＋ DF ＋ BE . ∵ AB ＝ AD ＋2 BE ，∴ DF ＋ BE ＝2 BE ，∴ DF ＝ BE ， ∴ AB ＋ AD ＝ AE ＋ BE ＋ AF － DF ＝ AE ＋ AF ＝2 AE ，故①正确.在△ DCF 和 △ BCE 中， ∴△ DCF ≌△ BCE (SAS)，∴ CD ＝ CB ，∠ CDF ＝∠ B ， 故③正确.∵∠ ADC ＋∠ CDF ＝180°，∴∠ ADC ＋∠ B ＝180°，∴∠ DAB ＋∠ DCB ＝180°，故②正确.∵ AF ＝ AE ， DF ＝ BE ， CF ＝ CE ， ∴ S△ ACE － S△ BCE ＝ CE · AE － CE · BE ＝ CE ( AE － BE )＝ CF ( AF － DF )＝ CF · AD ＝ S△ ADC ，故④错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分点拨　利用角平分线构造全等三角形 根据角平分线的性质正确作出辅助线，然后证出Rt△ ACF ≌Rt△ ACE ，△ DCF ≌ △ BCE 是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 二、填空题 11. [2024广东深圳龙华区期末]如图，△ ABC ≌△ DEF ，则 x ＋ y ＝ ⁠. 　 【解析】∵△ ABC ≌△ DEF ，∴ BC ＝ FE ＝5， DF ＝ AC ＝4，∴ x ＝5， y ＝4， ∴ x ＋ y ＝5＋4＝9.故答案为9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 12. [2024黑龙江哈尔滨香坊区期末]如图，小明与小红玩跷跷板游戏，两人分别坐在 F ， G 处，如果跷跷板的支点 O (即跷跷板的中点)到地面的距离是50 cm， CD 为水 平线，当小红从水平位置下降30 cm时，小明离地面的高度是 ⁠cm. (第12题图) 【解析】在△ OCF 与△ ODG 中， ∴△ OCF ≌△ ODG (AAS)，∴ CF ＝ DG ＝30 cm，∴小明离地面的高度是50＋30＝80(cm)，故答案为80. 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 13. [2024安徽合肥期末]如图，∠ ADB ＝∠ ABC ＝90°，∠ DAB ＝∠ BAC ， BD ＝4， P 为 AC 上一动点，则 BP 的最小值为 ⁠. (第13题图) 【解析】当 BP ⊥ AC 时， BP 最小.∵∠ DAB ＝∠ BAC ，∠ ADB ＝90°， BD ＝4， BP ⊥ AC ，∴ BP ＝ BD ＝4，即 BP 的最小值是4，故答案为4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 14. 如图所示，已知 AC ＝ AD ， CE ＝ ED ，则图中全等三角形有 对. (第14题图) 3 【解析】在△ ACE 和△ ADE 中， ∴△ ACE ≌△ ADE (SSS)， ∴∠ CAE ＝∠ DAE . 在△ CAB 和△ DAB 中， ∴△ CAB ≌△ DAB (SAS)，∴ BC ＝ BD . 在△ BCE 和△ BDE 中， ∴△ BCE ≌△ BDE (SSS).∴全等三角形共有3对.故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 15. 新考法[2024北京东城区期中]如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起， 摆出△ ABC . 固定住长木棍，转动短木棍，得到△ ABD . 这个实验说明，有两边和其 中一边的对角分别相等的两个三角形 全等(填“一定”或“不一定”或 “一定不”). (第15题图) 小明通过对上述实验的思考，提出：两边分别相等且这两边中较长边所对的角相等 的两个三角形全等.你认为小明的说法 .(填“正确”或“不正确”) 不一定 正确 【解析】由题图知，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不 一定全等.两边分别相等且这两边中较长边所对的角相等的两个 三角形全等，所以小明的说法正确.故答案为不一定，正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分警示　全等三角形的判定方法 判定三角形全等的方法不止教材上展示的5种，因此别的方法也可能是正确的，但 是非教材上的方法不能在解答题中直接应用. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 16. [2024广东广州番禺区期末]如图，平面直角坐标系中，△ ABC ≌△ FDE ，若 A 点的坐标为(－3，1)， B ， C 两点的纵坐标均为－4， D ， E 两点在 y 轴上，则点 F 到 y 轴的距离为 ⁠. (第16题图) 5 【解析】如图，作 AH ⊥ BC 于 H ， FP ⊥ DE 于 P . ∵△ ABC ≌△ FDE ，∴ AC ＝ EF ，∠ C ＝∠ FEP . 在△ ACH 和△ FEP 中， ∴△ ACH ≌△ FEP (AAS)，∴ AH ＝ FP . ∵ A 点的坐标为(－3，1)， BC ∥ x 轴， B 点的纵坐标为－4， ∴ AH ＝5，∴ FP ＝5，∴点 F 到 y 轴的距离为5，故答案为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 17. 新情境[2024湖南株洲期末]如图， AM 是一段斜坡， AB 是水平线，欢欢为了测量 斜坡上一点 C 的竖直高度 CN ，他在 C 处立上一根竹竿，竹竿与斜坡 AM 垂直，在杆 顶垂下一根绳子，绳子与斜坡 AM 的交点是点 E ，绳子上端点 D 可以在竹竿上自由 滑动.当 DE ＝ AC 时，测得 CE ＝10 m，则 CN ＝ ⁠m. (第17题图) 10 【解析】由题意得 DE ∥ CN ，∴∠ DEC ＝∠ ACN . ∵ DC ⊥ AM ， CN ⊥ AB ， ∴∠ DCE ＝∠ ANC ＝90°.在△ DEC 和△ ACN 中， ∴△ DEC ≌△ ACN (AAS)，∴ CN ＝ CE ＝10 m.故答案为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 18. [2024河南信阳期末]如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝7 cm， BC ＝3 cm， CD 为 AB 边上的高，点 E 从点 B 出发，在直线 BC 上以2 cm/s的速度运动，过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F ，当点 E 运动 s时， CF ＝ AB . 2或5 【解析】∵∠ ACB ＝90°，∴∠ A ＋∠ CBD ＝90°.∵ CD 为 AB 边上的高，∴∠ CDB ＝90°，∴∠ BCD ＋∠ CBD ＝90°，∴∠ A ＝∠ BCD . ∵∠ BCD ＝∠ ECF ，∴∠ ECF ＝∠ A . ∵ EF ⊥ EC ，∴∠ CEF ＝∠ ACB ＝90°.在△ CEF 和△ ACB 中， ∴△ CEF ≌△ ACB (AAS)，∴ CE ＝ AC ＝7 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 ①如图，当点 E 在射线 BC 上运动时， BE ＝ CE ＋ BC ＝7＋3＝10(cm).∵点 E 从点 B 出发，在直线 BC 上以2 cm/s的速度运动，∴ CF ＝ AB 时，点 E 运动了 ＝5(s)；② 当点 E 在射线 CB 上运动时， CE '＝ AC ＝7 cm，则 BE '＝7－3＝4(cm).∵点 E 从点 B 出发，在直线 BC 上以2 cm/s的速度运动，∴ CF ＝ AB 时，点 E 运动了 ＝2(s).综上 所述，当点 E 运动5 s或2 s时， CF ＝ AB . 故答案为2或5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 三、解答题 19. [2024安徽阜阳月考](8分)如图，△ ABC ≌△ CDE . 点 C ， A ， D 在同一 条直线上. (1)求证： AB ∥ CE . (1)【证明】∵△ ABC ≌△ CDE ，∴∠ BAC ＝∠ DCE ，∴ AB ∥ CE . (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)当 CE ＝7， AB ＝12时，求线段 AD 的长. (2)【解】∵△ ABC ≌△ CDE ，∴ CD ＝ AB ＝12， AC ＝ CE ＝7，∴ AD ＝ CD － AC ＝12－7＝5. (8分) 【方法总结】全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依 据，应用时要会找对应角和对应边. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 20. 开放性问题[2024北京海淀区期中](10分)如图，点 B ， F ， C ， E 在一条直线 上， BF ＝ CE ， AC ＝ DF . 请你在下列条件：①∠ B ＝∠ E ，②∠ ACB ＝∠ DFE ， ③ AB ＝ DE ，④ AC ∥ DF 中，选择一个条件，然后证明：∠ A ＝∠ D . 你选的条件 的序号是 　　　　. 证明： 【解】选择②. (3分) 证明：∵ BF ＝ CE ，∴ BF ＋ CF ＝ CE ＋ CF ，即 BC ＝ EF . (5分) 在△ ABC 和△ DEF 中，∴△ ABC ≌△ DEF (SAS)，∴∠ A ＝∠ D . (10分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 选择③. (3分) ∵ BF ＝ CE ，∴ BF ＋ CF ＝ CE ＋ CF ，即 BC ＝ EF . (5分) 在△ ABC 和△ DEF 中，∴△ ABC ≌△ DEF (SSS)，∴∠ A ＝∠ D . (10分) 选择④. (3分) ∵ BF ＝ CE ，∴ BF ＋ CF ＝ CE ＋ CF ，即 BC ＝ EF . (5分) ∵ AC ∥ DF ，∴∠ ACB ＝∠ DFE . (6分) 在△ ABC 和△ DEF 中，∴△ ABC ≌△ DEF (SAS)，∴∠ A ＝∠ D . (选择其中一个证明即可) (10分) 【关键点拨】掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 21. [2024山东青岛期中](10分)图(1)是一个平分角的仪器，其中 OD ＝ OE ， FD ＝ FE . (1)如图(2)，将仪器放置在△ ABC 上，使点 O 与顶点 A 重合， D ， E 分别在边 AB ， AC 上，连接 AF 并延长，交 BC 于点 P . 那么 AP 是∠ BAC 的平分线吗？请判断并说 明理由. 【解】(1) AP 是∠ BAC 的平分线，理由如下：在△ ADF 和△ AEF 中， ∴△ ADF ≌△ AEF (SSS)，∴∠ DAF ＝∠ EAF ， ∴ AP 是∠ BAC 的平分线. (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)如图(3)，在(1)的条件下，过点 P 作 PQ ⊥ AB 于点 Q ，若 PQ ＝6， AC ＝9，△ ABC 的面积是60，求 AB 的长. 【解】(2)如图，过点 P 作 PG ⊥ AC 于点 G . ∵ AP 平分∠ BAC ， PQ ⊥ AB ，∴ PG ＝ PQ ＝6.∵ S△ ABC ＝ S△ ABP ＋ S△ APC ＝ AB · PQ ＋ AC · PG ，∴ AB ×6＋ ×9×6＝60，∴ AB ＝11. (10分) 【刷有所得】要善于将角平分线的性质与三角形的高、面积联系起来解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 22. [2024陕西西安长安区期末](12分)如图是某景区悬崖秋千的侧面示意图，秋千静 止时位于铅垂线 OC 上，秋千顶端转轴 O 到地面的距离 OC ＝20 m.某游客在荡秋千 过程中，秋千后撤摆动到最高点 A 时，测得点 A 到 OC 的距离 AE ＝3 m，点 A 到地 面平台 DC 的距离 AD ＝2 m，绳索从 OA 处摆动到悬崖壁外最远 OB 处，此时满足 OB ⊥ OA ，求 B 到 OC 的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】如图，作 BF ⊥ OC ，垂足为 F . ∵ OC ⊥ CD ， AE ⊥ OC ，∴ AE ∥ DC . ∵ AD ⊥ CD ， EC ⊥ CD ，∴ AD ＝ EC ＝2 m. (6分) 又∵ OA ⊥ OB ，∴∠ AOE ＋∠ BOE ＝90°.∵ BF ⊥ OC ， ∴∠ BFO ＝90°，∠ BOE ＋∠ OBF ＝90°，∴∠ AOE ＝∠OBF . (8分) 在△ OAE 和△ BOF 中， ∴△ OAE ≌△ BOF (AAS)， (10分) ∴ BF ＝ OE ＝ OC － EC ＝20－2＝18(m)，∴ B 到 OC 的距离为18 m. (12分) 【思路分析】作 BF ⊥ OC ，垂足为 F ，证明出△ OAE ≌△ BOF ，得到 BF ＝ OE ＝ OC － EC ，即可求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 23. 探究性问题[2024湖北十堰期末](12分)在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是直线 BC 上 (不与 B ， C 两点重合)一点，以 AD 为一条边在 AD 的右侧作△ ADE ，使 AE ＝ AD ， ∠ DAE ＝∠ BAC ，连接 CE . 设∠ BAC ＝α，∠ DCE ＝β. 　 (1)【发现】当点 D 在线段 BC 延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明 理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】(1)当点 D 在线段 BC 延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β. (2分) 理由：∵∠ DAE ＝∠ BAC ，∴∠ DAE ＋∠ CAD ＝∠ BAC ＋∠ CAD ，∴∠ BAD ＝ ∠ CAE . (5分) 在△ BAD 和△ CAE 中， ∴△ BAD ≌△ CAE (SAS)， (8分) ∴∠ ABC ＝∠ ACE . ∵∠ ACD ＝∠ ABC ＋∠ BAC ＝∠ ACE ＋∠ DCE ， ∴∠ BAC ＝∠ DCE . ∵∠ BAC ＝α，∠ DCE ＝β，∴α＝β. (9分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)【探究】当点 D 在直线 BC 上(不与 B ， C 两点重合)移动时，α与β之间有什么数量 关系？请直接写出你的结论. 【解】(2)当点 D 在直线 BC 上(不与 B ， C 两点重合)移动时，分三种情况：当 D 在线 段 BC 上时，α＋β＝180°；当点 D 在线段 BC 延长线上时，α＝β；当点 D 在线段 BC 反向延长线上时，α＝β. (12分) 【关键点拨】证明“△ BAD ≌△ CAE ”是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 24. [2024广东深圳南山区期末](14分)如图， CD 是经过∠ BCA 的顶点 C 的一条直 线， CA ＝ CB ， E ， F 是直线 CD 上的两点，且∠ BEC ＝∠ CFA ＝α. (1)若直线 CD 经过∠ BCA 的内部，且 E ， F 在射线 CD 上. ①如图(1)，若∠ BCA ＝90°，α＝90°，则 BE 与 CF 的数量关系为 ⁠. BE ＝ CF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】(1)①∵∠ BEC ＝∠ CFA ＝α＝90°，∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝180°－∠ BEC ＝ 90°.又∵∠ BCA ＝∠ BCE ＋∠ ACF ＝90°，∴∠ CBE ＝∠ ACF . 在△ BCE 和△ CAF 中， ∴△ BCE ≌△ CAF (AAS)，∴ BE ＝ CF . 故答案为 BE ＝ CF . (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 ②如图(2)，若0°＜∠ BCA ＜180°，请添加一个关于α与∠ BCA 关系的条件： ⁠ ，使①中的结论仍然成立，并说明理由. α＋ ∠BCA ＝180° 【解】②α＋∠ BCA ＝180°. (5分) 理由如下：∵∠ BEC ＝∠ CFA ＝α，∴∠ BEF ＝180°－∠ BEC ＝180°－α. 又∵∠ BEF ＝∠ EBC ＋∠ BCE ，∴∠ EBC ＋∠ BCE ＝180°－α. (6分) 又∵α＋∠ BCA ＝180°，∴∠ BCA ＝180°－α.又∵∠ BCA ＝∠ BCE ＋∠ ACF ， ∴∠ EBC ＝∠ FCA . 在△ BCE 和△ CAF 中， ∴△ BCE ≌△ CAF (AAS)，∴ BE ＝ CF . (8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【思路分析】(1)①由∠ BCA ＝90°，∠ BEC ＝∠ CFA ＝α＝90°，可得∠ CBE ＝ ∠ ACF ，从而可证△ BCE ≌△ CAF ，故 BE ＝ CF . ②若使①中结论仍然成立，则需添加条件使得△ BCE ≌△ CAF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)如图(3)，若直线 CD 经过∠ BCA 的外部，α＝∠ BCA ，请提出关于 EF ， BE ， AF 三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由. 【解】(2) EF ＝ BE ＋ AF ，理由如下：∵∠ BCA ＝α，∴∠ BCE ＋∠ ACF ＝180°－ ∠ BCA ＝180°－α. (10分) 又∵∠ BEC ＝α，∴∠ EBC ＋∠ BCE ＝180°－∠ BEC ＝180°－α， ∴∠ EBC ＝∠ FCA . 在△ BEC 和△ CFA 中， ∴△ BEC ≌△ CFA (AAS)， (12分) ∴ BE ＝ CF ， EC ＝ FA ，∴ EF ＝ EC ＋ CF ＝ FA ＋ BE ，即 EF ＝ BE ＋ AF . (14分) 【思路分析】(2)由题中条件可证得△ BCE ≌△ CAF ，故 BE ＝ CF ， EC ＝ FA ，从 而可证明 EF ＝ BE ＋ AF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 $$