上分专题(一)角平分线模型-【初中上分卷】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（人教版）

八年级上册 人教版 数 学 返回目录 返回目录 返回目录 软件使用 建议老师使用WPS软件打开 编辑修改 点击文本框即可对全文进行编辑、修改 便捷操作 页面之间有超链接相互跳转 课件说明 返回目录 返回目录 上分专题(一) 角平分线模型 重难上分：攻克难点 返回目录 返回目录 类型1　双内角平分线 类型2　一内角平分线一外角平分线 类型3　拓展延伸 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 返回目录 类型1　双内角平分线 1. [2024黑龙江哈尔滨南岗区期中]如图，△ ABC 中， BO 平分∠ ABC ， CO 平分 ∠ ACB ， MN 经过点 O ，与 AB ， AC 相交于点 M ， N ，且 MN ∥ BC . 已知 AB ＋ AC ＝15，则△ AMN 的周长为 ⁠. 15 【解析】∵ BO 平分∠ ABC ，∴∠ MBO ＝∠ OBC . ∵ MN ∥ BC ， ∴∠ MOB ＝∠ OBC ，∴∠ MBO ＝∠ MOB ，∴ MO ＝ MB ，同理 得 ON ＝ NC ，∴ OM ＋ ON ＝ MB ＋ NC ，∴ MN ＝ MB ＋ NC ，∴ AM ＋ AN ＋ MN ＝ AM ＋ AN ＋ MB ＋ NC ＝ AB ＋ AC ＝15.故答案为15. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 2. [2024河南周口期中]如图是小华用数学软件GeoGebra画的图形.画图步骤：①用线 段工具 画△ ABC ，②用角平分线工具 画∠ ABC 的平分线 i ，∠ ACB 的平分线 j ，③用交点工具 画直线 i ， j 的交点 D ，④用度量工具 测得∠ BDC ＝125°.回答 问题：测量∠ A 的度数会是多少？请说明理由. 【解】测量∠ A 的度数会是70°，理由如下：∵ BD ， CD 分别是 ∠ ABC ，∠ ACB 的平分线，∴∠ DBC ＝ ∠ ABC ，∠ BCD ＝ ∠ ACB ，∴∠ DBC ＋∠ DCB ＝ (∠ ABC ＋∠ ACB )＝ (180°－∠ A )，∴180°－ ∠ BDC ＝ (180°－∠ A ).∵∠ BDC ＝125°，∴∠ A ＝70°. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 3. [2024安徽芜湖月考]如图，已知△ ABC 的三个内角平分线交于点 I ， IH ⊥ BC 于 H ， AI 的延长线交 BC 于 D ，比较∠ CIH 和∠ BID 的大小. 【解】由题意得∠ BAD ＝ ∠ BAC ，∠ ABI ＝ ∠ ABC ，∠ HCI ＝ ∠ ACB ，所以 ∠ BAD ＋∠ ABI ＋∠ HCI ＝ (∠ BAC ＋∠ ABC ＋∠ ACB )＝ ×180°＝90°，所以 ∠ BAD ＋∠ ABI ＝90°－∠ HCI . 因为 IH ⊥ BC ，∴∠ CIH ＝90°－∠ HCI . 又因为 ∠ BAD ＋∠ ABI ＝∠ BID ，所以∠ BID ＝∠ CIH . 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 4. [2024山西运城期末]将一个三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在点A'处(点A'在 △ ABC 的内部). (1)如图(1)，若∠ A ＝45°，则∠1＋∠2＝ ⁠°. 90 【解】(1)由题意得∠ ADE ＝∠A'DE，∠ AED ＝∠A'ED，∴∠ ADE ＝ (180°－ ∠1)，∠ AED ＝ (180°－∠2).在△ ADE 中，∠ A ＋∠ ADE ＋∠ AED ＝180°， ∴45°＋ (180°－∠1)＋ (180°－∠2)＝180°，整理得∠1＋∠2＝90°.故答案为90. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 (2)探索图(1)中∠1，∠2与∠ A 之间的数量关系，并说明理由. 【解】(2)∠1＋∠2＝2∠ A ，理由：∵∠ BDE ，∠ CED 是△ ADE 的两个外角，∴∠ BDE ＝∠ A ＋∠ AED ，∠ CED ＝∠ A ＋∠ ADE ， ∴∠ BDE ＋∠ CED ＝2∠ A ＋∠ AED ＋∠ ADE ，∴∠1＋∠ A ' DE ＋ ∠2＋∠ A ' ED ＝2∠ A ＋∠ AED ＋∠ ADE ，即∠1＋∠2＝2∠ A . 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 (3)如图(2)，连接BA'，CA'，若BA'平分∠ ABC ，CA'平分∠ ACB ，∠1＋∠2＝108°，利用(2)中得出的结论求∠BA'C的度数. 【解】(3)由(2)知∠1＋∠2＝2∠ A ，∴2∠ A ＝108°，∴∠ A ＝54°. ∵BA'平分∠ ABC ，CA'平分∠ ACB ，∴∠A'BC＋∠A'CB＝ (∠ ABC ＋∠ ACB )＝ (180°－∠ A )＝90°－ ∠ A ，∴∠BA'C＝180°－ (∠A'BC＋∠A'CB)＝180°－(90°－ ∠ A )＝90°＋ ∠ A ＝90°＋ ×54°＝117°. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 类型2　一内角平分线一外角平分线 5. [2024湖北荆州期末]【基本模型】 (1)如图(1)，在△ ABC 中， BP 平分∠ ABC ， CP 平分△ ABC 的外角 ∠ ACD ，试说明∠ P ＝ ∠ A . 【解】(1)∵ CP 平分∠ ACD ， BP 平分∠ ABC ，∴∠ ACP ＝ ∠ ACD ， ∠ PBC ＝ ∠ ABC . ∵∠ ACD ＝∠ A ＋∠ ABC ，∴∠ ACP ＝ ∠ A ＋ ∠ ABC . ∵∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°，∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－∠ A . ∵∠ PBC ＋ ∠ P ＋∠ ACB ＋∠ ACP ＝180°，∴ ∠ ABC ＋∠ P ＋∠ ACB ＋ ∠ A ＋ ∠ ABC ＝180°，即∠ ABC ＋∠ ACB ＋∠ P ＋ ∠ A ＝180°，∴180°－∠ A ＋∠ P ＋ ∠ A ＝180°，∴∠ P ＝ ∠ A . 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 【变式应用】 (2)如图(2)，∠ MON ＝90°， A ， B 分别是射线 ON ， OM 上的两个动点，∠ ABO 与 ∠ BAN 的平分线所在直线的交点为 P ，在点 A ， B 的运动过程中，∠ P 的度数是否 会发生变化？若不发生变化，请求出其度数；若发生变化，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 【解】(2)∠ P 的度数不变.如图(1).∵∠2＋∠ P ＝∠1，∠ ABO ＋∠ AOB ＝∠ NAB ， ∴∠ P ＝∠1－∠2，∠ AOB ＝∠ NAB －∠ ABO . 又∵ BP 平分∠ ABO ， AC 平分∠ NAB ，∴∠ NAB ＝2∠1，∠ ABO ＝2∠2，∴∠ AOB ＝∠ NAB －∠ ABO ＝2(∠1－ ∠2)＝2∠ P ，∴∠ P ＝ ∠ AOB ＝45°. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 【拓展应用】 (3)如图(3)，∠ MON ＝90°，作∠ MON 的平分线 OD ， A 是射线 OD 上的一定点， B 是直线 OM 上的任意一点(不与点 O 重合)，连接 AB ，设∠ ABO 的平分线与∠ BAO 的邻补角的平分线所在直线的交点为 P ，请直接写出∠ P 的度数. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 【解】(3)∠ P ＝22.5°或67.5°.分两种情况：①点 B 在点 O 右侧时，如图(2).∵∠2＋ ∠ P ＝∠1，∠ ABO ＋∠ AOB ＝∠ DAB ，∴∠ P ＝∠1－∠2，∠ AOB ＝∠ DAB － ∠ ABO . 又∵ BP 平分∠ ABO ， AC 平分∠ DAB ，∴∠ DAB ＝2∠1，∠ ABO ＝ 2∠2，∴∠ AOB ＝∠ DAB －∠ ABO ＝2(∠1－∠2)＝2∠ P ，∴∠ P ＝ ∠ AOB . ∵∠ MON ＝90°， OD 平分∠ MON ，∴∠ AOB ＝45°，∴∠ P ＝22.5°. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 ②点 B 在点 O 左侧时，如图(3).∵∠2＋∠ P ＝∠1，∠ ABO ＋∠ AOB ＝∠ DAB ， ∴∠ P ＝∠1－∠2，∠ AOB ＝∠ DAB －∠ ABO . 又∵ BP 平分∠ ABO ， AC 平分 ∠ DAB ，∴∠ DAB ＝2∠1，∠ ABO ＝2∠2，∴∠ AOB ＝∠ DAB －∠ ABO ＝ 2(∠1－∠2)＝2∠ P ，∴∠ P ＝ ∠ AOB ＝ ×(90°＋45°)＝67.5°. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 类型3　拓展延伸 6. [2024山东青岛即墨区期末]三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等 于180°.如何证明这个定理呢？我们知道，平角是180°，要证明这个定理，可以把三 角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理. 【定理证明】 已知△ ABC ，如图(1)，求证：∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°. 【证明】如图(1)，过点 A 作 MN ∥ CB . ∵ MN ∥ CB ，∴∠ MAB ＝∠ B ，∠ NAC ＝∠ C . ∵∠ MAB ＋∠ BAC ＋∠ NAC ＝180°， ∴∠ B ＋∠ BAC ＋∠ C ＝180°. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 【定理推论】如图(2)，在△ ABC 中，有∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°，延长 BC 至 D ，由平角的定义可得∠ ACD ＋∠ ACB ＝180°，所以∠ ACD ＝ ，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 【解】∵∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°，∠ ACD ＋∠ ACB ＝180°，∴∠ ACD ＝∠ A ＋∠ B . 故答案为∠ A ＋∠ B . ∠ A ＋∠ B 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 【初步运用】如图(3)，分别延长△ ABC 的边 AB ， AC 至 D ， E . (1)若∠ A ＝80°，∠ DBC ＝150°，则∠ ACB ＝ ⁠. 【解】(1)∵∠ DBC ＝∠ A ＋∠ ACB ，∠ A ＝80°，∠ DBC ＝150°， ∴∠ ACB ＝∠ DBC －∠ A ＝150°－80°＝70°.故答案为70°. (2)若∠ A ＝80°，则∠ DBC ＋∠ ECB ＝ ⁠. 【解】(2)∵∠ DBC ＝∠ A ＋∠ ACB ，∠ ECB ＝∠ A ＋∠ ABC ，∴∠ ECB ＋∠ DBC ＝∠ A ＋∠ ABC ＋∠ A ＋∠ ACB . ∵∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°，∠ A ＝80°， ∴∠ DBC ＋∠ ECB ＝180°＋80°＝260°.故答案为260°. 70° 260° 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 【拓展延伸】如图(4)，分别延长四边形 ABPC 的边 AB ， AC 至 D ， E . (3)若∠ A ＝80°，∠ P ＝150°，则∠ DBP ＋∠ ECP ＝ ⁠. 230° 【解】(3)如图(2)，连接 AP . ∵∠ DBP ＝∠ BAP ＋∠ APB ，∠ ECP ＝ ∠ CAP ＋∠ APC ，∴∠ DBP ＋∠ ECP ＝∠ BAP ＋∠ APB ＋∠ CAP ＋ ∠ APC . ∵∠ BAP ＋∠ CAP ＝∠ BAC ＝80°，∠ APB ＋∠ APC ＝∠ BPC ＝150°， ∴∠ DBP ＋∠ ECP ＝∠ BAC ＋∠ BPC ＝80°＋150°＝230°.故答案为230°. 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 (4)分别作∠ DBP 和∠ ECP 的平分线 BM ， CN ，如图(5)，若 BM ∥ CN ， 则∠ A 和∠ P 的关系为 ⁠. ∠ A ＝∠ P 【解】(4)如图(3)，过点 P 作 PQ ∥ BM ，则 PQ ∥ CN . 由(3)知， ∠ DBP ＋∠ ECP ＝∠ A ＋∠ BPC ，∴ (∠ DBP ＋∠ ECP )＝ (∠ A ＋∠ BPC ). ∵ PQ ∥ BM ∥ CN ，∴∠ MBP ＝∠ BPQ ，∠ NCP ＝∠ CPQ ， ∴∠ BPQ ＋∠ CPQ ＝∠ BPC ＝∠ MBP ＋∠ NCP . ∵ BM ， CN 分别是 ∠ DBP 和∠ ECP 的平分线，∴ (∠ DBP ＋∠ ECP )＝∠ MBP ＋∠ NCP ＝∠ BPC ，∴∠ BPC ＝ (∠ A ＋∠ BPC )，∴∠ BPC ＝∠ A . 故答案为∠ A ＝∠ P . 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 (5)分别作∠ DBP 和∠ ECP 的平分线，交于点 O ，如图(6)，求出∠ A ，∠ O 和∠ P 的数量关系，并说明理由. 【解】(5)∠ A ＋2∠ O ＝∠ P ，理由如下：由(3)知，∠ DBP ＋ ∠ ECP ＝∠ A ＋∠ BPC ，∴ (∠ DBP ＋∠ ECP )＝ (∠ A ＋∠ BPC ). ∵ BO ， CO 分别为∠ DBP 和∠ ECP 的平分线，∴∠ OBP ＋∠ OCP ＝ (∠ DBP ＋∠ ECP )，∴∠ OBP ＋∠ OCP ＝ (∠ A ＋∠ BPC ). ∵∠ OBP ＋∠ OCP ＋(∠360°－∠ BPC )＋∠ O ＝360°，∴ (∠ A ＋∠ BPC )＋∠ O ＝∠ BPC ，∴∠ A ＋2∠ O ＝∠ BPC ，即∠ A ＋2∠ O ＝∠ P . 1 2 3 4 5 6 返回目录 返回目录 $$