上分专题(二)作辅助线构造全等三角形-【初中上分卷】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（人教版）

八年级上册 人教版 数 学 返回目录 返回目录 返回目录 软件使用 建议老师使用WPS软件打开 编辑修改 点击文本框即可对全文进行编辑、修改 便捷操作 页面之间有超链接相互跳转 课件说明 返回目录 返回目录 上分专题(二) 作辅助线构造全等三角形 重难上分：攻克难点 返回目录 返回目录 类型1　利用公共边构造全等三角形 类型2　倍长线段构造全等三角形 类型3　截长补短法构造全等三角形 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 类型4　角平分线遇垂线，延长构造全等三角形 类型5　作垂线法 返回目录 类型1　利用公共边构造全等三角形 1. 如图， AB ＝ AC ， BD ＝ CD . (1)求证：∠ B ＝∠ C . (1)【证明】连接 AD ，如图.在△ ABD 与△ ACD 中， ∴△ ABD ≌△ ACD (SSS)，∴∠ B ＝∠ C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若∠ BAC ＝120°，∠ BDC ＝80°，求∠ B 的度数. (2)【解】∵∠ B ＝∠ C ，∴在四边形 ABDC 中，∠ B ＝ ×(360°－120°－80°)＝80°. 返回目录 返回目录 2. [2024黑龙江齐齐哈尔期中]如图， AB ＝ AC ， BD ＝ CD . 求证： (1)∠ B ＝∠ C . 【证明】(1)如图(1)，连接 AD . 在△ ABD 和△ ACD 中， ∴△ ABD ≌△ ACD (SSS)，∴∠ B ＝∠ C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 (2)∠ BDC ＝2∠ B ＋∠ BAC . 【证明】(2)如图(2)，连接 AD 并延长至点 E . ∵∠ BDE ＝∠ B ＋∠ BAD ，∠ CDE ＝∠ C ＋∠ CAD ，∴∠ BDC ＝∠ BDE ＋∠ CDE ＝∠ B ＋∠ C ＋∠ BAD ＋∠ CAD ＝∠ B ＋∠ C ＋∠ BAC . 由(1)知，∠ B ＝∠ C ，∴∠ BDC ＝2∠ B ＋∠ BAC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 3. [2024湖南常德期中]如图，在四边形 ABCD 中， DC ∥ AB ，∠ BAD 和∠ ADC 的平 分线相交于 E ，点 E 在 BC 上. (1)判断 AE 与 DE 的位置关系，并说明理由. (1)【解】 AE ⊥ DE ，理由：如图，∵ DC ∥ AB ，∴∠ BAD ＋∠ ADC ＝ 180°.∵∠ BAD 和∠ ADC 的平分线相交于 E ，∴∠3＝ ∠ ADC ，∠1＝ ∠ BAD ，∴∠1＋∠3＝ (∠ BAD ＋∠ ADC )＝ ×180°＝90°，∴∠ AED ＝90°，∴ AE ⊥ DE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 (2)求证： AD ＝ AB ＋ DC . (2)【证明】在 AD 上截取 AF ＝ AB ，连接 EF ，如图所示.在△ ABE 和 △ AFE 中， ∴△ ABE ≌△ AFE (SAS)，∴∠ AFE ＝∠ B . ∵ AB ∥ DC ，∴∠ B ＋∠ C ＝180°.∵∠ AFE ＋∠ DFE ＝180°，∴∠ DFE ＝∠ C . 在△ DEF 和△ DEC 中，∴△ DEF ≌△ DEC (AAS)， ∴ DF ＝ DC ，∴ AB ＋ DC ＝ AF ＋ DF ＝ AD ，即 AD ＝ AB ＋ DC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 类型2　倍长线段构造全等三角形 4. [2024河北石家庄长安区月考]如图，在△ ABC 中， AD 为中线，在 DA 的延长线上 取一点 E ，连接 EC ，使∠ E ＝∠ BAD . 过点 C 作 CF ⊥ AD 于点 F . 下列结论中正确 的个数有(　D　) ① AF ＝ CF ；② AB ＝ CE ；③ AE ＝2 DF ；④ S△ ABD ＝ S△ ACD ； ⑤ S△ ABD ＋ S△ CDF ＝ S△ ECF . D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 【解析】如图，延长 FD 至 G ，使 DG ＝ FD ，连接 BG . ∵ AD 为中线，∴ BD ＝ CD . ∵∠ BDG ＝∠ CDF ，∴△ BDG ≌△ CDF (SAS)，∴ BG ＝ CF ，∠ BGD ＝∠ CFD ＝90°.∵∠ E ＝∠ BAD ，∴△ ABG ≌△ ECF (AAS)，∴ AB ＝ CE ，故②正确. ∵△ ABG ≌△ ECF ，∴ AG ＝ EF ，∴ AE ＝ GF ，∴ AE ＝2 DF ，故③正确. ∵ BD ＝ CD ，∴ S△ ABD ＝ S△ ADC ，故④正确.∵ AE ＝2 DF ，∴ S△ AEC ＝2 S△ CDF ， ∴ S△ ABD ＋ S△ CDF ＝ S△ ACD ＋ S△ CDF ＝ S△ ACF ＋ S△ CDF ＋ S△ CDF ＝ S△ ACF ＋2 S△ CDF ＝ S△ ACF ＋ S△ AEC ＝ S△ ECF ，故⑤正确.不能得出①，故①错误.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 5. [2024四川绵阳期中]如图，已知 CD ＝ AB ，∠ BAD ＝∠ BDA ， AE 是△ ABD 的中 线，求证： AC ＝2 AE . 【证明】如图，延长 AE 至 F ，使 AE ＝ EF ，连接 BF . 在△ ADE 与△ BFE 中， ∴△ AED ≌△ FEB (SAS)，∴ BF ＝ DA ， ∠ FBE ＝∠ ADE . ∵∠ ABF ＝∠ ABD ＋∠ FBE ，∴∠ ABF ＝∠ ABD ＋∠ ADB ＝ ∠ ABD ＋∠ BAD ＝∠ ADC . 在△ ABF 与△ ACD 中， ∴△ ABF ≌△ CDA (SAS)，∴ AC ＝ AF . ∵ AF ＝2 AE ，∴ AC ＝2 AE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 6. 如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， E 是 CD 的中点， AB ⊥ AE ，且 AB ＝4， AE ＝5，求四边形 ABCD 的面积. 【解】如图，延长 AE 至 F ，使 AE ＝ EF ，连接 CF ，则 AF ＝10.∵ E 是 CD 的中 点，∴ DE ＝ CE . 又∵∠ AED ＝∠ CEF ，∴△ ADE ≌△ FCE (SAS)，∴ S△ ADE ＝ S△ ECF ，∠ ADE ＝∠ FCE ，∴ AD ∥ CF . 又∵ AD ∥ BC ，∴ B ， C ， F 共线， ∴ ＝ S△ ABF ＝ AB · AF ＝ ×4×10＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 类型3　截长补短法构造全等三角形 7. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝60°，∠ ABC 的平分线 BD 与∠ ACB 的平分线 CE 相交 于点 O ，求证： BC ＝ BE ＋ CD . 【证明】在 BC 上截取 BF ＝ BE ，连接 OF ，如图所示.∵∠ A ＝60°， ∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－60°＝120°.∵ BD ， CE 分别是∠ ABC 和∠ BCA 的 平分线，∴∠ OBC ＋∠ OCB ＝ ×120°＝60°，∴∠ BOC ＝120°，∠ BOE ＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 在△ BOE 和△ BOF 中， ∴△ BOE ≌△ BOF (SAS)， ∴∠ FOB ＝∠ EOB ＝60°，∴∠ FOC ＝60°.∵∠ COD ＝180°－∠ BOC ＝60°， ∴∠ FOC ＝∠ COD . ∵∠ FCO ＝∠ DCO ， OC ＝ OC ，∴△ CDO ≌△ CFO (ASA)，∴ CD ＝ CF ，∴ BC ＝ BF ＋ CF ＝ BE ＋ CD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 8. 如图，在△ ABC 中，∠ CAB ＝∠ CBA ＝45°， CA ＝ CB ，点 E 为 BC 的中点， CN ⊥ AE 交 AB 于 N ，连接 EN . (1)求证：∠ BCN ＝∠ CAE . 【证明】(1)∵∠ CAB ＝∠ CBA ＝45°，∴∠ ACB ＝90°，∴∠ CEA ＋∠ CAE ＝90°. ∵ CN ⊥ AE ，∴∠ CEA ＋∠ BCN ＝90°，∴∠ BCN ＝∠ CAE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 (2)求证： AE ＝ CN ＋ EN (请用多种方法证明). 【证明】(2)方法一：如图(1)，延长 CN 至 F ，使 CF ＝ AE ，连接 BF . 在△ CAE 和△ BCF 中， ∴△ CAE ≌△ BCF (SAS)， ∴∠ ACE ＝∠ CBF ＝90°， CE ＝ BF . ∵∠ CBA ＝45°，∴∠ FBN ＝45° ＝∠ EBN . ∵ E 为 BC 中点，∴ CE ＝ BE ＝ BF . 在△ EBN 和△ FBN 中， ∴△ EBN ≌△ FBN (SAS)，∴ NE ＝ NF ，∴ AE ＝ CN ＋ EN . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 方法二：如图(2)，在 AE 上截取 AF ＝ CN ，连接 CF . 在△ ACF 和△ CBN 中， ∴△ ACF ≌△ CBN ，∴ CF ＝ BN ，∠ ACF ＝∠ B ＝45°， ∴∠ ECF ＝45°＝∠ B . ∵ E 为 BC 中点，∴ CE ＝ BE . 在△ CEF 和△ BEN 中， ∴△ CEF ≌△ BEN ，∴ EN ＝ EF ， ∴ AE ＝ AF ＋ EF ＝ CN ＋ EN . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 类型4　角平分线遇垂线，延长构造全等三角形 9. [2024浙江台州期中]如图，△ ABC 的面积为8 cm2， AP 垂直∠ ABC 的平分线 BP 于 点 P ，则△ PBC 的面积为 cm2. 4 【解析】如图，延长 AP 交 BC 于 E . ∵ AP 垂直∠ ABC 的平分线 BP 于 P ，∴∠ ABP ＝∠ EBP ，∠ APB ＝∠ BPE ＝90°.又∵ BP ＝ BP ，∴△ ABP ≌△ EBP ，∴ S△ ABP ＝ S△ BEP ， AP ＝ PE ，∴△ APC 和△ CPE 等底同高，∴ S△ APC ＝ S△ PCE ，∴ S△ PBC ＝ S△ PBE ＋ S△ PCE ＝ S△ ABC ＝4 cm2，故答案为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 10. 如图，在△ ABC 中， BE 是角平分线， AD ⊥ BE ，垂足为 D ，求证：∠2＝∠1＋ ∠ C . 【证明】如图，延长 AD 交 BC 于点 F . ∵ BE 是角平分线， AD ⊥ BE ，∴∠ ABD ＝ ∠ FBD ，∠ ADB ＝∠ FDB ＝90°.又∵ BD ＝ BD ，∴△ ABD ≌△ FBD ，∴∠2＝ ∠ AFB . 又∵∠ AFB ＝∠1＋∠ C ，∴∠2＝∠1＋∠ C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 11. 如图，已知在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， BD 平分∠ ABC ， CE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E . 求证： CE ＝ BD . 【证明】如图，延长 CE ， BA 交于点 F . ∵ CE ⊥ BD ，∠ BAC ＝90°， ∴∠ BAD ＝∠ CAF ＝∠ BEC ＝90°.又∵∠ ADB ＝∠ EDC ， ∴∠ ABD ＝∠ ACF . 在△ ABD 与△ ACF 中， ∴△ ABD ≌△ ACF (ASA)，∴ BD ＝ CF . ∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ CBE ＝∠ FBE . 在△ BCE 与△ BFE 中， ∴△ BCE ≌△ BFE (ASA)， ∴ CE ＝ FE ，即 CE ＝ CF ，∴ CE ＝ BD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 类型5　作垂线法 12. 如图，在四边形 ABCD 中， AC 平分∠ BAD ，过 C 作 CE ⊥ AB 于 E ，且 CD ＝ CB ，∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°.求证： AE ＝ ( AB ＋ AD ). 【证明】如图，过 C 作 CM ⊥ AD 交 AD 的延长线于 M . ∵ CE ⊥ AB ，∴∠ M ＝∠ CEB ＝90°.∵∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°，∠ ADC ＋∠ MDC ＝180°，∴∠ B ＝∠ MDC . ∵ AC 平分∠ BAD ， CM ⊥ AD ， CE ⊥ AB ，∴∠ MAC ＝∠ EAC ， CM ＝ CE ， ∴△ DMC ≌△ BEC (AAS)，∴ BE ＝ DM . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 在△ MAC 和△ EAC 中， ∴△ MAC ≌△ EAC (AAS)， ∴ AM ＝ AE ，∴ AB ＋ AD ＝ AE ＋ BE ＋ AD ＝ AE ＋ DM ＋ AD ＝2 AE ， 即 AE ＝ ( AB ＋ AD ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 13. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，∠ ABC ＝45°，点 D 为 BC 的 中点， CE ⊥ AD 于点 E ，其延长线交 AB 于点 F ，连接 DF . 求证：∠ ADC ＝∠ BDF . 【证明】作 BG ⊥ CB ，交 CF 的延长线于点 G ，如图所示.∵∠ CBG ＝90°， CF ⊥ AD ，∴∠ CAD ＋∠ ADC ＝∠ BCG ＋∠ ADC ＝90°，∴∠ CAD ＝∠ BCG . 在△ ACD 和△ CBG 中， ∴△ ACD ≌△ CBG (ASA)，∴ CD ＝ BG ，∠ CDA ＝∠ CGB . ∵ CD ＝ BD ，∴ BG ＝ BD . ∵∠ ABC ＝45°，∴∠ FBD ＝∠ GBF ＝ ∠ CBG . 在△ BFG 和△ BFD 中， ∴△ BFG ≌△ BFD (SAS)，∴∠ FGB ＝∠ FDB ， ∴∠ ADC ＝∠ BDF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 返回目录 $$