期中综合检测卷-【初中上分卷】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（人教版）

八年级上册 人教版 数 学 返回目录 返回目录 返回目录 软件使用 建议老师使用WPS软件打开 编辑修改 点击文本框即可对全文进行编辑、修改 便捷操作 页面之间有超链接相互跳转 课件说明 返回目录 返回目录 卷⑧ 　期中综合检测卷 考查内容：第十一章至第十三章 返回目录 返回目录 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 返回目录 一、选择题 1. [2024黑龙江哈尔滨期中]折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动.下列折纸作 品中是轴对称图形的有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】题中第四个图形不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.题中前三个图形能找到一条直线，使图形 沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.综上，是轴对 称图形的有3个.故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 2. [2024天津滨海新区期中]王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个 儿子，则图中他所作的线段 AD 应该是△ ABC 的(　B　) A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 (第2题图) 【解析】三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，∴他所作的线段 AD 应该 是△ ABC 的中线，故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 3. [2024江苏南京鼓楼区期中]如图，△ ABF ≌△ CDE ， E ， F ， A ， C 四点共线， AE ＝2， AC ＝10，则 EF 为(　A　) A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 (第3题图) 【解析】∵△ ABF ≌△ CDE ，∴ AF ＝ CE ，∴ CF ＝ AE ＝2，∴ EF ＝ AC － AE － CF ＝10－2－2＝6.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 4. [2024山东东营垦利区期末]如图，已知∠ AOB ，以点 O 为圆心，以任意长为半径 画弧，分别交 OA ， OB 于点 E ， F ，再以点 E 为圆心，以 EF 长为半径画弧，交前 面的弧于点 D ，画射线 OD . 若∠ AOB ＝28°，则∠ BOD 的度数为(　C　) A. 28° B. 34° C. 56° D. 66° (第4题图) C 【解析】 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 5. [2024广东珠海期中]如图，已知等边△ ABC ，直线 l1∥ l2，∠1＝50°，则∠2＝ (　D　) A. 60° B. 80° C. 100° D. 70° (第5题图) D 【解析】如图.∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ A ＝60°. ∵直线 l1∥ l2，∠1＝50°，∴∠ AEF ＝50°， ∴∠ AFE ＝180°－60°－50°＝70°，∴∠2＝70°，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 6. [2024福建福州鼓楼区期中]如图，△ ABC 中，∠ CAB 和∠ CBA 的平分线交于点 P ，若 AB ∶ BC ∶ AC ＝3∶2∶1，则△ PAB ，△ PBC ，△ PAC 的面积之比为(　A　) A. 3∶2∶1 B. 1∶2∶3 C. 9∶16∶36 D. 36∶16∶9 (第6题图) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】过 P 点作 PD ⊥ AB 于 D ， PE ⊥ BC 于 E ， PF ⊥ AC 于 F ，如图，设△ PAB ，△ PBC ，△ PAC 的面积分别为 S1， S2， S3.∵∠ CAB 和∠ CBA 的平分线交于点 P ， ∴ PD ＝ PF ， PD ＝ PE ，∴ PD ＝ PE ＝ PF . 设 PD ＝ PE ＝ PF ＝ t . ∵ S1＝ PD · AB ＝ · AB ， S2＝ PE · BC ＝ · BC ， S3＝ PF · AC ＝ · AC ， AB ∶ BC ∶ AC ＝3∶2∶1，∴△ PAB ，△ PBC ，△ PAC 的面积之比为3∶2∶1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分技巧　三角形的面积比 高相等时，三角形的面积之比等于底边长之比. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 7. [2024福建厦门海沧区期中]如图，△ ABC 中，点 D 在 BC 边上，过 D 作 DE ⊥ BC 交 AB 于点 E ， P 为线段 DC 上的一个动点，连接 PA ， PE ，若 PA ＋ PE 最小，则点 P 应该满足(　D　) A. PA ＝ PC B. PA ＝ PE C. ∠ APE ＝90° D. ∠ APC ＝∠ DPE (第7题图) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，作点 E 关于直线 BC 的对称点 F ，连接 AF 交 BC 于 P ，此时 PA ＋ PE 的值最小.由对称性可知∠ EPD ＝∠ FPD . ∵∠ CPA ＝∠ FPD ，∴∠ APC ＝∠ DPE ，∴ PA ＋ PE 最小时，点 P 应该满足∠ APC ＝∠ DPE ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 8. [2024山西临汾期末]如图，线段 AB ， BC 的垂直平分线 l1， l2交于点 O ，若∠1＝ 37°，则∠ AOC 的度数为(　B　) A. 70° B. 74° C. 76° D. 80° (第8题图) B 【解析】如图，连接 BO ，设 l1与 AB 相交于点 D ，直线 l2与 BC 相 交于点 E . ∵∠1＝37°，∴∠ DOE ＝180°－∠1＝143°， ∴∠ DOB ＋∠ BOE ＝143°.∵线段 AB ， BC 的垂直平分线 l1， l2交于点 O ， ∴ OA ＝ OB ， OB ＝ OC ，∴∠ AOB ＝2∠ DOB ，∠ BOC ＝2∠ BOE ， ∴∠ AOB ＋∠ BOC ＝286°，∴∠ AOC ＝360°－(∠ AOB ＋∠ BOC )＝74°. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分点拨　利用垂直平分线的性质作辅助线 通常连接垂直平分线上的点与线段的端点构造轴对称图形，从而得到相等的角 和线段. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 9. [2024广西南宁青秀区月考]如图，已知∠ ABC ＝120°， BD 平分∠ ABC ，∠ DAC ＝60°，若 AB ＝2， BC ＝3，则 BD 的长是(　B　) A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 (第9题图) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，在 CB 的延长线上取点 E ，使 BE ＝ AB ，连接 AE . ∵∠ ABC ＝120°，∴∠ ABE ＝180°－∠ ABC ＝60°.∵ BE ＝ AB ，∴△ ABE 为等边三角形，∴ AE ＝ AB ，∠ BAE ＝∠ E ＝60°.∵∠ DAC ＝60°，∴∠ DAC ＝∠ BAE . ∵∠ BAD ＝∠ BAC ＋ ∠ DAC ，∠ EAC ＝∠ BAC ＋∠ BAE ，∴∠ BAD ＝∠ EAC . ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ ABD ＝ ∠ ABC ＝60°，∴∠ ABD ＝∠ E ，∴△ ABD ≌△ AEC (ASA)， ∴ BD ＝ CE . ∵ CE ＝ BE ＋ BC ＝ AB ＋ BC ＝3＋2＝5，∴ BD ＝5，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 10. 如图，已知 AB ＝10， AC ＝6， BD ＝8，其中∠ CAB ＝∠ DBA ＝α，点 P 以每秒 2个单位长度的速度，沿着 C → A → B 路径运动.同时，点 Q 以每秒 x 个单位长度的速 度，沿着 D → B → A 路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动.它们的运 动时间为 t 秒. ①若 x ＝1，则点 P 运动路程始终是点 Q 运动路程的2倍； ②当 P ， Q 两点同时到达 A 点时， x ＝6； ③当α＝90°， t ＝5， x ＝1时，△ ACP ≌△ BPQ ； ④若△ ACP 与△ BPQ 全等，则 x ＝0.8或 . 以上说法正确的为(　C　) A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】①若 x ＝1，即点 P 的速度是点 Q 的2倍，故点 P 运动路程始终是点 Q 运动 路程的2倍，故①正确，符合题意；②点 P 到达 A 的时间为6÷2＝3(秒)，当 x ＝6时，点 Q 到达点 A 的时间为(8＋10)÷6＝3(秒)，故②正确，符合题意；③当α＝90°， t ＝5， x ＝1时，如图，此时∠ A ＝∠ B ＝90°， AP ＝2×5－6＝4， BQ ＝8－1×5＝3， BP ＝10－4＝6，∴△ ACP 与△ BPQ 不全等，故③错误，不符合题意；④由题意得， AP ＝2 t －6， QD ＝ xt ，则 PB ＝10－(2 t －6)＝16－2 t ， BQ ＝8－ xt ， 若△ ACP 与△ BPQ 全等，则 AC ＝ PB 且 AP ＝ BQ 或 AC ＝ BQ 且 AP ＝ BP ， 即6＝16－2 t 且2 t －6＝8－ xt 或6＝8－ xt 且2 t －6＝16－2 t ， 解得 x ＝0.8或 ，故④正确，符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 二、填空题 11. [2024吉林松原期末]点 P (－2， m )关于 x 轴对称的点 Q 的坐标为( n ，－3)，则 m ＋ n ＝ ⁠. 【解析】∵点 P (－2， m )关于 x 轴对称的点 Q 的坐标为( n ，－3)，∴ m ＝3， n ＝ －2，∴ m ＋ n ＝3－2＝1. 12. 新考法[2024湖南长沙期中]小明用(5－2)×180°计算一个多边形的内角和，则该 多边形是 边形. 【解析】小明用(5－2)×180°计算一个多边形的内角和，则该多边形是五边形，故 答案为五. 1 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分心得　多边形的内角和公式 多边形内角和公式：( n －2)×180°，其中 n 表示多边形的边数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 13. [2024辽宁大连西岗区期末]如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝30°，以点 A 为圆心， AC 长为半径作弧，交直线 AB 于点 D ，连接 DC ，则∠ DCB 的度数是 ⁠. (第13题图) 【解析】在Rt△ ABC 中，∠ B ＝30°，∴∠ A ＝60°.由作图可知 AD ＝ AC ，∴△ ACD 是等边三角形，∴∠ ACD ＝60°，∴∠ DCB ＝90°－60°＝30°.故答案为30°. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 14. [2024河北保定期中]如图，操场上有两根旗杆相距12 m，小强同学从 B 点沿 BA 走向 A ，一定时间后他到达 M 点，此时他测得 CM 和 DM 的夹角为90°，且 CM ＝ DM ，已知旗杆 AC 的高为3 m，小强同学行走的速度为0.5 m/ s . (1)另一旗杆 BD 的高度为 m； 9 (第14题图) 【解析】(1)如图，∵ CM 和 DM 的夹角为90°，∴∠1＋∠2＝90°. ∵∠ DBA ＝90°，∴∠2＋∠ D ＝90°，∴∠1＝∠ D . 在△ CAM 和△ MBD 中， ∴△ CAM ≌△ MBD (AAS)， ∴ AM ＝ DB ， AC ＝ MB . ∵ AC ＝3 m，∴ MB ＝3 m.∵ AB ＝12 m，∴ AM ＝9 m，∴ DB ＝9 m. (2)小强从 M 点走到 A 点需要的时间是 ⁠s. 【解析】(2)9÷0.5＝18(s). 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 15. 新定义[2024云南昆明期末]定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样 的三角形叫做“准等边三角形”.由此可得顶角为120°的等腰三角形 “准等 边三角形”.(填“是”或“不是”) 【解析】∵等腰三角形的顶角为120°，∴该等腰三角形的底角是30°.∵120°－ 30°＝90°，30°－30°＝0°，∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”. 故答案为不是. 不是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 16. [2024福建漳州期末]如图，已知 AB ＝ CD ＝ AE ＝ BC ＋ DE ＝2，∠ ABC ＝∠ AED ＝90°，则五边形 ABCDE 的面积为 ⁠. 4 【解析】延长 DE 到 F ，使 EF ＝ BC ，连接 AC ， AD ， AF ，如图. 在△ ABC 和△ AEF 中， ∴△ ABC ≌△ AEF (SAS)， ∴ AC ＝ AF . ∵ CD ＝ BC ＋ DE ， EF ＝ BC ，∴ CD ＝ DF . 在△ ACD 和 △ AFD 中， ∴△ ACD ≌△ AFD (SSS).∵△ ABC ≌△ AEF ， ∴ S△ ABC ＝ S△ AEF ，∴ ＝ S△ ABC ＋ ＝ S△ AEF ＋ ＝ 2 S△ ADF . ∵ AB ＝ CD ＝ AE ＝ DF ＝2，∠ AED ＝90°， ∴ S△ ADF ＝2，则 ＝4.故答案为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 17. [2024江苏盐城月考]将一张长方形纸片按如下步骤折叠：(1)如图(1)，将纸片对 折，点 C 落在点 B 处，得到折痕 AP ；(2)如图(2)，展开纸片，再将∠ BPA 对折，点 B 落在折痕 AP 上的点B'处，得到折痕 PM ；(3)如图(3)，将∠ CPM 对折，点 C 落在 折痕 PM 上的点C'处，得到折痕 PN 后展开纸片，则∠ MPN ＝ ⁠°. 　 　 67.5 【解析】由折叠可知∠ BPM ＝45°，∠ CPN ＝∠ MPN ＝ ∠ CPM . ∵∠ BPC ＝ 180°，∴∠ CPM ＝180°－∠ BPM ＝135°，∴∠ MPN ＝ ×135°＝67.5°，故答案为 67.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 18. [2024北京海淀区月考]已知△ ABC 是三边都不相等的三角形，点 P 是三个内角平 分线的交点，点 O 是三边垂直平分线的交点，当 P ， O 同时在△ ABC 的内部时，那 么∠ BOC 和∠ BPC 的数量关系是 ⁠. 4∠ BPC －∠ BOC ＝360° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】连接 AO . ∵ BP 平分∠ ABC ， CP 平分∠ ACB ，∴∠ PBC ＝ ∠ ABC ， ∠ PCB ＝ ∠ ACB ， ∴∠ BPC ＝180°－(∠ PBC ＋∠ PCB )＝180°－ ＝180°－ (180°－∠ BAC )＝90°＋ ∠ BAC ，即∠ BAC ＝2∠ BPC －180°. ∵点 O 是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴ OA ＝ OB ＝ OC ， ∴∠ OAB ＝∠OBA ，∠ OAC ＝∠ OCA ，∠ OBC ＝∠ OCB ， ∴∠ AOB ＝180°－2∠ OAB ，∠ AOC ＝180°－2∠ OAC ， ∴∠ BOC ＝360°－(∠ AOB ＋∠ AOC )＝360°－(180°－2∠ OAB ＋180°－2∠ OAC )＝ 2∠ OAB ＋2∠ OAC ＝2∠ BAC ，∴∠ BOC ＝4∠ BPC －360°， ∴4∠ BPC －∠ BOC ＝360°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 三、解答题 19. [2024湖北武汉期中](8分)如图， AD 是△ ABC 的 BC 边上的高， BE 平分∠ ABD ，交 AD 于 E ，∠ C ＝60°，∠ BED ＝70°. (1)求∠ ABE 的度数. 【解】(1)∵ AD 是△ ABC 的 BC 边上的高，∴∠ ADB ＝90°.∵∠ BED ＝70°，∠ ADB ＋∠ BED ＋∠ DBE ＝180°，∴∠ DBE ＝180°－90°－ 70°＝20°. (3分) ∵ BE 平分∠ ABD ，∴∠ ABE ＝∠ DBE ＝20°. (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)求∠ BAC 的度数. 【解】(2)∵ BE 平分∠ ABD ，∴∠ ABC ＝2∠ ABE ＝40°. ∵∠ BAC ＋∠ ABC ＋∠ C ＝180°，∴∠ BAC ＝180°－∠ ABC －∠ C ＝180°－40°－60°＝80°. (8分) 【关键点拨】掌握三角形的内角和定理是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 20. [2024吉林期中](10分)如图，在6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A ， B ， D 都在格点上，请按下面要求完成画图. (1)在图(1)中画一个△ ABC ，使点 C 在格点上，△ ABC 为轴对称图形，且对称轴经 过点 B . 【解】(1)如图(1)，△ ABC 即为所求(答案不唯一). (5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)在图(2)中画一个与△ ABD 成轴对称且顶点都在格点上的△ ABE . 【解】(2)如图(2)，△ ABE 即为所求. (10分) 【关键点拨】掌握轴对称图形的定义是解题的关键，注意此类题目画出的图形可能 不唯一，作图后可以验证一下是否正确，避免失分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 21. [2024河南商丘期中](10分)在四边形 ABCD 中，∠ A ＝140°，∠ D ＝80°. (1)如图(1)，若∠ B ＝∠ C ，求∠ C 的度数. 【解】(1)∵∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＝360°，∠ B ＝∠ C ，∠ A ＝140°，∠ D ＝80°，∴∠ B ＝∠ C ＝ ＝ ＝70°. (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)如图(2)，若∠ ABC 的平分线 BE 交 DC 于点 E ，且 BE ∥ AD ，求∠ C 的度数. 【解】(2)∵ BE ∥ AD ，∴∠ BEC ＝∠ D ＝80°，∠ ABE ＝180°－∠ A ＝180°－140° ＝40°. (6分) 又∵ BE 平分∠ ABC ，∴∠ EBC ＝∠ ABE ＝40°，∴∠ C ＝180°－∠ EBC －∠ BEC ＝180°－40°－80°＝60°. (10分) 【刷有所得】四边形的内角和为360°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 22. [2024湖北襄阳襄州区期中](12分)如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝36°， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D . 过点 A 作 AE ∥ BC ，交 BD 的延长线于点 E . (1)求∠ ADB 的度数. (1)【解】∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝36°， ∴∠ ABC ＝∠ C ＝ (180°－∠ BAC )＝72°. (2分) ∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ DBC ＝∠ ABD ＝36°， ∴∠ ADB ＝∠ C ＋∠ DBC ＝72°＋36°＝108°. (4分) 【思路分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ ABC 和∠ C 的度数，由角平分线的定义求出∠ DBC 的度数，再根据三角形外角的性质即可求出结果； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)求证：△ ADE 是等腰三角形. (2)【证明】∵ AE ∥ BC ，∴∠ EAC ＝∠ C ＝72°.∵∠ C ＝72°，∠ DBC ＝36°， ∴∠ ADE ＝∠ CDB ＝180°－72°－36°＝72°，∴∠ EAD ＝∠ ADE ，∴ AE ＝ DE ，∴△ ADE 是等腰三角形. (8分) 【思路分析】(2)由平行线的性质求得∠ EAC ＝72°，由三角形内角和定理及对顶角 的性质求得∠ ADE ＝72°，根据等腰三角形的判定即可证得结论； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (3)若 BC ＝ m ， CD ＝ n ，求 BE 的长(用含 m ， n 的式子表示). (3)【解】∵∠ C ＝∠ BDC ＝72°，∴ BD ＝ BC ＝ m .∵∠ ABD ＝∠ BAC ＝36°， ∴ AD ＝ BD ＝ m ，∴ AB ＝ AC ＝ m ＋ n . (10分) ∵ AE ∥ BC ，∴∠ E ＝∠ DBC ＝36°，∴∠ E ＝∠ ABD ，∴ AE ＝ AB ＝ m ＋ n ， ∴ DE ＝ m ＋ n ，∴ BE ＝2 m ＋ n . (12分) 【思路分析】(3)根据∠ C ＝∠ BDC ＝72°，得出 BD ＝ BC ＝ m ，同理可得 AD 的长，从而得到 AB 的长，进而得到 AE 的长，则可知 DE 的长，即可得到答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 23. [2024广东广州天河区期末](12分)如图，在平面直角坐标系中， A (－5，0)， B (0，5)，点 C 为 x 轴正半轴上一动点，过点 A 作 AD ⊥ BC 于 D ，交 y 轴于点 E ，连接 DO ，则 DO 平分∠ ADC . (1)若 C (3，0)，则点 E 的坐标为 ⁠. (0，3) 【解】(1)∵ AD ⊥ BC ， AO ⊥ BO ，∴∠ AOE ＝∠ BDE ＝∠ BOC ＝90°， ∴∠ OAE ＋∠ ACD ＝90°，∠ OBC ＋∠ ACD ＝90°，∴∠ OAE ＝∠ OBC . ∵ A (－5，0)， B (0，5)，∴ OA ＝ OB ＝5.在△ AOE 和△ BOC 中， ∴△ AOE ≌△ BOC (ASA)，∴ OE ＝ OC . ∵点 C 坐标为(3，0)，∴ OE ＝ OC ＝3，∴ E (0，3).故答案为(0，3). (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)若点 C 在 x 轴正半轴上运动，当 OC ＋ CD ＝ AD 时，求∠ OBC 的度数. 【解】(2)如图，在 DA 上截取 DP ＝ DC ，连接 OP . ∵∠ PDO ＝∠ CDO ， OD ＝ OD ，∴△ OPD ≌△ OCD (SAS)， (7分) ∴ OC ＝ OP ，∠ OPD ＝∠ OCD . ∵ OC ＋ CD ＝ AD ， ∴ OC ＝ AD － CD ，∴ AD － DP ＝ OP ，则 AP ＝ OP ， ∴∠ PAO ＝∠ POA ，∴∠ OPD ＝∠ PAO ＋∠ POA ＝2∠ PAO ＝∠ OCB . (10分) 又∵∠ PAO ＋∠ OCD ＝90°，∴3∠ PAO ＝90°，∴∠ PAO ＝30°.∵∠ OAP ＝∠ OBC ，∴∠ OBC ＝∠ PAO ＝30°. (12分) 【关键点拨】解决问题的关键是作辅助线，构造全等的条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 24. 探究性问题[2024江苏南京鼓楼区月考](14分)如图(1)，点 P ， Q 分别是边长为 4 cm的等边△ ABC 的边 AB ， BC 上的动点，点 P ， Q 同时从顶点 A ， B 出发，且它们的速度都为1 cm/ s . (1)【思考研究】连接 AQ ， CP 交于点 M ，则在 P ， Q 运动的过程中，∠ CMQ 的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】(1)不变. (1分) 由题意得 AP ＝ BQ ， AB ＝ AC ，∠ B ＝∠ CAP ＝60°. 在△ ABQ 和△ CAP 中，∴△ ABQ ≌△ CAP (SAS)，∴∠ BAQ ＝ ∠ ACP ，∴∠ CMQ ＝∠ ACP ＋∠ CAM ＝∠ BAQ ＋∠ CAM ＝∠ BAC ＝60°. (4分) 【思路分析】(1)先判断△ ABQ ≌△ CAP ，再用全等三角形的性质及等边三角形的 性质、三角形的外角性质，可求得∠ CMQ 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)【解决问题】连接 PQ ，何时△ PBQ 是直角三角形？ 【解】(2)设点 P ， Q 的运动时间为 t s，则 AP ＝ BQ ＝ t ， PB ＝4－ t .分两种情况： ①当∠ PQB ＝90°时，∵∠ B ＝60°，∴∠ BPQ ＝30°，∴ PB ＝2 BQ ，即4－ t ＝2 t ，∴ t ＝ ； (6分) ②当∠ BPQ ＝90°时，∵∠ B ＝60°，∴∠ BQP ＝30°， ∴ BQ ＝2 BP ，则 t ＝2(4－ t )，∴ t ＝ .综上，第 s或第 s时， △ PBQ 为直角三角形. (8分) 【思路分析】(2)分∠ PQB ＝90°和∠ BPQ ＝90°两种情况讨论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (3)【拓展延伸】如图(2)，若点 P ， Q 在运动到终点后继续在射线 AB ， BC 上运动， 直线 AQ ， CP 交点为 M ，则∠ CMQ 的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不 变，求出它的度数. 【解】(3)不变. (9分) 由题意得 AP ＝ BQ . ∵在等边△ ABC 中， BC ＝ AC ＝ AB ， ∠ ABC ＝∠ ACB ＝60°， ∴∠ PBC ＝∠ ACQ ＝120°， BP ＝ CQ . (10分) 在△ PBC 和△ QCA 中， ∴△ PBC ≌△ QCA (SAS)， (12分) ∴∠ BPC ＝∠ MQC . 又∵∠ PCB ＝∠ MCQ ，∴∠ CMQ ＝∠ PBC ＝120°. (14分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【思路分析】(3)首先证得△ PBC ≌△ QCA ，由全等三角形的性质得到∠ BPC ＝ ∠ MQC ，再运用对顶角相等及三角形内角和定理可得∠ CMQ ＝∠ PBC ，即可求得∠ CMQ 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 $$