第一次月考综合检测卷-【初中上分卷】2024-2025学年八年级上册数学配套课件（人教版）

八年级上册 人教版 数 学 返回目录 返回目录 返回目录 软件使用 建议老师使用WPS软件打开 编辑修改 点击文本框即可对全文进行编辑、修改 便捷操作 页面之间有超链接相互跳转 课件说明 返回目录 返回目录 卷⑤ 　第一次月考综合检测卷 考查内容：第十一章至第十二章 返回目录 返回目录 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 返回目录 一、选择题 1. [2024北京大兴区期中]在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB 是直角，若∠ B ＝35°，则∠ A 的度数是(　A　) A. 55° B. 45° C. 35° D. 25° 【解析】在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∴∠ B ＋∠ A ＝90°.∵∠ B ＝35°，∴∠ A ＝ 55°，故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 2. [2024吉林长春期末]给出下列图形： 　 　 　 其中具有稳定性的是(　C　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②③④ 【解析】图形②③均是由三角形构成的图形，具有稳定性.故选C. C 上分警示　三角形的稳定性 图形④中虽然含有三角形，但还含有具有不稳定性的四边形，因此整个图形不具有 稳定性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 3. [2024天津滨海新区期中]若△ ABC ≌△ DEF ，且∠ A ＝60°，∠ E ＝70°，则∠ C 的度数为(　A　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 50°或80° 【解析】∵△ ABC ≌△ DEF ，∠ A ＝60°，∠ E ＝70°，∴∠ B ＝∠ E ＝70°，∴∠ C ＝180°－60°－70°＝50°.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 4. [2024福建泉州丰泽区期末]如图中的四个三角形，其中两个三角形全等的是 (　C　) 　　　 A. ③④ B. ②③ C. ①② D. ①④ 【解析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可知①②两个三角形全 等，故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 5. [2024四川广元期中]如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1＋∠2＝240°，则∠ A 的度数为(　B　) A. 45° B. 60° C. 75° D. 80° (第5题图) 【解析】∵∠1＋∠2＝240°，∴∠ B ＋∠ C ＝360°－(∠1＋∠2)＝120°，∴∠ A ＝ 180°－(∠ B ＋∠ C )＝60°，故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 6. [2024广西河池期末]如图，为测量池塘两端 A ， B 的距离，学校课外实践小组在 池塘旁的开阔地上选了一点 C ，测得∠ ACB 的度数，在 AC 的另一侧选一点 D ，使 ∠ ACD ＝∠ ACB ， CD ＝ CB ，再测得 AD 的长，就是 AB 的长.其依据是(　D　) A. SSS B. SSA C. AAS D. SAS (第6题图) 【解析】连接 AB . 在△ ADC 与△ ABC 中， ∴△ ADC ≌△ ABC (SAS).故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分警示　判定三角形全等的条件 SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等， 则该角必须是两边的夹角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 7. [2024北京西城区期中]在如图所示的3×3正方形网格中，△ ABC 是格点三角形(即 顶点恰好是网格线的交点)，则与△ ABC 有一条公共边且全等(不含△ ABC )的所有格 点三角形的个数是(　B　) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 (第7题图) B 【解析】如图，满足条件的三角形有4个.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 8. [2024四川泸州江阳区月考]如图，七边形 ABCDEFG 中， AB ， ED 的延长线交于 点 O ，若与∠1，∠2，∠3，∠4相邻的外角的度数和等于210°，则∠ BOD 的度数为 (　A　) A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° (第8题图) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 9. [2024江苏无锡期中]如图， AD 是△ ACB 的角平分线， DF ⊥ AB ，垂足为 F ， DE ＝ DG ，△ ADG 和△ AED 的面积分别为60和41，则△ EDF 的面积为(　C　) A. 19 B. 13.5 C. 9.5 D. 5 (第9题图) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】如图，过点 D 作 DH ⊥ AC 于 H . ∵ AD 是△ ABC 的角平分线， DF ⊥ AB ， ∴ DF ＝ DH . 在Rt△ DEF 和Rt△ DGH 中， ∴Rt△ DEF ≌Rt△ DGH (HL)，∴ S△ EDF ＝ S△ GDH . 同理可证Rt△ ADF ≌Rt△ ADH (HL)，∴ S△ ADF ＝ S△ ADH . 设△ EDF 的面积为 S ，则41＋ S ＝60－ S ，解得 S ＝9.5，即△ EDF 的面积为9.5.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 10. [2024四川遂宁期末]如图， AD ， AE 分别是△ ABC 的高和角平分线，点 F 是 BC 延长线上一点， FH ⊥ AE 于点 M ，交 AD 于点 G ，交 AB 于点 H ，交 AC 于点 K . 有 如下结论： (第10题图) ①∠ F ＝∠ DAE ；②∠ ACB ＝∠ B ＋∠ F ； ③∠ AGH ＝∠ BAE ＋∠ B ；④2∠ AEF ＝∠ B ＋∠ ACF . 其中正确的是(　D　) A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解析】∵ FH ⊥ AE ， AD ⊥ BC ，∴∠ AMF ＝∠ ADF ＝90°.∵∠ AGM ＝∠ DGF ，∴∠ F ＝∠ DAE ，故①符合题意.∵ AE 平分∠ BAC ，∴∠ BAE ＝∠ CAE . ∵∠ AMF ＝∠ AMH ＝90°，∴∠ AHM ＝∠ AKM . ∵∠ CKF ＝∠ AKM ＝∠ AHM ， ∠ AHM ＝∠ B ＋∠ F ，∴∠ CKF ＝∠ B ＋∠ F . ∵∠ ACB ＝∠ CKF ＋∠ F ， ∴∠ ACB ＞∠ CKF ，则∠ ACB ＞∠ B ＋∠ F ，故②不符合题意.∵∠ AGH ＋∠ DAE ＝90°，∠ AED ＋∠ DAE ＝90°，∴∠ AGH ＝∠ AED . ∵∠ AED ＝∠ B ＋∠ BAE ， ∴∠ AGH ＝∠ BAE ＋∠ B ，故③符合题意.∵∠ AEF ＝∠ BAE ＋∠ B ，∴2∠ AEF ＝2∠ BAE ＋2∠ B ＝∠ BAC ＋2∠ B . ∵∠ ACF ＝∠ BAC ＋∠ B ，∴2∠ AEF ＝∠ B ＋∠ ACF ，故④符合题意.综上所述，正确的有①③④.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 二、填空题 11. [2024河北石家庄期末]四边形 ABCD 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D ＝1∶2∶3∶4，则∠ B ＝ 度. 【解析】∵四边形 ABCD 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D ＝1∶2∶3∶4，∴∠ B ＝ 360°× ＝72°，故答案为72. 72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 12. [2024山东临沂期中]如图， AD 是△ ABC 的中线， AE 是△ ABD 的中线，若 BE ＝ 3，则 BC ＝ ⁠. (第12题图) 【解析】∵ AE 是△ ABD 的中线， BE ＝3，∴ BD ＝2 BE ＝6.∵ AD 是△ ABC 的中 线，∴ BC ＝2 BD ＝12.故答案为12. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 13. [2024辽宁大连月考]在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别是 6 m，15 m，那么甲、乙两人的距离 d 的范围是 ⁠. 【解析】∵运动员甲、乙两人与足球的距离分别是6 m，15 m，∴甲、乙两人的距 离 d 的范围是15－6≤ d ≤15＋6，即9≤ d ≤21.故答案为9≤ d ≤21. 9≤ d ≤21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 14. [2024北京朝阳区月考]如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AD 是∠ CAB 的平分线， DE ⊥ AB 于 E ，且 DE ＝5 cm， BC ＝12 cm，则 BD ＝ ⁠cm. (第14题图) 【解析】∵在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AD 是∠ CAB 的平分线， DE ⊥ AB 于 E ，且 DE ＝5 cm，∴ CD ＝ DE ＝5 cm.∵ BC ＝12 cm，∴ BD ＝7 cm，故答案为7. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 15. [2024四川资阳期末]如图，点 E ， F 分别在四边形 ABCD 的边 AD ， CD 上，将 △ DEF 沿直线 EF 翻折，点 D 恰好落在边 BC 上的D'处，若∠1＋∠2＝∠ B ，∠ A ＝ 95°，则∠ C ＝ ⁠. (第15题图) 85° 【解析】∵将△ DEF 沿直线 EF 翻折，点 D 恰好落在边 BC 上的 D '处， ∴∠ ED ' F ＝∠ D . ∵∠1＋∠2＝∠ B ，∠1＋∠2＋∠ ED ' F ＝180°， ∴∠ B ＋∠ D ＝180°.∵四边形内角和为360°，∴∠ A ＋∠ C ＝180°. ∵∠ A ＝95°，∴∠ C ＝85°，故答案为85°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 16. [2024重庆渝中区月考]如图，在△ PAB 中，∠ A ＝∠ B ， M ， N ， K 分别是 PA ， PB ， AB 上的点，且 AM ＝ BK ， BN ＝ AK . 若∠ MKN ＝40°，则∠ P 的度数 为 ⁠. (第16题图) 100° 【解析】在△ MAK 和△ KBN 中， ∴△ MAK ≌△ KBN (SAS)， ∴∠ AMK ＝∠ BKN . ∵∠ MKB 是△ AMK 的外角，∴∠ MKB ＝∠ BKN ＋∠ MKN ＝ ∠ A ＋∠ AMK ，∴∠ A ＝∠ MKN ＝40°，∴∠ B ＝∠ A ＝40°，∴∠ P ＝180°－40°－40°＝100°，故答案为100°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 17. [2024广东中山期中]定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α称为“友好角”.如果一个“友好三角形”的一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为 ⁠ ⁠. 【解析】∵一个“友好三角形”的一个内角为36°，∴当该三角形的一个内角为72° 时，这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为72°；当该三角形的一个内角为18° 时，这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为36°；当该三角形的另外两个内角 为 x ，2 x 时，则 x ＋2 x ＋36°＝180°，解得 x ＝48°，2 x ＝96°，∴这个“友好三角 形”的“友好角”α的度数为96°.综上所述，这个“友好三角形”的“友好角”α的 度数为36°或72°或96°.故答案为36°或72°或96°. 36°或72°或96° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 上分警示　分类讨论 分类讨论时要按照一定的顺序，不重不漏地将所有情况列举出来. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 18. 新情境[2024浙江舟山期末]如图，海军在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心( O 处)北偏西30°的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的 B 处，并且 OA ＝ OB . 接到指 令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°方向迅速前进.指挥中 心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达 E ， F 处，∠ EOF ＝70°， EF ＝180海里， 且甲、乙两舰艇的速度比为2∶3，则舰艇甲的速度为 海里/时. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 由题意得，∠ AON ＝30°，∴∠ A ＝60°.∵∠ OBC ＝70°＋50°＝120°，∴∠ OBG ＝ 60°，∴∠ A ＝∠ OBG . ∵ OA ＝ OB ，∴△ AOE ≌△ BOG (SAS)，∴ OE ＝ OG ， ∠ AOE ＝∠ BOG ，∴∠ AOB ＝∠ EOG . ∵∠ AOB ＝30°＋90°＋(90°－70°)＝140°， ∴∠ EOG ＝140°.∵∠ EOF ＝70°，∴∠ EOF ＝∠ GOF ＝70°.∵ OF ＝ OF ， ∴△ EOF ≌△ GOF (SAS)，∴ EF ＝ GF ＝ BG ＋ BF ＝ AE ＋ BF ＝180海里. 设舰艇甲的速度为2 x 海里/时，舰艇乙的速度为3 x 海里/时， 则 AE ＝3×2 x ＝6 x (海里)， BF ＝3×3 x ＝9 x (海里)， ∴9 x ＋6 x ＝15 x ＝180，∴ x ＝12，∴2 x ＝24，∴舰艇甲的速度 为24海里/时，故答案为24. 【解析】如图，延长 AE ， BF 相交于点 C ，延长 CB 到 G ，使 BG ＝ AE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 三、解答题 19. [2024广东广州期中](8分)如图，△ ABC 中，∠ A ＝40°，∠ B ＝72°， CE 平分 ∠ ACB 交 AB 于 E ， CD ⊥ AB 于 D ， DF ⊥ CE 于 F . (1)求∠ ACE 的度数. 【解】(1)∵∠ A ＝40°，∠ B ＝72°，∴∠ ACB ＝180°－40°－72°＝68°. (3分) ∵ CE 平分∠ ACB 交 AB 于 E ，∴∠ ACE ＝∠ BCE ＝34°. (4分) 【思路分析】(1)根据三角形内角和定理求得∠ ACB 的度数，再根据 CE 平分∠ ACB 求得∠ ACE 的度数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)求∠ CDF 的度数. 【解】(2)∵ CD ⊥ AB ， DF ⊥ CE ，∴∠ CDF ＋∠ ECD ＝∠ ECD ＋∠ CED ＝90°，∴∠ CDF ＝∠ CED ＝∠ A ＋∠ ACE ＝74°. (8分) 【思路分析】(2)根据三角形的外角的性质求得∠ CED ＝∠ A ＋∠ ACE ，再结合 CD ⊥ AB ， DF ⊥ CE 求解即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 20. [2024四川乐山市中区期末](10分)如图，点 F ， G 分别在正五边形 ABCDE 的边 BC ， CD 上，连接 AF ， BG 相交于 H ，△ ABF ≌△ BCG . (1)求∠ ABC 的度数. 【解】(1)∵正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠ ABC ＝ ×540°＝108°. (5分) (2)求∠ AHG 的度数. 【解】(2)∵△ ABF ≌△ BCG ，∴∠ BAF ＝∠ CBG . ∵∠ BAF ＋∠ ABH ＝∠ AHG ，∴∠ CBG ＋∠ ABH ＝∠ AHG ＝∠ ABC ＝108°，∴∠ AHG ＝108°. (10分) 【刷有所得】正多边形的每个内角度数相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 21. 项目式学习[2024广西南宁期中](10分)【综合与实践】八年级数学兴趣小组开展 了测量体育馆高度 AB 的实践活动.测量方案如表： 课题 测量体育馆高度 AB 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 示意图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 测量步骤 ①在体育馆外的地面选定一点 C ； ②测量∠ ACB 的度数； ③测量 BC 的长度； ④放置一根与 BC 长度相同的标杆 DE ， DE 垂直于地面( B ， C ， D 共线)； ⑤测量∠ ECD 的度数 测量数据 ∠ ACB ＝72.2°，∠ ECD ＝17.8°， BC ＝ DE ＝2.5 m， CD ＝8 m 请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算体育馆高度 AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】由题意得 AB ⊥ BD ， ED ⊥ BD ，∴∠ ABC ＝∠ D ＝90°. (2分) ∵∠ ACB ＝72.2°，∴∠ BAC ＝90°－∠ ACB ＝17.8°.∵∠ ECD ＝17.8°， ∴∠ A ＝∠ ECD ＝17.8°.∵ BC ＝ DE ＝2.5 m，∴△ ABC ≌△ CDE (AAS)， (8分) ∴ AB ＝ CD ＝8 m，∴体育馆高度 AB 为8 m. (10分) 【方法总结】要善于从题干中提取关键信息，本题重点关注示意图和测量数据解题 即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 22. [2024江西南昌期末](12分)如图， A ， B 两点分别在射线 OM ， ON 上，点 C 在 ∠ MON 的内部，且 AC ＝ BC ， CD ⊥ OM ， CE ⊥ ON ，垂足分别为 D ， E ，且 AD ＝ BE . (1)求证： OC 平分∠ MON . (1)【证明】∵ CD ⊥ OM ， CE ⊥ ON ，∴∠ ADC ＝∠ CEB ＝90°. (2分) 在Rt△ ADC 和Rt△ BEC 中， ∴Rt△ ADC ≌Rt△ BEC (HL)， ∴ CD ＝ CE . ∵ CD ⊥ OM ， CE ⊥ ON ，∴ OC 平分∠ MON . (5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)若 AD ＝3， BO ＝4，求 AO 的长. (2)【解】∵ BE ＝ AD ＝3， BO ＝4，∴ OE ＝ OB ＋ BE ＝4＋3＝7. (7分) ∵ CD ⊥ OM ， CE ⊥ ON ，∴∠ CDO ＝∠ CEO ＝90°.在Rt△ DOC 和 Rt△ EOC 中， ∴Rt△ DOC ≌Rt△ EOC (HL)， (10分) ∴ OD ＝ OE ＝7.∵ AD ＝3，∴ AO ＝ OD ＋ AD ＝7＋3＝10. (12分) 【关键点拨】熟记到角两边距离相等的点在角的平分线上是解此题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 23. [2024山西大同月考](12分)阅读下列材料，并完成相应的任务. 【“箭头图”的性质和应用】 如图(1)，我们把四边形 ABDC 称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质： ∠ BDC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C . 下面是该性质的证明过程. 证明：如图(2)，连接 AD 并延长到点 E . ∵∠1是△ ABD 的外角，∴∠1＝∠ B ＋ ∠ BAD (根据1).∵∠2是△ ACD 的外角，∴∠2＝∠ C ＋∠ CAD ，∴∠ BDC ＝∠1＋ ∠2＝∠ B ＋∠ BAD ＋∠ CAD ＋∠ C ，∴∠ BDC ＝∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【任务】 (1)填空：材料中的根据1是指 ⁠. 【思路分析】(1)根据三角形外角的性质得出∠1＝∠ B ＋∠ BAD ； 三角形外角的性质 (2分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)你还能想出其他解法吗？请写出解答过程. 【解】(2)能想出其他解法，解答过程如下：延长 CD 交 AB 于 E ，如图. (4分) ∵∠ BED ＝∠ A ＋∠ C ，∠ BDC ＝∠ B ＋∠ BED ， ∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C . (答案不唯一) (6分) 【思路分析】(2)延长 CD 交 AB 于 E ，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角 的和列式即可； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (3)一个零件的形状如图(3)所示，按规定∠ A 应等于110°才合格，经测量∠ B ＝18°， ∠ C ＝20°，∠ BDC ＝145°，那么这个零件 .(填“合格”或“不合格”) 【解】(3)若∠ A ＝110°，∠ B ＝18°，∠ C ＝20°，则∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝148°. ∵∠ BDC ＝145°，∴∠ BDC ≠∠ A ＋∠ B ＋∠ C ，∴这个零件不合格.故答案为不合格. (12分) 【思路分析】(3)求出∠ A ＋∠ B ＋∠ C 的度数，并与∠ BDC 的度数比较，即 可判断. 不合格 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 24. 探究性问题[2024陕西宝鸡期末](14分)【问题背景】如图(1)， OP 是∠ MON 的平 分线，请你利用该图形画一组对应边在 OP 所在直线上的全等三角形，并将添加的 全等条件(一组对应边相等的条件)标注在图上. 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1)【初步探究】如图(2)，在△ ABC 中，∠ ACB 是直角，∠ B ＝60°， AD ， CE 分别 是∠ BAC 和∠ BCA 的平分线， AD ， CE 相交于点 F ，求∠ EFA 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 【解】所作全等三角形如图(1)所示. (2分) (1)∵∠ ACB ＝90°，∠ B ＝60°，∴∠ BAC ＝30°.∵ AD ， CE 分别是∠ BAC 和∠ BCA 的平分线，∴∠ DAC ＝ ∠ BAC ＝15°，∠ ECA ＝ ∠ ACB ＝45°，∴∠ EFA ＝ ∠ DAC ＋∠ ECA ＝15°＋45°＝60°. (4分) 【思路分析】(1)根据三角形内角和定理可求∠ BAC 的度数，再根据∠ EFA 是△ ACF 的外角，利用三角形外角的性质计算求解； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (2)【深入探究】在(1)的条件下，请判断 FE 与 FD 之间的数量关系，并说明理由. 【解】(2) FE ＝ FD . (5分) 理由如下：如图(2)，在 AC 上截取 AG ＝ AE ，连接 FG . ∵ AD 是∠ BAC 的平分线，∴∠ EAF ＝∠ GAF . 在△ EAF 和△ GAF 中， ∴△ EAF ≌△ GAF (SAS)， (6分) ∴ FE ＝ FG ，∠ EFA ＝∠ GFA ＝60°，∴∠ GFC ＝180°－60°－60°＝60°. 又∵∠ DFC ＝∠ EFA ＝60°，∴∠ DFC ＝∠ GFC . (8分) 在△ FDC 和△ FGC 中， ∴△ FDC ≌△ FGC (ASA)， ∴ FD ＝ FG ，∴ FE ＝ FD . (10分) 【思路分析】(2)根据图(1)的作法，在 AC 上截取 AG ＝ AE ，则 EF ＝ FG ，再根据 ASA证明△ FCD ≌△ FCG ，得 DF ＝ FG ，故可证 EF ＝ FD ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 (3)【类比拓展】如图(3)，在△ ABC 中，如果∠ ACB 不是直角，而(1)中的其他条件 不变，试问(2)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 【解】(3)(2)中所得结论仍然成立. (11分) 证明如下：如图(3)，在 AC 上截取 AH ＝ AE ，连接 FH . 同(2)可得△ EAF ≌△ HAF ，∴ FE ＝ FH ，∠ EFA ＝∠ HFA . 又由(1)知∠ FAC ＝ ∠ BAC ，∠ FCA ＝ ∠ ACB ，∴∠ FAC ＋∠ FCA ＝ (∠ BAC ＋∠ ACB )＝ (180°－∠ B )＝60°， (12分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 ∴∠ AFC ＝180°－(∠ FAC ＋∠ FCA )＝120°，∴∠ EFA ＝∠ HFA ＝180°－120°＝ 60°.同(2)可得△ FDC ≌△ FHC ，∴ FD ＝ FH ，∴ FE ＝ FD ，故(2)中所得结论仍然 成立. (14分) 【思路分析】(3)只要∠ B 的度数不变，结论仍然成立，证明过程同(2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回目录 返回目录 $$