第02讲：指、对、幂函数高频题型归纳（7大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲：指、对、幂函数高频题型归纳 【考点梳理】 · 考点一：指对幂的运算 · 考点二：比较大小 · 考点三：指数函数的综合 · 考点四：幂函数的综合 · 考点五：对数函数的综合 · 考点六：函数与方程 · 考点七：函数模型的实际应用 【知识梳理】 知识点一：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点二．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 知识点三：.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 知识点四：对数 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 知识点五：对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质：①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． (3)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 知识点六：对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0) (4)当x>1时，y>0; 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0; 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 技巧归纳： 1、换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 知识点七：.幂函数 (1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 知识点八：五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点九　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型归纳】 题型一：指对幂的运算 1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算： (1)； (2). 2．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）（1）计算： （2）计算: 3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 题型二：比较大小 4．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·浙江杭州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·云南昆明·期中）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型三：指数函数的综合 7．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知定义在上的偶函数满足：当时，，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 9．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数是定义在上的偶函数． (1)求函数的解析式； (2)对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 题型四：幂函数的综合 10．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 11．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 12．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知幂函数是定义在R上的偶函数． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值． 题型五：对数函数的综合 13．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 14．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若，且，求实数n的取值范围. 15．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，（其中且）． (1)若函数定义域为R ，求实数的取值范围； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 题型六：函数与方程 16．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（    ） A． B．3 C． D． 17．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）若函数有个零点，则正数的取值范围是 . 18．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数且过点． (1)判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由； (2)若方程有两不等实数根，且，求实数的取值范围． 题型七：函数模型的实际应用 19．（23-24高一上·北京东城·期末）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少. (1)按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； (2)另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数） 参考值：，. 20．（23-24高一上·江西宜春·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 21．（23-24高一上·安徽淮南·期末）甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的一种蔬菜价格进行追踪. (1)甲小组得出该种蓅菜在1-8月份的价格P（元/kg）与月份t近似满足关系，月交易是Q（单位：吨）与月份t近似满足关系，求月交易额y（万元）与月份t的函数关系式.并估计1-8月份中第几个月的月交易额最大； (2)乙小组通过追踪得到该种疏菜上市初期和后期因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三种函数模拟价格（单位：元）与月价x之间的函数关系：①（，且）；②；③. ①为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数?并说明理由； ②若，，求出所选函数的解析式（注：函数的定义域是，其中表示1月份，表示2月份，…，以此类推），并估计价格在5元/kg以下的月份有几个. 【专题突破】 一、单选题 22．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（    ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 24．（23-24高二下·河北保定·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·江西南昌·三模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·湖南常德·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（   ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A．100 B．230 C．130 D．365 28．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 31．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．当时，的值域是 D．当时， 32．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年的比率衰减，则（    ） 参考数据：，． A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍 B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g C．t年后，这种放射性物质的质量为g D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年 33．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．存在，使得 D．函数的零点个数为 34．（23-24高一上·浙江杭州·期末）养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（    ） A．函数的定义域为，且是奇函数 B．对于任意的，都有 C．对于任意的，都有 D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 三、填空题 35．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 36．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围为 . 37．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）若函数只有1个零点，则的取值范围是 ． 38．（23-24高一下·浙江杭州·期中）函数，若关于x的方程恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是 . 四、解答题 39．（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明）； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 40．（23-24高一下·湖北·期中）已知为奇函数． (1)求a的值； (2)若，求m的取值范围． 41．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 42．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数且. (1)若，求不等式的解集； (2)若，是否存在，使得在区间上的值域是，若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由. 43．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 44．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数； (2)若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：指、对、幂函数高频题型归纳 【考点梳理】 · 考点一：指对幂的运算 · 考点二：比较大小 · 考点三：指数函数的综合 · 考点四：幂函数的综合 · 考点五：对数函数的综合 · 考点六：函数与方程 · 考点七：函数模型的实际应用 【知识梳理】 知识点一：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点二．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 知识点三：.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 知识点四：对数 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 知识点五：对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质：①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． (3)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 知识点六：对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0) (4)当x>1时，y>0; 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0; 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 技巧归纳： 1、换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 知识点七：.幂函数 (1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 知识点八：五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点九　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型归纳】 题型一：指对幂的运算 1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)2 【分析】（1）利用指数运算法则及指数式与对数式互化计算即得. （2）利用对数运算法则求解即得. 【详解】（1）. （2） . 2．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）（1）计算： （2）计算: 【答案】（1）－1；（2）16 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1） ； （2） . 3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可； （2）根据对数的运算法则，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）原式 （2）原式 题型二：比较大小 4．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中间值，根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递减， 可得，即； 且在定义域内单调递增， 可得，即； 又因为，即； 所以. 故选：A 5．（23-24高一下·浙江杭州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的单调性，求得的取值范围，即求解. 【详解】由对数函数的性质，可得， 所以. 故选：A. 6．（23-24高一下·云南昆明·期中）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质得到、，由对数函数的性质得到，即可判断. 【详解】因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以. 故选：C. 题型三：指数函数的综合 7．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知定义在上的偶函数满足：当时，，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得的解析式，分别求得当时，时，时，和的表达式，结合题意，即可求得的范围，综合即可得答案. 【详解】由题意知：, 当时，， 所以，所以， 因为，所以； 当时，， 所以，所以， 当时，， 所以，所以， 综上. 实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据题意求得的解析式，分类讨论，将和进行转化，考查分类讨论的思想，属中档题. 8．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 9．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数是定义在上的偶函数． (1)求函数的解析式； (2)对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数可得恒成立，从而可得结果； （2）当时，令．原不等式转化为，令，可证为增函数，从而可得结果. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数， ，可得恒成立， 即， 因为在上不恒成立， ， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，令． 不等式恒成立，等价于恒成立， 恒成立，则， 令，任取， 则 ， 因为，所以， 所以为增函数， 所以当时. 所以的取值范围为. 题型四：幂函数的综合 10．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 11．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可； （2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解． 【详解】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； （2）不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为． 12．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知幂函数是定义在R上的偶函数． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值． 【答案】(1) (2)当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为7 【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出的值，得函数解析式； （2）求出函数的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值. 【详解】（1）根据题意可得，即， 所以，解得， 又函数是定义在R上的偶函数， 所以，即函数的解析式为． （2）由（1）可知 因，所以， 所以当，即，函数的最小值为； 当时，，函数的最大值为7． 题型五：对数函数的综合 13．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，结合的值域为，得到，即可求解； （3）根据题意，求得和，转化为恒成立，令，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.， 【详解】（1）解：函数的定义域为， 即在上恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围是； （2）解：函数的值域为， 则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）解：因为且，可得在上单调递增， 所以，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，所以， 当，即时，，解得，所以无解； 当，即时，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 14．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若，且，求实数n的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，利用对数运算法则将函数化为，根据二次函数性质求解值域即可； （2）换元法，设，，即可化为关于t的函数，再利用根与系数的关系，即可解出. 【详解】（1）当，令，所以， 则在上单调递减， 所以，，故的取值范围为； （2）设，，因为，所以，即， 则的两根为，，整理得， ，， 所以，，所以，则， 所以，则， 即实数的取值范围为. 15．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，（其中且）． (1)若函数定义域为R ，求实数的取值范围； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)是偶函数 【分析】 （1）首先求出的解析式，依题意可得恒成立，即可得到，从而求出参数的取值范围； （2）设，首先求出定义域，再根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）由题意得， 因为函数定义域为， 所以恒成立， 即， 解得， 故实数的取值范围. （2）设， 定义域需满足：，解得， 故函数的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 又因为， 即， 所以是偶函数，即是偶函数. 题型六：函数与方程 16．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】画出函数图象，再根据函数零点个数以及二次函数根的分布情况，可求得. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 结合图象可知，令，令， 则可得方程有两个不相等的实数根，不妨设； 所以，解得或； 若函数有6个不同的零点， 根据图象可知当时符合题意，此时无解； 当时，满足函数有6个不同的零点， 根据二次函数根的分布可知此时需满足， 解得，因此实数a的取值可以是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据解析式画出函数图象，结合图象交点个数分类讨论确定零点分布情况，即可求得实数a的取值范围. 17．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）若函数有个零点，则正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到时，函数只有一个零点，结合题意，得到时，函数有三个零点，利用正弦函数的性质，得出不等式，即可求解. 【详解】当时，令，即，即， 因为函数与的图象有且仅有一个公共点，如图所示，    所以时，函数只有一个零点， 又由函数有个零点， 所以时，函数有三个零点， 因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 18．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数且过点． (1)判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由； (2)若方程有两不等实数根，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)是定值，定值为 (2) 【分析】（1）代入点可计算出函数解析式，结合指数运算可计算出； （2）由题意可转化为有两不等实数根，结合绝对值进行分类讨论可得，结合题意计算即可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，所以，解得， 故， 则 ， 所以是定值，定值为． （2）由，即， 即有，即， 令， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 方程有两不等实数根，所以 且 ， 于是：，， 所以，， 由得， 又，解得， 所以实数的取值范围是． 题型七：函数模型的实际应用 19．（23-24高一上·北京东城·期末）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少. (1)按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； (2)另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数） 参考值：，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为， 所以，解得，即注射了药品，的值为. （2）设药物注射量为，则小时后残余量为， 设药物注射量为，则小时后残余量为， 又题可知，药物注射量为，药物注射量为， 设小时后残余量相同，则， 即，两边取对数可得，即， 即，即， 即，即， 解得，所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等. 20．（23-24高一上·江西宜春·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)70台，最大利润是1760万元. 【分析】（1）分、两种情况分别求出函数解析式； （2）结合二次函数的性质及基本不等式求出各段的最大值，即可得解. 【详解】（1）由题意可得：当时，， 当时，， 所以． （2）当时，， 所以当时（万元）； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时万元. 综上可知，该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元. 21．（23-24高一上·安徽淮南·期末）甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的一种蔬菜价格进行追踪. (1)甲小组得出该种蓅菜在1-8月份的价格P（元/kg）与月份t近似满足关系，月交易是Q（单位：吨）与月份t近似满足关系，求月交易额y（万元）与月份t的函数关系式.并估计1-8月份中第几个月的月交易额最大； (2)乙小组通过追踪得到该种疏菜上市初期和后期因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三种函数模拟价格（单位：元）与月价x之间的函数关系：①（，且）；②；③. ①为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数?并说明理由； ②若，，求出所选函数的解析式（注：函数的定义域是，其中表示1月份，表示2月份，…，以此类推），并估计价格在5元/kg以下的月份有几个. 【答案】(1)；4月 (2)①应选③，理由见解析；②，估计有4个月价格在5元/kg以下 【分析】（1）求出关于的解析式即可求解； （2）①根据各函数的性质即可求解；②先求出，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由题意得：， 所以， 当时，根据二次函数的性质得时取最大月交易额为万元， 当时，同理可得时取得最大月交易额为万元， 所以估计月的月交易额最大； （2）①①函数是单调函数，不符合题意， ②二次函数的的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点， 不符合题意， ③当时，函数在上的图象时下降的， 在上的图象是上升的，在上的图象是下降的， 满足条件，应选：③； ②因为，， 所以，所以，， 所以，令， 所以，， 由一次函数图象易知时价格在5元/kg以下， 即月、月、月、月价格在5元/kg以下, 所以有个月价格在5元/kg以下. 【专题突破】 一、单选题 22．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质即可得解 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D. 23．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（    ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案. 【详解】物实验中，血液中药物含量为的浓度为， 设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意 ，两边取对数得， 可得. 所以至少经过个小时才会“药物失效”. 故选：D. 24．（23-24高二下·河北保定·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解的值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 故， 又因为的值域为， 则需满足， ，解得. 故选：B. 25．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则及运算性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，所以D错误． 故选：A 26．（2024·江西南昌·三模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】由题意得，，， 易知，， 故，则，可得，故B正确. 故选：B 27．（23-24高一下·湖南常德·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（   ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A．100 B．230 C．130 D．365 【答案】B 【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，根据指数对数的关系及换底公式计算可得. 【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍， 此时“进步值”为，“退步值”为，即， 所以，则， 所以天． 故选：B 28．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可. 【详解】，定义域为，又，故为偶函数； 又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数； 又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数； ，即，则，即，， 也即，解得. 故选：A. 29．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性可得且，解之即可求解. 【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得． 即实数a的取值范围为 故选：B 30．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得的奇偶性与单调性，从而转化所求不等式得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由，得的定义域为， 又，故为偶函数， 而当时，易知单调递增， 而对于，在上恒成立， 所以在上也单调递增， 故在上单调递增， 则由，得，解得或. 故选：D. 二、多选题 31．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．当时，的值域是 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其的解析式即可判断CD. 【详解】因为，则关于直线对称， 则，因为函数是定义在上的偶函数， 则，则，则B正确， 则 则的图象关于直线对称，故A正确； 对C，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同， 当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误； 对D，当时，，则， 当时，，根据的周期为4， 则，故D正确； 故选：ABD. 32．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年的比率衰减，则（    ） 参考数据：，． A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍 B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g C．t年后，这种放射性物质的质量为g D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年 【答案】CD 【分析】依题意写出时间与该物质剩余质量的函数关系，逐一判断ABC；令，将指数式转化为对数式，利用换底公式求解可判断D. 【详解】依题意，该物质每经过1年，所剩质量为上一年的， 记t年后该物质的质量为y，则， 对于A，10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.9倍，故A错误； 对于B，2年后，这种放射性物质的质量为（g），故B错误； 对于C，t年后，这种放射性物质的质量为，故C正确； 对于D，令，即，故D正确． 故选：CD 33．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．存在，使得 D．函数的零点个数为 【答案】ACD 【分析】根据分段函数，求出的解析式即可判断A；举反例，取一个特殊值验证选项的正误判断B；作出函数的图象，发现函数的值域为，即可判断C；利用数形结合的思想，将函数的零点问题转化为方程的根，进而转化为两个函数的交点个数问题，再结合图象即可得解判断D. 【详解】对于选项A，当时，，所以， 所以，故A正确； 对于选项B，当时，与矛盾，故B错误； 对于选项C，由为偶函数，可作出函数在上的图象，    观察图象，的值域为，即存在，使得，故C正确； 对于选项D，由的零点个数即为根的个数， 即与的的交点个数，观察图象，在时，有5个交点， 根据对称性可得时，也有5个交点，共计10个交点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：判断方程零点个数的常用方法： ①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数； ②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数； ③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题. 34．（23-24高一上·浙江杭州·期末）养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（    ） A．函数的定义域为，且是奇函数 B．对于任意的，都有 C．对于任意的，都有 D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 【答案】ABC 【分析】根据真数大于0求定义域，利用奇偶性定义判断奇偶性可判断A，根据对数运算化简即可判断BC，取特殊值判断D. 【详解】由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数，故A正确； 任意的，，故B正确； 因为，， 所以，故C正确； 取，则，，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 35．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，求出在对应区间上的值域，分类讨论解不等式即可求出的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增，所以时，； 当时，， 当时，在上单调递减，所以时， 即时，， 因为函数的值域为， 所以时，且. 由不等式，解得 不等式等价于时，， 设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 由不等式，解得， 所以时，的解集为， 综上，的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据指数函数和二次函数单调性求得该分段函数值域，再利用值域间的包含关系解不等式可得结果. 36．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 37．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）若函数只有1个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】函数只有1个零点等价于函数与函数有且只有1个焦点，借助指数函数的图象与性质可得函数的大致图象，即可得解. 【详解】由，得， 设函数， 由指数函数性质可知，函数在上单调递减， 在上单调递增，且，， 可作出的大致图象，如图所示， 由图可知，的取值范围是． 故答案为：. 38．（23-24高一下·浙江杭州·期中）函数，若关于x的方程恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数的图象，数形结合得到不同的时，两函数交点情况，得到答案. 【详解】令，由对勾函数的性质可知： 对于一个确定的值，关于的方程最多两个解， 画出的图象如下： 故值域为， 作出函数的图象，如下： 令，解得：， 令，解得：，， 令，解得：， 当时，存在唯一的，使得，此时方程有两解； 当时，存在使得，此时方程有三解， 其中时，有1个解，即，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有四解， 时，无解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有七解， 时，有1个解，即，时，有2个解，时，有2个解， 时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有八个解， 当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有六解， 当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有四解， 当时，有2个解，时，有2个解； 综上：实数t的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 四、解答题 39．（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明）； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)在，上单调递减. (3) 【分析】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案. （2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性. （3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案. 【详解】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为， 函数为奇函数，所以， 即在上恒成立，即，（舍）， 当时，，函数的定义域为， 又函数为奇函数，所以， 此时，函数定义域为， ，函数为奇函数，满足， 综上所述：； （2）在和上单调递减，证明如下： ，定义域为， 设，且， 则 因为，且，所以， 所以，所以在上单调递减， 同理可证，所以在上单调递减； 所以在，上单调递减. （3）函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 时，，所以当时的值域， 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即，所以，解得，即. 40．（23-24高一下·湖北·期中）已知为奇函数． (1)求a的值； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质，代入解出a的值即可； （2）问题转化为，构造函数，利用符合函数的单调性求出即可. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 则， 化简得，即， 所以，解得或（舍去）． 故的值为－1． （2）．的定义域为． 因为函数在上单调递增，函数为增函数，所以为增函数． ．令函数， 因为函数为增函数，所以也是增函数， 则．故的取值范围是． 41．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】 （1）由奇函数性质即可得解，并注意检验； （2）结合指数函数单调性以及单调性的定义即可得证； （3）由奇函数的性质、以及函数单调性可等价转换表达式为一元二次不等式，由此即可顺利得解. 【详解】（1）由题意，函数定义域为R，则，解得， 当时，，定义域为全体实数，且， 所以函数是奇函数，满足题意； （2）由（1）可知单调递增，理由如下： 不妨设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数单调递增； （3）由题意， 所以实数的取值范围为. 42．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数且. (1)若，求不等式的解集； (2)若，是否存在，使得在区间上的值域是，若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）把代入，利用对数函数的性质把不等式化为一元二次不等式求解. （2）由对数函数单调性把问题转化为一元二次方程在上有两个不相等的实根，再由一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 不等式，则有， 即，整理得，解得， 所以不等式的解集是. （2）函数中，，解得，即的定义域为， 当时，函数在上都单调递减， 则函数在上单调递减，因此函数在上单调递减， 假定存在，使得在区间上的值域是， 于是，即，则， 因此关于的方程在上有两个不相等的实根， 设， 则有，整理得，显然此不等式组无解， 所以不存在这样的满足条件. 【点睛】易错点睛：利用对数函数的性质把对数不等式化为一元二次不等式求解，注意对数函数的定义域. 43．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用指数与对数的运算法则计算即可； （2）利用偶函数的定义待定系数计算即可； （3）先利用单调性定义判定函数单调性，再分类讨论结合零点存在性定理、函数奇偶性、单调性判定根的情况即可. 【详解】（1）当时, 若; （2）若是偶函数, 所以， 即: ， 所以； （3）当时，由（2）可知， 令，设， 则， 因为，则， 所以， 即 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递减， 又是偶函数，所以在上单调递增， 易知，所以为偶函数，， 则， 当时，方程没有实数根，          当时，方程，有且仅有1个实数根，              当 时，取，则， 所以在上，且在上单调递减， 由零点存在性定理可知在上，有1个实数根， 所以时，方程，有2个实数根. 综上所述：当时，方程没有实数根； 当时，方程有且仅有1个实数根； 当 时，方程有2个实数根. 44．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数； (2)若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为，证明见解析 (2) 【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析可知，，由可得出，结合参变量分离法可得出，利用指数函数的单调性可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：对于函数，则，可得， 所以，函数的定义域为， 证明单调性：设， 则有， ， 由于，所以，，， 并且 ，则， 于是， 所以，即：， 所以函数在定义域上单调递增． （2）解：当时，， 所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立， 等价于在恒成立． 由可得，所以，， 则， 于是实数的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$