第01讲：函数的基本性质高频题型归纳（10大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲：函数的基本性质高频题型归纳 【考点梳理】 考点一：函数的定义域 考点二：复杂（根式、分式）函数的值域 考点三：求解析式三大方法 考点四：分段函数 考点五：根据函数的单调性求参数范围 考点六：函数不等式恒成立问题 考点七：利用奇偶性求函数的解析式 考点八：抽象函数的奇偶性问题 考点九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 考点十：函数性质的综合性问题 【知识梳理】 知识点一：函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二：函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点三．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点四．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【题型归纳】 题型一：函数的定义域 1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型二：复杂（根式、分式）函数的值域 4．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 题型三：求解析式三大方法 7．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高三上·江西·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 题型四：分段函数 10．（23-24高一下·陕西西安·期中）设函数，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：根据函数的单调性求参数范围 13．（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：函数不等式恒成立问题 16．（23-24高一上·安徽安庆·期末）命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：利用奇偶性求函数的解析式 19．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 21．（23-24高一上·天津宁河·期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 题型八：抽象函数的奇偶性问题 22．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 23．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知定义在上的函数在上是增函数，且对任意的x，y，都有，若，则的解集为 ． 24．（22-23高一上·宁夏吴忠·）设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f（1）＝0，则不等式xf(x)<0的解集为 ． 题型九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 25．（23-24高一下·山东淄博·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·安徽·期末）定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型十：函数性质的综合性问题 28．（23-24高一下·浙江杭州·期末）设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)若，求函数的值域． 29．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值，并猜想函数的单调性； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 30．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 【强化精练】 一、单选题 31．（23-24高一上·北京东城·期末）奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   34．（23-24高一上·安徽亳州·期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 35．（23-24高一上·山西运城·期末）已知满足，且函数为偶函数，若，则（    ） A．0 B．1012 C．2024 D．3036 36．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ） A．6 B．50 C．616 D．1176 38．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数是定义在上的偶函数．若对于任意两个不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 39．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域为，若关于对称，为奇函数，则（   ） A．是奇函数 B．的图象关于点对称. C． D．若在上单调递减，则在上单调递增 40．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 41．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 42．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是增函数 C．若，则 D．，，且， 43．（23-24高一上·贵州毕节·期末）设表示不超过的最大整数，如．设（且），则下列选项正确的有（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．函数的值域为 D．函数的值域为 三、填空题 44．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围为 ． 45．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 46．（23-24高一上·北京·期末）已知,其中.若,则的取值范围是 ;若,则的取值范围是 . 47．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 48．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 49．（23-24高一上·湖北·期末）已知，函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 50．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若在定义域上是增函数，解关于的不等式. 51．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 52．（23-24高一上·江西抚州·期末）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间． (1)求函数的所有“保值”区间． (2)函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲：函数的基本性质高频题型归纳 【考点梳理】 考点一：函数的定义域 考点二：复杂（根式、分式）函数的值域 考点三：求解析式三大方法 考点四：分段函数 考点五：根据函数的单调性求参数范围 考点六：函数不等式恒成立问题 考点七：利用奇偶性求函数的解析式 考点八：抽象函数的奇偶性问题 考点九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 考点十：函数性质的综合性问题 【知识梳理】 知识点一：函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二：函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点三．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点四．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【题型归纳】 题型一：函数的定义域 1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D 【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】由题意得，解得且， 即定义域为. 故选：D. 2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】函数的定义域为，所以， ， 所以的定义域为， 对于函数，由， 得，所以函数的定义域为. 故选：C 3．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 题型二：复杂（根式、分式）函数的值域 4．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用换元，分离常数，上下同除结合基本不等式，函数单调性求解各选项对应函数值域即可得答案. 【详解】A选项，令，则， 则函数在上单调递增，则，故A错误； B选项，，则，故B错误； C选项，因，则，又注意到，当且仅当时取等号， 则，故C错误. D选项，注意到函数均在上单调递增，则，故D正确. 故选：D 5．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 6．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 题型三：求解析式三大方法 7．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式利用换元法即可得出函数的解析式. 【详解】令，则且，所以，因此. 故选：A. 8．（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法先求出函数，再整体代入即可求出函数的表达式. 【详解】因为 所以 所以，即. 故选：C. 9．（22-23高三上·江西·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得解. 【详解】因为①， 所以②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 题型四：分段函数 10．（23-24高一下·陕西西安·期中）设函数，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】由分段函数定义，对数的运算性质及对数函数单调性，计算即可得到所求和. 【详解】因为在单调递增，所以， 所以， 则， 故选：D. 11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故选：D 12．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增，且，所以函数在的值域是. 因为函数的值域是. 所以当时的函数值域应该包含. 即. 故选：B 题型五：根据函数的单调性求参数范围 13．（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由已知得，解之得，即的定义域为， 又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得：，解得． 故选：D 14．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得. 【详解】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：D 15．（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用一次函数，对数函数及分段函数的单调性列不等式组即可求的取值范围. 【详解】因为是上的增函数. 则是增函数，所以，即， 又也是增函数，则有， 所以，即，解得. 故实数的取值范围为. 故选：D. 题型六：函数不等式恒成立问题 16．（23-24高一上·安徽安庆·期末）命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解出函数在区间上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果. 【详解】解：因为命题“”为真命题， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，， 所以只需. 故选：A． 17．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据的解析式求出其值域，分类讨论求出的值域，结合两值域的关系可得答案. 【详解】因为 所以时，，时，， 综上. 当时，，， 由题意，，即，解得； 当时，，符合题意； 当时，，， 由题意，，即，解得； 综上可得. 故选：D. 18．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探讨函数的性质，并用表示出，再把问题转化为上的最大值大于在上的最大值求解即得. 【详解】由，得， 则， 设，，即 因此函数在单调递增，，当时，， 由于，，，即， 又，于是函数在上的最大值大于5， 当时，令，， 当时，若，则，显然无解， 若，则，显然无解， 若，则， 而对勾函数在上单调递减，，即无解， 当时，，不符合题意， 当时，成立，则， 所以的取值范围为. 故选：D 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故. 题型七：利用奇偶性求函数的解析式 19．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解. 【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，， 所以当时，， 当时，，， 当时，若，只需，，解得， 当时，若，只需，解得， 综上所述，不等式的解集是. 故选：C. 20．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】解：因为数是偶函数，且当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以当时，. 故答案为： 21．（23-24高一上·天津宁河·期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求函数解析式；利用奇偶性和单调性解不等式. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， 则当时，，. 函数和在R上都单调递增，则在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以在R上单调递增， 由，得， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：； 题型八：抽象函数的奇偶性问题 22．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 23．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知定义在上的函数在上是增函数，且对任意的x，y，都有，若，则的解集为 ． 【答案】 【分析】利用赋值法可得是偶函数，然后根据单调性和定义域列不等式，解不等式即可. 【详解】令，则，所以是偶函数， 则，， 又定义在上的函数在上是增函数， 由，得，则，解得， 故的解集为． 故答案为：. 24．（22-23高一上·宁夏吴忠·阶段练习）设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f（1）＝0，则不等式xf(x)<0的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性和求解即可． 【详解】解：为奇函数且， ， 又在上为增函数， 在上为增函数， ∴ 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上：不等式xf(x)<0的解集为． 故答案为：． 题型九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 25．（23-24高一下·山东淄博·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得在上单调递增，根据奇偶性和单调性可得不等式的解集. 【详解】不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则在上单调递增，又，所以， ①当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， ②当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故选：C 26．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，再由函数的奇偶性可得时的解析式，然后分情况解出不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则， 则，即， 即当时，， 设，则，则， 则当时，由可得，解得， 当时，由可得，解得， 所以不等式得解集为. 故选：A 27．（23-24高一上·安徽·期末）定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的奇偶性与单调性得到在上单调递增与，再分类讨论的取值范围，结合偶函数的性质即可得解. 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且， 所以在上单调递增，， 因为， 当，即时，，即， 所以，即，解得，故； 当，即时，，即， 所以，即或，解得或，故； 综上：或. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质，从而简化运算得解. 题型十：函数性质的综合性问题 28．（23-24高一下·浙江杭州·期末）设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【详解】（1）函数在上单调递增； 证明：任取，且， 则 因为， 所以， 所以， 得， 所以函数在上单调递增； （2）解：因为， 则，， 所以， 由（1）的证明过程知，函数在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又， 显然，故， 所以函数的值域为： 29．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值，并猜想函数的单调性； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；猜想函数为上单调递增函数 (2) 【分析】（1）由可求出的值，再根据指数的性质可猜想函数的单调性； （2）利用函数的单调性的定义，先证得为上单调递增，然后结合奇函数的性质将问题转化为对任意实数恒成立，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数， 所以，得，经检验符合题意，所以； 所以， 因为在上单调递增， 所以猜想函数为上单调递增函数； （2）根据（1）知， ，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由函数为上单调递增的奇函数， ，即， 即， 则， 所以对任意实数恒成立， 当时，，显然成立； 当时，，解得， 综上可知，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，第（2）问解题的关键是利用函数的单调性和奇函数的性质将问题转化为对任意实数恒成立，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 30．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分析判断； （2）先对函数化简变形后，再任取，且，然后化简变形，再判断符号，可得结论； （3）利用函数是奇函数将原不等式转化为，再由函数为上的减函数，得，即存在，使得成立，然后求出的最大值即可. 【详解】（1）∵，定义域为，关于原点对称， 又， ∴为奇函数. （2）∵， 任取，且，则 ， ∵，∴，，， 故，即， ∴在上为减函数. （3）∵为上的奇函数，又， ∴. 又由于函数为上的减函数， ∴， 则， 又存在，使得成立，则， 又∵在上为减函数， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性，函数单调性的证明，考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，第（3）问解题的关键是利用函数为奇函数将原不等式转化后，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 【强化精练】 一、单选题 31．（23-24高一上·北京东城·期末）奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性与单调性得：，解不等式即可. 【详解】因为为奇函数，且，所以； 又在区间上单调递增，所以， 有，即，解得. 故选：D 32．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案． 【详解】 根据题意，设，， 是定义在,,上的奇函数，即， 故，函数为偶函数， 由题意当时，有，函数在上为减函数， 又由为偶函数，则在上为增函数， 又由，则，同时， 或， 必有或，即的取值范围为. 故选：B． 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性解不等式，关键是构造函数明确其奇偶性，并分情况解不等式. 33．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性及特殊位置可判定选项. 【详解】易知，即为奇函数， 其函数图象关于原点中心对称，可排除C、D； 显然当时，恒成立，可排除B，即A正确. 故选：A 34．（23-24高一上·安徽亳州·期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题得出的性质，然后作出草图即可得出答案. 【详解】对任意的且都有，所以时，严格减，又是上奇函数，且，所以可以画出的草图如下：    由图易知，当时，，此时；当时，，此时，故不等式解集为或， 故选：D. 35．（23-24高一上·山西运城·期末）已知满足，且函数为偶函数，若，则（    ） A．0 B．1012 C．2024 D．3036 【答案】D 【分析】由题意得，函数的周期为4，进一步，由此即可顺利得解. 【详解】由题意函数为偶函数，所以，的图象关于直线对称， 所以， 函数的周期为4， 在中，分别令， 得， 解得， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是得到函数的对称性、周期性，从而顺利得解. 36．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意可得，又，解得， 所以； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论. 37．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ） A．6 B．50 C．616 D．1176 【答案】A 【分析】由为偶函数，为奇函数的定义得出和的对称性，得出恒等式，利用条件分别求出和的解析式，即可得出答案. 【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，故； 由函数为奇函数，则， 整理可得，即函数关于对称， 故； 由，可得， 所以， 故，解得， 所以，所以， 故选：A． 38．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数是定义在上的偶函数．若对于任意两个不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由偶函数的性质可将所求不等式变形为，分析函数在上的单调性，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是R上的偶函数，则， 所以不等式可变形为， 因为对于任意两个不等实数、， 不等式恒成立， 所以不等式恒成立， 不妨设，则，可得， 则函数在上单调递增， 所以，，可得，即，解得或， 则原不等式的解集为． 故选：C． 二、多选题 39．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域为，若关于对称，为奇函数，则（   ） A．是奇函数 B．的图象关于点对称. C． D．若在上单调递减，则在上单调递增 【答案】ABD 【分析】A选项，根据题目条件得到的一个周期为8，进而得到，A正确；B选项，由于的一个对称中心为，结合周期得到B正确；C选项，根据的一个对称中心为，得到，故C错误；D选项，先根据对称轴得到在上单调递增，结合周期得到D正确. 【详解】A选项，因为为奇函数，所以， 因为关于对称，所以， 所以，则， 所以，的一个周期为8， 故，所以， 将代替为得， 即，为奇函数，A正确； B选项，因为为奇函数，所以的一个对称中心为， 又的一个周期为8，故为的一个对称中心，B正确； C选项，因为的一个对称中心为， 所以， 故，C错误； D选项，因为在上单调递减，关于对称， 所以在上单调递增， 的一个周期为8，故在上单调递增，D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛： 设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 40．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】令可求得的值，令，可求得的值，可判断A选项；推导出为偶函数，且，可判断B选项；由结合函数的奇偶性可判断C选项；利用函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，令可得， 因为，则， 令，，可得，则，A对； 对于B选项，令可得， 所以，，故函数为偶函数， 令可得， 即，故， 因为函数为偶函数，则函数为偶函数，B对； 对于C选项，因为， 因为函数为偶函数，则函数也为偶函数，C错； 对于D选项，由B选项可知，函数是周期为的周期函数， 因为，， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下： （1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； （2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系； （3）下结论. 41．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可. 【详解】当时，的值域为.当时，的值域不为，A正确，B错误. 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，根据二次函数和一次函数单调性知的取值范围为，D正确. 故选：ACD 42．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是增函数 C．若，则 D．，，且， 【答案】BD 【分析】依题意，可得，可判断其奇偶性，判断，通过分离常数，可判断其单调性，判断，结合单调性解不等式进而可判断． 【详解】的定义域为， 且， 是奇函数，A错误； 又在上单调递增，B正确； 或，C错误； 是上单调递增的奇函数， ，，且， 即，D正确． 故选：． 43．（23-24高一上·贵州毕节·期末）设表示不超过的最大整数，如．设（且），则下列选项正确的有（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】由己知可得，，分类讨论，求出和的值. 【详解】对于A， 时，在上单调递减；时，在上单调递增， ，有，则，即，可得 函数的值域为，故A正确； 对于B，（且）定义域为 （且），故， 又是上的单调函数，，故B正确； 对于C，， ①当时，，， ②当时，，， 当③时，， 所以函数的值域为，故C正确； 函数的值域为，故D错误. 故选：ABC． 三、填空题 44．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】定义法证明为偶函数，结合对勾函数的性质可得在上单调递增，不等式等价于，即，求解即可. 【详解】因为的定义域为R，又，所以为偶函数． 设，当时，，则， 由对勾函数性质知，在上单调递增， 所以在上单调递增， 则等价于， 所以，解得， 故实数a的取值范围为． 故答案为：． 45．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 46．（23-24高一上·北京·期末）已知,其中.若,则的取值范围是 ;若,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为,则求出的最大值即可;,根据单调性求出的最小值即可. 【详解】, 因为的对称轴为,所以当时,, 则; , 因为的对称轴为,所以当时,为增函数, 则当时,, 即. 故答案为：;. 47．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以越靠近对称轴函数值越小， 所以由得， 由于，所以， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，， 在时单调递减，， 所以恒成立，则实数a的取值范围 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下 （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心. 四、解答题 48．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得，也即求得的解析式. （2）先判断的单调性，根据单调性和奇偶性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）∵ 是定义在上的偶函数， ∴ ，，即， 又，即 ，解得， 所以，经检验符合题意． （2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数， 因为，即， 又∵为偶函数，可得， 综上可得：，  解得或， 所以不等式的解集为． 49．（23-24高一上·湖北·期末）已知，函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，证明见解析 (2). 【分析】（1）求出的定义域，并证明为偶函数，再用定义法判断在单调性，利用偶函数的性质判断在上的单调性即可； （2）结合（1）将等价于，分别求出的最大值以及的最小值即可得到答案. 【详解】（1）. 令，解得：，则的定义域为，关于原点对称， 当时，，所以为偶函数. 任取，且， 则 因为，所以，则， 又因为，则，所以，所以在上单调递减. 由偶函数的性质知在上单调递增，在上单调递减. （2）不等式等价于. 由（1）得，当时，在时取得最大值0. 又，当且仅当时，取得最小值2， 所以当时，取得最大值， 所以实数的取值范围为. 50．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若在定义域上是增函数，解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得及，即可解出参数； （2）根据条件写出不等式组，解出即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，所以，又，所以， 所以，经检验，此时， 所以函数为奇函数，满足题意， 所以的解析式为. （2）由（1）知，函数是定义在上的奇函数， 又在定义域上是增函数， 所以由， 可得， 所以，所以， 所以不等式的解集为. 51．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 52．（23-24高一上·江西抚州·期末）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间． (1)求函数的所有“保值”区间． (2)函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的单调区间，利用“保值”区间的定义分类讨论求解即得. （2）分析函数的单调性，利用“保值”区间的定义建立方程，再转化为一元二次方程求解即可. 【详解】（1）函数在上单调递增，在上单调递减， 令区间为函数的“保值”区间，则在上单调，即有或， 当时，在区间上单调递增，则，即， 于是是方程，即的两个不同的非正实根， 显然，方程两根异号，与矛盾，即不符合题意； 当时，在区间上单调递减，则，即，则有， 所以函数的“保值”区间为. （2）令，显然函数在上单调递增， 由是函数的一个“保值”区间，得或，且在上单调递增， 则，即是方程，即的两个同号的不等根， 于是，解得，且， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 【点睛】关键点睛：根据新定义构造满足条件的方程（组），将新定义转化为熟悉的数学模型求解是解题的关键. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$