第一章 全等三角形辅助线---截长补短 讲义 2023—2024学年苏科版数学八年级上册

全等三角形辅助线---截长补短 一、知识解读 1、截长补短定义 截长补短分截长法与补短法两种，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等． 2、使用场景 在题目的条件或结论中，见线段的和或差，可考虑截长补短． 题目条件或求证结论中含有EF=AB+CD时，可考虑截长补短． 3.辅助线描述 二、经典例题 1、如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC （1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝　 　； （2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为　 　，并给出证明． 2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD＝CD．求证：∠B＝2∠C． 3、五边形ABCDE中，AB＝AE，AD平分∠CDE，∠B+∠E＝180°，求证：BC+DE＝CD． 4、如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC＝AB． 5、[阅读]在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． [应用]把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，证明：AM+BN＝MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE＝AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？证明你的结论． 6、【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD+CE＝CA； 【延伸拓展】 （3） 如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 7、阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝58°，∠D＝109°，∠ACD＝42°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝3，求AB的长． 8、阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF． （1）如图1，若点D在边BC上，试说明CE+CF＝CD；（提示：在线段CD上截取CG＝CE，连接EG．） （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 9、（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于H，求证：AH＝BC． （2）在如图②和图③的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请分别求出两图中点A到BP的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全等三角形辅助线---截长补短 一、知识解读 1、截长补短定义 截长补短分截长法与补短法两种，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等． 2、使用场景 在题目的条件或结论中，见线段的和或差，可考虑截长补短． 题目条件或求证结论中含有EF=AB+CD时，可考虑截长补短． 3.辅助线描述 二、经典例题 1、如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC （1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝　60°　； （2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为　BC＝AB+CE　，并给出证明． 【分析】（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求∠CDE的度数； （2）在BC上截取BF＝AB，由“SAS”可证△ABD≌△FBD，可得AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°，可得∴FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，由“SAS”可证△CDF≌△CDE，可得CE＝CF，则可得结论． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝20° ∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE， 故答案为：60° （2）BC＝AB+CE 理由如下：如图，在BC上截取BF＝AB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝BF， ∴△ABD≌△FBD（SAS） ∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60° ∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD ∴△CDF≌△CDE（SAS） ∴CE＝CF， ∴BC＝BF+CF＝AB+CE 故答案为：BC＝AB+CE 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD＝CD．求证：∠B＝2∠C． 【分析】在线段CD上截取DE＝BD，由“SAS”可证△ADB≌△ADE，可得AE＝AB，∠B＝∠AED，由线段和差关系可证AE＝CE，则可得结论． 【解答】解：如图，在线段CD上截取DE＝BD， ∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADE，BD＝DE ∴△ADB≌△ADE（SAS） ∴AE＝AB，∠B＝∠AED， ∴AB+BD＝AE+DE， ∵AB+BD＝CD， ∴CD＝AE+DE， ∵CD＝CE+DE， ∴AE＝CE ∴∠C＝∠CAE， ∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C＝∠B 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3、五边形ABCDE中，AB＝AE，AD平分∠CDE，∠B+∠E＝180°，求证：BC+DE＝CD． 【分析】延长DE，使EF＝BC，先证△ABC≌△AEF，再证△ADC≌△ADF，即可得证结果． 【解答】证明：如图，延长DE，使EF＝BC， ∵∠ABC+∠AED＝180°，∠AEF+∠AED＝180°， ∴∠ABC＝∠AEF， ∵AB＝AE，BC＝EF， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴EF＝BC，AC＝AF， ∵AD平分∠CDE， ∴∠ADF＝∠ADE， ∵AD＝AD，AC＝AF， ∴△ADC≌△ADF（SAS）， ∴CD＝DF＝EF+DE， ∴CD＝BC+DE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 4、如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC＝AB． 【分析】先在AB上截取AF＝AD，连接EF，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得∠EFB＝∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC＝BF，继而证得AD+BC＝AB． 证法二：延长AE交BC的延长线于M；由AP∥BC，及AE平分∠PAB，可求得∠BAE＝∠M，即AB＝BM，因此直线证得AD＝MC即可；在等腰△ABM中，BE是顶角的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知：E是AM的中点，即AE＝EM，而PA∥BM，即可证得△ADE≌△MCE，从而得到所求的结论． 【解答】证明：如图，在AB上截取AF＝AD，连接EF， ∵AE平分∠PAB， ∴∠DAE＝∠FAE， 在△DAE和△FAE中， ∵， ∴△DAE≌△FAE（SAS）， ∴∠AFE＝∠ADE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE+∠C＝180°， ∵∠AFE+∠EFB＝180°， ∴∠EFB＝∠C， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF＝∠EBC， 在△BEF和△BEC中， ∵， ∴△BEF≌△BEC（AAS）， ∴BC＝BF， ∴AD+BC＝AF+BF＝AB． 证法二：如图，延长AE交BC的延长线于M， ∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵AD∥BC ∴∠1＝∠M＝∠2，∠1+∠2+∠3+∠4＝180° ∴BM＝BA，∠3+∠2＝90°， ∴BE⊥AM， 在△ABE和△MBE中， ， ∴△ABE≌△MBE（ASA）， ∴AE＝ME， 在△ADE和△MCE中， ， ∴△ADE≌△MCE（ASA）， ∴AD＝CM， ∴AB＝BM＝BC+AD． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 5、[阅读]在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． [应用]把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，证明：AM+BN＝MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE＝AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？证明你的结论． 【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可． 【解答】（1）证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中， ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE， ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中， ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （2）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， 由（1）知：△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE， ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中， ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （3）BN﹣AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA， ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN， ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°， 在△DAM和△DBE中， ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN， 在△MDN和△EDN中， ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM， ∴BN﹣AM＝MN． 【点评】本题考查了四边形的综合题，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度． 6、【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD+CE＝CA； 【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【分析】（1）由等边三角形知AB＝AC，∠BAC＝60°，结合∠BDC＝120°知∠ABD+∠ACD＝180°，由∠ACE+∠ACD＝180°知∠ABD＝∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB； （2）首先在AC上截取CM＝CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM＝EC，则可证得CD+CE＝CA； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论． 【解答】（1）解：如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠BDC＝120°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， 又∵∠ACE+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∵∠BAC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°， ∴∠DAC+∠CAE═60°， 即∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB， 即DA＝DC+DB； （2）证明：在AC上截取CM＝CD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°， ∴∠AMD＝120°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝∠MDC， ∴∠ADM＝∠EDC， ∵直线a∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC＝60°， ∴∠DCE＝120°＝∠AMD， 在△ADM和△EDC中， ， ∴△ADM≌△EDC（ASA）， ∴AM＝EC， ∴CA＝CM+AM＝CD+CE； 即CD+CE＝CA． （3）解：∠EAF＝； 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， 又∵AB＝AD， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE＝∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°， 即2∠FAE+∠DAB＝360°， ∴∠EAF＝． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 7、阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝58°，∠D＝109°，∠ACD＝42°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝3，求AB的长． 【分析】（1）在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠DAC，再利用SAS证明△ABD≌△AED，从而可得∠B＝∠AED，BD＝DE，进而可得∠AED＝2∠C，然后利用三角形的外角性质可得∠AED＝∠C+∠EDC，从而可得∠C＝∠EDC，进而可得DE＝CE，再根据等量代换可得BD＝EC，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在AE上截取AF＝AD，连接CF，先利用三角形内角和定理可得∠DAC＝29°，从而可得∠DAC＝∠FAC＝29°，再利用SAS证明△DAC≌△FAC，从而可得∠AFC＝∠D＝109°，进而可得∠CFE＝71°，然后利用三角形内角和定理可得∠B＝∠CFE＝71°，从而可得CF＝BC，再利用等腰三角形的三线合一性质可得BF＝2BE＝6，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AD＝AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， ∵∠AED是△DEC的一个外角， ∴∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴BD＝EC， ∵AE+EC＝AC， ∴AB+BD＝AC； （2）在AE上截取AF＝AD，连接CF， ∵∠D＝109°，∠ACD＝42°， ∴∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝29°， ∵∠BAD＝58°， ∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝29°， ∴∠DAC＝∠FAC＝29°， ∵AC＝AC， ∴△DAC≌△FAC（SAS）， ∴∠AFC＝∠D＝109°， ∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝71°， ∵∠ACB＝80°，∠FAC＝29°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝71°， ∴∠B＝∠CFE， ∴CF＝BC， ∵CE⊥AB， ∴BF＝2BE＝6， ∴AB＝AF+BF＝10+6＝16， ∴AB的长为16． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8、阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF． （1）如图1，若点D在边BC上，试说明CE+CF＝CD；（提示：在线段CD上截取CG＝CE，连接EG．） （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC（SAS），得DG＝CF，即可得出结论； （2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，再证△EGD≌△FCD（SAS），得EG＝FC，即可得出结论． 【解答】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，连接EG，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECG＝60°， ∴△CEG是等边三角形， ∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°， ∴∠DEG＝∠FEC， 在△DEG和△FEC中， ， ∴△DEG≌△FEC（SAS）， ∴DG＝CF， ∴CD＝CG+DG＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是CF＝CD+CE；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GD∥AB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴GE＝CF， ∵GE＝CG+CE， ∴CF＝CD+CE． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 9、（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于H，求证：AH＝BC． （2）在如图②和图③的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请分别求出两图中点A到BP的距离． 【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠CAH＝∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论； （2）过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD＝CP＝1，根据DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP＝BP+BD＝6+1＝7，进而可得点A到BP的距离． 【解答】（1）证明：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠AHC＝90°＝∠BAC， ∴∠BAH+∠CAH＝90°，∠BAH+∠B＝90°． ∴∠CAH＝∠B， 在△ABH和△CAH中， ， ∴△ABH≌△CAH（AAS）， ∴BH＝AH，AH＝CH， ∴AH＝BC； （2）解：如图②，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD＝90°，交BP于点D， ∴∠BAC＝∠DAP＝90°， ∴∠BAD＝∠CAP， ∵∠BDA＝∠APC＝90°+∠APD， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD＝CP＝1， ∴DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5， ∵AH⊥DP， ∴AH＝DP＝； 如图③，过点A作AH⊥BP于点H，作∠PAD＝90°，交PB的延长线于点D， ∴∠BAC＝∠DAP＝90°， ∴∠BAD＝∠CAP， ∵∠BAC＝90°，∠BPC＝90°， ∴∠ACP+∠ABP＝180°， ∴∠ACP＝∠ABD， ∵AB＝AC， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD＝CP＝1， ∴DP＝BP+BD＝6+1＝7， ∵AH⊥DP， ∴AH＝DP＝． 综上所述：点A到BP的距离为：和． 【点评】本题是三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质． 学科网（北京）股份有限公司 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