第一章 全等三角形辅助线---倍长中线 讲义 2023—2024学年苏科版数学八年级上册

全等三角形辅助线---倍长中线 1、 知识解读 1、倍长中线 遇到与三角形的中线相关的问题时，我们常常可以延长中线，使延长的线段与中线长度相等，从而构造出一对“8字型”的全等三角形，使问题得到解决． 可以试一下连接BE哦！！ 条件：AD是△ABC的中线 辅助线：延长AD至E，使DE=AD，连接CE 结论：△ABD≌△ECD（SAS） 2、倍长中线拓展 条件：D是BC的中点，E是AC边上任意一点 辅助线：延长ED至F，使DF=DE，连接BF 结论:△EDC≌△FDB（SAS） 条件：∥，点D是BC的中点， 辅助线：延长AD交于点E 结论:△ABD≌△ECD（ASA）或（AAS） 2、 经典例题 1．已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不对 2．如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（　　） 3．如图，已知△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB到点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE． 4．如图，已知△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD＝AB．给出下列结论：①AD＝2AC；②CD＝2CE；③∠ACE＝∠BCD；④CB平分∠DCE；其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB． 6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD＝3，BC＝4，则CD的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 8．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE＝EF，AB∥EF，连接DE，DE⊥AD，S△AEC：S△ACF＝3：8，AB＝14，CE的值为（　　） A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 9．请阅读下列材料，完成相应的任务． 认识“倍长中线法” 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法． 如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点H．使DH＝AD．连接BH，在△ADC和△HDB中，AD＝HD，∠ADC＝∠HDB．CD＝BD，所以，△ADC≌△HDB（依据），进一步可得到AC＝BH，AC∥BH等结论． 任务： （1）上述材料中△ADC≌△HDB的依据是 　 　； （2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE； （3）如图3，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2，请你直接写出BC的长． 10．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD．请根据小明的方法思考： （1）请证明△ADC≌△EDB； （2）请直接写出AD的取值范围 　 　； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题． （3）如图2，已知∠BAD+∠CDE＝180°，AB＝AC，DC＝DE，P为BE的中点．若A，C，D共线，求证：AP平分∠BAC． 11．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图（1），AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定全等的依据为：　 　． （2）如图（2），AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD． （3）如图（3），AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明． 12．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． （1）【问题初探】如图1：在△ABC中，AB＝2，AC＝6，AD为BC边上的中线，则AD的取值范围为 　 　． （2）【类比分析】如图2：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，AD是△ABC的中线，CE⊥BC于点C，CE＝11且∠ADE＝90°．求AE的长度． （3）【拓展延伸】如图3：在△ABC中，AF⊥BC于点F，在AB右侧作AD⊥AB于点A，且AD＝AB，在AC左侧作AE⊥AC于点A，且AE＝AC，连接DE，延长AF交DE于点O．求证：点O为DE中点． 13．（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　 　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长． （3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF． 14．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM． 【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 　 　，位置关系是 　 ； 【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．） 【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全等三角形辅助线---倍长中线 1、 知识解读 1、倍长中线 遇到与三角形的中线相关的问题时，我们常常可以延长中线，使延长的线段与中线长度相等，从而构造出一对“8字型”的全等三角形，使问题得到解决． 可以试一下连接BE哦！！ 条件：AD是△ABC的中线 辅助线：延长AD至E，使DE=AD，连接CE 结论：△ABD≌△ECD（SAS） 2、倍长中线拓展 条件：D是BC的中点，E是AC边上任意一点 辅助线：延长ED至F，使DF=DE，连接BF 结论:△EDC≌△FDB（SAS） 条件：∥，点D是BC的中点， 辅助线：延长AD交于点E 结论:△ABD≌△ECD（ASA）或（AAS） 2、 经典例题 1．已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不对 【分析】延长AD至点E，使AD＝DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解． 【解答】解：如图，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD＝CD， 又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE ∴△ACD≌△EBD， ∴BE＝AC， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8， ∴4＜AE＜20， ∴2＜AD＜10． 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（　　） A．1＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19 【分析】延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围． 【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝CE， ∵AD＝7， ∴AE＝7+7＝14， ∵14+5＝19，14﹣5＝9， ∴9＜CE＜19， 即9＜AB＜19． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 3．如图，已知△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB到点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE． 【分析】取AC的中点F，连接BF，根据中点的性质可得到AE＝AF，再根据SAS判定△ABF≌△ACE，由全等三角形的对应边相等可得到BF＝CE，再利用三角形中位线定理得到DC＝2BF，即证得了DC＝2CE． 【解答】证明：取AC的中点F，连接BF， ∵AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点， ∴AE＝AF， 在△ABF和△ACE中 ， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， ∴BF＝CE， ∵BD＝AB，AF＝CF， ∴DC＝2BF， ∴DC＝2CE 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键． 4．如图，已知△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD＝AB．给出下列结论：①AD＝2AC；②CD＝2CE；③∠ACE＝∠BCD；④CB平分∠DCE；其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形的中线的概念、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理以及全等三角形的判定和性质进行分析判断． 【解答】解：①∵CB是三角形ACD的中线， ∴AD＝2AB， 又AB＝AC， ∴AD＝2AC．故此选项正确； ②取CE的中点F，连接BF． ∵AB＝BD，CF＝DF， ∴BF∥AC，BF＝AC． ∴∠CBF＝∠ACB． ∵AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC． ∴∠CBF＝∠EBC． 又∵CE是三角形ABC的中线， ∴AC＝AB＝2BE． ∴BE＝BF． 又∵BC＝BC， ∴△BCE≌△BCF（SAS）， ∴CF＝CE， ∴CD＝2CE， 故此选项正确； ③若要∠ACE＝∠BCD， 则需∠ACB＝∠DCE， 又∠ACB＝∠ABC＝∠BCD+∠D＝∠DCE， 则需∠D＝∠BCE， 根据②中的全等，得∠BCD＝∠BCD， 则需∠D＝∠BCD， 则需BC＝BD，显然不成立，故此选项错误； ④根据②中的全等，知此选项正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题的知识综合性较强，同时注意利用成立的结论得到新的结论． 5．如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB． 【分析】过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，可证明△DEG≌△DCA，可得EG＝EF，可证明EF∥AB． 【解答】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点， ∵EG∥AC， ∴∠DEG＝∠C， 在△DEG和△DCA中， ， ∴△DEG≌△DCA（ASA）， ∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC 故EG＝AC ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EG＝EF， ∴∠G＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠BAD， ∴EF∥AB． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证△DEG≌△DCA是解题的关键． 6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD＝3，BC＝4，则CD的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】延长CE交DA延长线于F，即可证得△AEF≌△BEC，则BC＝AF，根据等腰三角形的判定方法可以证得：CD＝DF即可求解． 【解答】解：如图，延长CE交DA延长线于F，∵AD∥BC， ∴∠1＝∠3，又AE＝EB，∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC，又∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3，CD＝DF＝AD+AF＝AD+BC＝7 故选：C． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及等腰三角形的判定方法，等角对等边，正确作出辅助线是解决本题的关键． 7．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题． 【解答】解：∵FC∥AB， ∴∠DAE＝∠FCE， 在△DAE与△FCE中， ， ∴△DAE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝CF， ∵CF＝3， ∴AD＝CF＝3， 又∵AB＝5， ∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明△DAE≌△FCE是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE＝EF，AB∥EF，连接DE，DE⊥AD，S△AEC：S△ACF＝3：8，AB＝14，CE的值为（　　） A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 【分析】延长AD与FE交于点G，利用平行线的性质可得∠BAD＝∠G，∠B＝∠DCG，再利用线段的中点定义可得BD＝DC，从而利用AAS可得△ABD≌△GCD，然后利用全等三角形的性质可得AB＝CG＝14，AD＝DG，从而可得DE是AG的垂直平分线，进而可得AE＝EG，最后利用等量代换可得EF＝EG，再根据已知可得＝，从而可得＝，进而可得＝，即可解答． 【解答】解：延长AD与FE交于点G， ∵AB∥EF， ∴∠BAD＝∠G，∠B＝∠DCG， ∵点D为BC的中点， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△GCD（AAS）， ∴AB＝CG＝14，AD＝DG， ∵AD⊥DE， ∴DE是AG的垂直平分线， ∴AE＝EG， ∵AE＝EF， ∴EF＝EG， ∵S△AEC：S△ACF＝3：8， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∴EC＝3， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．请阅读下列材料，完成相应的任务． 认识“倍长中线法” 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法． 如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点H．使DH＝AD．连接BH，在△ADC和△HDB中，AD＝HD，∠ADC＝∠HDB．CD＝BD，所以，△ADC≌△HDB（依据），进一步可得到AC＝BH，AC∥BH等结论． 任务： （1）上述材料中△ADC≌△HDB的依据是 　SAS　； （2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE； （3）如图3，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2，请你直接写出BC的长． 【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）延长AD到点H，使DH＝AD，连接BH，证明△ADC≌△HDB（SAS），得出AC＝BH，∠H＝∠DAC，证出BE＝BH，则可得出结论； （3）延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，证明△DAC≌△DEB得AC＝EB，再证明∠AEB＝90°，由勾股定理求得BD，进而得BC． 【解答】（1）解：延长AD到点H，使DH＝AD，连接BH， ∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△HDB中， ， ∴△ADC≌△HDB（SAS）， 故答案为：SAS； （2）证明：延长AD到点H，使DH＝AD，连接BH， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△HDB中， ， ∴△ADC≌△HDB（SAS）， ∴AC＝BH，∠H＝∠DAC， ∵AF＝EF， ∴∠AEF＝∠DAC， ∴∠H＝∠AEF， ∵∠BEH＝∠AEF， ∴∠BEH＝∠H， ∴BE＝BH， ∴BE＝AC； （3）解：延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE， ∵D是BC的中点， ∴CD＝BD， 在△DAC和△DEB中， ， ∴△DAC≌△DEB（SAS）， ∴AC＝EB＝3， ∵AE＝2AD＝4，AB＝5， ∴AE2+BE2＝AB2， ∴∠AEB＝90°， ∴BD＝＝， ∴BC＝2BD＝2． 【点评】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD．请根据小明的方法思考： （1）请证明△ADC≌△EDB； （2）请直接写出AD的取值范围 　1　＜AD＜　7　； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题． （3）如图2，已知∠BAD+∠CDE＝180°，AB＝AC，DC＝DE，P为BE的中点．若A，C，D共线，求证：AP平分∠BAC． 【分析】（1）根据SAS可证明△ADC≌△EDB； （2）由全等三角形的性质可得出答案； （3）DP交AB延长线于点F，证明△BPF≌△EPD（AAS），得出BF＝DE＝DC，PD＝PF，证明△APF≌△APD（SSS），得出∠PAF＝∠PAD，则可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）； （2）解：∵△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝6， ∵AB＝8， ∴8﹣6＜AE＜8+6， 即2＜AE＜14， ∵DE＝AD， ∴AD＝AE， ∴1＜AD＜7， 故答案为：1，7； （3）证明：如图1，DP交AB延长线于点F， ∵∠BAC+∠CDE＝180°， ∴AF∥DE， ∴∠PFB＝∠PDE，∠PBF＝∠PED， ∵P为BE的中点， ∴BP＝PE， ∴△BPF≌△EPD（AAS）， ∴BF＝DE＝DC，PD＝PF， 又∵AB＝AC， ∴AB+BF＝AO+DC，即AF＝AD， 在△APF和△APD中， ， ∴△APF≌△APD（SSS）， ∴∠PAF＝∠PAD（全等三角形的对应角相等）， 即AP平分∠BAC． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 11．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图（1），AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定全等的依据为：　SAS　． （2）如图（2），AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD． （3）如图（3），AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明． 【分析】（1）由全等三角形的判定可得出答案； （2）延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可得出答案； （3）在AD的延长线上截取DH＝AD，连接CH，则AH＝2AD，先证明△CDH≌△BDA得到CH＝AB和∠AHC＝∠BAE，进一步证明CH＝AE、∠AHC＝90° 和∠FAE＝∠ACH，再证明△FAE≌△ACH得到EF＝AH和∠AEF＝∠AHC＝90°，即可求解． 【解答】（1）解：延长AD至点E，使ED＝AD． 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS； （2）证明：延长AD至M，使DM＝AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴DB＝CD，且∠ADB＝∠MDC，AD＝DM ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴MC＝AB，∠B＝∠MCD， ∵AB＝CE， ∴CM＝CE， ∵∠BAC＝∠BCA， ∴∠B+∠BAC＝∠ACB+∠MCD， 即∠ACM＝∠ACE，且AC＝AC，CM＝CE， ∴△ACM≌△ACE（SAS）． ∴AE＝AM， ∵AM＝2AD， ∴AE＝2AD． （3）解：EF＝2AD，EF⊥AD，证明如下： 如图，在AD的延长线上截取DH＝AD，连接CH， 则AH＝2AD， ∵AD是△ABC 的中线， ∴CD＝BD， ∴△CDH≌△BDA（SAS）， ∴CH＝AB，∠AHC＝∠BAE， ∵AB＝AE，∠BAH＝90°， ∴CH＝AE，∠AHC＝90°， ∴∠ACH+∠CAH＝90°， ∵∠FAC＝90°， ∴∠FAE+∠CAH＝90°， ∴∠FAE＝∠ACH， ∴△FAE≌△ACH（SAS）， ∴EF＝AH，∠AEF＝∠AHC＝90°， ∴EF＝2AD，EF⊥AD． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． 12．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． （1）【问题初探】如图1：在△ABC中，AB＝2，AC＝6，AD为BC边上的中线，则AD的取值范围为 　2＜AD＜4　． （2）【类比分析】如图2：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，AD是△ABC的中线，CE⊥BC于点C，CE＝11且∠ADE＝90°．求AE的长度． （3）【拓展延伸】如图3：在△ABC中，AF⊥BC于点F，在AB右侧作AD⊥AB于点A，且AD＝AB，在AC左侧作AE⊥AC于点A，且AE＝AC，连接DE，延长AF交DE于点O．求证：点O为DE中点． 【分析】（1）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，得到BE＝AC＝6，再根据在△ABE中，6﹣2＜AE＜6+2，即4＜2AD＜8，求解即可； （2）延长AD到点F，使DF＝AD，连接CF，先证明△ABD≌△FCD（SAS），得到∠FCD＝∠ABD＝90°，CF＝AB＝7，再证明E、C、F三点共线，得到EF＝EC+CF＝18，然后证明△ADE≌△FDE（SAS），得到AE＝EF＝18解决问题； （3）过点E作EM∥AD交AD延长线于M，先证明△AEM≌△CAB（AAS），得到EM＝AB，再证明△AOD≌△MOE（AAS），得到OD＝OE，即可得出结论． 【解答】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝6， △ABE中，BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴6﹣2＜AE＜6+2， ∴4＜2AD＜8， ∴2＜AD＜4； 故答案为：2＜AD＜4； （2）解：延长AD到点F，使DF＝AD，连接CF，如图4， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵∠ADB＝∠FDC，DF＝AD， ∴△ABD≌△FCD（SAS）， ∴∠FCD＝∠ABD＝90°，CF＝AB＝7， ∵CE⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∴∠FCD+∠ECD＝180°， ∴E、C、F三点共线， ∴EF＝EC+CF＝11+7＝18， ∵∠ADE＝90°， ∴∠FDE＝∠ADE＝90°， ∵DE＝DE，AD＝DF， ∴△ADE≌△FDE（SAS）， ∴AE＝EF＝18； （3）证明：过点E作EM∥AD交AD延长线于M，如图4， ∵AD⊥AB，AE⊥AC， ∴∠3+∠2+∠CAD＝∠3+∠2+∠BAE＝90°， ∴∠CAD＝∠BAE， 又∵AF⊥BC， ∴∠3+∠2+∠CAD＝∠3+∠BAE+∠B＝90°， ∴∠2＝∠B， ∵EM∥AD， ∴∠2＝∠M， ∴∠B＝∠M， ∵AE⊥AC，AF⊥BC， ∴∠3+∠CAM＝∠C+∠CAM＝90°， ∴∠3＝∠C， ∵AE＝AC， ∴△AEM≌△CAB（AAS）， ∴EM＝AB， ∵AB＝AD， ∴EM＝AD， ∵∠2＝∠M，∠AOD＝∠EOM， ∴△AOD≌△MOE（AAS）， ∴OD＝OE， ∴O为DE中点． 【点评】本题属于三角形综合题，考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 13．（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　2＜AD＜11　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长． （3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF． 【分析】（1）先判断出△ADC≌△EDB（SAS），得出BE＝AC＝9，最后用三角形的三边关系计算； （2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答； （3）延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF、EF，先证明△CDG≌△BDE，得CG＝BE，根据三角形的三边关系得CG+CF＞GF，则BE+CF＞GF，由DF垂直平分EG得GF＝EF，所以BE+CF＞EF． 【解答】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝9， ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴4＜AE＜22 ∴2＜AD＜11， 故答案为：2＜AD＜11． （2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2， ∵AD是△ABC中线， ∴BD＝DC， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵∠AFE＝∠AEF， ∴AE＝EF＝4， ∴AC＝AE+CE＝7， ∴BM＝AC＝7， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即AC＝BF＝7； （3）证明：如图3，延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF， ∵D是BC边上的中点， ∴CD＝BD， 在△CDG和△BDE中， ， ∴△CDG≌△BDE（SAS）， ∴CG＝BE， ∵CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞GF， ∵DE⊥DF，GD＝ED， ∴DF垂直平分EG， ∴GF＝EF， ∴BE+CF＞EF． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 14．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM． 【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 　AC＝BM　，位置关系是 　AC∥BM　； 【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．） 【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由． 【分析】（1）证△ADC≌△MDB（SAS），得AC＝BM，∠CAD＝∠M，再由平行线的判定即可得出AC∥BM， （2）延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），得BM＝AC＝8，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC，再证△ABM≌△EAF（SAS），得AM＝EF，∠BAM＝∠E，则EF＝2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE＝∠BAE＝90°，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴AC＝BM，∠CAD＝∠M， ∴AC∥BM， 故答案为：AC＝BM，AC∥BM； （2）如图2，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM， 由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS）， ∴BM＝AC＝8， 在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM， ∴12﹣8＜AM＜12+8， 即4＜2AD＜20， ∴2＜AD＜10， 即BC边上的中线AD的取值范围为2＜AD＜10； （3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下： 如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC， ∵AC＝AF， ∴BM＝AF， 由（2）可知，AC∥BM， ∴∠BAC+∠ABM＝180°， ∵AE⊥AB、AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠FAC＝90°， ∴∠BAC+∠EAF＝180°， ∴∠ABM＝∠EAF， 在△ABM和△EAF中， ， ∴△ABM≌△EAF（SAS）， ∴AM＝EF，∠BAM＝∠E， ∵AD＝DM， ∴AM＝2AD， ∴EF＝2AD， ∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE， ∴∠APE＝∠BAE＝90°， ∴EF⊥AD． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$